f x x x ( , ,..., ) 0 =

Analiza wymiarowa
Prof. dr hab. Małgorzata Jaros, prof. SGGW
Analiza wymiarowa jest działem matematyki stosowanej, którego
zadaniem jest wyznaczenie, poprawnej pod względem wymiarowym,
postaci wzorów fizycznych.
Dziedziny zastosowań analizy wymiarowej:
1. W badaniach modelowych do wyznaczania warunków
podobieństwa i ustalania funkcyjnych zależności między
wielkościami fizycznymi, mającymi istotny wpływ na badane
zjawisko.
2. W planowaniu badań eksperymentalnych i opracowywaniu
uzyskanych wyników. Analiza wymiarowa umożliwia
przedstawienie zależności między badanymi wielkościami
fizycznym oraz wyników badań za pomocą możliwie
najmniejszej liczby zmiennych.
3. W ustalaniu zamienników (skal) wielkości analogicznych przy
projektowaniu i wykorzystywaniu przyrządów analogowych.
4. Inne...
Podstawowe twierdzenia analizy wymiarowej
1.) Twierdzenie Buckinghama
Każde jednorodne wymiarowo równanie fizyczne:
f ( x1, x2 ,..., xn )  0
(1)
daje się przedstawić w postaci funkcji uwikłanej (n-m)
bezwymiarowych zmiennych Ki :
F( K1, K2 ,..., Knm )  0
(2)
gdzie m jest liczbą wielkości podstawowych wzajemnie niezależnych.
2.) Zasada Fouriera
Wszystkie prawa fizyki wyrażają się równaniami wymiarowo
jednorodnymi, tzn. Funkcja jest wymiarowo jednorodna, gdy postać
jej nie zależy od układu jednostek miar. Zachodzi wówczas tożsamość:
f (a1x1, a2x2 ,..., a nxn )  a  f ( x1, x2 ,..., xn )
Natomiast wielkosci
tożsamości:
x1, x2 ,..., xn
(3)
są wymiarowo niezależne, jeżeli z
x1a  x2b ... xxn  1
(4)
a  b ...  x  0
(5)
wynika, że:
3.) Zasada doboru wielkości podstawowych:
Wymiar każdej wielkosci pochodnej może być wyrażony jako
iloczyn potęgowy wymiarów wielkości podstawowych.
Wielkości podstawowe nie muszą odpowiadać układowi SI, lecz
w każdym zadaniu celowy jest wybór nowego układu jednostek
podstawowych spośród wielkości charakteryzujących badane
zjawisko.
Sposoby określania iloczynów K.
1.) Metoda kolejnego wyznaczania kryteriów K.
2.) Metoda doboru skal wielkości podstawowych.
3.) Metoda jednoczesnego wyznaczania kryteriów K ( metoda
Rayleigha,van Driesta).
Metoda kolejnego wyznaczania kryteriów K.
1) Hipoteza: f ( x1, x2 ,..., xn )  0 oznacza, że określony
został zbiór wielkości mających wpływ na badane zjawisko.
2) Dokonuje się doboru wielkości podstawowych, spośród
wielkości x1, x2 ,..., xn , spełniajacych zależności (4) i (5) (czyli
wymiarowo niezależnych) na przykład w statyce wybrać można tylko
dwie wielkości podstawowe tzn.: siłę i długość lub powierzchnię i
naprężenie; w dynamice: masę długość i czas lub prędkość, długość i
siłę.
3) Jeżeli spośród n wielkości x wybierze się m wielkości
podstawowych, na przykład xn , xn1,..., xn m1, to dodając do tego
zestawu wielkość x spośród pozostałych x1,..., xn m można uzyskać
(n-m) bezwymiarowych zmiennych, rozwiązując układ równań:
R|
K1  x1  xan  xan 1...xan  m1
| K  x  xb  xb ...xb
S| 2 2 n n1 nm1
||Knm ...............................
x n  m  x xn  x xn 1...x xn  m1
T
1
2
1
m
2
1
m
2
(6)
m
Zalety metody kolejnego wyznaczania zmiennych K:
-jeśli liczba równań nie będzie równa liczbie niewiadomych to
wnioskuje się od razu o niewłaściwym doborze wielkości
podstawowych ( są wymiarowo zależne lub jest ich za mało),
-zwiększając liczbę wielkości x w równaniu (1) można
przystąpić do dalszego zwiększania liczby kryteriów K, bez potrzeby
zmiany postaci dotychczas wyznaczonych wielkości.
Przykład 1
Przyjęto hipotezę,że natężenie wypływu cieczy z naczynia jest
funkcją:
f (Q, , ,  , g, d , h)  0
gdzie:
Qgdh-
natężenie wypływu, m3 / s
gęstość cieczy, kg / m3
lepkość dynamiczna cieczy, kg / m  s
napięcie powierzchniowe, kg / s2
przyspieszenie ziemskie, m / s2
średnica otworu, m
różnica poziomów, m
Niech wielkościami podstawowymi będą: Q, , h, wówczas:
em3 / sja  ekg / m3jb  bmgc  1  a  0  b  0  c  0
Można zatem utworzyć cztery bezwymiarowe iloczyny K., wzajemnie
niezależne, wg równań:
K1  g  Qa1  a 2  ha 3
K2  d  Qb1  b2  hb3
K3    Qc1  c2  hc3
K4    Qd1  d 2  hd 3
Obliczenie iloczynu
K1
e
:
K1  m  s2  m3  s1
ja  ekg  m3ja  bmga
1
2
3
( m)13a1 3a 2 a 3  ( s)2a1  ( kg)a 2 jest bezwymiarowy,
iloczyn
jeśli wszystkie wykładniki potęgowe będą zerami, ma to miejsce
g  h5
a1  2, a2  0, a3  5, a tym samym: K1  2 .
Q
Postępując analogicznie otrzymuje się:
d
 h
  h3
K2  , K3 
, K4 
h
Q
Q .
wówczas, gdy:
Pierwotna funkcja może być sprowadzona do postaci:
F
gh5 d h h3 I
F( K1 , K2 , K3 , K4 )  f G 2 , ,
,
h
Q

Q JK
HQ
lub po pewnych przekształceniach, na przykład:
K
K
K'3  21
i
K'4  1 ,
K4
K
3
Ff Q2 , d ' gh32 , gh2 I
GH gh5 h 2  JK
F d gh 
Q
K  f bK , K , K g

 fG ,
gh
Hh 
f ( K1, K2 , K'3 , K'4 ) 
a stąd:
2
1
2
3
4
5
3 2
gh2
,
2

I
JK
_______________________________
Metoda doboru skal
1) Hipoteza: f ( x1, x2 ,..., xn )  0 oznacza, że określony
został zbiór wielkości mających wpływ na badane zjawisko.
2) Dokonuje się wyboru wielkości podstawowych, spośród
wielkości x1, x2 ,... xn, spełniających zależności (4) i (5) oraz skal
x'
k

tych wielkości x
x.
3) Ustala się skale pozostałych wielkości fizycznych,
mających wpływ na badane zjawisko, analogicznie do wzoru (6), tzn.:
1  k1  k an1  k an21... k anmm 1
......................
1  k n m  k xn1  k xn21... k xnmm 1
R|
S|
T
Podstawą wyznaczenia skal poszczególnych wielkości fizycznych w
modelu może być bezwymiarowa postać funkcji:
f (K1, K 2,..., K n m )  0
Warunkiem podobieństwa modelu do modelowanego procesu jest
uzyskanie w obu przypadkach jednakowych wartosci zmiennych K.
Równość liczb K (krytriów podobieństwa) determinuje związki
pomiędzy skalami k x poszczególnych wartości x.
Metoda jednoczesnego wyznaczania liczb K
Przykład 2
Model wymiany ciepła w rurociągu.
Zakłada się istnienie funkcji charakteryzującej zależność
współczynnika przejmowania ciepła , od pozostałych paramatrów
charakteryzujących zjawisko wymiany konwekcyjnej ciepła podczas
przepływu płynu rurociągiem:
f (, l, d , c,  , , v)  0
gdzie:
2
 - wsp. przejmowania ciepła, kg / ( s  K)
l,d
- długość i średnica rurociągu, m
c - ciepło wł. odniesione do jednostki objętości, kg / ( m  s  K)
2
 - wsp. przewodzenia ciepła, kg  m / ( s  K)
2
 - lepkość kinematyczna, m / s
v - prędkość przepływu, m/s
Na mocy zasady Fouriera, otrzymuje się, że jeżeli
a
b
c
d
e
f
  l  d  c      v 1
czyli podstawiając jednostki odpowiednich zmiennych:
FG kg IJ 1  b mga  bmgb  FG kg IJ c  FG kg  m IJ d  FG m2 IJ e  FG m IJ f  1
H m  s  K K H s2  K K H s K H s K
H s2  K K
to musi być:
bkgg1cd  bmgabcd2ef  bsg2c2def  bKg1cd =1
Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy:
1  c  d  0
b  1  a  f
a  b  c  d _ 2e  f  0
 d  1 c
2  c  2d  e  f  0
ecf
1 c  d  0
R|
|S
||
T
R|
S|
T
W ten sposób otrzymalismy mniejszą liczbę nieznanych wykładników
potęg w równaniu formalizującym zasadę Fouriera. Można zatem
napisać:

1
lub
a
 l  d
1a  f
c
 c  
1c
 
c f
f
 v 1
LM   d OP1  LM l OPa  LM c   OPc  LM v  d OPf  1
N  Q Nd Q N  Q N  Q
Równanie to oznacza , że można wyznaczyć funkcję F zmiennych
bezwymiarowych, takich jak w powyższym równaniu :
LM   d OP  LM l OPa  LM c   OPc  LM v  d OPf
N  Q Nd Q N  Q N  Q
Liczby bezwymiarowe tu otrzymane to liczby kryterialne znane w
teorii przepływów:
Nu 
LM   d OP ,
NQ
Pr 
otrzymaliśmy zatem równanie:
LM c   OP
N  Q,
a
lI
F
Nu  A  G J  Prc  Re f
H dK
Re 
LM v  d OP
NQ
Uwagi krytyczne
1) Analiza wymiarowa nie może dostarczyć danych o wielkościach
bezwymiarowych
2) Metody stosowane w analizie wymiarowej nie pozwalają
rozróżnić wielkości
o identycznych wymiarach,
mających jednak różne znaczenie fizyczne, na przykład
vprędkość przepływu cieczy i a- prędkość dźwięku.
3) Można łatwo popełnić omyłkę opuszczajac wielkość mającą
istotny wpływ na przebieg zjawiska
4)
W formułowanej na poczatku hipotezie mogą znaleźć się
omyłkowo wielkości nie mające związku z rozpatrywanym
zjawiskiem.
Należy bezwzględnie pamiętać o tym, że analizy wymiarowej
nie stosuje się znany jest teoretyczny, matematyczny model
badanego zjawiska.
Przykład 3
Należy przeanalizować
materialnego.
b
Hipoteza: s  f a , t , v0
ruch
jednostajnie
zmienny
punktu
g
Stosując metodę wykładników Rayleigha otrzymujemy równanie:
1
a
b
s  a  t  v0
a po podstawieniu jednostek
c
1
a
c
mI
F
b F mI
bmg  GH s2 JK  bsg  GH s JK  1
1
Równanie to jest spełnione zgodnie z zasadą Fouriera, gdy:
dla m: 1  a  c  0
dla s: 2a  b  c  0
Otrzymujemy zatem równanie:
RS a  1  c
Tb  2  c

LM at2 OP  L v0 Oc  1
MN s PQ MN at PQ
na podstawie którego można sformułować zależność funkcyjną
spełniającą tw.Buckinghama, które stwierdza istnienie funkcji
s v
F 2 , 0  0 , następująco:
at at
FG
H
IJ
K
c
v0 I
F
 A G J
2
H at K
at
s
(aw)
gdzie A oraz c oznaczają współczynniki liczbowe, które należy
wyznaczyć doświadczalnie i które odpowiadają tylko tym zakresom
zmiennych, dla których zjawisko badano np.: v0 (...), a(...), t(...).
Znany wszakże jest model ruchu jednostajnie zmiennego w postaci
at 2
jawnej: s  v0t  2 ,
albo uwikłanej :
s
v0 1


2
at
2
at
(t)
FG s , v0 IJ  0. Ten ogólny zapis
H at2 at K
Wynika z niego, iż istnieje funkcja F
funkcji "F" wyrażeń bezwymiarowych jest identyczny jak w
twierdzeniu Buckinghama, konsekwencje dokładnej postaci tej funkcji
pochodzące z teorii (t) lub z analizy wymiarowej (aw) są jednak
różne.
Łatwo to wyjaśnić na wykresie obu zależności:
Zadania
1.
Wyznaczyć rozkład temperatury Tx wzdłuż długości
jednorodnego, izolowany cieplnie pręta, w pewnej chwili  jesli
w jednym jego końcu, w punkcie x=0, utrzymujemy temperaturę
T z zewnętrznego źródła ciepła. Niech Tx =f(T,x,,a),
2 1
gdzie: a - współczynnik przewodności ciepła, m  s
2.
Wyznaczyć
zespół
liczb
bezwymiarowych
charakteryzujących izotermiczny przepływ płynu. Niech (F,v,l,
,,,g) = 0, gdzie:
2
F - siła, kg  m  s
v - prędkość, m  s1
l - wymiar liniowy, m
3
 - gęstość płynu, kg  m
1 1
 - lepkość dynamiczna płynu, kg  m  s
2
 - napięcie powierzchniowe, kg  s
2
g - przyspieszenie grawitacyjne, m  s
3.
Określić liczby bezwymiarowe, które trzeba uwzględnić
przy pomiarze charakterystyki oporów przepływu w pewnym
przewodzie rurowym.
Niech (p,l,d,,v,) = 0, gdzie:
1 2
p - spadek ciśnienia, kg  m  s
l - długość przewodu, m
d - średnica przewodu, m
 - gęstość płynu, kg  m
3
v - prędkość przepływu, m  s
1
 - lepkość dynamiczna płynu, kg  m
1
 s1
4.
Określić opór aerodynamiczny P pojazdu jadącego ze stałą
prędkością v.
Niech P=f(,,v,l), gdzie:
2
P - siła oporu, kg  m  s
3
 - gęstość powietrza, kg  m
 - lepkość dynamiczna powietrza, kg  m 1  s1
1
v - prędkość jazdy, m  s
l - charakterystyczny wymiar, m