na stronie http://mathworld.wolfram.com/news/2002-08

1
Algebraiczne aspekty kryptograi
Zestaw 5.
1. Poni»ej jest zaszyfrowany tekst (w systemie RSA), który kto± przesªaª do u»ytkownika posªugu-
j¡cego si¦ kluczem publicznym (n, e), gdzie n = 156287, e = 181:
12365104319102929906829403503913268905517614062006829411786403947001667907542208437
30899440638601084420415730139860308910280620877730280620722330280620452570057768944
72057194060703122139102274099054102274082184119266069087023693152070123915023693113
085080934010738023693069087057194057352087773
Odszyfruj t¦ wiadomo±¢, je»eli wiadomo, »e do zakodowania liter 26-literowego alfabetu u»yto
kodów ASCII, natomiast nie jest znany sposób podziaªu na bloki i sposób szyfrowania bloków.
Zadanie pochodzi z ksi¡»ki [5](str. 129), w której mo»na znale¹¢ wiele bardzo interesuj¡cych informacji dotycz¡cych poszukiwania wielkich liczb pierwszych oraz rozkªadów na cznniki liczb naturalnych.
Bardzo ciekawe informacje dotycz¡ce zagadnienia rozkªadu liczb naturalnych na iloczyn mo»na znale¹¢
na stronie http://mathworld.wolfram.com/news/2002-08-07_primetest/ .
2. System kryptograczny Massey'a-Omury. Wszyscy u»ytkownicy systemu u»ywaj¡ ustalonego,
powszechnie znanego ciaªa sko«czonego Fq . Ka»dy u»ytkownik X wybiera w tajemnicy przed innymi
losow¡ liczb¦ eX mi¦dzy 0 i q − 1 tak, by N W D(eX , q − 1) = 1, i wyznacza liczb¦ dX odwrotn¡ do eX
modulo q − 1. Je»eli u»ytkownik A chce wysªa¢ wiadomo±¢ P do u»ytkownika B , najpierw mu wysyªa
P eA . B odsyªa mu P eA eB = (P eA )eB , a nast¦pnie A wysyªa P eA eB dA = P eB i B mo»e rozszyfrowa¢
wiadomo±¢ podnosz¡c P eB do pot¦gi dB . Zilustruj przykªadem przekaz informacji za pomoc¡ tego
systemu. Wska» gªówn¡ sªabo±¢ tego systemu.
3. System kryptograczny ElGamala. Najpierw ustalamy bardzo du»e ciaªo sko«czone Fq i jeden
jego element g (najlepiej gnerator multyplikatywnej grupy ciaªa Fq . Przyjmujemy, »e elementy ciaªa Fq
s¡ odpowiednikami jednostek tekstu otwartego. Ka»dy u»ytkownik A wybiera losowo liczb¦ caªkowit¡
a = aA z przedziaªu 0 < a < q − 1. Jest to tajny klucz rozszyfrowuj¡cy. Powszechnie znanym
kluczem szyfruj¡cym jest element g a ciaªa Fq . Je»eli chcemy wysªa¢ komunikat P do u»ytkownika A,
to wybieramy losow¡ liczb¦ k i wysyªamy nast¦puj¡c¡ par¦ elementów Fq : (g k , P (g a )k ). Jak A ma
odszyfrowa¢ t¦ wiadomo±¢.
4. Niech
p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡ Fermata 65 537 i niech g = 5.
Otrzymujesz wiadomo±¢
(29095, 23846), zaszyfrowan¡ przez twojego przyjaciela w systemie kryptogracznym ElGamala w
grupie F∗p , za pomoc¡ twojego publicznego klucza g a . Twoim tajnym kluczem rozszyfrowuj¡cym jest
a = 13908. Umówili±cie si¦, »e liczby caªkowite z Fp b¦d¡ przeksztaªcane na trigramy 31-literowego
alfabetu z zadania 6 (zestaw 5) przez zapisanie ich w systemie pozycyjnym o podstawie 31. Kolejne
cyfry na miejscach rz¦dów 312 , 311 , i 310 = 1 s¡ odpowiednikami liczbowymi kolejnych liter trigramu.
Odczytaj wiadomo±¢.
5. Zaªó»my, »e jako jednostek tekstu otwartego u»ywamy
18-literowych bloków zapisanych w
zwykªym 26-literowym alfabecie, przy czym odpowiednikiem literowym takiego bloku jest 18-cyfrowa
liczba w systemi o podstawie 26 (zapisana w malej¡cym porz¡dku pot¦g podstawy 26). Odszyfruj
wiadom±¢
(82746592004375034872957717, 164063768437915425954819351)
zaszyfrowan¡ w systemie ElGamala, w ciele prostym maj¡cym 297262705009139006771611927 elementów, za pomoc¡ twojego publicznego klucza g a . Twój klucz tajny to a = 10384756843984756438549809.