Algorytmy i Struktury Danych.

Transkrypt

Rekurencja
dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak
[email protected]
Jan Długosz University, Poland
Wykład 2
Bożena Woźna-Szcześniak (AJD)
Wykład 2
1 / 47
Rekurencja
Rekurencja albo rekursja (ang. recursion, z łac. recurrere,
przybiec z powrotem) to w matematyce i informatyce (np.
programowaniu) odwoływanie sie˛ np. definicji lub funkcji czy
procedury do samej siebie.
Wykład 2
2 / 47
Rekurencja
Rekurencja albo rekursja (ang. recursion, z łac. recurrere,
przybiec z powrotem) to w matematyce i informatyce (np.
programowaniu) odwoływanie sie˛ np. definicji lub funkcji czy
procedury do samej siebie.
Rekurencyjny - mat. dajacy
˛ sie˛ wyrazić za pomoca˛ wielkości
uprzednio znanych; wzór rekurencyjny - wzór pozwalajacy
˛
obliczyć wyrazy ciagu
˛ na podstawie jednego lub kilku wyrazów
poprzedzajacych.
˛
<ang. recurrent, fr. recurrent, z łac. recurrens
’powracajacy’>.
˛
[Słownik Wyrazów Obcych, PWN, 1996]
Wykład 2
2 / 47
Rekurencja
Rekurencja polega na rozwiazywaniu
˛
problemu w oparciu o
rozwiazania
˛
tego samego problemu dla danych o mniejszych
rozmiarach.
Wykład 2
3 / 47
Rekurencja
˛
rozwiazania
˛
rozmiarach.
W informatyce rekurencja jest technika˛ programistyczna,
˛
polegajac
˛ a˛ na wywoływaniu funkcji wewnatrz
˛ niej samej.
Wykład 2
3 / 47
Rekurencja
˛
rozwiazania
˛
rozmiarach.
˛
polegajac
˛ niej samej.
Rekurencja jest jedna˛ z najbardziej interesujacych
˛
technik
programistycznych i to w dodatku technika˛ zaskakujaco
˛
efektywna.
˛
Wykład 2
3 / 47
Rekurencja
˛
rozwiazania
˛
rozmiarach.
˛
polegajac
˛ niej samej.
˛
technik
˛
efektywna.
˛
Rekurencyjny opis obliczeń jest na ogół bardziej zwarty niż opis
tych samych obliczeń bez użycia rekurencji. Taki opis jest
stosowany np. przy opisie fraktali.
Wykład 2
3 / 47
Rekurencja
˛
rozwiazania
˛
rozmiarach.
˛
polegajac
˛ niej samej.
˛
technik
˛
efektywna.
˛
Rekurencyjny opis obliczeń jest na ogół bardziej zwarty niż opis
tych samych obliczeń bez użycia rekurencji. Taki opis jest
stosowany np. przy opisie fraktali.
Niektóre rozwiazania
˛
rekurencyjne moga˛ być nieefektywne. W
takich przypadkach można je zastapić
˛ rozwiazaniami
˛
wykorzystujacymi
˛
zwyczajna˛ petle lub stos.
Wykład 2
3 / 47
Czym jest fraktal?
“Fraktalem jest wszystko...”
Benoit Mandelbrot
Wykład 2
4 / 47
Czym jest fraktal?
Benoit Mandelbrot
Fraktal jest figura˛ geometryczna˛ o złożonej strukturze, nie bed
˛ aca
˛
krzywa,
˛ powierzchnia˛ ani bryła˛ w rozumieniu klasycznej
matematyki; charakteryzuje ja˛ ułamkowy wymiar (stad
˛ nazwa
fraktal -ang. ’fraction’ ułamek, łac. ’fractus’ złamany).
Wykład 2
4 / 47
Czym jest fraktal?
Benoit Mandelbrot
˛ aca
˛
krzywa,
˛ nazwa
Fraktale sa˛ bardzo skomplikowane, toteż dopiero komputery
umożliwiły ich głebsze
˛
poznanie.
Wykład 2
4 / 47
Czym jest fraktal?
Benoit Mandelbrot
˛ aca
˛
krzywa,
˛ nazwa
˛
poznanie.
Wielu badaczy twierdzi, że geometria fraktali jest geometria˛
przyrody.
Wykład 2
4 / 47
Czym jest fraktal?
Benoit Mandelbrot
˛ aca
˛
krzywa,
˛ nazwa
˛
poznanie.
Wielu badaczy twierdzi, że geometria fraktali jest geometria˛
przyrody.
Fraktale dały poczatek
˛
nowej geometrii zwanej geometria˛
fraktalna,
˛ która pozwala modelować wiele obiektów i zjawisk
wystepuj
˛ acych
˛
w przyrodzie i nie tylko ...
Wykład 2
4 / 47
Fraktale
Najstarsze fraktale wymyślili
matematycy na poczatku
˛
XX-wieku,
w wyniku zmagań z definicja˛ wymiaru
i krzywej.
Najwybitniejszym twórca˛ fraktali jest
amerykański matematyk i informatyk
polskiego pochodzenia - Benoit
Mandelbrot. Na miedzynarodowym
˛
kongresie matematyków w
Warszawie w roku 1983 stwierdził, że
jest jeszcze za wcześnie na
Źródło: http://en.
formułowanie ścisłej definicji fraktala wikipedia.org/wiki/
ponieważ nie znamy dostatecznie
Benoit_Mandelbrot
głeboko
˛
istoty tego pojecia.
˛
Wykład 2
5 / 47
Cechy fraktali
Fraktale maja˛ ceche˛ samopodobieństwa.
Nie sa˛ określone wzorem matematycznym, tylko zależnościa˛
rekurencyjna.
˛
Sa˛ obiektami których wymiar nie jest liczba˛ całkowita.
˛
Każdy fraktal można w nieskończoność przybliżać.
Wykład 2
6 / 47
Cechy fraktali
Fraktale maja˛ ceche˛ samopodobieństwa.
Nie sa˛ określone wzorem matematycznym, tylko zależnościa˛
rekurencyjna.
˛
Sa˛ obiektami których wymiar nie jest liczba˛ całkowita.
˛
Każdy fraktal można w nieskończoność przybliżać.
Kalafior
Brokuł
Drzewo
Wykład 2
6 / 47
Fraktale - Zbiór Cantora
Pierwsze fraktale powstały na przełomie XIX i XX wieku. Ich
twórcami byli matematycy: Georg Cantor, David Hilbert, Helge
von Koch oraz Wacław Sierpiński.
Wykład 2
7 / 47
W roku 1883 Georg Cantor zaproponował prosta˛ konstrukcje,
˛ w
wyniku której otrzymuje sie˛ zbiór nazwany jego imieniem.
Konstrukacja: Odcinek [0, 1] dzielimy na trzy równe cz˛eści i
usuwamy środkowa.
˛ Z pozostałymi dwoma odcinkami
postepujemy
˛
analogicznie. W konsekwencji takiego postepowania
˛
w granicy nieskończonej ilości kroków powstaje zbiór punktów
Cantora.
Wykład 2
7 / 47
W roku 1883 Georg Cantor zaproponował prosta˛ konstrukcje,
˛ w
wyniku której otrzymuje sie˛ zbiór nazwany jego imieniem.
Konstrukacja: Odcinek [0, 1] dzielimy na trzy równe cz˛eści i
usuwamy środkowa.
˛ Z pozostałymi dwoma odcinkami
postepujemy
˛
analogicznie. W konsekwencji takiego postepowania
˛
w granicy nieskończonej ilości kroków powstaje zbiór punktów
Cantora.
Wykład 2
7 / 47
Fraktale - Krzywa Kocha
W 1904 roku szwedzki matematyk Helge von Koch zaproponował
konstrukcje˛ nazywana˛ potocznie płatkiem śniegu.
Wykład 2
8 / 47
1
Wykład 2
9 / 47
1
2
Wykład 2
9 / 47
3
Wykład 2
10 / 47
3
4
Wykład 2
10 / 47
0)
1)
3)
4)
2)
Wykład 2
11 / 47
Fraktale - Wacław Sierpiński
W 1916 roku Wacław Sierpiński
(14.03.1882- 21.10.1969) rozszerzył
zbiór Cantora na dwa wymiary.
Kwadrat jednostkowy dzielimy na
dziewieć
˛ i wyrzucamy środkowy.
Postepujemy
˛
tak z każdym nowo
powstałym kwadratem. Powstały
fraktal nazywany dywanem
Sierpińskiego.
Analogicznie można postapić
˛ z
trójkatem,
˛
którego boki dzielimy na
dwie cz˛eści i powstałe punkty
łaczymy
˛
co doprowadzi do powstania
kolejnego trójkata,
˛ który usuwamy. Z
pozostałymi trzema postepujemy
˛
podobnie, itd.
Źródło:http:
//www.gap-system.
org/~history/
Biographies/
Sierpinski.html
Wykład 2
12 / 47
Fraktale - Trójkat
˛ Sierpińskiego
Wykład 2
13 / 47
Fraktale - Trójkat
˛ Sierpińskiego
Wykład 2
14 / 47
Fraktale - Dywan Sierpińskiego
Wykład 2
15 / 47
Fraktale - Krzywa Hilberta
Krzywa Hilberta - to przykład krzywej, która wypełnia całkowicie
płaszczyzne,
˛ tzn. przechodzi przez wszystkie punkty płaszczyzny.
Konstrukcja tej krzywej została podana przez Davida Hilberta w
1891 jako wariant krzywej Peano.
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Wykład 2
16 / 47
Inne fraktale
Zbiory Julii:
F (0) = p; F (n + 1) = F (n)2 + c;
gdzie:
p - punkt płaszczyzny
c - liczba zespolona bed
˛ aca
˛ parametrem zbioru.
Dla różnych c otrzymujemy różne zbiory.
Wykład 2
17 / 47
Inne fraktale
Zbiory Mandelbrota:
F (0) = (0, 0); F (n + 1) = F (n)2 + c;
gdzie:
c - liczba zespolona bed
˛ aca
˛ parametrem zbioru.
Dla różnych c otrzymujemy różne zbiory.
Wykład 2
18 / 47
Rekurencja - podstawowe informacje
Metoda rekurencyjna cyklicznie wywołuje sama˛ siebie, za każdym
razem przekazujac
˛ w wywołaniu inne argumenty.
Przekazanie argumentu o pewnej wartości powoduje, że metoda
kończy działanie bez kolejnego wywołania samej siebie. Sytuacja
ta jest nazywana przypadkiem bazowym.
Gdy najbardziej ”wewnetrzne”
˛
wywołanie metody zostaje
zakończone, rozpoczyna sie˛ proces zakańczania kolejnych
wywołań, który w końcu doprowadza do zakonczenia
poczatkowego wywołania.
Wykład 2
19 / 47
Funkcja silnia n! = 1 · 2 · . . . · n - wersja iteracyjna
Require: Liczba n
1: i := 1;
2: silnia := 1;
3: while i <= n do
4:
silnia := silnia * i;
5:
i:= i+1;
6: end while
7: return silnia;
Wykład 2
20 / 47
Funkcja silnia n! = 1 · 2 · . . . · n - kod C++
#include <iostream>
using namespace std;
long long silnia(int n){
if (n==0) return 1;
int i = 1; long long s = 1;
while (i <= n) s = s * i++;
return s;
}
int main () {
cout << "Podaj liczbe n = ";
int n; cin >>n;
long long m = silnia (n);
cout << n << "! = " << m << endl;
return 0;
}
Wykład 2
21 / 47
Rekurencja - funkcja silnia
silnia(n) =
1
n ∗ silnia(n − 1)
dla n = 0
dla n > 0
Wykład 2
22 / 47
Rekurencja - funkcja silnia
silnia(n) =
1
n ∗ silnia(n − 1)
dla n = 0
dla n > 0
Jak to wyglada w praktyce dla n = 3 (silnia(3) =?)
1
n = 0? nie, zatem oblicz 3 ∗ silnia(2)
2
3
4
n = 0? tak, zwróć 1.
5
zwróć 1 ∗ 1
6
zwróć 1 ∗ 1 ∗ 2
7
zwróć 1 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 3
8
Zatem silnia(3) = 6 !
Wykład 2
22 / 47
Funkcja silnia - wersja rekurencyjna - kod C++
#include <iostream>
long long silnia(int n){
if (n==0) return 1;
else return n*silnia(n-1);
}
int main(){
int n; cin >>n;
long long m = silnia (n);
cout << n << "! = " << m << endl;
return 0;
}
Wykład 2
23 / 47
Liczby trójkatne
˛
Liczby trójkatne
˛
to ciag
˛ liczb: 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . (gdzie
trzykropek oznacza, ciag
˛ jest nieskończony).
n-ty element ciagu
˛ jest uzyskiwany poprzez dodanie liczby n do
poprzedniego elementu ciagu.
˛
A zatem, drugi element ciagu
˛ to 2
plus wartość pierwszego elementu (czyli 1), co daje 3. Trzeci
element ciagu
˛ to 3 plus 3 (wartość drugiego elementu), co daje 6;
i tak dalej.
Liczby trójkatne
˛
można przedstawić za pomoca˛ odpowiedniej
ilości obiektów (kulek, pudełek, itp.) rozmieszczonych w formie
trójkata.
˛
Wykład 2
24 / 47
Liczby trójkatne
˛
Wykład 2
25 / 47
Algorytm obliczajacy
˛ n-ta˛ liczbe˛ trójkatn
˛ a˛
Algorytm: triangle (n)
1: if n< 1 then
2:
return 0;
3: else
4:
if n=1 then
5:
return 1;
6:
else
7:
return n+ triangle(n - 1);
8:
end if
9: end if
Wykład 2
26 / 47
Funkcja triangle - wersja nierekurencyjna - kod C++
#include <iostream>
int triangle (int n) {
int total = 0;
while (n>0) {
total = total +n;
--n;
}
return total;
}
int main(){
int n; cin >> n;
int m = triangle (n);
cout << n <<"-ta liczba trojkatna: " << m << endl;
}
Wykład 2
27 / 47
Funkcja triangle - wersja rekurencyjna - kod C++
#include <iostream>
int triangle (int n)
{
if (n< 1) return 0;
else
if (n==1) return 1;
else return n+triangle(n-1);
}
int main(){
int n; cin >> n;
int m = triangle (n);
cout << n <<"-ta liczba trojkatna: " << m << endl;
}
Wykład 2
28 / 47
Rekurencja - obliczanie an
n
a = pow(a, n) =
1
a ∗ pow(a, n − 1)
dla n = 0
dla n > 0
Wykład 2
29 / 47
Rekurencja - obliczanie an
n
a = pow(a, n) =
1
a ∗ pow(a, n − 1)
dla n = 0
dla n > 0
Jak to wyglada w praktyce dla a = 2 i n = 3 (pow(2, 3) =?)
1
n = 0? nie, zatem oblicz 2 ∗ pow(2, 2)
2
3
4
n = 0? tak, zwróć 1.
5
zwróć 1 ∗ 2
6
zwróć 1 ∗ 2 ∗ 2
7
zwróć 1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2
8
Zatem pow(2, 3) = 8 !
Wykład 2
29 / 47
Funkcja pow - wersja rekurencyjna kod C++
#include <iostream>
long long pow(int a, int n){
if (n==0) return 1;
else return a*pow(a,n-1);
}
int main(){
cout << "Podaj liczby a i n = ";
int n,a; cin >> a >> n;
long long m = pow (a,n);
cout << a << "^" << n << "=" << m << endl;
}
Wykład 2
30 / 47
Rekurencja - algorytm Euklidesa
Dane: a, b - dwie liczby naturalne
Dane wyjściowe: liczba naturalna bed
˛ aca
˛
najwiekszym
˛
wspólnym dzielnikiem liczb a i
b.
Rozwiazanie
˛
rekurencyjne:
a
NWD(a, b) =
NWD(b, a mod b)
dla b = 0
dla b > 0
Euklides z
Aleksandrii ok.
365-300 p.n.e.
Wykład 2
31 / 47
Rekurencja - algorytm Euklidesa
NWD(a, b) =
a
NWD(b, a mod b)
dla b = 0
dla b > 0
Przykład:
NWD(1071, 1029) = NWD(1029, 1071mod1029 = 42) =
NWD(1029, 42) = NWD(42, 1029mod42 = 21) = NWD(42, 21) =
NWD(21, 42mod21 = 0).
Stad:
˛ NWD(1071, 1029) = 21.
Wykład 2
32 / 47
Funkcja NWD - kod C++
#include <iostream>
long long NWD(int a, int b){
if (b==0) return a;
else return NWD(b,a%b);
}
int main(){
cout << "Podaj liczby a i b = ";
int a,b; cin >> a >> b;
long long m = NWD(a,b);
cout << "NWD(" << a << "," << b << ")=" << m;
cout << endl;
}
Wykład 2
33 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego
Liczby naturalne tworzace
˛ ciag
˛ o takiej własności, że kolejny
wyraz (z wyjatkiem
˛
dwóch pierwszych) jest suma˛ dwóch
poprzednich nazywa sie˛ liczbami Fibonacciego.
Wykład 2
34 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego
˛ ciag
wyraz (z wyjatkiem
˛
Poczatkowe
˛
wartości tego ciagu
˛ to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . .
Wykład 2
34 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego
˛ ciag
wyraz (z wyjatkiem
˛
Poczatkowe
˛
wartości tego ciagu
˛ to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . .
Ciag
˛ Fibonacciego zawdziecza
˛
swoja˛ nazwe˛ włoskiemu
matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem
Fibonacci wydał w 1202 roku słynna˛ ksieg
˛ e˛ Liber Abaci
zawierajac
˛ a˛ opis tego ciagu
˛ jako rozwiazanie
˛
zadania o
rozmnażaniu sie˛ królików. Ojciec Leonarda nosił przydomek
Bonacci, stad
˛ syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn
dobrotliwego).
Wykład 2
34 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego - rozmnażanie królików
Zadanie Fibonacciego: Ile par królików może spłodzić jedna
para w ciagu
˛ roku, jeśli:
każda para rodzi nowa˛ pare˛ w ciagu
˛ miesiaca,
˛
para staje sie˛ płodna po miesiacu,
˛
króliki nie umieraja.
˛
Wykład 2
35 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego - Złoty podział
W wyniku podzielenia każdej z liczb ciagu
˛ przez jej poprzednik
otrzymuje sie˛ iloraz oscylujacy
˛ wokół 1, 618 - liczby złotego
podziału. W miare˛ zwiekszania
˛
sie˛ liczb zmniejszaja˛ sie˛
odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złota˛
liczba:
˛
√
5+1
= 1, 6180339887498948482...
Φ=
2
Wykład 2
36 / 47
Ciag
˛ przez jej poprzednik
˛
liczba:
˛
√
5+1
= 1, 6180339887498948482...
Φ=
2
... 233/144 = 1.61805555556
144/89 = 1.61797752809
89/55 = 1.61818181818
55/34 = 1.61764705882
34/21 = 1.61904761905
21/13 = 1.61538461538 ...
Wykład 2
36 / 47
Ciag
˛ przez jej nastepnik
˛
˛
liczba:
˛
√
5−1
= 0, 618033989...
Φ=
2
Wykład 2
37 / 47
Ciag
˛ przez jej nastepnik
˛
˛
liczba:
˛
√
5−1
= 0, 618033989...
Φ=
2
... 144/233 = 0.618025751073
89/144 = 0.618055555556
55/89 = 0.61797752809
34/55 = 0.618181818182
21/34 = 0.617647058824
13/21 = 0.619047619048 ...
Wykład 2
37 / 47
Ciag
Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota
proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) - podział
odcinka na dwie cz˛eści tak, by stosunek długości dłuższej z nich
do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do cz˛eści dłuższej.
Φ=
a+b
a
=
a
b
Wykład 2
38 / 47
Ciag
Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota
proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) - podział
odcinka na dwie cz˛eści tak, by stosunek długości dłuższej z nich
do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do cz˛eści dłuższej.
Φ=
a+b
a
=
a
b
Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciagu
˛
Fibonacciego posługiwał sie˛ w swoim malarstwie Leonardo da
Vinci i Botticelli.
Wykład 2
38 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego - gdzie go można znaleźć ?
Ciag
˛ Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody,
ciag
˛ taki opisuje np. liczbe˛ pedów
˛
rośliny jednostajnie
przyrastajacej
˛ w latach.
W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii
spiralnych, wychodzacych
˛
ze środka. Liczba linii rozwijajacych
˛
sie˛
zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34
skreconych
˛
w przeciwna˛ strone.
˛
Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych
roślinach (np. kalafior, ananas). Liczby spiral wystepuj
˛ acych
˛
w
tych roślinach sa˛ kolejnymi liczbami Fibonacciego.
Źródło: http://www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego
Wykład 2
39 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego - algorytm rekurencyjny
Ciag
˛ Fibonacciego definiujemy rekurencyjnie w sposób
nastepuj
˛ acy:
˛
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn−1 + Fn−2 , dla n ≥ 2
Require: Liczba n {F0 , . . . , Fn−1 , Fn }
Algorytm: FIB (n)
1: if n < 2 then
2:
return n;
3: else
4:
return FIB(n − 2) + FIB(n − 1);
5: end if
Wykład 2
40 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego - definicja rekurencyjna
Definicja: F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 dla n ≥ 2
F5
F3
F4
F3
F2
F1
F0
F2
F1
F2
F1
F1
F1
F0
F0
Wykład 2
41 / 47
Funkcja Fibonacci - kod C++
#include <iostream>
long long Fibonacci(int n){
if (n < 2) return n;
else return Fibonacci(n-2) + Fibonacci(n-1);
}
int main(){
int n; cin >> n;
for (int i=0; i<=n ; i++)
cout << Fibonacci(i) << "\t";
cout << endl;
return 0;
}
Wykład 2
42 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego - spirala

 0
1
f (n) =

f (n − 1) + f (n − 2)
if n = 0
if n = 1
if n ≥ 2
Wykład 2
43 / 47
Efektywność rekurencyjnego wykonania funkcji
Fibonacciego
n
6
10
15
20
25
30
Liczba dodawań
12
88
986
10 945
121 392
1 346 268
Liczba wywołań
25
177
1 973
21 891
242 785
2 692 537
Wykład 2
44 / 47
Ciag
˛ Fibonacciego - algorytm iteracyjny
Require: Liczba n {F0 , . . . , Fn−1 , Fn }
Algorytm: FIB (n)
1: if n < 2 then
2:
return n;
3: else
4:
f 0 := 0;
5:
f 1 := 1;
6:
for i := 2 → n do
7:
m := f 0 + f 1;
8:
f 0 := f 1;
9:
f 1 := m;
10:
end for
11: end if
12: return m;
Wykład 2
45 / 47
Funkcja Fibonacci - kod C++
#include <iostream>
long long Fibonacci(int n){
if (n < 2) return n;
else {
long long f0=0,f1=1,m;
for(int i=2; i<=n ; i++){
m = f0 + f1; f0 = f1; f1 = m;
}
return m;
}
}
int main(){
int n; cin >> n;
for (int i=0; i<=n ; i++)
cout << Fibonacci(i) << "\t";
cout << endl;
return 0;
}
Wykład 2
46 / 47
Efektywność iteracyjnego wykonania funkcji
Fibonacciego
n
6
10
15
20
25
30
Liczba przypisań
algorytm iteracyjny
15
27
42
57
72
87
Liczba wywołań
algorytm rekurencyjny
25
177
1 973
21 891
242 785
2 692 537
Wykład 2
47 / 47
Przykład rekurencji bez końca
Algorytm: StadDoWiecznosci (n)
1: if n=1 then
2:
return 1;
3: else
4:
if (n mod 2)=0 then
5:
return StadDoWiecznosci(n-2)*n;
6:
else
7:
return StadDoWiecznosci(n-1)*n;
8:
end if
9: end if
Wykład 2
48 / 47

Algorytmy i Struktury Danych.

Transkrypt

Podobne dokumenty

Tematy prac magisterskich 2010/ 2011

Tematy Prac Magisterskich

KURS JĘZYKA NIEMIECKIEGO W BRANŻY MEDYCZNEJ

Międzynarodową Konferencję Naukową nt: Doradztwo zawodowe

Podstawy Informatyki dla Nauczyciela

Podstawy Informatyki

Starosta Powiatu Kłobuckiego Roman Minkina wspomina studia w