Warunki brzegowe równania dyfuzji

Modelowanie
i obliczenia techniczne
Równania
różniczkowe
Numeryczne rozwiązywanie równań
różniczkowych cząstkowych
Przykłady systemów opisywanych
modelem o parametrach rozłożonych
Modelowanie systemów
technicznych często wymaga ich
opisu nie tylko w funkcji czasu, ale
też współrzędnych przestrzennych
Opis matematyczny uwzględnia
wówczas zazwyczaj czas i jeden,
dwa lub trzy wymiary przestrzenne
Modelowany proces można w takim
przypadku opisać równaniami
różniczkowymi cząstkowymi
Źródło: http://en.wikipedia.org
Rozkład pola magnetycznego
w okolicy ferromagnetyka
Zgniatanie elementów karoserii
samochodu
2
Równania różniczkowe cząstkowe
Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym
występuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej zmiennych
oraz jej pochodne cząstkowe.
Równanie różniczkowe cząstkowe n-tego rzędu można zapisać:
 (n ) (n −1)

′
F  u (x ), u (x ),...u (x ), u (x ), x  = 0


gdzie u jest niewiadomą funkcją wektora zmiennych
niezależnych x.
3
Liniowe równania różniczkowe
cząstkowe 2 rzędu
W modelowaniu technicznym szczególne zastosowanie ma
liniowe równanie różniczkowe cząstkowe 2 rzędu, które można
zapisać:

∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u 

A 2 +B
+ C 2 = F  x, y, u, , 
∂x
∂xy
∂y
∂x ∂y 

gdzie x oraz y są zmiennymi niezależnymi.
Mogą to być wymiary przestrzenne, albo jedną z nich może być
czas.
4
Klasyfikacja liniowych równań
różniczkowych cząstkowych 2. rzędu
Równanie eliptyczne:
B 2 − 4 AC < 0
Równanie paraboliczne:
B 2 − 4 AC = 0
Równanie hiperboliczne:
B 2 − 4 AC > 0
5
Przykłady liniowych równań
różniczkowych cząstkowych 2. rzędu
Równanie eliptyczne
Może to być równanie Poissona używane do opisu rozkładu
pól prędkości cieczy oraz potencjałów pól siłowych w
obecności ich źródeł. Równanie zapisuje się następująco:
∂ 2u ∂ 2u
∇u = 2 + 2 = f ( x , y )
∂x
∂y
Szczególnym przypadkiem dla f=0 jest równanie Laplace’a
używane do opisu potencjału pól siłowych z wyłączeniem
źródeł:
∂ 2 u ∂ 2u
+ 2 =0
2
∂x
∂y
6
Przykłady liniowych równań
różniczkowych cząstkowych 2. rzędu
Równanie paraboliczne
Może to być równanie dyfuzji używane do opisu zależności
rozkładu przestrzennego od czasu. Równanie zapisuje się
następująco:
∂u
∂ 2u
=D 2
∂t
∂x
gdzie D jest nazywane współczynnikiem dyfuzji.
Równanie opisuje proces rozprzestrzeniania się materii lub
energii w środowisku, np. elektronów w półprzewodniku, ciepła
w bryle materiału itd.
7
Przykłady liniowych równań
różniczkowych cząstkowych 2. rzędu
Równanie hiperboliczne
Może to być równanie falowe używane do opisu rozkładu
funkcji w czasie i przestrzeni. Równanie zapisuje się
następująco:
2
∂ 2u
∂
u
2
=
v
∂t 2
∂x 2
gdzie v jest prędkością propagacji fali.
Równanie ma rozwiązania oscylacyjne i opisuje fale
elektromagnetyczne, akustyczne, mechaniczne oraz drgania,
np. struny.
8
Warunki brzegowe dla równań
różniczkowych cząstkowych
Warunki brzegowe definiują warunki na granicy (brzegu)
analizowanego obszaru. Dzielimy je na:
Warunki Dirichleta – zadana, stała wartość funkcji na brzegu:
u (0 ) = U
Warunki Neumanna – zadana, stała wartość pochodnej na
brzegu w kierunku do niego prostopadłym:
∂u
(0) = U ′
∂n
9
Dyskretyzacja równań różniczkowych
cząstkowych
Numeryczne rozwiązywanie równań
różniczkowych cząstkowych wymaga
dyskretyzacji analizowanego obszaru
zmiennych niezależnych.
Równania różniczkowe są wówczas
transformowane do równań
różnicowych w węzłach powstałej
siatki.
Wyróżnia się dyskretyzację
równomierną (metoda różnic
skończonych) oraz nierównomierną
(metoda elementów skończonych)
Przykład dyskretyzacji
równomiernej
Przykład dyskretyzacji
nierównomiernej
10
Numeryczne rozwiązywanie równania
różniczkowego – metoda różnic
skończonych
Zamiana zależności różniczkowych na różnicowe w węzłach
u ( xi +1 , y ) − u ( xi −1 , y ) ui +1, j − ui −1, j
∂u ( x, y )
≈
=
Pierwsza pochodna:
∂x x = xi , y = y j
xi +1 − xi −1
2h
Druga pochodna:
ui +1, j − 2ui , j + ui −1, j
∂ 2 u ( x, y )
≈
2
2
∂x
h
x= x , y= y
i
Laplasjan:
∇ u ( x, y )
2
x = xi , y = y j
j
1
≈ 2 (ui +1, j + ui , j +1 + ui −1, j + ui , j −1 − 4ui , j )
h
h – odległość między węzłami siatki
11
Numeryczne rozwiązywanie równania
różniczkowego – warunki brzegowe
Poniższe warunki dla ustalenia uwagi są definiowane dla brzegu
wzdłuż wymiaru x dla x=x0.
Warunek Dirichleta:
u ( x0 , y ) = g ( y ) → u0, j = g ( y j )
Warunek Neumanna:
y
u1, j − u−1, j
∂u ( x, y )
= f (y) →
=
∂n
2h
= f ( y j ) → u−1, j = u1, j − 2hf ( y j )
u −1, j – sztuczny węzeł poza obszarem
x
12
Przykład rozwiązania równania
różniczkowego – nieustalony przepływ
ciepła
W chwili zerowej do następuje skokowy wzrost temperatury na jednym
końcu metalowego pręta (l=1m) odizolowanego termicznie od
otoczenia. Stosuje się równanie dyfuzji z warunkami berzegowymi:
∂T ( x, t )
∂ 2T ( x, t )
=D
,
2
∂t
∂x
T ( x, t = 0) = 0,
T ( x = 0, t ) = T p ,
∂T ( x, t )
=0
∂x x =1,t
Dyskretyzacja równania i warunków brzegowych do N węzłów x i M węzłów
t daje zależności:
Ti , j +1 − Ti , j
∆t
T0, j = T p ,
=D
(∆x )2
∆t ⋅ D
(Ti +1, j − 2Ti, j + Ti −1, j )
→ Ti , j +1 = Ti , j +
2
(∆x )
Ti , 0 = 0
TN +1, j − TN −1, j
2 ∆x
Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j
= 0 → TN +1, j = TN −1, j → TN , j +1 = TN , j +
∆t ⋅ D
(TN −1, j − 2TN , j ) 13
2
(∆x )
Przykład rozwiązania równania
różniczkowego – nieustalony przepływ
ciepła
Powtórzenie rozwiązania dla każdego węzła daje układ równań,
który można zapisać za pomocą tzw. macierzy przekątniowej.
Każdy z węzłów zapisuje się w kolejnych elementach wektora, co
daje bardzo duży rozmiar macierzy. Alternatywą jest iteracyjne
rozwiązanie w czasie, zaczynając od t=0:
 T1 
 T1 
− 2 1 0.. 0   T1 
T 
T 
 1 −2 1
T 
...
t
D
∆
⋅
 2 = 2 +

 2 
 
 
(∆x )2  0 1 − 2 ...   
 
 

 
T
T
0
...
1
2
−

 TN  j
 N  j +1  N  j
14
Numeryczne rozwiązywanie równania
różniczkowego – metoda elementów
skończonych
Metoda elementów skończonych (ang: Finite Element Method)
- metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych,
opierająca się na podziale dziedziny na skończone elementy
(odcinki, trójkąty, ostrosłupy…), dla których rozwiązanie jest
przybliżane przez konkretne funkcje, tzw. funkcje węzłowe lub
funkcje kształtu. Funkcje te są tak definiowane, że przyjmują
wartość 1 dla danego węzła i 0 dla pozostałych.
Przykład funkcji węzłowych dla
przypadku jednowymiarowego
15
Cechy metody elementów
skończonych
Zalety:
możliwość zastosowania w przypadku złożonych kształtów,
Zmienna wielkość elementu zwalnia z konieczności gęstego
umieszczania węzłów w obszarach jednorodnych.
Wady:
możliwość akumulowania się błędów przybliżeń,
duża czasochłonność obliczeń, szczególnie w przypadku
nieliniowych zależności.
16
Przykład zastosowań metody
elementów skończonych
•Symulacja naprężeń w elementach konstrukcji architektonicznych
•Symulacja naprężeń i odkształceń elementów silników
•Badanie wytrzymałości skomplikowanych elementów mechanicznych
•Symulacja rozkładu pola elektromagnetycznego wewnątrz silników
elektrycznych
•Badanie strat ciepła w budynkach
•Animacje komputerowe giętkich brył i powierzchni
•Wiele innych
17