Analiza zespolona Lista 3 1. Obliczyć: (a) log (−1), (b) log (1 − i), (c

Analiza zespolona Lista 3 1. Obliczyć: (a) log (−1), (b) log (1 − i), (c

Analiza zespolona Lista 3
1. Obliczyć:
(a) log (−1), √
(c) log (−3 − 3 3i),
(e)
(g)
(i)
(k)
ii ,
(−1)i ,
cos( π3 + i),
tan( π4 + i).
(b) log (1 √
− i),
(d) log (8 3 − 8i),
√
(f ) ( 23 − 12 i)1+i ,
(h) sin i,
(j) ctg i,
2. Udowodnić tożsamości:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
(h)
sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 ,
sin(z1 − z2 ) = sin z1 cos z2 − cos z1 sin z2 ,
cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 ,
cos(z1 − z2 ) = cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2 ,
sin z1 + sin z2 = 2 sin 12 (z1 + z2 ) cos 21 (z1 − z2 ),
sin2 z + cos2 z = 1,
sinh(z1 + z2 ) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2 ,
cosh(z1 + z2 ) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2 ,
(i) cosh2 z − sinh2 z = 1,
(j) cos iz = cosh z,
(k) tan iz = − 1i tanh z,
(l) ctg iz = −i ctgh z,
(m) sinh iz = i sin z,
(n) cosh iz = cos z,
(o) tanh iz = i tan z,
(p) ctgh iz = 1i ctg z.
3. Wykazać, że istnieją liczby zespolone z, dla których | cos z| > 1 oraz | sin z| > 1.
4. Rozwiązć równania:
(a) cos z = 1,
(c) sin z = 5,
(e) cosh z = −1.
(b) sin z = 1,
(d) sinh z = 0,
5. Wykazać, że każde z rozwiązań równań cos z = 0 i sin z = 0 jest rzeczywiste.
6. Udowodnić, że | sin z| ≥ | sinh y| dla każdego z = x + iy.
7. Wykazać, że:
(a) ez = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy z = 2kπi, k ∈ Z,
(b) ez = −1 wtedy i tylko wtedy gdyz = (2k + 1)πi, k ∈ Z.
Kiedy ez1 = ez2 ?