Lista zadań 6

Zadania z fizyki
Wydział Elektroniki
6
Zasady zachowania energii i pędu
Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.
Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale
również obowiązkowe.
Zad. 1(c). Robotnik ładuje do ciężarówki 12-kilogramową skrzynię, przesuwając ją po pochylni
o długości 2,5 m, nachylonej pod kątem 30◦ do poziomu. Popycha on skrzynię w górę pochylni,
nadając jej taką prędkość, że dotarłaby ona dokładnie do szczytu pochylni, gdyby ruch odbywał
się bez tarcia. Tarcie okazuje się jednak istotne i skrzynia zatrzymuje się po przebyciu odległości
1,6 m w górę pochylni, a następnie zaczyna się zsuwać. (a) Znajdź wartość siły tarcia zakładając,
że jest ona stała. (b) Jaka będzie prędkość skrzyni, gdy dotrze ona z powrotem do podstawy równi?
Zad. 2. W ciężarówce zjeżdżającej autostradą ze wzniesienia o kącie nachylenia α wystąpiła awaria
hamulców. W momencie awarii prędkość ciężarówki wynosiła v0 , a opory ruchu w czasie jazdy
autostradą można zaniedbać. Po przejechaniu odległości L kierowca skręcił na pas awaryjnego
hamowania, który wznosi się pod kątem β do poziomu, a jego nawierzchnia zapewnia tarcie toczne
o współczynniku µ. Jak długi musi być ten pas, by ciężarówka zdołała wyhamować?
Zad. 3. Głaz o masie 28 kg zbliża się do podstawy wzniesienia z prędkością 15 m/s. Stok wzniesienia nachylony jest pod stałym kątem 40◦ do poziomu. Współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego pomiędzy powierzchnią stoku a głazem wynoszą, odpowiednio, 0,75 i 0,20. (a) Korzystając
z zasady zachowania energii znajdź największą wysokość ponad podstawą stoku, na jaką wzniesie
się głaz. (b) Czy głaz pozostanie w najwyższym punkcie stoku, do którego dotrze, czy też zsunie
się z powrotem w dół? (c) Jeśli głaz zacznie się znowu zsuwać, to jaką będzie miał prędkość, gdy
dotrze do podstawy stoku?
Zad. 4. Sztuczny zbiornik wodny o powierzchni 3 km2 ograniczony jest zaporą. Ściany zbiornika
są pionowe, a jego dno znajduje się na głębokości 150 m. U podstawy tamy (przy dnie zbiornika)
umieszczone są turbiny elektrowni wodnej, która przetwarza energię mechaniczną przepływającej
wody na energię elektryczną ze sprawnością 90%1 . (a) Jeśli przyjmiemy punkt odniesienia dla
energii potencjalnej u podstawy tamy, to jaka energia jest zgromadzona w najwyższej warstwie
wody o grubości 1 m? Gęstość wody wynosi 1000 kg/m3 . (b) Jaka objętość wody musi przepłynąć
przez turbiny, aby wygenerować 1000 kWh energii elektrycznej? (c) O jaką wysokość obniży się
poziom wody w zbiorniku, kiedy ta ilość wody przepłynie przez turbiny? (d) Jaka jest całkowita
energia zgromadzona w wodzie w zbiorniku?
1
Tzn. 90% energii przetwarzane jest na użyteczną energię elektryczną, pozostała część jest tracona z powodu oporów, tarcia, lepkości itp. Jest to realistyczna wartość sprawności (http://www.usbr.gov/power/edu/pamphlet.pdf).
1
Zad. 5*. Niewielkie ciało zaczyna zsuwać się po nachylonym
stoku o wysokości h, przechodzącym w pętlę o promieniu h/2
(rysunek). Zaniedbując tarcie, obliczyć prędkość ciała w najwyższym punkcie lotu (po oderwaniu się od pętli). Wskazówka: Należy znaleźć punkt, w którym ciało oderwie się od
pętli. Od tego momentu ciało wykonuje ruch swobodny w polu
grawitacyjnym.
Zad. 6. Kawałek drewna ślizga się w rynnie jak na rysunku.
Zakrzywione boki rynny są idealnie gładkie, ale płaski, poziomy środek jest szorstki. Długość tego szorstkiego odcinka
wynosi 30 m, a współczynnik tarcia równy jest tam 0,2. Początkowo kawałek drewna spoczywa nieruchomo na wysokości
4 m nad dnem rynny. (a) W którym miejscu kawałek drewna
ostatecznie się zatrzyma? (b) Jaką całkowitą pracę wykona
siła tarcia do momentu zatrzymania się kawałka drewna?
Zad. 7(c). Winda o masie 2000 kg zaprojektowana jest tak, by po zerwaniu liny nośnej w najgorszym możliwym przypadku jej prędkość w momencie pierwszego kontaktu ze sprężyną amortyzującą uderzenie o podłogę szybu nie przekraczała 4,00 m/s. Sprężyna ma wyhamować spadającą
windę na drodze 2,00 m. Dodatkowo, zacisk bezpieczeństwa generuje działającą na windę siłę
tarcia o wartości 17 000 N. Jaki powinien być współczynnik sprężystości sprężyny?
Zad. 8. Na sprężynie zawieszono ciężarek o masie m i powoli obniżono go do położenia równowagi,
w którym sprężyna wydłużona była o d. W kolejnym eksperymencie puszczono ciężarek natychmiast po zawieszeniu i pozwolono mu opadać swobodnie. Jakie będzie maksymalne rozciągnięcie
sprężyny w tym drugim przypadku?
Zad. 9. Zmienna siła F działa zawsze stycznie do idealnie gładkiej, cylindrycznej powierzchni (rysunek). Poprzez bardzo wolną zmianę tej siły przemieszczamy blok
o ciężarze Q, rozciągając jednocześnie sprężynę o współczynniku sprężystości k. Koniec sprężyny porusza się po
łuku o promieniu a. Znajdź pracę siły F przy przemieszczeniu układu od położenia 1 do położenia 2.
Zad. 10*. Spalenie litra oleju napędowego dostarcza 36 MJ energii (jest to tzw. wartość opałowa
oleju). Samochód o masie 1500 kg rozpędza się od zera do prędkości 37 m/s w czasie 10 s. Sprawność
nowoczesnego silnika Diesla osiąga 30%. Ile paliwa spali ten samochód w trakcie przyspieszania?
Ile razy można przyspieszyć w taki sposób mając 1 litr oleju napędowego w baku?
Zad. 11(c). Na pewien obiekt działają różne siły. Jedną z nich jest siła F = αxy î, gdzie α =
2 N/m2 . Obiekt ten przemieszcza się z początku układu współrzędnych po kwadracie:
(0, 0) → (0, 1,5) m → (1,5, 1,5) m → (1,5, 0) m → (0, 0).
Naszkicuj tę drogę i znajdź pracę wykonaną przez siłę F w tym ruchu. Czy siła F jest zachowawcza?
Zad. 12. Książka o masie 0,6 kg ślizga się po poziomym stole. Siła tarcia kinetycznego działająca
na książkę wynosi 1,2 N. (a) Jaką pracę wykona tarcie w czasie ruchu książki o 3 m w prawo? (b)
2
Książkę przesuwamy teraz o 3 m w lewo, do jej pierwotnego położenia. Jaką pracę teraz wykona
tarcie? (c) Jaka jest łączna praca siły tarcia? (d) Czy tarcie jest siłą zachowawczą? Dlaczego?
Zad. 13(c). W pewnym obszarze przestrzeni energia potencjalna cząstki ma postać
Ep (r) = Ax2 y 2 z.
Znajdź siłę działającą na tę cząstkę w punkcie r = (x, y, z).
Zad. 14(c). Ze swobodnie spoczywającej strzelby o masie mS = 3,00 kg wystrzelono pocisk o
masie mP = 5,00 g. Pocisk opuszcza lufę strzelby poziomo z prędkością vPx = 300 m/s względem podłoża. Jaka jest prędkość odrzutu strzelby vSx ? Jakie są końcowe wartości pędu i energii
kinetycznej pocisku i strzelby?
Zad. 15. Stoisz na dużej tafli lodu (bez tarcia), trzymając duży głaz. Aby wydostać się z tafli,
rzucasz głaz z prędkością 12,0 m/s (względem tafli) pod kątem 35,0◦ od poziomu. Jaka będzie
Twoja prędkość po wyrzuceniu głazu, jeśli ważysz 70,0 kg, a masa głazu wynosi 15,0 kg?
Zad. 16(c). Dwa klocki o masach 0,5 kg i 0,2 kg poruszają się naprzeciw siebie z jednakowymi
i przeciwnie skierowanymi prędkościami 2 m/s. Znajdź prędkość klocków po zderzeniu w dwóch
przypadkach: (a) zderzenie jest doskonale sprężyste (tzn. zachowana jest energia kinetyczna); (b)
zderzenie jest całkowicie niesprężyste (tzn. klocki zlepiają się w momencie zderzenia).
Zad. 17. Cząstka o masie m1 = 1 g, poruszająca się z prędkością v1 = 3î − 2ĵ m/s, zderza się
całkowicie niesprężyście z drugą cząstką, której masa wynosi m2 = 2 g, a prędkość v2 = 4î − 6ĵ
m/s. Znaleźć wektor prędkości cząstki powstałej w wyniku zderzenia. Zagadnienie rozwiązać w
układzie laboratorium i w układzie środka masy.
Zad. 18(c). Wahadło balistyczne. Lecąca poziomo kula karabinowa o masie m = 5 g utkwiła w drewnianym klocku o masie
M = 2 kg zawieszonym na dwóch jednakowych niciach o długości
l = 1,5 m (rysunek). W rezultacie nici odchyliły się o kąt ϑ = 0,2.
Znaleźć prędkość kuli przed utkwieniem w klocku drewna oraz część
jej energii kinetycznej utraconą na ciepło.
Zad. 19. Trzy kule o jednakowych średnicach znajdują się w prostoliniowej, poziomej rynnie, w
której mogą poruszać się bez tarcia. Kule 2 i 3 spoczywają, a kula 1 porusza się w kierunku kuli
2. Masy kul 1 i 2 są równe odpowiednio m1 i m2 . Jaką masę powinna mieć kula 2, aby w wyniku
zderzeń kula 3 uzyskała największą możliwą prędkość? Zderzenia kul są doskonale sprężyste.
Zad. 20. Dwie plastelinowe kulki o masach m1 i m2 wiszą obok siebie na dwóch równoległych
niciach. Pierwsza kulka została odchylona tak, że jej środek wzniósł się na wysokość h, i została
puszczona. Kulki zlepiają się przy zderzeniu. Na jaką wysokość wzniesie się środek powstałej bryły
plasteliny?
Zad. 21. Kula o masie M wisi na nici o długości l. Pocisk o masie m trafił w kulę i utkwił w niej.
Jaką prędkość musiał mieć pocisk, jeśli wahadło (kula na nici) podniosło się do poziomu?
Zad. 22. Na sprężynie o długości d zawieszamy nieruchomą masę m. Pod wpływem tej masy
sprężyna rozciąga się do długości d + b. Następnie druga taka masa m spada z wysokości H na
3
pierwszą masę, zderzając się z nią doskonale niesprężyście. Znajdź okres i amplitudę drgań oraz
maksymalną wysokość, jaką osiągną masy (liczoną od początkowego położenia równowagi).
Zad. 23. Cząstka 1, mająca prędkość v = 10 m/s, zderza się czołowo ze spoczywającą cząstką
2 o takiej samej masie. W wyniku zderzenia energia kinetyczna układu zmniejsza się o η = 1%.
Znaleźć wartość i kierunek prędkości cząstki 1 po zderzeniu.
Zad. 24*. Dwie cząstki o masach równych odpowiednio 34 m i m, połączone lekką sprężyną o
długości l i stałej sprężystości k, spoczywają na gładkim poziomym stole. Wzdłuż linii łączącej
te cząstki porusza się z prędkością v trzecia cząstka o masie 14 m. Zderza sie ona z cząstką o masie
3
m i przywiera do niej. Znajdź amplitudę i okres drgań sprężyny łączącej te masy.
4
Zad. 25(c). Rozważyć doskonale sprężyste zderzenie dwóch krążków hokejowych poruszających
się praktycznie bez tarcia po powierzchni lodu. Krążki są różne i mają masy 0,5 kg i 0,3 kg.
Cięższy krążek ma początkowo prędkość 4 m/s, a mniejszy spoczywa. Po zderzeniu cięższy krążek
porusza się z prędkością 2 m/s. Znaleźć prędkość drugiego krążka oraz kierunki ruchu obu krążków
po zderzeniu (wyrazić je poprzez kąty, jakie tworzą one z pierwotnym kierunkiem ruchu cięższego
krążka).
Zad. 26. Stalowa kulka o masie m = 50 g spada z wysokości h = 1 m na poziomą powierzchnię
masywnej płyty. Znaleźć sumaryczny pęd przekazany płycie w wyniku serii kolejnych odbić, jeśli
przy każdym odbiciu kulka traci η = 20% swojej energii.
Zad. 27*. Ołowiana kula o masie 20,0 kg jest zawieszona na lekkiej lince o długości 3,50 m w
sposób umożliwiający wykonanie pełnego obrotu w płaszczyźnie pionowej. W pewnym momencie
w kule wbija się stalowa strzała o masie 5 kg. Jaka musi być prędkość strzały, aby powstały obiekt
zatoczył pełne koło w płaszczyźnie pionowej?
4