KIV: RIF-y a podobie´nstwo cd

Zbiory przybliżone w obliczeniach
granularnych
Anna Gomolińska
Uniwersytet w Białymstoku
Poznań, Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej,
2011.11.22
Sem-PP’2011 – p. 1/124
Plan wystapienia
˛
•
•
•
•
•
Motywacje.
Obliczenia granularne.
Zbiory przybliżone.
Główne kierunki badań autorki.
Podsumowanie.
Sem-PP’2011 – p. 2/124
Motywacje
•
•
•
Odkrywanie wiedzy o obiektach złożonych jak
systemy inteligentne oraz o procesach i
interakcjach zachodzacych
˛
w takich systemach.
Rozwój podstaw obliczeń granularnych.
Dostarczenie nowych i udoskonalenie
istniejacych
˛
narz˛edzi i technik służacych
˛
rozwiazywaniu
˛
problemów metodami
granularnymi.
Sem-PP’2011 – p. 3/124
Obliczenia granularne
•
•
•
Poj˛ecie ‘granula informacyjna’ pochodzi od
L. A. Zadeha.
W uj˛eciu Zadeha granula informacyjna (w
skrócie infogranula) to skupisko obiektów
zebranych ze wzgl˛edu na nierozróżnialność,
podobieństwo lub funkcjonowanie
(funkcjonalność).
Aktualnie rozważa si˛e także infogranule
ustrukturyzowane (struktury, systemy, procesy).
Sem-PP’2011 – p. 4/124
Obliczenia granularne c.d.
•
•
•
Granulacja przestrzeni badanych obiektów
(uniwersum) jako wynik celowych zabiegów lub
jako skutek naturalnych ograniczeń w zakresie
percepcji, dokładności pomiarów i gromadzenia
danych o obiektach.
Wykorzystanie tej granulacji do rozwiazywania
˛
problemów, w tym obliczeniowych w warunkach
niedoskonałej informacji.
Realizacja idei obliczeń granularnych metodami
analizy przedziałowej, analizy skupień, zbiorów
przybliżonych, zbiorów rozmytych i innych.
Sem-PP’2011 – p. 5/124
Zbiory przybliżone
•
•
•
•
W oryginalnym uj˛eciu zaproponowanym przez
Z. Pawlaka granulacja przestrzeni generowana
przez nierozróżnialność obiektów z uwagi na
rozważane atrybuty, modelowana˛ jako pewna
relacja równoważności.
Zbiór definiowalny: suma pewnych infogranul
elementarnych, czyli klas abstrakcji relacji
nierozróżnialności.
Dolne przybliżenie zbioru: najwi˛ekszy zbiór
definiowalny zawarty w tym zbiorze.
Górne przybliżenie zbioru: najmniejszy zbiór
definiowalny zawierajacy
˛ ten zbiór.
Sem-PP’2011 – p. 6/124
Zbiory przybliżone c.d.
•
•
•
•
Brzeg zbioru: różnica mi˛edzy górnym i dolnym
przybliżeniem zbioru.
Zbiór jest dokładny, jeśli jego brzeg jest pusty; w
przeciwnym przypadku zbiór jest przybliżony.
W podejściu Pawlaka dokładność i
definiowalność sa˛ równoważne.
Pierwotnie przestrzeń przybliżeń to para
(zbiór_ obiektów, relacja_równoważności).
Sem-PP’2011 – p. 7/124
Wybrane uogólnienia modelu
Pawlaka
•
•
Model A. Skowrona i J. Stepaniuka (dolne i
górne przybliżenia zdefiniowane za pomoca˛
funkcji inkluzji przybliżonej, granulacja
generowana przez podobieństwo obiektów
modelowane przez relacj˛e zwrotna).
˛
Model DRSA R. Słowińskiego, S. Greco i
B. Matarazzo (uwzgl˛ednienie oprócz zwykłych
atrybutów także kryteriów, granulacja
generowana przez relacj˛e oparta˛ na dominacji lub
podobieństwie obiektów).
Sem-PP’2011 – p. 8/124
Wybrane uogólnienia c.d.
•
•
Model S. K. M. Wonga, L. S. Wanga & Y. Y. Yao
(granulacja jak u Pawlaka, dwusortowa
przestrzeń obiektów lub inaczej, dwa uniwersa
obiektów dwóch różnych rodzajów).
Modele VPRS W. Ziarko (w podstawowym
modelu granulacja jak u Pawlaka, dolne i górne
przybliżenia zastapione
˛
rodzina˛ regionów
t-pozytywnych i rodzina˛ regionów
s-negatywnych, gdzie s, t – stopnie precyzji
(0 ≤ s < t ≤ 1), do których zdefiniowania użyta
jest standardowa funkcja inkluzji przybliżonej).
Sem-PP’2011 – p. 9/124
Główne kierunki moich badań
KI. Model Pawlaka zbiorów przybliżonych i jego
uogólnienia.
KII. Potencjalne cz˛eści „w stopniu” pewnej całości.
KIII. Przybliżone spełnianie formuł i ich zbiorów.
KIV. Porównywanie infogranul pod wzgl˛edem ich
zawierania si˛e i podobieństwa.
Sem-PP’2011 – p. 10/124
KI: Główne wyniki
•
•
•
•
Porównanie własności operacji przybliżania w
sensie Pawlaka i w sensie Skowrona – Stepaniuka
przy różnych założeniach o relacji mi˛edzy
obiektami.
Model zmienno-precyzyjny o dwóch uniwersach
(kombinacja modelu Wonga, Wanga i Yao z
podstawowym modelem VPRS Ziarki).
Model, w którym oprócz podobieństwa pod
uwag˛e brane jest także niepodobieństwo
obiektów.
Model uogólniajacy
˛ podejście Skowrona –
Stepaniuka, w którym do zdefiniowania
przybliżeń zbioru użyte sa˛ funkcje inkluzji
słabsze niż funkcja inkluzji przybliżonej.
Sem-PP’2011 – p. 11/124
KI: Publikacje
•
•
Variable-precision compatibility spaces,
Electronical Notices in Theoretical Computer
Science, 82(4):120–131, 2003,
http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume82.html
A comparison of Pawlak’s and Skowron –
Stepaniuk’s approximation of concepts,
Transactions on Rough Sets VI: journal subline
of LNCS, 4374:64–82, 2007.
Sem-PP’2011 – p. 12/124
KI: Publikacje c.d.
•
•
Approximation spaces based on relations of
similarity and dissimilarity of objects,
Fundamenta Informaticae, 79(3–4):319–333,
2007.
Rough approximation based on weak q-RIFs,
Transactions on Rough Sets X: journal subline of
LNCS, 5656:117–135, 2009.
Sem-PP’2011 – p. 13/124
KII: Wprowadzenie
•
•
Z zagadnieniem potencjalnych cz˛eści „w
stopniu” wia˛że si˛e problem stabilności
konstruowanych infogranul.
Formalna˛ teoria˛ poj˛ecia „bycia cz˛eścia”
˛ jest
mereologia Leśniewskiego, natomiast poj˛ecia
„bycia cz˛eścia˛ w stopniu” – mereologia
przybliżona (L. Polkowski & A. Skowron).
Sem-PP’2011 – p. 14/124
KII: Główne wyniki
•
•
Uogólnienie poj˛ecia „cz˛eści w stopniu” do
poj˛ecia „potencjalnej cz˛eści w stopniu”.
Zbadanie własności wprowadzonego poj˛ecia.
Referencje:
• Possible rough ingredients of concepts in
approximation spaces, Fundamenta Informaticae,
72(1–3):139–154, 2006.
Sem-PP’2011 – p. 15/124
KII: Główne wyniki c.d.
•
•
Cz˛eść potencjalna pewnej całości X to
infogranula na tyle pasujaca
˛ (bliska, podobna) do
pewnej cz˛eści Y całości X, że można nia˛ zastapić
˛
Y.
Potencjalna cz˛eść „w stopniu” całości X to
infogranula na tyle pasujaca
˛ do pewnej cz˛eści „w
stopniu” Y całości X, że można nia˛ zastapić
˛ Y.
Sem-PP’2011 – p. 16/124
KIII: Wprowadzenie
•
•
•
Przybliżone spełnianie formuł i zbiorów formuł
badane jest na przykładzie formuł j˛ezyka
deskryptorów systemu informacyjnego Pawlaka.
Dost˛epna informacja o rozważanych obiektach
jest niedoskonała.
Celem jest odkrywanie poj˛ecia spełniania formuł
i ich zbiorów, a nie zbudowanie formalnego
systemu logicznego.
Sem-PP’2011 – p. 17/124
KIII: Wprowadzenie c.d.
•
•
•
U – dany skończony, niepusty zbiór obiektów
(aktualne uniwersum).
U ∞ – potencjalne uniwersum, zawiera U .
Obiekty oznaczamy przez u, z indeksami w razie
potrzeby.
Sem-PP’2011 – p. 18/124
KIII: Wprowadzenie c.d.
•
•
•
•
•
•
A – skończony, niepusty zbiór rozważanych cech
(atrybutów).
Atrybuty, oznaczane przez a (z indeksami),
traktujemy jako funkcje a : U ∞ 7→ Va ∪ {⊥}.
Va – zbiór rozważanych wartości a.
Wartości atrybutów oznaczamy przez v (z
indeksami).
a(u) =⊥ – „wartość a na u jest nieznana”.
Para (atrybut, wartość_atrybutu) – deskryptor.
Sem-PP’2011 – p. 19/124
KIII: Wprowadzenie c.d.
•
•
•
Przykład systemu informacyjnego Pawlaka (w
skrócie infosystemu) to para IS = (U, A), gdzie
U i A sa˛ jak wyżej.
Infosystemy decyzyjne = infosystemy z
wyróżnionym atrybutem decyzyjnym d (lub
zbiorem atrybutów decyzyjnych).
Przykład infosystemu decyzyjnego to para
ISd = (U, A ∪ {d}), gdzie d 6∈ A.
Sem-PP’2011 – p. 20/124
KIII: Wprowadzenie c.d.
•
•
•
•
•
Niech ̺ ⊆ U × U b˛edzie relacja˛ podobieństwa.
(u, u′ ) ∈ ̺ – „obiekt u jest podobny do u′ ”.
Dwa rodzaje elementarnych infogranul
zwiazanych
˛
z u: zbiór obiektów, do których u jest
podobny, ̺→ {u} (= Γ∗ u), i zbiór obiektów
podobnych do u, ̺← {u} (= Γu).
Zbiory te sa˛ równe dla relacji tolerancji (czyli
zwrotnej i symetrycznej).
̺ oraz infogranule elementarne moga˛ być znane
cz˛eściowo.
Sem-PP’2011 – p. 21/124
KIII: Wprowadzenie c.d.
•
•
Rozważamy pewna˛ przestrzeń przybliżeń
M = (U, ̺, κ) indukowana˛ przez infosystem IS
oraz jej potencjalne rozszerzenie do
M ∞ = (U ∞ , ̺∞ , κ∞ ).
Oprócz przybliżeń w stylu Pawlaka i w stylu
Skowrona – Stepaniuka, interesuja˛ nas regiony
t-pozytywne oraz s-negatywne zbiorów,
podobnie jak w modelu VPRS Ziarki
(0 ≤ s < t ≤ 1):
def
post (X) = {u ∈ U | κ(Γu, X) ≥ t}
def
negs (X) = {u ∈ U | κ(Γu, X) ≤ s}
Sem-PP’2011 – p. 22/124
KIII: J˛ezyk deskryptorów L dla
infosystemu IS
S
•
Termy – nazwy elementów zbioru A ∪
•
∧, ∨, ¬ – spójniki zdaniowe.
Formuła = zdanie.
Zdania atomowe – deskryptory.
Zdania oznaczamy przez α, β, γ (z indeksami).
FOR – zbiór wszystkich zdań L.
•
•
•
•
a∈A Va .
Sem-PP’2011 – p. 23/124
KIII: J˛ezyk deskryptorów c.d.
•
•
•
•
•
Poj˛ecie = podzbiór uniwersum, czyli jakiś zbiór
obiektów.
Poj˛ecie definiowalne = suma mnogościowa
infogranul elementarnych.
Intuicje zwiazane
˛
z definiowalnościa:
˛ zbiór
definiowalny = zbiór opisywalny w j˛ezyku L.
Formuła – etykieta pewnego poj˛ecia, mianowicie
ekstensji tej formuły.
Ekstensja formuły = zbiór (infogranula) obiektów
spełniajacych
˛
t˛e formuł˛e.
Sem-PP’2011 – p. 24/124
KIII: Poj˛ecie spełniania |=c
def
u |=c (a, v) ⇔ a(u) = v
def
u |=c α ∧ β ⇔ u |=c α & u |=c β
def
u |=c α ∨ β ⇔ u |=c α lub u |=c β
def
u |=c ¬α ⇔ u 6|=c α
•
Odpowiadajace
˛ poj˛ecie ekstensji formuły:
def
Satc (α) = {u ∈ U | u |=c α}
Sem-PP’2011 – p. 25/124
KIII: Przybliżone spełnianie
formuł i ich zbiorów
•
Problem jest skomplikowany, gdyż:
• poj˛
ecie spełniania jest poj˛eciem wysokiego
poziomu,
• nie znamy tego poj˛
ecia dokładnie: trzeba je
odkryć, np. hierarchicznie,
• w szczególności nie znamy w pełni ekstensji
formuł (zbiorów formuł),
• opisy obiektów moga˛ być niekompletne i
niedokładne,
• nie wiadomo, czy wybrany j˛
ezyk opisu jest
odpowiedni,
• nie wiadomo, czy przyj˛
eta/odkryta relacja
podobieństwa jest właściwa, a stad
˛ nie wiemy,
czy granulacja jest prawidłowa.
Sem-PP’2011 – p. 26/124
KIII: Główne wyniki
•
•
•
•
Modele poj˛ecia spełniania formuł (zbiorów
formuł) w postaci sparametryzowanych rodzin
relacji przybliżonego spełniania formuł (zbiorów
formuł).
Zbadanie własności zdefiniowanych relacji.
Propozycja odkrywania poj˛ecia spełniania formuł
i ich zbiorów z dost˛epnych danych i przykładów
dostarczonych przez eksperta.
Interpretacja wprowadzonych poj˛eć
przybliżonego spełniania formuł oraz poj˛eć
stowarzyszonych w terminach teorii zbiorów
rozmytych.
Sem-PP’2011 – p. 27/124
KIII: Główne wyniki c.d.
•
•
•
Zastosowanie wprowadzonych poj˛eć
przybliżonego spełniania do zagadnienia
przybliżonego stosowania reguł.
Zastosowanie przybliżonych form spełniania
formuł i zbiorów formuł do zagadnienia
konstrukcji infogranul spełniajacych
˛
dane
wymagania.
Badanie kwestii formowania sadów
˛
w agentach
inteligentnych na temat spełnienia pewnych
wymagań, zachodzenia zdarzeń itp., gdy
dost˛epna informacja jest niedoskonała.
Sem-PP’2011 – p. 28/124
KIII: Publikacje
•
•
•
A graded applicability of rules, Lecture Notes in
Artificial Intelligence, 3066:213–218, 2004.
A graded meaning of formulas in approximation
spaces, Fundamenta Informaticae,
60(1–4):159–172, 2004.
On rough judgment making by socio-cognitive
agents, [in:] A. Skowron et al., editors, Proc.
2005 IEEE//WIC//ACM Int. Conf. on Intelligent
Agent Technology (IAT’2005), Compiègne,
France, September 2005, pages 421–427, IEEE
Computer Society Press, Los Alamitos, CA,
2005.
Sem-PP’2011 – p. 29/124
KIII: Publikacje c.d.
•
•
Satisfiability and meaning of formulas and sets of
formulas in approximation spaces, Fundamenta
Informaticae, 67(1–3):77–92, 2005.
Towards rough applicability of rules, [in:]
B. Dunin-K˛eplicz, A. Jankowski, A. Skowron,
and M. Szczuka, editors, Monitoring, Security,
and Rescue Techniques in Multiagent Systems,
pages 203–214, Springer-V., Berlin Heidelberg,
2005.
Sem-PP’2011 – p. 30/124
KIII: Publikacje c.d.
•
•
•
Construction of rough information granules, [in:]
W. Pedrycz, A. Skowron, and V. Kreinovich,
editors, Handbook of Granular Computing, pages
449–470, John Wiley & Sons, Chichester, 2008.
Rough rule-following by social agents, [in:]
H. Flam and M. Carson, editors, Rule Systems
Theory. Applications and Explorations, pages
103–118, Peter Lang, Frankfurt am Main, 2008.
Satisfiability of formulas from the standpoint of
object classification: The RST approach,
Fundamenta Informaticae, 85(1–4):139–153,
2008.
Sem-PP’2011 – p. 31/124
KIII: Publikacje c.d.
•
•
A fuzzy view on rough satisfiability, Lecture
Notes in Artificial Intelligence, 6086:227–236,
2010.
Satisfiability judgement under incomplete
information, Transactions on Rough Sets XI:
journal subline of LNCS, 5946:66–91, 2010.
Sem-PP’2011 – p. 32/124
KIV: Wprowadzenie
•
•
•
Inkluzja przybliżona – poj˛ecie zaproponowane
przez L. Polkowskiego i A. Skowrona jako
kluczowe poj˛ecie mereologii przybliżonej.
Mereologia przybliżona – formalna teoria
uogólniajaca
˛ mereologi˛e Leśniewskiego na
przypadek „bycia cz˛eścia˛ całości w pewnym
stopniu”.
Funkcje inkluzji przybliżonej – funkcje
dwuargumentowe mierzace
˛ stopień zawierania
si˛e zbioru w zbiorze (także infogranuli w
infogranuli), zgodne z aksjomatami inkluzji
przybliżonej.
Sem-PP’2011 – p. 33/124
Aksjomaty inkluzji przybliżonej
•
xεingt (y) – „x jest cz˛eścia˛ y w stopniu t”.
(P S1)
(P S2)
(P S3)
(P S4)
(P S5)
∃t.xεingt (y) → xεx ∧ yεy
xεing1 (y) ↔ xεing(y)
xεing1 (y) → ∀z.(zεingt (x) → zεingt (y))
x = y ∧ xεingt (z) → yεingt (z)
xεingt (y) ∧ s ≤ t → xεings (y)
Sem-PP’2011 – p. 34/124
Funkcje inkluzji przybliżonej
•
Funkcja inkluzji przybliżonej (RIF) nad zbiorem
U to dowolna funkcja κ : ℘U × ℘U 7→ [0, 1]
spełniajaca
˛ rif 1 oraz rif ∗2 :
def
rif 1 (κ) ⇔ ∀X, Y.(κ(X, Y ) = 1 ⇔ X ⊆ Y )
def
∗
rif 2 (κ) ⇔
∀X, Y, Z.(κ(Y, Z) = 1 ⇒ κ(X, Y ) ≤ κ(X, Z))
Sem-PP’2011 – p. 35/124
RIF-y c.d.
•
Założywszy, że zachodzi rif 1 (κ), warunek
można zastapić
˛ przez rif 2 :
∗
rif 2
def
rif 2 (κ) ⇔ ∀X, Y, Z.(Y ⊆ Z ⇒ κ(X, Y ) ≤ κ(X, Z))
Sem-PP’2011 – p. 36/124
Przykłady warunków na κ
def
rif 3 (κ) ⇔ ∀X 6= ∅.κ(X, ∅) = 0
def
rif 4 (κ) ⇔ ∀X, Y.(κ(X, Y ) = 0 ⇒ X ∩ Y = ∅)
rif −1
4 (κ)
def
⇔ ∀X 6= ∅.∀Y.(X ∩ Y = ∅ ⇒ κ(X, Y ) = 0)
def
rif 5 (κ) ⇔ ∀X 6= ∅.∀Y.(κ(X, Y ) = 0 ⇔ X ∩ Y = ∅)
def
c
rif 6 (κ) ⇔ ∀X 6= ∅.∀Y.κ(X, Y ) + κ(X, Y ) = 1
Sem-PP’2011 – p. 37/124
Przykłady RIF-ów
•
•
•
•
Niech U – zbiór skończony.
Najbardziej rozpowszechniona jest standardowa
funkcja inkluzji przybliżonej κ£ .
Inny przykład – funkcja inkluzji przybliżonej κ2
(G. Drwal i A. Mrózek, 1998).
Generowanie inkluzji przybliżonej z
t-rezydualnej implikacji (L. Polkowski).
Sem-PP’2011 – p. 38/124
Przykłady RIF-ów c.d.
£
def
κ (X, Y ) =
(
#(X∩Y )
#X
1
dla X 6= ∅
w przeciwnym przypadku
#(X c ∪ Y )
κ2 (X, Y ) =
#U
def
Sem-PP’2011 – p. 39/124
Uogólnienia RIF-ów
•
Sa˛ to, np. funkcje κκs,t oraz κπi dla i = 1, 2.
•
Niech κ b˛edzie RIF-em nad U oraz
0 ≤ s < t ≤ 1.
κκs,t (X, Y
def
)=


0
κ(X,Y )−s
t−s

1
dla κ(X, Y ) ≤ s
dla s < κ(X, Y ) < t
dla κ(X, Y ) ≥ t
Sem-PP’2011 – p. 40/124
Uogólnienia RIF-ów c.d.
•
(J. Stepaniuk) Niech U1 , U2 – skończone zbiory
niepuste oraz r, r′ ⊆ U1 × U2 .
′
def
κπ1 (r, r ) =
′
κπ2 (r, r ) =
(
(
#(r∩r ′ )← U2
#r ← U2
1
#(r∩r ′ )→ U1
#r → U1
1
dla r 6= ∅
w przeciwnym przypadku
dla r 6= ∅
w przeciwnym przypadku
Sem-PP’2011 – p. 41/124
KIV: Główne wyniki
•
•
•
Zaproponowanie funkcji inkluzji przybliżonej
mogacych
˛
stanowić alternatyw˛e dla funkcji
standardowej.
Zbadanie własności funkcji standardowej oraz
funkcji alternatywnych, w tym wykrycie
wzajemnych zależności.
Zbadanie zwiazków
˛
mi˛edzy rozważanymi
RIF-ami a pewnymi miarami podobieństwa
infogranul używanymi w analizie skupień.
Sem-PP’2011 – p. 42/124
KIV: Główne wyniki c.d.
•
•
•
Uogólnienie poj˛ecia RIF-a (zbadanie własności,
znalezienie nowych przykładów).
Zastosowanie operacji algebraicznych,
odpowiadajacych
˛
pewnym implikacjom
3-wartościowym, do otrzymania nowych funkcji
inkluzji; nast˛epnie zbadanie własności tych
funkcji.
Zastosowanie rozważanych funkcji inkluzji, np.
do
• badania podobieństwa infogranul,
• przybliżania zbiorów i w szczególności
infogranul,
• oceny jakości reguł.
Sem-PP’2011 – p. 43/124
KIV: Publikacje
•
•
•
•
Rough validity, confidence, and coverage of rules
in approximation spaces, Transactions on Rough
Sets III: journal subline of LNCS, 3400:57–81,
2005.
On certain rough inclusion functions,
Transactions on Rough Sets IX: journal subline
of LNCS, 5390:35–55, 2008.
Rough approximation based on weak q-RIFs,
Transactions on Rough Sets X: journal subline of
LNCS, 5656:117–135, 2009.
A logic-algebraic approach to graded inclusion,
Fundamenta Informaticae, 109:265–279, 2011.
Sem-PP’2011 – p. 44/124
£
KIV: RIF-y alternatywne do κ
•
Funkcja κ1 : ℘U × ℘U 7→ [0, 1] dana poniżej ma
„wspólne korzenie” z κ£ i κ2 .
κ1 (X, Y ) =
(
#Y
#(X∪Y )
1
dla X ∪ Y 6= ∅
w przeciwnym przypadku
Sem-PP’2011 – p. 45/124
£
KIV: Własności κ , κ1 i κ2
•
Niech X , Y – niepuste rodziny podzbiorów U .
κ£ (X,
[
Y) ≤
X
κ£ (X, Y )
Y ∈Y
(„=” jeśli X jest niepusty oraz Y jest rodzina˛ zbiorów
parami rozłacznych.)
˛
[
X
[
κ£ ( X , Y ) ≤
κ£ (X, Y ) · κ£ ( X , X)
X∈X
(„=” jeśli X jest rodzina˛ zbiorów parami
rozłacznych.)
˛
Sem-PP’2011 – p. 46/124
KIV: Własności c.d.
•
Niech teraz X 6= ∅ oraz Y – rodzina parami
rozłacznych
˛
podzbiorów U b˛edaca
˛ pokryciem U .
X
κ£ (X, Y ) = 1
Y ∈Y
κ£ (X, Y ) = 0 ⇔ X ∩ Y = ∅
κ£ (X, ∅) = 0
Sem-PP’2011 – p. 47/124
KIV: Własności c.d.
X ∩ Y = ∅ ⇒ κ£ (X, Z − Y ) = κ£ (X, Z ∪ Y )
= κ£ (X, Z)
Z ∩ W = ∅ ⇒ κ£ (Y ∪ Z, W ) ≤ κ£ (Y, W )
≤ κ£ (Y − Z, W )
Z ⊆ W ⇒ κ£ (Y − Z, W ) ≤ κ£ (Y, W )
≤ κ£ (Y ∪ Z, W )
Sem-PP’2011 – p. 48/124
KIV: Własności c.d.
rif 4 (κ1 ) & rif 4 (κ2 )
X 6= ∅ ⇒ (κ1 (X, Y ) = 0 ⇔ Y = ∅)
κ2 (X, Y ) = 0 ⇔ X = U & Y = ∅
κ£ (X, Y ) ≤ κ1 (X, Y ) ≤ κ2 (X, Y )
κ1 (X, Y ) = κ£ (X ∪ Y, Y )
Sem-PP’2011 – p. 49/124
KIV: Własności c.d.
κ2 (X, Y ) = κ£ (U, X c ∪ Y )
= κ£ (U, X c ) + κ£ (U, X ∩ Y )
κ£ (X, Y ) = κ£ (X, X ∩ Y )
= κ1 (X, X ∩ Y )
= κ1 (X − Y, X ∩ Y )
X ∪ Y = U ⇒ κ1 (X, Y ) = κ2 (X, Y )
Sem-PP’2011 – p. 50/124
KIV: RIF-y a podobieństwo infogranul
•
Dla dowolnej funkcji f : ℘U × ℘U 7→ [0, 1] oraz
X, Y ⊆ U , definiujemy jej funkcj˛e
komplementarna˛ f¯:
def
¯
f (X, Y ) = 1 − f (X, Y )
Sem-PP’2011 – p. 51/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
•
Dostajemy zatem:
κ̄ (X, Y ) =
(
κ̄1 (X, Y ) =
(
£
#(X−Y )
#X
0
#(X−Y )
#(X∪Y )
0
dla X 6= ∅
w przeciwnym przypadku
dla X ∪ Y 6= ∅
w przeciwnym przypadku
#(X − Y )
κ̄2 (X, Y ) =
#U
Sem-PP’2011 – p. 52/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
•
Niech κ – dowolny RIF nad U oraz i = 1, 2.
κ̄£ (X, Y ) = κ£ (X, Y c )
Jeśli X 6= ∅, to
c
c
κ̄
(X,
Y
)
κ̄
(X,
Y
)
1
2
£
κ (X, Y ) =
=
.
c
κ1 (Y , X)
κ2 (U, X)
κ̄(X, Y ) = 0 ⇔ X ⊆ Y
Sem-PP’2011 – p. 53/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
Y ⊆ Z ⇒ κ̄(X, Z) ⊆ κ̄(X, Y )
κ̄2 (X, Y ) ≤ κ̄1 (X, Y ) ≤ κ̄£ (X, Y )
κ̄i (X, Y ) + κ̄i (Y, Z) ≥ κ̄i (X, Z)
Sem-PP’2011 – p. 54/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
0 ≤ κ̄i (X, Y ) + κ̄i (Y, X) ≤ 1
Jeśli X = ∅ i Y 6= ∅ (lub odwrotnie), to
κ̄£ (X, Y ) + κ̄£ (Y, X) = κ̄1 (X, Y ) + κ̄1 (Y, X) = 1.
Sem-PP’2011 – p. 55/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
•
Funkcje komplementarne do κ£ , κ1 i κ2 generuja˛
funkcje odległości δ £ , δi : ℘U × ℘U 7→ [0, 1]
(i = 1, 2) nast˛epujaco:
˛
1 £
£
δ (X, Y ) =
κ̄ (X, Y ) + κ̄ (Y, X)
2
£
def
def
δi (X, Y ) = κ̄i (X, Y ) + κ̄i (Y, X)
•
Zauważmy, że:
δ2 (X, Y ) ≤ δ1 (X, Y ) ≤ 2δ £ (X, Y )
Sem-PP’2011 – p. 56/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
δ £ (X, Y ) =



1
2
0

 1
2
#(X−Y )
#X
+
#(Y −X)
#Y
dla X, Y 6= ∅
dla X, Y = ∅
w p.p.
Sem-PP’2011 – p. 57/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
δ1 (X, Y ) =
•
(
#(X÷Y )
#(X∪Y )
0
dla X ∪ Y 6= ∅
w przeciwnym przypadku,
zatem δ1 jest metryka˛ Marczewskiego –
Steinhausa (1958).
#(X ÷ Y )
δ2 (X, Y ) =
#U
Sem-PP’2011 – p. 58/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
•
•
W końcu rozważamy funkcje komplementarne do
funkcji odległości.
Dla dowolnych X, Y ⊆ U :
1 £
£
δ̄ (X, Y ) =
κ (X, Y ) + κ (Y, X)
2

#(X∩Y )
1
1

+
dla X, Y =
6 ∅

2
#X
#Y
=
1
dla X, Y = ∅

 1
w p.p.
2
£
Sem-PP’2011 – p. 59/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
δ̄1 (X, Y ) = κ1 (X, Y ) + κ1 (Y, X) − 1
(
#(X∩Y )
dla X ∪ Y 6= ∅
#(X∪Y
)
=
1
w przeciwnym przypadku
δ̄2 (X, Y ) = κ2 (X, Y ) + κ2 (Y, X) − 1
#((X ∪ Y )c ∪ (X ∩ Y ))
=
#U
Sem-PP’2011 – p. 60/124
KIV: RIF-y a podobieństwo c.d.
•
Funkcje te to miary podobieństwa znane z
analizy skupień:
• δ̄ £ – Kulczyński (1927)
• δ̄1 – Jaccard (1908)
• δ̄2 – Sokal and Michener (1958); Rand (1971)
Sem-PP’2011 – p. 61/124
KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’
•
Warunek rif 1 (κ) jest równoważny koniunkcji
rif 0 (κ) i rif −1
0 (κ), gdzie
def
rif 0 (κ) ⇔ ∀X, Y.(X ⊆ Y ⇒ κ(X, Y ) = 1),
rif −1
0 (κ)
def
⇔ ∀X, Y.(κ(X, Y ) = 1 ⇒ X ⊆ Y ).
Sem-PP’2011 – p. 62/124
KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’
c.d.
•
κ : ℘U × ℘U 7→ [0, 1] nazywamy
• funkcja˛ quasi-inkluzji przybliżonej nad U ,
∗
jeśli spełnia rif 0 i rif 2 ,
• słaba˛ funkcja˛ quasi-inkluzji przybliżonej nad
U , jeśli spełnia rif 0 i rif 2 ,
• funkcja˛ quasi’-inkluzji przybliżonej nad U ,
∗
i
rif
jeśli spełnia rif −1
2,
0
• mocna˛ funkcja˛ quasi’-inkluzji przybliżonej
−1
nad U , jeśli spełnia rif 0 i rif 2 .
Sem-PP’2011 – p. 63/124
KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’
c.d.
Figure 1: Zwiazki
˛
mi˛edzy rozważanymi klasami
inkluzji „w stopniu”
RIF-y
-
quasi-RIF-y
-
słabe quasi-RIF-y
-
mocne quasi’-RIF-y
-
quasi’-RIF-y
Sem-PP’2011 – p. 64/124
KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’
c.d.
•
•
Niech κ b˛edzie RIF-em nad U .
Niech ·, · : ℘U 7→ ℘U – monotoniczne operacje
„dolnego i górnego przybliżenia”, takie że dla
dowolnego X,
X ⊆ X ⊆ X.
Sem-PP’2011 – p. 65/124
KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’
c.d.
•
Przykładami funkcji quasi-inkluzji przybliżonej
sa˛ κκl i κκup dane przez:
κκl (X, Y
κκup (X, Y
•
def
) = κ(X, Y ),
def
) = κ(X, Y ).
Natomiast κκs,t oraz κπi (i = 1, 2) sa˛ słabymi
funkcjami quasi-inkluzji przybliżonej.
Sem-PP’2011 – p. 66/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje
•
•
Przebadane zostały nast˛epujace
˛ 3-wartościowe
logiki zdaniowe L: logika Fenstada (F), logika
Gödla (G), mocna logika Kleene’go (K), słaba
logika Kleene’go (Kw), logika Łukasiewicza
(Lu), logika McCarthy’ego (MC), logika Posta
(P), logika Słupeckiego (S) i logika
Sobocińskiego (So).
Prawda jest symbolizowana przez 1, fałsz przez
0, trzecia wartość logiczna przez 12 .
Sem-PP’2011 – p. 67/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
Każda z logik L ma adekwatna˛ matryc˛e logiczna˛
ML .
•
Operacje matrycowe fL→ : {0, 21 , 1}2 7→ {0, 12 , 1}
odpowiadaja˛ implikacjom w logikach L.
DL – zbiór wartości wyróżnionych ML ;
DL = {1} dla wszystkich L poza So oraz
DSo = { 21 , 1}.
•
•
Formuła α jest tautologia˛ ML , jeśli przy
dowolnym wartościowaniu wartość α jest
wyróżniona.
Sem-PP’2011 – p. 68/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
•
Niech X, Y – zbiory rozmyte o funkcjach
należenia µX , µY : U 7→ [0, 1], odpowiednio.
Inkluzja rozmyta wg Zadeha, ozn. ⊑, jest
naturalnym uogólnieniem inkluzji:
def
X ⊑ Y ⇔ ∀u ∈ U.µX (u) ≤ µY (u)
Sem-PP’2011 – p. 69/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
Dowolny zbiór X ⊆ U można postrzegać jako
zbiór rozmyty z funkcja˛ należenia
µX : U 7→ [0, 1], taka˛ że

 1 dla u ∈ X,
def
µX (u) =
0 dla u ∈ (X)c ,
 1
2 w pozostałym przypadku.
Sem-PP’2011 – p. 70/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
Z każda˛ logika˛ L wia˛żemy relacj˛e ⊆L na ℘U ,
która jest pewnego rodzaju uogólnieniem
inkluzji:
def
X ⊆L Y ⇔ ∀u ∈ U.fL→ (µX (u), µY (u)) ∈ DL
•
Stad
˛ dostajemy:
c
c
X ⊆Kw Y ⇔ ((X) ∩ (Y ∪ (Y ) )) ∪
((X ∪ (X)c ) ∩ Y ) = U
X ⊆MC Y ⇔ (X)c ∪ ((X ∪ (X)c ) ∩ Y ) = U
Sem-PP’2011 – p. 71/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
X ⊆K Y ⇔ (X)c ∪ Y = U
X ⊆G Y ⇔ X ⊆Lu Y
⇔ (X)c ∪ Y ∪ ((X − X) ∩ (Y − Y )) = U
X ⊆So Y ⇔ (X)c ∪ Y = U
X ⊆P Y ⇔ (X − X) ∪ Y = U
X ⊆F Y ⇔ X ⊆S Y ⇔ (X)c ∪ Y = U
Sem-PP’2011 – p. 72/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
Definiujemy funkcj˛e L-inkluzji nad skończonym
U jako funkcj˛e κL : (℘U )2 7→ [0, 1] dana˛ przez:
#{u ∈ U | fL→ (µX (u), µY (u)) ∈ DL }
.
κL (X, Y ) =
#U
def
•
κL (X, Y ) czytamy jako „stopień L-inkluzji X w
Y ”.
Sem-PP’2011 – p. 73/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
κKw (X, Y ) =
#(((X)c ∩ (Y ∪ (Y )c )) ∪ ((X ∪ (X)c ) ∩ Y ))
=
#U
#((X)c ∪ ((X ∪ (X)c ) ∩ Y ))
κMC (X, Y ) =
#U
#((X)c ∪ Y )
κK (X, Y ) =
#U
Sem-PP’2011 – p. 74/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
κG (X, Y ) = κLu (X, Y )
=
κSo (X, Y ) =
κP (X, Y ) =
κF (X, Y ) =
#((X)c ∪ Y ∪ ((X − X) ∩ (Y − Y )))
#U
#((X)c ∪ Y )
#U
#((X − X) ∪ Y )
#U
#((X)c ∪ Y )
κS (X, Y ) =
#U
Sem-PP’2011 – p. 75/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
Zauważmy, że
κF (X, Y ) = κ2 (X, Y ) & κSo (X, Y ) = κ2 (X, Y ).
•
Gdy X, Y sa˛ dokładne, tzn. X = X oraz Y = Y ,
to κL (X, Y ) = κ2 (X, Y ) dla L 6= P.
Sem-PP’2011 – p. 76/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
W celu porównania κL dla różnych L,
definiujemy
def
κL κL′ ⇔ ∀X, Y.κL (X, Y ) ≤ κL′ (X, Y ),
def
∼
κL = κL′ ⇔ κL κL′ & κL′ κL .
Sem-PP’2011 – p. 77/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
Okazuje si˛e, że:
(a) κKw κMC κK κLu ∼
= κS
= κG κF ∼
& κG κSo & κP κF
(b) κL (X, Y ) = 1 ⇔ X ⊆L Y
(c) X ⊑ Y ⇒ κL (X, Y ) = 1 dla
L = F, G, Lu, S, So
Sem-PP’2011 – p. 78/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
(d) κL (X, Y ) = 1 ⇒ X ⊑ Y dla
L = G, K, Kw, Lu, MC
(e) κL (Y, Z) = 1 ⇒ κL (X, Y ) ≤ κL (X, Z)
(f ) Y ⊑ Z ⇒ κL (X, Y ) ≤ κL (X, Z) dla L 6= Kw
(g) Z ⊑ Y ⊑ X ⇒ κL (X, Z) ≤ κL (Y, Z) dla L 6= P
Sem-PP’2011 – p. 79/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
Warunki „rif” dostosowane do 3-wartościowej
interpretacji zbioru:
def
rif g0 (κ) ⇔ ∀X, Y ⊆ U.(X ⊑ Y ⇒ κ(X, Y ) = 1)
rif −1
g0 (κ)
def
⇔ ∀X, Y ⊆ U.(κ(X, Y ) = 1 ⇒ X ⊑ Y )
def
rif g1 (κ) ⇔ ∀X, Y ⊆ U.(κ(X, Y ) = 1 ⇔ X ⊑ Y )
def
rif g2 (κ) ⇔ ∀X, Y, Z ⊆ U.(Y ⊑ Z
⇒ κ(X, Y ) ≤ κ(X, Z))
Sem-PP’2011 – p. 80/124
KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.
implikacje c.d.
•
Okazuje si˛e, że κL jest
• RIF-em dla L = G, Lu,
• quasi-RIF-em dla L = F, G, Lu, S, So,
• mocnym quasi’-RIF-em dla
L = G, K, Lu, MC,
• quasi’-RIF-em dla L = G, K, Kw, Lu, MC.
Sem-PP’2011 – p. 81/124
KIV: Zastosowanie
inkluzji
•
•
•
funkcji
Badanie podobieństwa infogranul.
Przybliżanie zbiorów i w szczególności
infogranul.
Ocena jakości reguł (decyzyjnych,
asocjacyjnych).
Sem-PP’2011 – p. 82/124
Podsumowanie
•
•
•
W referacie uj˛ete zostały główne kierunki moich
badań (lata 2003-2010) z zakresu obliczeń
granularnych realizowanych metodami zbiorów
przybliżonych.
Uzyskane rezultaty maja˛ znaczenie nie tylko dla
rozwoju teorii zbiorów przybliżonych i podstaw
obliczeń granularnych.
Proponowane rozwiazania
˛
można zastosować,
np.:
• do modelowania zachowań grupowych w
systemach wieloagentowych,
• w odkrywaniu wiedzy z danych,
• do tworzenia przybliżonych ontologii poj˛
eć.
Sem-PP’2011 – p. 83/124
Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e!
Sem-PP’2011 – p. 84/124
DI: Porównanie modeli Pawlaka
i Skowrona – Stepaniuka
•
A. Gomolińska: A comparison of Pawlak’s and
Skowron – Stepaniuk’s approximation of
concepts, Transactions on Rough Sets VI: journal
subline of LNCS, 4374:64–82, 2007.
Sem-PP’2011 – p. 85/124
•
•
•
•
Przestrzeń przybliżeń: M = (U, ̺, κ), gdzie
U – niepusty zbiór obiektów,
̺ – niepusta relacja binarna na U ,
κ – funkcja inkluzji przybliżonej nad U .
def
←
Γ̺ u = ̺ {u} &
∗ def
Γ̺ u =
̺→ {u}
Sem-PP’2011 – p. 86/124
•
Funkcja inkluzji przybliżonej nad zbiorem U to
dowolna funkcja κ : ℘U × ℘U 7→ [0, 1]
spełniajaca
˛ rif 1 oraz rif ∗2 :
def
rif 1 (κ) ⇔ ∀X, Y.(κ(X, Y ) = 1 ⇔ X ⊆ Y )
def
∗
rif 2 (κ) ⇔
∀X, Y, Z.(κ(Y, Z) = 1 ⇒ κ(X, Y ) ≤ κ(X, Z))
Sem-PP’2011 – p. 87/124
•
Dolne i górne przybliżenia zbioru w sensie
Pawlaka:
def
lowX = {u | Γu ⊆ X}
def
uppX = {u | Γu ∩ X 6= ∅}
Sem-PP’2011 – p. 88/124
•
Γ-definiowalne dolne i górne przybliżenia zbioru
w sensie Pawlaka:
def
[
low∪ X = {Γu | Γu ⊆ X}
[
def
upp∪ X = {Γu | Γu ∩ X 6= ∅}
Sem-PP’2011 – p. 89/124
•
Dolne i górne przybliżenia zbioru w sensie
Skowrona – Stepaniuka:
S
def
S
def
low X = {u | κ(Γu, X) = 1}
upp X = {u | κ(Γu, X) > 0}
Sem-PP’2011 – p. 90/124
•
Γ-definiowalne dolne i górne przybliżenia zbioru
w sensie Skowrona – Stepaniuka:
def
[
lowS∪ X = {Γu | κ(Γu, X) = 1}
[
def
uppS∪ X = {Γu | κ(Γu, X) > 0}
Sem-PP’2011 – p. 91/124
•
Post˛epujac
˛ podobnie dla infogranul postaci Γ∗ u
∗
dostajemy operacje dolnego przybliżenia low ,
low∪∗ , lowS∗ , lowS∪∗ oraz górnego przybliżenia
upp∗ , upp∪∗ , uppS∗ , uppS∪∗ .
•
Dla f ∈ {low, upp, lowS , uppS } zachodzi:
f ∪ = upp∗ ◦ f
Sem-PP’2011 – p. 92/124
•
Zbadane zostały własności i porównane zostały
operacje przybliżania w obu modelach przy
różnych dodatkowych warunkach nałożonych na
̺ i/lub ̺−1 (serialność, zwrotność,
symetryczność, przechodniość i ich kombinacje)
oraz przy różnych dodatkowych warunkach
nałożonych na κ.
Sem-PP’2011 – p. 93/124
DI: Model zmienno-precyzyjny
o dwóch uniwersach
•
A. Gomolińska: Variable-precision compatibility
spaces, Electronical Notices in Theoretical
Computer Science, 82(4):120–131, 2003,
http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume82.html
Sem-PP’2011 – p. 94/124
•
•
Rozważamy niepuste zbiory U1 , U2 oraz funkcj˛e
granulujac
˛ a˛ ∆ : U1 7→ ℘U2 , taka˛ że ∆→ U1
stanowi pokrycie zbioru U2 niepustymi
infogranulami postaci ∆u.
Definiujemy funkcj˛e ∆∗ : U2 7→ ℘U1
stowarzyszona˛ z ∆:
∗
def
∆ u = {v ∈ U1 | u ∈ ∆v}
Sem-PP’2011 – p. 95/124
•
WWY-dolne i WWY-górne przybliżenia zbioru
X ⊆ U2 :
low
upp
WWY
WWY
def
X = {u ∈ U1 | ∆u ⊆ X}
def
X = {u ∈ U1 | ∆u ∩ X 6= ∅}
Sem-PP’2011 – p. 96/124
•
∆-definiowalne WWY-dolne i WWY-górne
przybliżenia zbioru X:
low
WWY∪
def
X =
def
uppWWY∪ X =
[
[
{∆u | u ∈ U1 ∧ ∆u ⊆ X}
{∆u | u ∈ U1 ∧ ∆u ∩ X 6= ∅}
Sem-PP’2011 – p. 97/124
•
•
•
Zmienno-precyzyjna przestrzeń zgodności:
(U1 , U2 , ∆, κ1 , κ2 ), gdzie
U1 , U2 , ∆ sa˛ jak wyżej,
κi : ℘Ui × ℘Ui 7→ [0, 1] – funkcja inkluzji
przybliżonej nad Ui (i = 1, 2) spełniajaca
˛ rif 6 :
def
rif 6 (κi ) ⇔ ∀X 6= ∅.∀Y.κi (X, Y ) + κi (X, Ui − Y ) = 1
Sem-PP’2011 – p. 98/124
•
•
Niech 0 ≤ s < t ≤ 1 oraz X ⊆ U2 .
t-pozytywny i s-negatywny region X:
def
post X =
def
[
{∆u | u ∈ U1 ∧ κ2 (∆u, X) ≥ t}
[
negs X = {∆u | u ∈ U1 ∧ κ2 (∆u, X) ≤ s}
Sem-PP’2011 – p. 99/124
•
Podobnie t∗-pozytywny i s∗-negatywny region
X:
def
∗
post X =
def
[
∗
∗
{∆ u | u ∈ U2 ∧ κ1 (∆ u, X) ≥ t}
[
neg∗s X = {∆∗ u | u ∈ U2 ∧ κ1 (∆∗ u, X) ≤ s}
Sem-PP’2011 – p. 100/124
DI: Model uwzgl˛edniajacy
˛
podobieństwo i niepodobieństwo
•
A. Gomolińska: Approximation spaces based on
relations of similarity and dissimilarity of objects,
Fundamenta Informaticae, 79(3–4):319–333,
2007.
Sem-PP’2011 – p. 101/124
•
•
•
A. Tversky postuluje rozważanie argumentów
„za” i „przeciw” przy ustalaniu podobieństwa
mi˛edzy obiektami.
W modelu proponowanym przez autork˛e
argumenty „za” uwzgl˛ednione sa˛ przez pewna˛
relacj˛e zwrotna˛ zwana˛ relacja˛ podobieństwa, a
argumenty „przeciw” przez pewna˛ relacj˛e
przeciwzwrotna˛ zwana˛ relacja˛ niepodobieństwa
(jest ona zawarta w dopełnieniu relacji
podobieństwa).
Mamy dwa rodzaje infogranul elementarnych:
generowane przez relacj˛e podobieństwa oraz
generowane przez relacj˛e niepodobieństwa.
Sem-PP’2011 – p. 102/124
•
•
•
•
•
Przestrzeń przybliżeń: (U, r, ̺, κ), gdzie
U – niepusty zbiór obiektów,
r – relacja podobieństwa na U ,
̺ – relacja niepodobieństwa na U ,
κ – funkcja inkluzji przybliżonej nad U .
def
←
def
Γu = r {u} & Θu = ̺← {u}
Sem-PP’2011 – p. 103/124
•
Różne operacje przybliżania zbioru (t ∈ [0, 1]):
• int – operacja wn˛
etrza (dolnego przybliżenia),
• ext – operacja zewn˛
etrza,
• ppos – operacja regionu „być może”
pozytywnego (górnego przybliżenia),
• pneg – operacja regionu „być może”
negatywnego,
• ign – operacja regionu niewiedzy,
• intt – operacja regionu t-wewn˛
etrznego
(regionu t-pozytywnego),
• extt – operacja regionu t-zewn˛
etrznego.
Sem-PP’2011 – p. 104/124
def
intX = {u | Γu ⊆ X}
def
extX = {u | X ⊆ Θu}
def
pposX = {u | Γu ∩ X 6= ∅}
def
pnegX = {u | Θu ∩ X 6= ∅}
def
ignX = U − (pposX ∪ pnegX)
def
intt X = {u | κ(Γu, X) ≥ t}
def
extt X = {u | κ(X, Θu) ≥ t}
Sem-PP’2011 – p. 105/124
Niech
def
rif 3 (κ) ⇔ ∀X 6= ∅.κ(X, ∅) = 0.
•
Własności operacji przybliżania:
int1 = int & ext1 = ext
u ∈ ignX ⇔ X ∩ (Γu ∪ Θu) = ∅
int0 X = ext0 X = intt U = extt ∅ = pposU = U
pnegU = {u | Θu 6= ∅}
int∅ = extU = ppos∅ = pneg∅ = ∅
rif 3 (κ) & t > 0 ⇒ intt ∅ = ∅
Sem-PP’2011 – p. 106/124
Niech f oznacza ppos lub pneg.
intX ⊆ X ⊆ pposX
extX ⊆ int(X c ) = (pposX)c
r ∪ ̺ = U × U ⇒ extX = int(X c )
X 6= ∅ ⇒ extX ⊆ pnegX
s ≤ t ⇒ intt X ⊆ ints X & extt X ⊆ exts X
X ⊆ Y ⇒ intt X ⊆ intt Y & extY ⊆ extX
& fX ⊆ fY
Sem-PP’2011 – p. 107/124
intt (X ∩ Y ) ⊆ intt X ∩ intt Y
intt (X ∪ Y ) ⊇ intt X ∪ intt Y
int(X ∩ Y ) = intX ∩ intY
ext(X ∩ Y ) ⊇ extX ∪ extY
ext(X ∪ Y ) = extX ∩ extY
f (X ∩ Y ) ⊆ f X ∩ f Y
f (X ∪ Y ) = f X ∪ f Y
Sem-PP’2011 – p. 108/124
DI: Model oparty na słabszych
funkcjach inkluzji
(„słabszych” w stosunku do inkluzji
przybliżonej)
•
A. Gomolińska: Rough approximation based on
weak q-RIFs, Transactions on Rough Sets X:
journal subline of LNCS, 5656:117–135, 2009.
Sem-PP’2011 – p. 109/124
DIII: Przybliżone spełnianie formuł i ich zbiorów
•
•
•
Zagadnienie to jest badane na przykładzie formuł
j˛ezyka deskryptorów systemu informacyjnego
Pawlaka.
Informacja dost˛epna o rozważanych obiektach
jest niedoskonała.
Celem jest odkrywanie poj˛ecia spełniania formuł
i ich zbiorów, a nie zbudowanie formalnego
systemu logicznego.
Sem-PP’2011 – p. 110/124
DIII: Relacje
spełniania
przybliżonego
Referencje:
• A graded meaning of formulas in approximation
spaces, Fundamenta Informaticae,
60(1–4):159–172, 2004.
• Satisfiability and meaning of formulas and sets of
formulas in approximation spaces, Fundamenta
Informaticae, 67(1–3):77–92, 2005.
• Satisfiability judgement under incomplete
information, Transactions on Rough Sets XI:
journal subline of LNCS, 5946:66–91, 2010.
Sem-PP’2011 – p. 111/124
•
•
W tym podejściu poj˛ecie spełniania formuł z
FOR przez obiekty z U modelowane jest jako
sparametryzowana rodzina relacji, czyli
podzbiorów U × FOR.
Celem jest odkrycie relacji najlepiej pasujacej
˛ do
badanego przypadku, np. przez optymalizacj˛e
wartości parametrów.
Sem-PP’2011 – p. 112/124
Przykłady
•
Przykład I: {|=t }t∈[0,1] , gdzie
def
u |=t α ⇔ κ(Γu, Satc (α)) ≥ t.
•
Zauważmy, że jeśli t > 0, to
def
Satt (α) = {u ∈ U | u |=t α}
= post (Satc (α)).
Sem-PP’2011 – p. 113/124
•
Przykład II: {|=+
t }t∈[0,1] , gdzie
+ def
|=t = |=t
•
∩ |=c .
Zauważmy, że jeśli t > 0, to
Sat+
t (α) = post (Satc (α)) ∩ Satc (α).
Sem-PP’2011 – p. 114/124
•
Niech b˛edzie porzadkiem
˛
„po współrz˛ednych”
na [0, 1]2 .
•
([0, 1]2 , ) – krata z (0, 0) jako zerem i (1, 1) jako
jedynka.˛
•
np
{|=t }t∈T ,
Przykład III:
gdzie
T = {(t1 , t2 ) | 0 ≤ t1 < t2 ≤ 1} oraz
u
|=np
t
def
α ⇔ κ(Γu, Satc (¬α)) ≤ π1 (t)
& κ(Γu, Satc (α)) ≥ π2 (t).
Sem-PP’2011 – p. 115/124
•
Zauważmy, że
np
Satt (α)
= negπ1 (t) (Satc (α)) ∩ posπ2 (t) (Satc (α)).
Sem-PP’2011 – p. 116/124
•
Przykład IV: |=P , gdzie
P
def
u |= α ⇔ Γu ∩ Satc (α) 6= ∅.
•
Zauważmy, że
SatP (α) = upp(Satc (α)).
•
To poj˛ecie spełniania koresponduje z poj˛eciem
prawdy przybliżonej wprowadzonym przez
Z. Pawlaka i badanym przez M. Banerjee.
Sem-PP’2011 – p. 117/124
•
Przykład V: |=S , gdzie
S
def
u |= α ⇔ κ(Γu, Satc (α)) > 0.
•
Zauważmy, że
SatS (α) = uppS (Satc (α)).
Sem-PP’2011 – p. 118/124
•
Przykład VI: {|=gW
t }t∈T , gdzie T = (0, 1] × [0, 1]
oraz
u
•
gW
|=t
def
α ⇔ κ(posπ1 (t) (Γu), Satc (α)) ≥ π2 (t).
Relacje spełniania otrzymane dla π2 (t) = 1 sa˛
inspirowane semantyka˛ „możliwych światów”
dla logik modalnych.
Sem-PP’2011 – p. 119/124
DIII: Odkrywanie poj˛ecia spełniania formuł
A dokładniej – odkrywanie poj˛ecia spełniania formuł
z dost˛epnych danych i przykładów (np. przykładów
na „tak” i na „nie”) dostarczonych przez eksperta.
Referencje:
• Satisfiability of formulas from the standpoint of
object classification: The RST approach,
Fundamenta Informaticae, 85(1–4):139–153,
2008.
Sem-PP’2011 – p. 120/124
DIII: Przybliżone spełnianie formuł a zbiory rozmyte
•
Mianowicie, wprowadzone poj˛ecia przybliżonego
spełniania formuł oraz poj˛ecia pokrewne
interpretowane sa˛ w terminach teorii zbiorów
rozmytych jak rdzeń czy alfa-ci˛ecie.
Referencje:
• A fuzzy view on rough satisfiability, Lecture
Notes in Artificial Intelligence, 6086:227–236,
2010.
Sem-PP’2011 – p. 121/124
DIII: Przybliżone stosowanie
reguł
Referencje:
• A graded applicability of rules, Lecture Notes in
Artificial Intelligence, 3066:213–218, 2004.
• Towards rough applicability of rules, [in:]
B. Dunin-K˛eplicz, A. Jankowski, A. Skowron,
and M. Szczuka, editors, Monitoring, Security,
and Rescue Techniques in Multiagent Systems,
pages 203–214, Springer-V., Berlin Heidelberg,
2005.
• Rough rule-following by social agents, [in:]
H. Flam and M. Carson, editors, Rule Systems
Theory. Applications and Explorations, pages
103–118, Peter Lang, Frankfurt am Main, 2008.
Sem-PP’2011 – p. 122/124
DIII: Konstrukcja infogranul
spełniajacych
˛
dane wymagania
Referencje:
• Construction of rough information granules, [in:]
W. Pedrycz, A. Skowron, and V. Kreinovich,
editors, Handbook of Granular Computing, pages
449–470, John Wiley & Sons, Chichester, 2008.
Sem-PP’2011 – p. 123/124
DIII: Formowanie sadów
˛
w
agentach inteligentnych
Referencje:
• On rough judgment making by socio-cognitive
agents, [in:] A. Skowron et al., editors, Proc.
2005 IEEE//WIC//ACM Int. Conf. on Intelligent
Agent Technology (IAT’2005), Compiègne,
France, September 2005, pages 421–427. IEEE
Computer Society Press, Los Alamitos, CA,
2005.
• Satisfiability judgement under incomplete
information, Transactions on Rough Sets XI:
journal subline of LNCS, 5946:66–91, 2010.
Sem-PP’2011 – p. 124/124