mp2_dyf_10.

Dodatek A: Rozwiązanie równania dyfuzji dla różnych warunków
początkowych i brzegowych
A.1. Początkowy rozkład przestrzenny c(x, 0)
Rozważmy najpierw rozwiązanie odpowiadające masie M uwolnionej w
czasie t = 0 w punkcie x = ξ .
Warunkiem początkowym jest:
c ( x , 0 ) = Mδ ( x − ξ )
a
(A.1)
rozwiązaniem odpowiadającym dziedzinie nieskończonej, dla której
c(± ∞, t ) = 0, jest

2
 − (x − ξ ) 
M
exp 
c (x,t ) =
4Dt 
4π Dt


(A.2)

jak wynika to z poprzednich rozważań. Załóżmy teraz, że warunki początkowe
wynosiły
c (x,0 ) = f ( x ) − ∞ < x < ∞ ,
(A.3)
gdzie f (x) jest pewną dowolną funkcją. Wówczas możemy wyobrazić sobie, że
ten początkowy rozkład jest szeregiem oddzielnych chmur, które wszystkie
dyfundują
niezależnie
na
mocy
podstawowego
założenia,
że
ruch
poszczególnych cząstek jest niezależny od koncentracji innych cząstek. Rys. A.1
pokazuje jak rozkład może być przybliżony jako szereg chmur, z których każda
rozciąga się na dystansie dξ a jej masa jest określona lokalną wartością f(ξ).
Każda chmura zawiera przy tym masę M=f (ξ)dξ. Koncentracja w punkcie x i
czasie t wynika z impulsu o środku w ξ , i którego szerokość wynosi dξ a
wysokość f(ξ) i koncentracja ta wynosi zatem:


f (ξ )dξ exp  − (x − ξ )2 

4Dt 

4π Dt


Całkowity udział pochodzący od wszystkich chmur określony w x oraz t jest po
1
prostu sumą całkową wszystkich indywidualnych udziałów, wynoszącą:
c (x ,t ) =
∞
∫
−∞
 − ( x − ξ )2 
f (ξ )
exp 
 dξ
4π Dt
4
Dt


(A.4)
Wyrażenie to nazywane jest w języku angielskim „superposition integral”
f(ξ)
f(x)
dξ
x
Rys. A.1. Aproksymacja f(x) szeregiem chmur, z których każda
zawiera masę f(ξ)dξ
Szczególnym przykładem „superposition integral” jest przypadek, kiedy
funkcja f (x) jest dana jako funkcja nieciągła (skokowa), tzn.:
0,
c (x, 0)
x < 0,
=
(A.5)
co , x > 0.
Jak pokazano na rys. A.2. W tym przypadku
∞
c (x ,t ) = ∫
0
co po podstawieniu
 − ( x − ξ )2 
co
exp 
 dξ
4π Dt
 4 Dt 
u = ( x − ξ ) / 4Dt
(A.6)
można przekształcić do postaci:
2
c (x ,t ) =
co
π
x/
4 Dt
2
∫
e − u du
−∞
x / 4 Dt

co  π
−u2
e
du
=
+


∫0
π  2

c 
 x 
= o 1 + erf 

2 
4
Dt


(A.7)
gdzie erf oznacza całkę prawdopodobieństwa (w jęz. angielskim error function
– funkcją błędu), która jest zdefiniowana następująco:
erf z =
2
π
z
2
(
) dξ
exp
−
ξ
∫
(A.8)
0
Rozwiązanie jest przedstawione w postaci graficznej na rys. A.2 a wartości
funkcji erfz zestawiono w Tabl. A.1.
A.2. Koncentracja określona w funkcji czasu c (0, t).
Następny problem który rozwiążemy dotyczyć będzie przypadku, kiedy
koncentracja jest przedstawiona jako funkcja czasu w pewnym ustalonym
punkcie. Jeżeli rozważany obszar jest nieskończony, wówczas możemy założyć,
że będzie to punkt x = 0 bez utraty ogólności rozważań. Jako pierwszy krok
naszej analizy załóżmy, że w chwili początkowej t = 0 koncentracja jest równa
zeru wszędzie wzdłuż osi x.
3
c
początkowa funkcja skokowa
c0
c=
-3
-2
-1
0
c0
1+erf
2
1
x
4Dt
2
3
x
σ
Rys. A.2. Rozprzestrzenianie się skokowego wzrostu
koncentracji dane (A.7)
Następnie koncentracja jest skokowo zwiększana do wartości co w punkcie x= 0
i dalej utrzymywana na tym poziomie. Należy znaleźć czasowo – przestrzenną
zmienność c (x, t).
Rozwiązanie można otrzymać najłatwiej poprzez analizę wymiarową.
Koncentracja w dowolnym punkcie musi zależeć od co i od fizycznych skal
charakteryzujących ten problem, tzn. x, D oraz t. Jedynym poprawnym
wymiarowo sformułowaniem tego problemu jest następujący zapis:
c = co f  x/ Dt 


(A.9)
gdzie f oznacza tę nieznaną jeszcze zależność. Następnie wprowadźmy nową
zmienną η
= x/
Dt
i zauważmy, że
dc dc ∂η
1 dc
=− η
=
∂t dη ∂t
2 t dη
∂ 2c 1 d 2c
=
.
∂x 2 tD dη 2
Po podstawieniu powyższych związków do równania dyfuzji otrzymamy
równanie różniczkowe zwyczajne
4
2
− 1 η df = d f
2 dη dη 2
(A.10)
z warunkami brzegowymi f(0)=1 oraz f(∞)=0. Ponieważ c (-x, t ) = c (x,t),
wystarczy znaleźć rozwiązanie tylko dla dodatniej części osi x, która wynosi

 x 
c = co  1 − erf 

4
Dt



 x 
= co erfc 
 dla ( x > 0 ).
 4 Dt 
c
c0
t narastające
(A.11)
t = t1
t = t2
t = t3
x
Rys. A.3. Rozkład koncentracji dany równ. (A.10).
Erfc” oznacza „uzupełniającą całkę prawdopodobieństwa”, zdefiniowaną
wzorem:
erfc ( Z ) = 1 − erf ( Z ).
(A.12)
Rozwiązanie jest pokazane na rys. A.3, pokazującym postępujący front z tym
samym kształtem opisanym funkcją błędu jak na rys. A.2. Należy zauważyć, że
odległość do punktu, w którym występuje dana wartość c/co narasta jak
Dt .
5
Rozważmy ten sam problem jak poprzednio, lecz tym razem co(τ) jest
zmienną w czasie koncentracją daną w x = 01. Rozwiązanie otrzymuje się przez
superpozycję poprzednio uzyskanych rozwiązań, zgodnie ze schematem
wykreślonym na rys. A.4. Dla każdego przyrostu czasu δτ koncentracja w x = 0
zmienia się o
( ∂c / ∂τ )δτ .
Jeżeli zmiana zachodzi w czasie τ wówczas
wynik dla wszystkich przyszłych chwil, spowodowany jednostkowym
przyrostem, wyliczony być może z równ. A.11 następująco:
δc =


x
∂co

δτ erfc 
∂τ
 4 D (t − τ ) 
(t > τ ).
(A.13)
Całkowita koncentracja w czasie t jest sumą udziałów pochodzących od
wszystkich poprzednich chwil


x
∂co

erfc
 4 D(t − τ )  dτ .
∫−∞ ∂τ


t
c=
(A.14)
A.3. Emisja masy danej w funkcji czasu.
Zamiast podać koncentrację, załóżmy że podamy szybkość emisji masy.
Rozkład koncentracji wynikający z podania pojedynczej porcji masy M w x=0
•
dany jest rozkładem Gaussa. Ciągła emisja strumienia masy
M
jest
•
równoważna emisji masy w ilości
M δt
na każdy krok czasowy δt, jeżeli δt
jest nieskończenie małe. Koncentracja wynikająca z ciągłej emisji jest sumą
koncentracji pochodzących z emisji kolejnych porcji wprowadzonych we
wszystkich chwilach czasu poprzedzających czas obserwacji:
1
Używany τ dla oznaczenia czasu jako zmiennej w funkcji źródła dla odróżnienia od wprowadzonej dalej
zmiennej t oznaczającej czas obserwacji.
6
c=
t
∫
−∞
•


M (τ )
x2
exp −
 dτ ,
(
)
4π D (t − τ )
4
D
t
τ
−


(A.15)
•
M (τ )
gdzie
jest strumieniem masy w chwili τ , który może zmieniać się w
czasie
c
c0
δτ
( c0 / τ)(δ τ)
τ
Rys. A.4. Superpozycja zastosowana dla uzyskania rozwiązania opisującego
zmienną koncentrację co(τ) danego równ. A.14.
Jeżeli koncentracja jest początkowo równa zeru wszędzie i źródło
•
emitowanej masy o stałej wartości
M
(jednostek masy na jednostkę czasu) jest
włączona w t=0 oraz x=0,
Wówczas równ. (A.15) daje:
•
M
c (x ,t ) =
4τ D
•
Mx
=
4D π
t
∫
o


1
x2
exp 
 dτ
(
)
τ
t −τ
4
D
t
−


4 Dt / x
∫
(A.16)
2
u − 1 / 2 e − 1 / u du .
0
Rozwiązanie to zostało wykreślone na rys. A.5. Ostatecznie, jeżeli mamy
przestrzenne źródło emitowanej masy m(x, t), gdzie m oznacza ilość jednostek
masy na jednostkę długości i jednostkę czasu, wówczas możemy dokonać
7
superpozycji przestrzennej jak w równ. A.4 i następnie superpozycji w czasie
aby otrzymać ogólne rozwiązanie równania dyfuzji w postaci:
c (x ,t ) =
∞
1
∫ ∫
−∞
−∞
 ( x − ξ )2 
m (ξ ,τ )
exp −
 dξ dτ
(
)
4π D (t − τ )
4
D
t
τ
−


(A.17)
c
3
t=9
t=4
t=1
t=9
t=4
t=1
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
⋅
Rys. A.5. Rozkład wynikający z emisji ze źródła o stałym wydatku masy M danego
⋅
równ. (A.16). Wartości liczbowe dla rysunku wynoszą M = 1 oraz D = 0.25 .
A.4. Rozwiązania z uwzględnieniem granic.
Odmienna klasa problemów występuje wtedy, gdy rozprzestrzenianie się
zanieczyszczenia jest ograniczone obecnością granic. Także i w tym przypadku
często stosowana jest zasada superpozycji, która stwierdza, że jeśli równanie i
warunki brzegowe są liniowe, wówczas możliwe jest nałożenie dowolnej liczby
indywidualnych rozwiązań równania i w wyniku otrzymuje się nowe
rozwiązanie.
Dla ilustracji metody załóżmy, że jednostka masy zawiesiny jest skupiona
w początku jednowymiarowego układu dla t=0 i że istnieje ściana
umiejscowiona w x=−L (odległość L od źródła) przez którą to ścianę
8
koncentracja nie może dyfundować. Zgodnie z prawem Ficka warunek
brzegowy dla nieprzepuszczalnej ściany sformułowany jest następująco:
q = − D∂c / ∂x = 0
at
x = −L
(A.18)
lub innymi słowy jest to warunek, że gradient koncentracji musi wynosić zero
na ścianie. Jak pokazano na rys. A.6 ten warunek byłby spełniony jeżeli
dodatkowa jednostkowa masa zawiesiny byłaby skupiona w punkcie x=−2L dla
t=0 i jeżeli ściana byłaby usunięta, dzięki czemu obydwie chmury mogłyby
dyfundować
do
nieskończoności
w
obydwu
kierunkach.
Rozwiązanie
rzeczywistego problemu z rzeczywistymi granicami jest takie samo jak suma
rozwiązań dla rzeczywistego oraz pozornego źródła bez granic, tzn.:

 ( x + 2 L )2  
 x2 
+ exp −
c=
exp −


4π Dt 
4
Dt
 4 Dt 


1
(A.19)
Załóżmy teraz, że potrzebne jest nam rozwiązanie dla przypadku w
którym źródło jest otoczone granicami, z których jedna przypada w x= − L a
druga w x= + L. Podobnie jak poprzednio, aby spełnić warunek brzegowy w
x=–L dodajemy pozorne źródło w x = +2L (patrz rys. A.6.b). Tymczasem
źródło w x = − 2L wywołuje dodatni gradient na granicy umieszczonej w x=+L
czemu należy przeciwdziałać umieszczając inne źródło w x = − 4L, x = +8L i
tak dalej do nieskończoności. Podobne źródło umieszczone w x = +2L wymaga
źródła w x = − 4L, x = + 6L itd. Rozwiązaniem problemu jest suma
oddziaływań wszystkich źródeł a mianowicie:
c (x ,t ) =
∞
∑
n = −8
 − ( x + 2 nL )2 
exp 

4π Dt
4
Dt


1
(A.20)
Jeżeli warunkiem brzegowym jest zerowa koncentracja w x = ± L, wówczas
ujemne źródła należy umieścić w x = ± 2L, dodatnie w x = ± 4L itd. A
kompletne rozwiązanie wynosić wówczas będzie:
9
c (x ,t ) =
 − ( x + 4 nL )2 
∞
 − [ x + (4 n − 2 )L]
∑ exp 
 − exp 

4 Dt
4 Dt
4π Dt n = −∞



1


(A.21)
C
a)
x
źródło
pozorne
brzeg
źródło
rzeczywiste
C
b)
X = -2L
X = -L
źródło
pozorne
brzeg
X=L
X = 2L
źródło brzeg
rzeczywiste
źródło
pozorne
X=0
x
Rys. A.6. Metoda superpozycji zapewniająca spełnienie warunków brzegowych dla
nieprzepuszczalnych ścian, a) pojedyncza granica – potrzebne jedno źródło pozorne,
b) dwie granice – niezbędna nieskończona liczba źródeł pozornych; gruba ciągła linia
– rozkład spełniający warunki brzegowe, cienka przerywana linia – rozkład od źródeł
pozornych.
Zarówno w równ. (A.20) jak i (A.21) zazwyczaj wystarcza użycie zaledwie
kilku członów, dla przykładu n = 0, n = ± 1 and n = ± 2.
Pozostawia się Czytelnikowi jako ćwiczenie próbę sprawdzenia, jak inne
kombinacje warunków brzegowych prowadzą do różnych wymagań stawianych
10
rozkładowi źródeł pozornych. Pożytecznym punktem wyjścia jest przyjęcie
nieprzepuszczalnych granic w x = ±L i jednostkowego źródła w x = L/2.
A.5. Rozwiązania w dwóch i trzech wymiarach.
Załóżmy, że masa M znacznika (np. barwnika) została umieszczona w
chwili t=0 w początku układu współrzędnych x, y w dwuwymiarowym (2D)
przepływie. Warunek początkowy można zapisać:
c ( x , y ,0 ) = Mδ ( x )δ ( y ).
(A.22)
Zapiszmy równanie dyfuzji dla dwóch wymiarów jako:
∂c
∂ 2c
∂ 2c
= Dx 2 + D y 2 ,
∂t
∂x
∂y
(A.23)
gdzie Dx jest współczynnikiem dyfuzyjności w kierunku x a Dy jest
współczynnikiem dla kierunku y. W dyfuzji molekularnej Dx = Dy = D ,
ponieważ jednak będziemy używać tego równania do rozwiązania wielu
zagadnień odnowy środowiska gdzie dyfuzyjności są różne w różnych
kierunkach, stąd też rozróżnienie to zaczniemy wprowadzać tutaj.
Rozwiązanie
można
uzyskać
poprzez
rozdzielenie
zmiennych.
Podstawmy zatem:
c ( x , y , t ) = c 1 ( x , t ) c 2 ( y , t ),
(A.24)
gdzie c1 nie jest funkcją y a c2 nie jest funkcją x. Otrzymamy wówczas:
∂
∂c2
∂c1
∂ 2 c1
∂ 2 c2
(c1 c2 ) = c1 + c2 = Dx c2 2 + D y c1 2 .
∂t
∂t
∂t
∂x
∂y
(A.25)
Przekształcając otrzymujemy:
 ∂c1
 ∂c2
∂ 2 c1 
∂ 2 c2 
− D x 2  + c1 
− Dy 2  = 0
c2 
∂x 
∂y 
 ∂t
 ∂t
(A.26)
11
Równanie powyższe będzie spełnione jeżeli wielkości w nawiasach są
jednocześnie równe zeru, tzn. jeżeli c1 oraz
c2 spełniają jednowymiarowe
równanie dyfuzji. Mnożąc te dwa wyniki przez siebie oraz zauważając, że
∫∫ c dx dy = M , otrzymujemy ostateczny wynik:
 x2
M
y2 

c = c1 c 2 =
exp  −
−

4π Dx D y
 4 Dx t 4 D y t 
(A.27)
Należy zauważyć, że dla zagadnienia jednowymiarowego jednostką koncentracji
była masa na jednostkę długości; w dwóch wymiarach jest to masa na jednostkę
powierzchni a w trzech wymiarach masa na jednostkę objętości 2. Równanie
(A.27) daje linie stałej koncentracji, które tworzą rodzinę współśrodkowych
elips, dla których stosunki długości i krótkich osi pozostają w stosunku
[Dx /Dy]1/2.
Zasada rozdzielania zmiennych może być łatwo rozszerzona na
zagadnienia trójwymiarowe. Pozostawia się jako ćwiczenie próbę wykazania, że
jeżeli masa M zostanie umieszczona w początku układu współrzędnych x, y, z w
trójwymiarowym przepływie w chwili t = 0, wówczas rozkład koncentracji
będzie dany jako:
2
2
 x2
y
z 


c (x , y , z ,t ) =
−
−
3/ 2
1 / 2 exp  −

(4πt ) (D x D y Dz )
 4 D x t 4 D y t 4 Dz t 
M
(A.28)
Równania (A.27) oraz (A.28) są ogólnymi rozwiązaniami odpowiednio dla
dwóch i trzech wymiarów. Rozwiązania odpowiadające innym warunkom
brzegowym i początkowym, analogicznie do rozwiązań jednowymiarowych
2
Alternatywnie, c może być uważane za wielkość, której wymiarem jest jednostka masy na jednostkę objętości,
lecz wówczas M ma odpowiednio wymiar jednostki masy na jednostkę powierzchni dla zagadnień
jednowymiarowych (źródło punktowe) i jednostkę masy na jednostkę długości (źródło liniowe).
12
mogą być uzyskane metodami superpozycji podobnymi do tych, których
używaliśmy dla zagadnienia jednowymiarowego.
A.6. Adwekcja.
Dotychczas zakładaliśmy, że płyn był nieruchomy i że transport masy
realizowany był jedynie przez dyfuzję. Załóżmy teraz, że płyn porusza się z
→
prędkością
Uz.
U , której składowe w kierunkach x,y oraz z
wynoszą Ux,
Uy oraz
Transport realizowany przez ruch średni płynu nazywamy adwekcją i
zakładamy, że procesy transportu realizowane przez adwekcję i dyfuzję są
oddzielnymi lecz addytywnymi procesami. Jest to równoważne założeniu, że
procesy dyfuzji w poruszającym się płynie zachodzą w taki sam sposób jak w
płynie nieruchomym. Dodatkowo załóżmy także, że zajmować się będziemy
molekularną dyfuzją w przepływie laminarnym, co oznacza, że współczynnik
dyfuzji ma stałą wartość D we wszystkich kierunkach.
Strumień masy transportowanej przez jednostkową powierzchnię leżącą w
płaszczyźnie
yz
za pomocą składowej
Ux
prędkości w kierunku
x
dany jako
(Ux c), ponieważ jest to natężenie objętościowe przepływu przez powierzchnię
jednostkową (Ux x jednostkowa powierzchnia = objętość / jednostkę czasu)
pomnożone przez koncentrację masy w tej objętości. Całkowity strumień
transportowanej masy to strumień adwekcyjny plus strumień dyfuzyjny, tzn.:
q = U x c + (− D∂c / ∂x ).
2a
strumień
adwekcyjny
strumień
dyfuzyjny
(A.29)
2b
kiedy podstawimy to wyrażenie do jednowymiarowego równania zachowania
masy, otrzymamy jak poprzednio równanie dyfuzji plus dodatkowy człon
adwekcyjny:
13
∂ 2c
∂c ∂
+ (U x c ) = D 2
∂t ∂x
∂x
(A.30)
Równanie dla trzech wymiarów można otrzymać po wykonaniu tych
samych kroków, które doprowadziły do równania dyfuzji w jednym wymiarze.
Pozostawia się Czytelnikowi jako ćwiczenie dowód, że równanie dyfuzji dla
trzech wymiarów przyjmuje postać:
→

(∂c / ∂t ) + ∇ ⋅  c U  = D∇ 2 c


(A.31)
→
lub, wykorzystując równanie ciągłości
∇ ⋅U = 0 :
→
(∂c / ∂t ) + U ⋅ ∇c = D∇ c
2
(A.32)
Rozpisując to równanie we współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy:
 ∂ 2c ∂ 2c ∂ 2c 
∂c
∂c
∂c
∂c
+ Ux
+ U y + Uz
= D 2 + 2 + 2 
∂t
∂x
∂y
∂z
 ∂x ∂y ∂z 
Równanie
powyższe
dyfuzyjnym”,
nazywane
ponieważ
jednak
jest
często
adwekcja
równaniem
występuje
(A.33)
„adwekcyjno-
powszechnie
w
problematyce aerodynamiki środowiska stąd też równanie to nazywane jest
najczęściej „równaniem dyfuzji”.
Przejdźmy teraz do dwóch rozwiązań granicznych równania dyfuzji
(A.33) dla płynu poruszającego się ze stałą prędkością
Ux
w kierunku
pierwszym z tych rozwiązań zakładamy, że gradienty w kierunku
y
x.
W
są małe,
tzn.:
∂c
∂ 2c
∂c
+u = D 2
∂t
∂x
∂x
(A.34)
natomiast dla drugiego przypadku zakładamy, że transport dyfuzyjny w
kierunku x jest mniejszy niż transport drogą adwekcji, co daje:
14
∂c
∂ 2c
∂c
+u = D 2
∂t
∂x
∂y
gdzie
y jest
(A.35)
kierunkiem poprzecznym (do kierunku przepływu). W przypadku
opisanym równaniem (A.34) występuje transport adwekcyjny w tym samym
kierunku co dyfuzja. Dla przykładu można tu rozważyć problem, w którym w
rurze znajduje się jeden płyn wypełniający rurę w całości, który to płyn
przemieszczany jest następnie ze średnią prędkością
Ux
przez inny płyn
zawierający znacznik w ilości określonej przez koncentrację co . W czasie t=0
istnieje ostro zarysowana powierzchnia rozdziału, taka że:
0,
x>0
c (x, 0) =
(A.36)
co,
Jeżeli podstawimy x’=x
x<0
– Ux t , wówczas równ. (A.34) przyjmie postać:
(∂c / ∂t ) = D (∂ 2 c / ∂x' 2 ).
Innymi słowy, rozważane zagadnienie jest takie samo jak problem dyfuzji w
nieruchomym płynie obserwowany w ruchomym układzie współrzędnych
poruszający się z prędkością
Ux . Problem ten rozwiązywaliśmy już z użyciem
źródeł pozornych a rozwiązanie dane jest równ. (A.7). Uwzględniając ruchomy
układ współrzędnych i stosując metodę źródeł pozornych otrzymujemy:
c (x ,t ) =
co
2

 x − U x t 
−
1
erf

 .

4
Dt



(A.37)
Przykład dyfuzji w kierunku poprzecznym pokazano na rys. A.7. Przedstawia on
najprostszy przypadek poprzecznego mieszania dwóch strumieni o różnych lecz
jednorodnych koncentracjach, przy czym strumienie te płyną równolegle obok
siebie. Ponieważ dane wyjściowe są stałe więc rozwiązanie nie może zależeć od
czasu i równ. (A.35) upraszcza się do postaci:
15
U x (∂c / ∂x ) = D (∂ 2 c / ∂y 2 ),
profil koncentracji w kierunku y
przepływ
z
prędkością Ux
c=0
c = c0
c
c
Rys. A.7. Narastanie poprzecznej strefy mieszania.
z warunkami brzegowymi:
0,
c (x, 0)
y>0
=
co,
y<0
oraz
c (x , ∞) → 0 ,
c ( x , − ∞ ) → co .
Rozwiązanie wynika wprost z poprzedniego przykładu jeżeli weźmiemy pod
uwagę odpowiedniość
x’oraz y
i odpowiednio
t
oraz
x/Ux.
Otrzymamy
wówczas:
co 
c = 1 − erf
2 

y

 4 Dx / U x

 .

(A.38)
16
Nieco bardziej złożony jest przypadek określony następującymi warunkami
brzegowymi:
c (0 , t ) = co ,
0 < t < ∞,
c ( x ,0 ) = 0 ,
0 < x < ∞,
∂c
∂c
∂ 2c
+ Ux
=D 2,
∂t
∂x
∂x
0 < x < ∞.
Fizykalnie problem ten odpowiada przepływowi w rzece, do której wprowadza
się stałą koncentrację domieszki co w początku układu współrzędnych i chwili
t = 0
i dalej proces ten jest utrzymywany. Jest oczywistym, że ostateczne
rozwiązanie określać będzie rozkład koncentracji
c
w kierunku przepływu.
Pozostawia się jako ćwiczenie dla czytelnika wykazanie, że dla czasu t
c (c , t ) =
co
2
< ∞:

 U x x 
 x − U xt 
 x + U xt 
+
erfc
erfc
exp





 .

4
Dt
4
Dt
D







(A.39)
Przypadek ciągłej, punktowej emisji zanieczyszczenia w dwu lub
trójwymiarowym przepływie jest ważny, gdyż możliwe jest zazwyczaj
zredukowanie liczby wymiarów o jeden. Załóżmy, że z punktowego źródła
•
emitowana jest masa, której strumień wynosi
współrzędnych (x,
y, z)
prędkość przepływu wynosi
Mw
początku układu
w trójwymiarowym przepływie oraz że średnia
Ux
w kierunku osi x. Dla uproszczenia załóżmy,
że współczynnik dyfuzji wynosi
D
we wszystkich kierunkach i wówczas
równanie dyfuzji przyjmuje postać:
17
 ∂ 2c ∂ 2c ∂ 2c 
∂c
∂c
+ Ux
=D 2 + 2 + 2
∂t
∂x
 ∂x ∂y ∂z 
(A.40)
Rozwiązanie ogólne można otrzymać przez nałożenie w czasie i przestrzeni
źródeł punktowych. W większości praktycznie występujących przypadków
możliwe jest natomiast uproszczenie trójwymiarowego zagadnienia do
przypadku rozprzestrzeniania się chwilowego źródła punktowego w dwóch
zaledwie kierunkach, dla którego uzyskaliśmy już rozwiązanie dane równ.
(A.27). Aby to pokazać załóżmy, że przepływ składa się z szeregu równoległych
δx
plastrów o grubości
ograniczonych przez nieskończone, równoległe
płaszczyzny y-z, jak pokazano na rys. A.8. Plastry te przechodzą przez źródło i
•
M δt , gdzie δt
każdy z nich otrzymuje porcję zanieczyszczenia o masie
czasem przejścia plastra przez źródło równym
δt/Ux.
jest
W konsekwencji masa
przypadająca na jednostkę powierzchni plastra, zgodnie z równ. (A.27) wynosi:
2
2
M δx
 ( y + z )
exp −
.

4πDtU x
4 Dt 

•
δx
z
y
przepływ
z
prędkością
Ux
nieruchome
źródło M
x
dwuwymiarowa dyfuzja
masy M δt znacznika
w plastrze o grubości δx
Rys. A.8. Redukcja problemu trójwymiarowego do dwóch wymiarów przez analizę
dyfuzji w ruchomym plastrze.
18
Jeżeli weźmiemy pod uwagę, że położenie plastra jest dane jako
x=Ux t oraz,
że przestrzenna koncentracja jest masą na jednostkę powierzchni plastra
podzieloną przez grubość plastra , wówczas otrzymamy:
•
2
2
M
 ( y + z )U x 
c (x , y ,z) =
exp −
.

4π Dx
4 Dx


(A.41)
Należy tu jednak zauważyć, że otrzymaliśmy to rozwiązanie przy pominięciu
dyfuzji wzdłuż kierunku przepływu. Dyfuzja w kierunku przepływu wywołuje
rozszerzenie chmury dla którego skala długości jest proporcjonalna do (2Dt)
1/2
(odchyłka standardowa rozmiaru dyfundującej chmury). Jeżeli odległość od
źródła do plastra wynosi
x = Ux t , wówczas dyfuzja w kierunku x może być
pominięta jeżeli tylko Ux t
praktycznych wartość
> (2Dt)1/2, lub t > 2D/(Ux)2. W zastosowaniach
t niezbędna dla spełnienia tego warunku jest zazwyczaj
bardzo mała i równ. (A.41) może być zastosowane bez większych trudności.
Czytelnikowi pozostawia się wykazanie, że przybliżone rozwiązanie problemu
rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń z ustalonego źródła punktowego dla
dwóch wymiarów dane jest związkiem:
•
c (x , y) =
Ux
2
M
 y Ux 
exp  −

4πDx / U x
 4 Dx 
(A.42)
•
gdzie
M
jest obecnie natężeniem źródła liniowego w jednostkach masy na
jednostkę długości i jednostkę czasu. To rozwiązanie może być użyte do analizy
poprzecznego mieszania zanieczyszczeń emitowanych z rurociągu do rzeki.
Podobnie jak równ. (A.41) także i związek (A.42) powinien być stosowany
jedynie wówczas, gdy spełniony jest warunek t
> 2D/(Ux)2.
19
Tablica A.1.
Stabelaryzowane wartości całki prawdopodobieństwa.
Z
erf (z)
z
erf (z)
0.0
0.0
0.742
0.7063
0.035
0.0399
0.778
0.7287
0.071
0.0797
0.813
0.7499
0.106
0.1192
0.848
0.7699
0.141
0.1585
0.884
0.7887
0.177
0.1974
0.919
0.8064
0.212
0.2358
0.955
0.8230
0.247
0.2737
1.000
0.8429
0.283
0.3108
1.131
0.8904
0.318
0.3473
1.202
0.9109
0.354
0.3829
1.343
0.9426
0.389
0.4177
1.591
0.9756
0.424
0.4515
1.944
0.9940
0.460
0.4843
2.121
0.9973
0.495
0.5161
2.475
0.99953
0.530
0.5467
2.828
0.99994
0.566
0.5763
3.123
1-10-5
0.601
0.6047
3.459
1-10-6
0.636
0.6319
3.767
1-10-7
0.672
0.6579
0.707
0.6827
20