zastosowanie zmodyfikowanego rozmytego filtru kalmana w

P O Z N A N UN I VE RS I T Y O F T E C HN O L O G Y ACA D E MI C J O URN A L S
No 84
Electrical Engineering
2015
Krzysztof DRÓŻDŻ*
ZASTOSOWANIE ZMODYFIKOWANEGO ROZMYTEGO
FILTRU KALMANA W STEROWANIU ADAPTACYJNYM
UKŁADU DWUMASOWEGO
W pracy przedstawiono zagadnienia związane z zastosowaniem zmodyfikowanego
algorytmu rozmytego filtru Kalmana w adaptacyjnej strukturze sterowania układu
dwumasowego. Modyfikacja algorytmu polegała na wprowadzeniu dynamicznej
adaptacji wybranych współczynników macierzy kowariancji zakłóceń zmiennych stanu.
W celu jej wprowadzenia zaprojektowano omówiony w artykule system rozmyty.
Proces adaptacji przeprowadzany był w trybie on-line na podstawie dwóch sygnałów
zawierających informację o stanie sterowanego obiektu. Opracowany algorytm
testowano w badaniach symulacyjnych i eksperymentalnych w zamkniętej strukturze
regulacji. Wyniki badań wskazują na uzyskanie znaczącej poprawy jakości estymacji
zmiennych stanu i parametru rozważanego układu w porównaniu do klasycznego
algorytmu rozszerzonego filtru Kalmana.
SŁOWA KLUCZOWE: estymacja, filtr Kalmana, układ dwumasowy, tłumienie drgań
1. WSTĘP
Praktyczna realizacja złożonych struktur sterowania układu dwumasowego
wymaga dostępności informacji o jego zmiennych stanu i wartościach
parametrów. W wielu przypadkach wykorzystanie czujników pomiarowych jest
trudne w realizacji lub niemożliwe do wykonania, np. ze względu na brak
przestrzeni lub koszt ich instalacji. Z tych powodów rozwinięte zostały metody
odtwarzania zmiennych stanu układów dynamicznych [3-5, 8]. Wartości
parametrów muszą być uprzednio zidentyfikowane i wprowadzone do struktury
regulacji. W wielu przypadkach stała czasowa maszyny roboczej zmienia się
w szerokim zakresie poprzez zmienność momentu bezwładności obciążenia.
Zmiany te powinny być uwzględniane przez strukturę sterowania. W tym celu
stosuje się sterowanie adaptacyjne [5-7].
Istnieje kilka podziałów struktur sterowania adaptacyjnego znanych
z literatury. Najogólniejszym z nich jest podział na bezpośrednie i pośrednie
sterowanie adaptacyjne. Omówienie obu rodzajów takiego sterowania znajduje
się w [5]. W niniejszej pracy przedstawiono zagadnienia związane z
__________________________________________
* Politechnika Wrocławska.
64
Krzysztof Dróżdż
zastosowaniem pośredniego sterowania adaptacyjnego dla układu
dwumasowego, wykorzystującego zmodyfikowany algorytm rozmytego filtru
Kalmana (RFK) w celu estymacji niedostępnych zmiennych stanu i parametru
rozpatrywanego układu. Wybraną strukturą regulacji jest struktura z regulatorem
PI oraz dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi. Zastosowano również
pomocnicze sprzężenie zwrotne od momentu obciążenia [5]. Podstawowa wersja
algorytmu rozmytego filtru Kalmana została przedstawiona w [1]. Jego
modyfikacja polegała na wprowadzeniu dynamicznej adaptacji wybranych
współczynników macierzy kowariancji zakłóceń zmiennych stanu Q filtru
Kalmana. Elementem wprowadzającym adaptację jest zaprojektowany i dalej
omówiony system rozmyty. Przeprowadzono badania symulacyjne i
eksperymentalne w zamkniętej strukturze regulacji. Uzyskano znaczną poprawę
jakości estymacji wszystkich wielkości w porównaniu do nieliniowego
rozszerzonego filtru Kalmana (NRFK).
2. MODEL MATEMATYCZNY OBIEKTU BADAŃ I STRUKTURA
STEROWANIA
Obiektem badań rozważanym w niniejszej pracy jest układ napędowy
z połączeniem sprężystym. W badaniach symulacyjnych zastosowano
powszechnie wykorzystywany model matematyczny układu dwumasowego z
bezinercyjnym połączeniem sprężystym [5]. Badany obiekt można opisać
następującym równaniem stanu (w jednostkach względnych):

0 0
1 (t )  
d 
 2 (t )    0 0

dt 
m s (t ) 
 1 1
 Tc Tc
 1
1

0
T1    (t )   
1
T
  1
 1 
 1


(
t
)

0

m


 m L 
2
e



T2  
 T2 
  m s (t )  0 
 0 
 
0
 

(1)
gdzie: 1 - prędkość silnika, 2 - prędkość maszyny roboczej, ms - moment skrętny,
mL - moment obciążenia, T1 - mechaniczna stała czasowa silnika, T2 - mechaniczna
stała czasowa maszyny roboczej, Tc - stała sprężystości. Znamionowe wartości
parametrów badanego układu są następujące: T1N = T2N = 203 ms, TcN = 1,2 ms.
Na rysunku 1 przedstawiono zastosowaną strukturę sterowania
adaptacyjnego z regulatorem PI, dwoma dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi
od momentu skrętnego (k1) i różnicy prędkości (k2) oraz dodatkowym
pomocniczym sprzężeniem zwrotnym od momentu obciążenia (kL1).
Współczynniki układu regulacji dobierane są w trybie on-line na podstawie
aktualnej estymowanej wartości parametru T2 zgodnie z poniższymi
zależnościami [2]:
Zastosowanie zmodyfikowanego rozmytego filtru Kalmana w sterowaniu ...
65
K I   r4 T1T2 Tc
(2)
3
r 1 2
(3)
K p  4 z  T T Tc
k2 
k1 
1
1
 r3T2 Tc

(4)

T1 4 z2  k 2
1
T2 1  k 2 
(5)
k L1  Tc K I 1  k 2   1  k 1
(6)
gdzie:  r - zadana pulsacja rezonansowa, z - zadany współczynnik tłumienia.
Badania przeprowadzono przyjmując następujące wartości pulsacji
rezonansowej oraz współczynnika tłumienia układu:  r = 40s-1, z = 0,7.
Rys. 1. Adaptacyjna struktura sterowania
Założono
następującą
elektromagnetycznego:
transmitancję
G p ( s) 
pętli
wymuszenia
momentu
1
0,002s  1
(7)
3. ZMODYFIKOWANY ROZMYTY FILTR KALMANA
W niniejszej pracy optymalizację współczynników macierzy Q i R
rozszerzonego filtru Kalmana przeprowadzono za pomocą algorytmu
genetycznego minimalizującego poniższą funkcję celu:
66
Krzysztof Dróżdż
 n
 n
 n
 n
 n

  i1  i1e     i2  i 2e     mis  mise     miL  miLe     Ti 2  Ti 2e 
i 1
  i1
  i1
  i 1
  i1
 (8)
F1  
n
Prezentowane rozwiązanie stanowi modyfikację tego algorytmu, która polega
na wprowadzeniu dynamicznej adaptacji współczynników q44 i q55 macierzy
kowariancji Q filtru Kalmana. Elementem wprowadzającym wspomnianą
adaptację jest zaprojektowany system rozmyty, którego sygnałami wejściowymi
są aktualna estymowana wartość parametru T2 i moduł różnicy pomiędzy
momentem elektromagnetycznym i estymowanym momentem skrętnym, na
podstawie wartości którego identyfikowany jest aktualny stan sterowanego
obiektu (statyczny lub dynamiczny). W przypadku wystąpienia wartości tego
sygnału przekraczającej ustalony próg rozpoznawany jest stan dynamiczny
układu. W przeciwnym przypadku identyfikowany jest stan statyczny. Następnie,
odpowiednio dla danego stanu, przestrajane są współczynniki macierzy Q.
Strukturę systemu rozmytego przedstawiono na rysunku 2. Zastosowane funkcje
przynależności zmiennych wejściowych zaprezentowano na rysunku 3. Wartości
singletonów mi omawianego systemu rozmytego dobrano za pomocą algorytmu
genetycznego minimalizując następującą funkcję celu:
 n miLe  m(i1) Le 

a  1E  3 
 i1

Ts


(9)
F2 
n
 n
  n
  n
  n
  n

a    i1  i1e     i 2  i 2e     mis  mise     miL  miLe     Ti 2  Ti 2e 
 i1
  i1
  i 1
  i1
  i1

Rys. 2. Struktura systemu rozmytego
Zastosowanie zmodyfikowanego rozmytego filtru Kalmana w sterowaniu ...
67
Rys. 3. Funkcje przynależności zmiennych wejściowych: T2e (a) i Swy (b)
4. WYBRANE WYNIKI BADAŃ
Badania symulacyjne rozpoczęto od testowania klasycznego algorytmu
nieliniowego rozszerzonego filtru Kalmana pracującego w zamkniętej strukturze
sterowania. Założono zakres zmian parametru T2 w granicach od T2N do 4T2N.
Jakość estymacji prędkości silnika, maszyny roboczej i momentu skrętnego
można było uznać za zadowalającą. W pozostałych występowały duże wartości
błędów estymacji. Wspomnianą wadę należało wyeliminować. W tym celu
zastosowano zaprojektowany system rozmyty wprowadzający dynamiczną
adaptację współczynników q44 i q55 macierzy Q. Rezultaty badań wskazują na
uzyskanie znaczącej poprawy jakości estymacji wszystkich wielkości. Wybrane
wyniki przedstawiono na rysunku 4. W celu porównania obu metod obliczono
wartości błędów estymacji stosując poniżej przedstawioną zależność:
n
x
i
x 
 xie
i 1
n
, i  1,.2,.., n
(10)
gdzie: x - poszczególne wielkości rzeczywiste, xe - wielkości estymowane, n - liczba
próbek. Zestawienie obliczonych błędów estymacji przedstawiono w tabeli 1. W celu
zweryfikowania badań symulacyjnych przeprowadzono testy eksperymentalne
na stanowisku składającym się z dwóch maszyn prądu stałego o mocy 500W
połączonych sprężystym wałem. Wyniki tych badań, potwierdzające prawidłową
pracę układu, przedstawiono na rysunku 5.
Tabela 1. Zestawienie wartości błędów estymacji
Metoda
NRFK
RFK
δω1
[p.u]
7,31E-4
6,37E-4
δω2
[p.u]
20,01E-4
17,46E-4
δms
[p.u]
219,66E-4
180,94E-4
δmL
[p.u]
375,40E-4
372,36E-4
δT2
[s]
434,46E-4
359,94E-4
68
Krzysztof Dróżdż
Rys. 4. Przebiegi symulacyjne: sygnałów wejściowych rozmytego filtru Kalmana - momentu
elektromagnetycznego (a) i prędkości silnika napędowego (b), rzeczywistych i estymowanych
wielkości wraz z błędami estymacji: prędkości silnika napędowego (c, f), prędkości maszyny
roboczej (d, g), momentu skrętnego (e, h), momentu obciążenia (i, l), stałej czasowej maszyny
roboczej (j, m) i współczynników układu regulacji (k, n)
Zastosowanie zmodyfikowanego rozmytego filtru Kalmana w sterowaniu ...
69
Rys. 5. Przebiegi eksperymentalne prędkości silnika napędowego i maszyny roboczej (a),
rzeczywistej i estymowanej prędkości silnika napędowego oraz błędu estymacji (b, e),
rzeczywistej i estymowanej prędkości maszyny roboczej oraz błędu estymacji (c,f), momentów:
elektromagnetycznego, skrętnego i obciążenia (d), stałej czasowej maszyny roboczej (g)
i współczynników układu regulacji (h, i)
5. WNIOSKI
W niniejszej pracy przeprowadzono badania symulacyjne w zamkniętej strukturze
sterowania dla obu algorytmów, na podstawie których wykonano porównanie jakości
estymacji wszystkich wielkości. Wyniki badań symulacyjnych zmodyfikowanego
rozmytego filtru Kalmana potwierdzono testami eksperymentalnymi. Na podstawie
przeprowadzonych badań można sformułować następujące wnioski:
 zastosowanie zaprojektowanego systemu rozmytego wprowadzającego
dynamiczną adaptację współczynników q44 i q55 macierzy kowariancji Q filtru
Kalmana w znaczący sposób poprawia jakość estymacji wszystkich
wielkości,
 wykorzystanie algorytmów genetycznych w procesach optymalizacji
wartości współczynników macierzy Q i singletonów systemu rozmytego
70
Krzysztof Dróżdż
umożliwia uzyskanie wyżej wymienionej poprawy jakości estymacji
wszystkich wielkości, co pozytywnie wpływa na pracę struktury regulacji,
 podczas doboru wartości singletonów szczególną uwagę należy zwrócić
na odpowiednie sformułowanie funkcji celu.
LITERATURA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
Dróżdż K., Janiszewski D., Szabat K., 16th International Power Electronics
and Motion Control Conference and Exposition (PEMC), 575-578, 2014.
Dróżdż K., Szabat K., Adaptacyjne sterowanie układu dwumasowego
z wykorzystaniem rozmytego filtru Kalmana, Przegląd Elektrotechniczny, NR
06/2014, 40-44, 2014.
Janiszewski D., Real-time control of drive with elestic coupling based on motor
position measured only, 2011 IEEE International Symposium on Industrial
Electronics (ISIE), 1931-1936, 2011.
Jie J., Surong H., A novel acceleration estimation algorithm for mechanical
vibration suppression of two-mass system, 17th International Conference
on Electrical Machines and Systems (ICEMS), 22-25, 2014.
Szabat K., Struktury sterowania elektrycznych układów napędowych z
połączeniem sprężystym, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i
Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, nr 61, Wrocław 2008.
Szabat K., Orłowska-Kowalska T., Adaptive Control of Two-Mass System using
Nonlinear Extended Kalman Filter, IEEE Industrial Electronics, IECON 2006 32nd Annual Conference on, 1539 - 1544, 2006.
Szabat K., Orłowska-Kowalska T., Performance Improvement of Industrial
Drives With Mechanical Elasticity Using Nonlinear Adaptive Kalman Filter,
Transaction on Industrial Electronics, vol. 55, no. 3, 1075-1084, 2008.
Zoubek H., Pacas M., Two steps towards speed estimation and encoderless
identification of two-mass-systems with extended speed adaptive observer
structure, IECON 2011 - 37th Annual Conference on IEEE Industrial Electronics
Society, 2072-2077, 2011.
APPLICATION OF THE MODIFIED FUZZY KALMAN FILTER
IN THE ADAPTIVE CONTROL OF THE TWO-MASS SYSTEM
In this paper issues related to an application of the modified fuzzy Kalman filter
in an adaptive control structure of the two-mass system are presented. A proposed
modification of the Kalman filter consists in introducing an adaptation of selected
coefficients of the covariance matrix. For this purpose a fuzzy system has been designed.
The on-line adaptation of the coefficients is based on two signals containing information
about a state of the controlled system. The proposed algorithm has been tested
by simulation and experiment in a closed-loop control structure. In comparison
to the classical extended Kalman filter, the research has shown a significant
improvement of the estimation quality of all state variables and a parameter that are
related to the considered motor drive system.