punkty Lagrange'a

1
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH
INTERPOLACJA
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
2
Problem:
Dane są w pewnym przedziale punkty:
x 0 , x 1 , ... , x n - węzły interpolacji
oraz wartości nieznanej funkcji y= f  x
y  x 0 = y 0 , y  x 1 = y 1 ,... , y  x n = y n .
Jak znaleźć przybliżone wartości funkcji w
punktach nie będących węzłami?
W tym celu należy wyznaczyć funkcję F(x),
zwaną
funkcją
interpolacyjną,
która
w węzłach interpolacji przyjmuje wartości
takie, jak funkcja f(x).
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
3
Problem:
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
4
Postaci funkcji interpolującej
●
wielomian algebraiczny
2
W n  x=a 0 a 1⋅xa 2⋅x ...a n⋅x
●
wielomian Lagrange'a
n
∑
j=0
●
●
n
 x−x 0 ⋅ x−x 1 ⋅...⋅ x− x j−1 ⋅ x− x j1 ⋅...⋅ x−x n 
yj
 x j − x 0 ⋅ x j − x 1 ⋅...⋅ x j − x j−1 ⋅ x j − x j1 ⋅...⋅ x j −x n 
wielomiany trygonometryczne
funkcje sklejane (splajny)
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
5
Ćwiczenie 1a
Znaleźć wielomian interpolacyjny, który
punktach -2, 4 przyjmuje wartości 3, 8.
w
Rozwiązanie
Ponieważ znamy wartości funkcji w dwóch
punktach
możemy wyznaczyć wielomian
interpolacyjny w postaci funkcji liniowej.
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
6
Ćwiczenie 1a c.d.
Podstawiając do wzoru Lagrange'a dla n=1 mamy:
 x−4
 x2
W 1  x=3⋅
8⋅
−2−4
42
po przekształceniach otrzymujemy wielomian:
5
14
W 1  x= ⋅x
6
3
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
7
Ćwiczenie 1b
Znaleźć wielomian interpolacyjny, który w
punktach -2, 1, 2, 4 przyjmuje wartości 3, 1, -3, 8.
Rozwiązanie
Ponieważ znamy wartości funkcji w czterech
punktach możemy wyznaczyć wielomian stopnia
trzeciego.
Podstawiając do wzoru Lagrange'a dla n=3 mamy:
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
8
Ćwiczenie 1b c.d.
 x−1⋅ x−2⋅ x−4
 x2⋅ x−2⋅ x−4
W 3=3⋅
1⋅
−2−1⋅−2−2⋅−2−4
12⋅1−2⋅1−4
 x2⋅ x−1⋅ x−4
 x2⋅ x−2⋅ x−2
−3⋅
8⋅
22⋅2−1⋅2−4
42⋅4−1⋅4−2
po przekształceniach otrzymujemy wielomian:
2
3
25
W 3  x= ⋅x 3− ⋅x 2 − ⋅x6
3
2
6
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
9
Ćwiczenie 2
Dana jest funkcja:
a
b
f  x =sin  xsin 2⋅x.
2
f  x =cos  x  sin 0.5⋅x4.
Znaleźć w przedziale
a [0 4]
b [2 7]
wielomian interpolujący Lagrange'a stopnia 5.
Rozwiązanie
Wykorzystać skrypt ineterpolacja_cw2.m.
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
10
Interpolacja w MATLAB-ie
Funkcja interp1 w postaci:
yi = interp1(x, y, x1, 'metoda')
umożliwia wykonanie interpolacji funkcji jednej
zmiennej w punktach określonych wektorem xi.
Węzły interpolacji określone są parametrami
x i y.
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
11
Interpolacja w MATLAB-ie
Parametr 'metoda' umożliwia wybór metody
interpolacji:
●
'linear' - interpolacja funkcją przedziałami liniową
'spline' - interpolacja funkcjami sklejanymi 3-go st.
●
'cubic' - interpolacja wielomianami 3-go st.
(przedziałami sześcienna)
●
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI
12
Ćwiczenie 3
Dana jest funkcja:
f  x=sin  x sin 2⋅x.
Korzystając z funkcji interp1 wyznacz interpolacje
funkcji f(x).
Rozwiązanie
Wykorzystać skrypt ineterpolacja_cw3.m.
LABORATORIUM METOD OBLICZENIOWYCH – KATEDRA MECHANIKI KONSTRUKCJI