Acta Architectura 9(4)2010.indb - Acta Scientiarum Polonorum

Acta Architectura 9(4)2010.indb - Acta Scientiarum Polonorum

Architectura 9 (4) 2010, 15–23
EFEKT WARSTWY BRZEGOWEJ W WARSTWOWEJ
PRZEGRODZIE O POPRZECZNEJ GRADACJI
WASNOCI
Olga Szlachetka, Monika Wgrowska
Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie
Streszczenie. Rozpatrzono stacjonarne, jednowymiarowe zagadnienie przewodnictwa
ciepa z uwzgldnieniem wpywu efektu warstwy brzegowej na rozkad pól temperatury
w warstwowej przegrodzie o poprzecznej gradacji wasnoci. Przegroda zbudowana jest
z dwóch jednorodnych, izotropowych przewodników ciepa.
Sowa kluczowe: materia o funkcyjnej gradacji wasnoci, przewodnictwo ciepa, modelowanie asymptotyczne, efekt warstwy brzegowej
WSTP1
Rozwój inynierii materiaowej, trwajcy od koca ubiegego stulecia, przyczyni
si do znacznego wykorzystania elementów kompozytowych w budownictwie. Materia
kompozytowy rozumiany jest jako materia zoony z co najmniej dwóch skadników
(faz), idealnie poczonych, charakteryzujcych si rónymi w stosunku do siebie waciwociami.
Szczególnym przypadkiem materiau kompozytowego jest materia o funkcyjnej gradacji wasnoci (Functionally Graded Material – FGM). Struktura materiaów typu FGM
jest niejednorodna i zazwyczaj ta niejednorodno wystpuje w okrelonym kierunku.
Przykad takiego materiau w skali mikroskopowej, czyli z zarysowanymi granicami
midzy skadnikami poszczególnych warstw materiau, zosta zaprezentowany na rysunku 1.
Zmiana wasnoci w przedstawionym kompozycie wystpuje w kierunku prostopadym do uwarstwienia. Inne przykady materiaów gradientowych, ich opis, histori oraz
metody modelownia matematycznego mona znale w publikacjach Suresh i Mortensen
[1998] oraz Woniak i Nagórki [2007].
Adres do korespondencji – Corresponding author: Olga Szlachetka, Szkoa Gówna Gospodarstwa
Wiejskiego, Wydzia Inynierii i Ksztatowania rodowiska, Katedra Budownictwa i Geodezji,
ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: [email protected]
O. Szlachetka, M. Wgrowska
16
Rys. 1.
Fig. 1.
Schemat materiau o poprzecznej gradacji wasnoci
Scheme of FGM with transversal gradation
Najwikszym wyzwaniem nauki, dotyczcym struktur gradientowych, jest opracowanie metod ich mikro- i makroprojektowania, jak równie próba okrelenia za pomoc
modelowania matematycznego waciwoci tych materiaów, takich jak rozkad napre, odksztace czy temperatury.
Przedmiotem analizy jest przegroda wykonana z materiau typu FGM, o poprzecznej
gradacji wasnoci, poddana dziaaniu stacjonarnego przewodnictwa ciepa. Przegroda
skada si z m warstw o staej gruboci O L / m §¨ 1 1·¸ , gdzie m = 3n, przy n N.
©m
¹
Kada warstwa skada si z dwóch rónych pod wzgldem wasnoci cieplnych izotropowych, jednorodnych komponentów.
Rozpatrywana przegroda w konguracji odniesienia zajmuje obszar: : (0, L) × ;,
; (0, H) × R, x  (0, L), x x2 , x3  ; . Dla kompozytu o gruboci warstw O oznaczoO
no przez :OR , :OM podzbiory obszaru : zajte przez poszczególne skadniki, gdzie : R to
wzmocnienie, a :OM – osnowa. Wspóczynniki przewodzenia ciepa w tych podzbiorach
wynosz odpowiednio: kO x kO x, x k R , gdy x, x  :OR i kO x kO x, x kM ,
x, x  :OM
. Paszczyzna rodkowa j-tej warstwy zdeniowana jako
x
j 1 O , j = 1, ..., m w przestrzeni Ox, x2, x3 jest jej materiaow paszczy2
zn symetrii. Funkcja Q ˜  C1 : jest funkcj opisujc frakcj materiau wzmocnienia
wystpujcego w kadej warstwie, która ze wzgldu na budow kompozytu zaley tylko
od x. Przyjmuje ona wartoci z przedziau (0, 1) dla kadego x (0, L). Udzia materiau
gdy
x Oj
Acta Sci. Pol.
Efekt warstwy brzegowej w warstwowej przegrodzie...
17
osnowy w danej warstwie wynosi 1 – Q·). Przykadowy rozkad funkcji Q·) przedstawia
rysunek 2.
Rys. 2.
Fig. 2.
Funkcja charakteryzujca frakcj materiau wzmacniajcego kompozyt
Function characterizing fraction of reinforcing material
Przewodnictwo cieplne w rozpatrywanej przegrodzie opisane jest równaniem Fouriera:
’ ˜ qO x, x2 , x3 f x, x2 , x3 qO x, x2 , x3 0
kO x ’TO x, x2 , x3 (1)
ªw w w º
gdzie ’ { « ;
;
» , f s wewntrznymi ródami ciepa,
¬ wx wx2 wx3 ¼
oraz zadanymi warunkami brzegowymi.
METODYKA
Rozpatrywana przegroda nie jest makroskopowo jednorodna, poniewa wystpujce
w równaniu (1) wspóczynniki kO s silnie oscylujcymi niecigymi funkcjami. Mimo to
zachowanie przepywajcego strumienia ciepa mona analizowa, wykorzystujc metody stosowane do opisu zjawisk zachodzcych w materiaach jednorodnych.
Opis metod okrelajcych wasnoci kompozytów typu FGM znajduje si w pracy
Woniak i innych [2008].
W dalszej czci pracy ograniczono rozwaania do jednowymiarowego zagadnienia
przewodnictwa ciepa, w kierunku osi Ox, w paszczynie Oxx2. Rozwaany kompozyt w konguracji odniesienia zajmuje zatem obszar: : (0, L)×(0, H), natomiast pole
temperatury zaley tylko od x. Równanie Fouriera dla zagadnienia jednowymiarowego
redukuje si do postaci:
d
qO x f x dx
qO x kO x 0
d
TO x dx
gdzie TO(0) = 0, TO(L) = -0.
Architectura 9 (4) 2010
(2)
O. Szlachetka, M. Wgrowska
18
Rozkad temperatury w rozpatrywanym kompozycie o poprzecznej gradacji wasnoci wyznaczono, stosujc urednione równania modelu asymptotycznego [Woniak i in.
2010]. Zgodnie z procedur metody modelowania asymptotycznego dokonuje si rozkadu nieznanego pola temperatury:
T O x
- x hO x \ x (3)
gdzie: - ˜ , \ ˜  C1 : – niewiadome pola,
hO(·) – dana z góry funkcja ksztatu, speniajca warunki: hO 0 hO x Oj
rv
O / 2
x Oj
hO L 0,
rO / 2, j 1, ..., m.
Cigo wektora strumienia ciepa w kierunku osi prostopadej do uwarstwienia
w ramach rozpatrywanego modelu asymptotycznego daje moliwo wyznaczenia nieznanego pola \·). Pole to przyjmuje posta:
\ x
Q x 1 Q x k R kM Q x k M 1 Q x k R
w- x Równanie na nieznane pole temperatury -(·) w ramach modelu asymptotycznego
z warunkami brzegowymi -(0) = 0, -(L) = -0 przyjmie posta:
d §
d
·
¨ k0 x - x ¸
dx ©
dx
¹
0
(4)
gdzie:
k0 {
kR kM
Q x k M 1 Q x k R
z warunkami brzegowymi -(0) = 0, -(L) = -0.
Dla zadanej funkcji, opisujcej rozkad wzmocnienia w rozpatrywanym kompozycie
o poprzecznej gradacji wasnoci, przy zadanych warunkach brzegowych, mona wyznaczy rozkad temperatury -(·) w ramach modelu asymptotycznego, wykorzystujc
równanie (4).
Rozwizanie na temperatur dla rozpatrywanego kompozytu o poprzecznej gradacji
wasnoci, przyjte zgodnie z formu aproksymacyjn, mona zapisa jako:
TO x 1
- x hO x M x w1- x (5)
gdzie:
M x
Q x 1 Q x k R k M k R 1 Q x kM Q x Nie spenia ono zadanych warunków brzegowych, wynikajcych z modelowania
asymptotycznego na brzegu * 0 0, L u ^0` ‰ 0, L u ^ H ` * 00 ‰ * 0H .
Acta Sci. Pol.
Efekt warstwy brzegowej w warstwowej przegrodzie...
19
W celu spenienia warunków brzegowych na brzegu *0 zastosowano metod modelowania tzw. efektu warstwy brzegowej zaproponowan przez Woniak [2010b].
W tym podejciu nieznane pole temperatury w warstwie przylegej do brzegów *0 mona
przedstawiawi jako:
TO x, [ 2
-O x hO x X x, [ 1
(6)
gdzie jest wspórzdn prostopad odpowiednio do brzegu * 00 oraz * 0H i skierowan do
rodka kompozytu.
W powyszej reprezentacji TO1 ˜ jest temperatur wyznaczon dla danego kompozytu o poprzecznej gradacji wasnoci, zgodnie z formu (5), natomiast funkcja X ˜ jest
funkcj wolnozmienn ze wzgldu na argument i wyznaczon w ramach modelu tolerancyjnego. Spenia ona ogólne równanie (7) przewodnictwa ciepa bez róde ciepa
w obszarze zajtym przez kompozyt [Woniak 2010b]:
Gkl w k kO w l hO X (7)
0
które redukuje si do postaci:
hO 2 kO x w [ 2 v x, [ 2
§d
·
¨ hO ¸ hO
© dx ¹
x v x, [ (8)
0
w
d
, z warunkiem brzegowym X x, [ *0 M x - x .
*0
w[
dx
Rozwizanie na poszukiwane pole temperatury dla rozpatrywanego kompozytu
o poprzecznej gradacji wasnoci z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej przyjmuje posta:
– na brzegu *00
gdzie w [ {
2
T O x, [ d
d
§
·
- x hO x ¨ M x - x ¸
dx
dx
©
¹ *0
§
¨
¨
exp ¨ ¨
¨
¨
©
d
§
·
- x hO x M x w1- x hO x ¨ M x - x ¸
dx
©
¹ *0H
§
¨
¨
exp ¨ ¨
¨
¨
©
- x hO x M x 0
2
§d
·
¨ hO x ¸ kO x © dx
¹
hO x 2
kO x ·
¸
¸
˜[¸
¸
¸
¸
¹
– na brzegu *0H
2
T O x, [ 2
§d
·
¨ hO x ¸ kO x © dx
¹
hO x 2
kO x ·
¸
¸
˜[¸
¸
¸
¸
¹
(9)
gdzie [ jest wspórzdn prostopad do brzegu * 00 oraz * 0H , skierowan do rodka kompozytu.
Architectura 9 (4) 2010
O. Szlachetka, M. Wgrowska
20
Zjawisko efektu warstwy brzegowej wystpuje tylko w obszarach przybrzegowych
prostopadych do uwarstwienia. Na brzegu równolegym do warstw zjawisko to nie wystpuje z racji postawionych warunków na funkcj ksztatu.
PRZYKAD OBLICZENIOWY
Rozpatrzmy przegrod o poprzecznej gradacji wasnoci o gruboci L = 27 cm i wysokoci H = 200 cm, skadajc si z 27 warstw o staej gruboci O = 1 cm. W ramach
modelu asymptotycznego przyjto nastpujce warunki brzegowe na temperatur: -(0) =
= 0°C, -(27) = 20°C. Rozkad funkcji Q·) zadano w postaci Q x x / L [Szlachetka
i Wgrowska 2010b] (rys. 3).
Rys. 3.
Fig. 3.
Rozkad funkcji Q·)
Distribution of function Q·)
Z wykresu odczytano wartoci funkcji Q·) na przeciciu z paszczyznami symetrii
wszystkich warstw (tab. 1), które okrelaj poszczególne nasycenia. Na podstawie danych z tabeli 1 przedstawiono odpowiadajcy im kompozyt dla kR = 0,045 W·m–1·K–1
i kM = 1,7 W·m–1·K–1 (rys. 4).
Tabela 1. Wartoci funkcji charakteryzujcej frakcj materiau wzmacniajcego w kadej warstwie
Table 1. Values of the function characterizing fraction of the reinforcing material in each layer
Warstwa
Layer
Q
Warstwa
Layer
Q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0,02
0,06
0,09
0,13
0,17
0,20
0,24
0,28
0,31
0,35
0,39
0,43
0,46
0,50
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
0,54
0,57
0,61
0,65
0,69
0,72
0,76
0,80
0,83
0,87
0,91
0,94
0,98
Acta Sci. Pol.
Efekt warstwy brzegowej w warstwowej przegrodzie...
Rys. 4.
Fig. 4.
21
Schemat kompozytu o gradacji poprzecznej dla zadanej funkcji Q·)
Scheme of FGM composite with transversal gradation for a given function Q·)
Dla tak zadanego rozkadu funkcji Q·) rozkad temperatury w rozpatrywanym obszarze opisany bdzie funkcj kwadratow wkls o równaniu:
- x
-0
2
L
x2 2
-0
x.
L
Rozkad temperatury bez uwzgldnienia i z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej na brzegu * 00 dla fragmentu kompozytu zaprezentowano na rysunku 5. Uzyskane
rozkady temperatury wykazuj, e rozwizanie na temperatur w postaci równania (6),
2
oznaczone jako TO , spenia zadane warunki brzegowe na brzegu * 00 (dla [ ) w prze1
ciwiestwie do rozwizania (5), oznaczonego jako TO .
2
Rozwizanie TO ˜ opisuje rozkady temperatury w obszarze przybrzegowym
(uwzgldnia efekt warstwy brzegowej) w odrónieniu od rozwizania TO1 ˜ . Na rysunku 6 wykrelono rozkad temperatury z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej
w rónych odlegociach [ od brzegu * 00 dla fragmentu kompozytu. Wykres wykazuje, e
wraz ze zblianiem si do brzegu zanikaj oscylacje rozkadu temperatury.
Architectura 9 (4) 2010
O. Szlachetka, M. Wgrowska
22
Rys. 5.
Fig. 5.
Rozkad temperatury z uwzgldnieniem TO2 i bez uwzgldnienia efektu warstwy brze1
0
gowej TO na brzegu * 0 dla fragmentu kompozytu
Distribution of temperature with and without consideration of the boundary layer effect
on the edge * 00 for a fragment of the composite
Rys. 6.
Fig. 6.
2
Rozkad temperatury z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej TO w rónych od0
legociach [ od brzegu * 0 dla fragmentu kompozytu
Distribution of temperature with consideration of the boundary layer effect at different
distances [ from the edge * 00 for a fragment of the composite
Acta Sci. Pol.
Efekt warstwy brzegowej w warstwowej przegrodzie...
23
PODSUMOWANIE
Z postaci rozwizania (9) wynika, e wpyw efektu warstwy brzegowej na rozkad
temperatury zanika wraz z odlegoci od brzegu. Mona atwo wykaza, e na zanikanie
efektu warstwy brzegowej wpywa budowa kompozytu oraz wasnoci termiczne skadników, z jakich jest on zbudowany. W wyniku przeprowadzonych oblicze otrzymano,
e dla rozpatrywanego kompozytu w przypadku H = 200 cm wpyw ten utrzymuje si do
gbokoci [ 2 cm.
PIMIENNICTWO
Suresh S., Mortensen A., 1998. Fundamentals of functionally graded materials. The University
Press, Cambridge.
Szlachetka O., Wgrowska M., 2010a. Modelowanie przewodnictwa ciepa w kompozytach warstwowych z uwzgldnieniem efektu warstwy brzegowej. Konferencja „Inynierskie
i przestrzenne aspekty zabudowy obszarów niezurbanizowanych”. Warszawa, 45–46.
Szlachetka O., Wgrowska M., 2010b. Przewodnictwo ciepa w pewnych materiaach gradientowych. Konferencja „Mechanika orodków niejednorodnych”. agów, 78–79.
Woniak Cz., 2010a. Modelowanie asymptotyczne materiaów gradientowych o mikrostrukturze
warstwowej. Konferencja „Mechanika orodków niejednorodnych”. agów, 99–100.
Woniak Cz., 2010b. Urednianie tolerancyjne, homogenizacja i efekt warstwy brzegowej w periodycznie warstwowym dwuskadnikowym przewodniku ciepa. Konferencja „Inynierskie
i przestrzenne aspekty zabudowy obszarów niezurbanizowanych. Warszawa, 12–21.
Woniak Cz., Nagórko W., 2007. Modelowanie matematyczne materiaów z funkcjonaln gradacj
wasnoci efektywnych – wyniki bada i perspektywy rozwojowe w Polsce. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 6 (4), 23–32.
Woniak Cz., Michalak B., Jdrysiak J., 2008. Thermomechanics of microheterogeneous solids and
structures. Wydawnictwa Politechniki ódzkiej, ód.
Woniak i in., 2010. Mathematical modelling and analysis in continuum mechanics od microstructured media. Wydawnictwo Politechniki lskiej, Gliwice.
BOUNDARY LAYER EFFECT IN THICK TRANSWERSAL FGM PLATE
Abstract. The stationary, one-dimensional heat conduction problem for transversal FGM
was investigated. The inuence of the boundary layer effect on the distribution of temperature elds in transversal FGM thick plate was considered. The plate was built of two
homogeneous, isotropic heat conductors.
Key words: transversal FGM, heat conduction, asymptotic modelling, boundary layer
effect
Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 22.12.2010
Architectura 9 (4) 2010