numeryczna wizualizacja linii przepływu ciepła i gęstości strumienia

numeryczna wizualizacja linii przepływu ciepła i gęstości strumienia

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 51, ISSN 1896-771X
NUMERYCZNA WIZUALIZACJA LINII
PRZEPŁYWU CIEPŁA I GĘSTOŚCI
STRUMIENIA CIEPŁA
W PŁASKIM PRZEWODZENIU CIEPŁA
METODĄ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH
Tomasz Janusz Teleszewski1a
1
a
Katedra Ciepłownictwa, Politechnika Białostocka
[email protected]
Streszczenie
W publikacji przedstawiono algorytm metody elementów brzegowych (MEB) wyznaczania linii przepływu ciepła
w płaskim przewodzeniu ciepła metodą elementów brzegowych. Prezentowany algorytm stanowi alternatywę wobec najczęściej stosowanych obszarowych metod numerycznych, takich jak metoda różnic skończonych, metoda
objętości skończonych, metoda elementów skończonych. W metodach tych stosowane są pracochłonne i skomplikowane siatki wewnątrz obszaru, natomiast metoda elementów brzegowych wymaga jedynie dyskretyzacji brzegu.
Weryfikacja algorytmu została wykonana na podstawie znanych rozwiązań teoretycznych. W pracy przedstawiono
przykład obliczeniowy przepływu ciepła przez dwa przewody centralnego ogrzewania obudowane wspólną izolacją
cieplną. W celu wykonania symulacji komputerowych został napisany autorski program obliczeniowy.
Słowa kluczowe: przewodzenie ciepła, strumień ciepła, linie przepływu ciepła, metoda elementów brzegowych
NUMERICAL VISUALIZATION OF HEATLINE AND HEAT
FLUX DENSITY IN TWO-DIMENSIONAL STEADY STATE
THERMAL CONDUCTION USING BOUNDARY ELEMENT
METHOD
Summary
The paper presents the numerical application of boundary element method (BEM) to calculate the heatline and
heat flux density in two-dimensional steady state thermal conduction. The efficiency and the credibility of proposed algorithm were verified by numerical tests and the BEM solution is compared with theoretical results of
steady state conduction in a plane wall with no heat generation and constant thermal conductivity. Numerical example is presented to illustrate steady state conduction in thermal isolation with a two pipe system of central
heating. The BEM algorithm is an alternative to mesh method: Finite Difference Method, Finite Element Method
or Finite Volume Method. The computer program was written in Fortran programming languages.
Keywords: heat conduction, heat flux, heatlines, boundary element method
1. WSTĘP
W wielu symulacjach cieplnych wykorzystuje się wizualizację linii przepływu ciepła oraz symulacje strumieni
ciepła. Linie przepływu ciepła są ortogonalne do izoterm
(rys.1). W przypadku adiabatycznego brzegu linie
przepływu ciepła są do niego równoległe, natomiast
w przypadku brzegu o jednakowej temperaturze są do
116
Tomasz Janusz Teleszewski
r
q = −gradT
niego prostopadłe. Z rozkładu gęstości strumienia ciepła
w obszarze można odczytać intensywność przepływu
ciepła. Wzrost wartości gęstości strumienia ciepła wskazuje na wzrost intensywności przepływu ciepła podobnie
jak zagęszczenie linii przepływu ciepła. Znajomość
składowych strumienia ciepła również pozwala w sposób
numeryczny wyznaczyć linie przepływu ciepła np. metodą Rungego-Kutty [1]. Linie przepływu ciepła mogą być
wyznaczane w sposób graficzny przy zastosowaniu
współczynników kształtu [2,3,4,5] jak i numeryczny.
Przykładowe rozwiązania linii przepływu ciepła
w zagadnieniach cieplnych opartych na metodach
siatkowych znajdują się w pracach: metodzie różnic
skończonych [6], metodzie elementów skończonych
[7,8,9,10], metodzie objętości skończonych [11] i metodzie
wielosiatkowej [12]. Wadą metod obszarowych jest
budowa pracochłonnych siatek. W prezentowanej metodzie elementów brzegowych dyskretyzacji wymaga
jedynie brzeg obszaru.
T1
T2
Ξ7
(2)
q y = −λ
∂T
∂y
(3)
− χ (p)T (p) +
Ξ2
Ξ1
T4
T1 < T2 < T3 < T4
∫ T (q ) E (p, q) dL
q (q ) K (p, q )dLq +
∫
=−
=
T
( LT )
q% (q) K (p, q) dLT −
( LT )
∫ T% (q) E (p, q)dL
q
,
(8)
( Lq )
p, q ∈ L
gdzie dla brzegu gładkiego χ (p) =1/2 oraz:
K (p, q) =
E (p, q ) =
Wypadkowa gęstości strumienia ciepła jest wyznaczana
z zależności:
1
2πλ
 1 
ln  
r 
 pq 
1 ( xp − xq )n x + ( yp − yq ) n y
2π
rpq2
(9)
(10)
rpq = ( xp − xq ) 2 + ( yp − yq ) 2
(4)
Po wyznaczeniu niewiadomych T(p) na brzegu LT i q(p)
na brzegu Lq, temperaturę w dowolnym punkcie (p ∈ A)
rozpatrywanego obszaru (A) wyznacza się ze związku
całkowego:
W celu wyznaczenia linii przepływu ciepła Ξ wprowadzono zależność ortogonalną do izotach [13,14]:
(5)
T (p) =
∫ T (q) E (p, q) dL + ∫ q(q) K (p, q) dL
(L)
(6)
( L)
(q) ∈ ( L) , (p) ∈ (A)
Wobec czego równanie linii przepływu ciepła opisane
jest zależnością:
d Ξ = q x dy − q y dx
∫
( Lq )
gdzie: λ jest współczynnikiem przewodzenia ciepła.
∂Ξ
∂T
= −λ
∂x
∂y
T3
(q∈ LT) (rys. 2) [15,16]:
∂T
∂x
−
Ξ3
Zagadnienie brzegowe dla równania Laplace’a (1)
formułuje się w postaci przyjętego warunku brzegowego
Dirichleta i Neumanna zakładającego znane wartości
temperatury T% (q) na części brzegu Lq (q∈ Lq) i znane
wartości strumienia ciepła q% (q ) na części brzegu LT
(1)
qx = − λ
∂Ξ
∂T
= −λ
∂y
∂x
Ξ4
2. BRZEGOWE RÓWNANIA
CAŁKOWE OPISUJĄCE PŁASKIE
USTALONE PRZEWODZENIE
CIEPŁA W OŚRODKU
JEDNORODNYM
Składowe strumienia ciepła qx i qy zdefiniowane są
zgodnie z prawem Fouriera [5]:
q = qx2 + q y2
Ξ5
Rys. 1. Linie przepływu ciepła i izotachy w przewodzeniu ciepła
Pole temperatury w płaskim ustalonym przepływie
ciepła, w którym dominującym mechanizmem jest
przewodzenie ciepła, jest opisane równaniem Laplace’a
względem temperatury T [5]:
∂ 2T ∂ 2T
+
=0
∂x 2 ∂y 2
Ξ6
(7)
Wszystkie obliczenia zostały wykonane w autorskim
programie obliczeniowym HEAT_CONDUCTION_2D
opartym na metodzie elementów brzegowych napisanym
w języku Fortran. Funkcje podcałkowe linii przepływu
ciepła i gęstości strumienia ciepła zostały wyznaczone
zgodnie z zależnościami (2-7).
117
(11)
NUMERYCZNA WIZUALIZACJA LINII PRZEPŁYWU CIEPŁA I GĘSTOŚCI STRUMIENIA…
Y
S (p, q ) =
ny
q
nq
1 ( xp − xq ) n y − ( yp − yq )nx
2π
rpq2
T% (q)
nx
gdzie: C jest to stała całkowania.
L = LT ∪ L q
dL
rpq
(A )
q% (q)
(17)
rpq = ( xp − xq ) 2 + ( yp − yq ) 2
Na rys. 3 przedstawiono schemat blokowy autorskiego
programu obliczeniowego HEAT_CONDUCTION_2D
napisanego w języku fortran. Po zastąpieniu linii brzegowej (L) układem linii cząstkowych, przy założeniu, że
gęstości strumienia ciepła i temperatur na każdej linii są
stałe, równania całkowe (8) można sprowadzić do układu algebraicznych równań liniowych. Po wyznaczeniu
niewiadomych temperatur i gęstości strumieni ciepła na
brzegu L, pole temperatury, gęstość strumienia ciepła,
linie przepływu ciepła wyznacza się całkując numerycznie funkcje podcałkowe całki (9-10, 13-14, 16-17).
Lq
LT
p
X
Rys. 2. Szkic obrazujący zagadnienia brzegowe w obszarze
płaskim
Wobec zależności (2-3) strumienie ciepła w kierunku
x i y w przyjętym układzie współrzędnych w punktach
(p) rozpatrywanego pola temperatury w obszarze (A)
ograniczonym brzegiem (L) otrzymuje się, różniczkując
funkcje podcałkowe (9-10) w wyrażeniu (11) odpowiednio względem x i y:
qx (p ) = −λ
∂T (p)
∂E (p, q)
∂K (p, q)
= − ∫ T (q )
dL − ∫ q (q )
dL
∂xp
∂
x
∂xp
p
(L)
(L)
q y (p) = −λ
∂T (p)
∂E (p, q)
∂K (p, q )
dL − ∫ q (q )
dL
= − ∫ T (q)
y
∂yp
∂
∂yp
p
( L)
(L)
Program
HEAT_CONDUCTION_2D
(HC2D)
(12)
Czytanie danych: λ, dyskretyzacja brzegu (L),
warunek brzegowy: T% (q ) , q% (q) .
gdzie:
∂K (p, q)
1 xp − xq
=−
∂xp
rpq2
2π
Generowanie macierzy współczynników:
(
2
2
∂E (p, q) λ ( ( yp − yq ) − ( xp − xq ) ) nx − 2( xp − xq )( yp − yq )n y
=
∂xp
2π rpq4
(13)
2
2
∫ T (q)W (p, q) dL + ∫ q(q) S (p, q) dL + C
( L)
(q) ∈ ( L ) , (p) ∈ (A)
)
∫ q%(q)K(p,q)dL − ∫ T%(q)E(p, q)dL
T
q
( Lq )
[ A][ X ] = [ B]
(14)
Wektor rozwiązań:
[ X ] = T (q), q(q)
Wyznaczenie pola temperatury T, składowych strumienia
ciepła qx, qy, linii przepływu ciepła Ξ w obszarze A.
Rys. 3. Schemat blokowy programu obliczeniowego
HEAT_CONDUCTION_2D
3. WERYFIKACJA ALGORYTMU
W celu weryfikacji algorytmu przyjęto jednokierunkowe przenikanie ciepła w płaskiej ścianie jednowarstwowej o grubości 0.42m, zbudowanej z bloczków z
betonu komórkowego o współczynniku przewodzenia
ciepła 0.105W/(mK). Warunki brzegowe zagadnienia
testowego zostały przedstawione na rys. 4.
(15)
gdzie:
 yp − yq 
1
arctg 

 xp − xq 
2πλ


lub
T (q) E(p, q)dLT
Rozwiązanie układu algebraicznych równań liniowych:
Po scałkowaniu funkcji podcałkowych (13-14) według
definicji (5-6) i uwzględnieniu temperatury T oraz
gęstości strumienia ciepła q na brzegu L wyznaczono
zależność opisującą linie przepływu ciepła:
(L)
∫
( LT )
Generowanie wektora warunku brzegowego:
Znajomość składowych strumienia ciepła qx i qy pozwala
wyznaczyć linie przepływu ciepła metodą RungegoKutty [1]. W pracy opracowano algorytm wyznaczania
linii przepływu ciepła, przeliczając funkcje podcałkowe
(13-14) zgodnie z definicją (5-6).
W (p, q ) = −
q(q)K (p, q)dLq +
(Lq )
( LT )
∂E (p, q) λ ( ( xp − xq ) − ( yp − yq ) ) n y − 2( xp − xq )( yp − yq )nx
=
∂xp
2π rpq4
Ξ (p) =
∫
[ A] =
[B] = −
∂K (p, q)
1 yp − yq
=−
∂yp
2π
rpq2
(
)
(16)
 x − xq 
W (p, q ) = +
arctg  p

 yp − yq 
2πλ


1
q = 0 W / m2
118
Tomasz Janusz Teleszewski
padku gęstości strumienia ciepła maksymalny błąd MEB
nie przekracza 0,04% dla brzegu zbudowanego z 100
elementów i 0,01% dla brzegu złożonego z 200 elementów.
Y
X
Tz = −20 C o
Tab. 1. Linie przepływu ciepła w przewodzeniu ciepła przez
ściankę płaską- błąd rozwiązania MEB
Współrzędne
węzłów
λ = 0.105 W / ( mK )
y = 0.00
Tw = +20 Co
q = 0 W / m2
L = 0.42 m
Rys. 4. Warunki brzegowe w jednowarstwowej przegrodzie
płaskiej
Pole temperatury w przekroju ściany wyznaczono ze
wzoru analitycznego [3]:
TT ( x ) = Tw +
(Tz − Tw ) x
L
(19)
Linie przepływu ciepła zostały wyznaczone poprzez
scałkowanie zależności (18) zgodnie (5):
(Tz − Tw ) y + C
L
(20)
Do obliczeń przyjęto zerową linię prądu na wysokości
y=0 (C=0). Błąd rozwiązania MEB gęstości strumienia
ciepła i linii przepływu ciepła wyznaczono z następujących zależności:
δ qMEB =
qTEO − qMEB
100%
qTEO
(21)
δΞ MEB =
Ξ TEO − Ξ MEB
100%
Ξ TEO
(22)
Błąd met.
teoretyczne
num. MEB
MEB
100 el.
xw
m
0,210
0,210
0,210
0,210
0,210
0,210
yw
m
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
ΞTEO
K
0,00000
19,04762
38,09524
57,14286
76,19048
95,23810
0,210
0,210
0,210
0,210
0,210
0,210
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
0,00000
19,04762
38,09524
57,14286
76,19048
95,23810
Współrzędne
węzłów
Gęstość strumienia ciepła została wyznaczona ze wzoru:
Ξ (x) = −
Rozwiązanie
ΞMEB
ΞMEB
K
%
0,00000
19,04503
0,01360
38,09126
0,01045
57,13729
0,00975
76,18291
0,00993
95,23205
0,00635
200 el.
0,00000
19,04655
0,00561
38,09311
0,00558
57,13972
0,00549
76,18649
0,00524
95,23397
0,00433
Tab. 2. Gęstość strumienia ciepła w przewodzeniu ciepła
przez przez ściankę płaską - błąd rozwiązania MEB
(18)
gdzie: Tw, Tz są temperaturą na powierzchni ściany, L
oznacza grubość ściany.
dT
(T − Tw )
= −λ z
qT ( x ) = −λ
dx
L
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Błąd met.
teoretyczne
num. MEB
MEB
100 el.
xw
m
0,210
0,210
0,210
0,210
0,210
0,210
yw
m
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
qTEO
W/m2
10,00000
10,00000
10,00000
10,00000
10,00000
10,00000
0,210
0,210
0,210
0,210
0,210
0,210
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
10,00000
10,00000
10,00000
10,00000
10,00000
10,00000
qMEB
δqMEB
W/m2
%
10,00174
9,99845
0,01553
9,99626
0,03737
10,00044
0,00444
10,00197
0,01972
10,00074
0,00744
200 el.
9,99944
9,99944
0,00559
9,99945
0,00547
9,99949
0,00507
9,99964
0,00355
10,00044
0,00441
Zagęszczenie podziału linii brzegowej konturu przekroju
przewodu prostoliniowego powoduje zmniejszenie błędu
metody elementów brzegowych. Graficzne rezultaty linii
przepływu ciepła porównania MEB z rozwiązaniem
teoretycznym (20) w wybranych punktach przekroju
x=0,21m, zostały przedstawione na rys. 5.
gdzie indeksami TEO oznaczono wielkości teoretyczne,
natomiast indeksem MEB wielkości wyznaczone metodą
elementów brzegowych.
W tabeli 1 zestawiono błąd linii przepływu ciepła
metody elementów brzegowych dla brzegu składającego
się z 100 i 200 liniowych elementów w punktach przekroju przechodzących przez środek ścianki (y=0,21 m),
natomiast w tabeli 2 przedstawiono błąd metody MEB
dla gęstości strumienia ciepła. Maksymalny błąd wyznaczania linii przepływu ciepła metodą MEB dla brzegu
składającego się z 100 liniowych elementów nie przekracza 0.02%, natomiast dla brzegu zbudowanego z 200
elementów błąd MEB nie przekracza 0.01%. W przy-
Rys. 5. Porównanie rezultatów obliczeń MEB linii przepływu
ciepła z rozwiązaniem teoretycznym (20) (x=0.21m)
4. PRZYKŁADY OBLICZENIOWE
119
NUMERYCZNA WIZUALIZACJA LINII PRZEPŁYWU CIEPŁA I GĘSTOŚCI STRUMIENIA…
Poniżej przedstawiono przykład obliczeniowy przewodzenia ciepła w izolacji wykonanej z wełny mineralnej
( λ =0.042 W/(mK)) dwóch przewodów instalacji centralnego ogrzewania. Do symulacji przyjęto rzeczywiste
temperatury ścianek: TI=20 oC na izolacji, Tz=55 oC na
ściance przewodu zasilającego oraz Tp=50 oC na ściance
przewodu powrotnego. Różnica temperatur w instalacji
centralnego ogrzewania wyniosła ∆T =5 oC. Wszystkie
obliczenia wykonano metodą elementów brzegowych. Na
rys. 6 przedstawiono warunki brzegowe i wymiary dla
przykładu
obliczeniowego:
a=0.12m,
b=0.08m,
e=0.0187m, φ1=φ2=0.0213m (DN15).
Rys. 8. Składowa qx strumienia ciepła w przekroju poprzecznym
izolacji dwóch przewodów centralnego ogrzewania
(∆T=5 oC) – rozwiązanie numeryczne MEB
Na rys. 7 wykreślono pole temperatury w przekroju
porzecznym wspólnej izolacji dwóch przewodów instalacji centralnego ogrzewania.
Na rysunkach 8-9 przedstawiono składowe gęstości
strumienia ciepła qx i qy, natomiast na rys. 10 zaprezentowano wypadkową strumienia ciepła q w przekroju
porzecznym wspólnej izolacji dwóch przewodów instalacji centralnego ogrzewania.
Rys. 11 przedstawia wykreślone linie przepływu ciepła wraz z zaznaczonym zwrotem przepływu ciepła w
analizowanym przykładzie obliczeniowym.
TI
TZ
Rys. 9. Składowa qy strumienia ciepła w przekroju poprzecznym
izolacji dwóch przewodów centralnego ogrzewania
(∆T=5 oC) – rozwiązanie numeryczne MEB
TP
e
a
Rys. 6. Warunki brzegowe w przekroju poprzecznym izolacji
dwóch przewodów centralnego ogrzewania.
Rys. 10. Wypadkowa gęstości strumienia ciepła w przekroju
poprzecznym izolacji dwóch przewodów centralnego ogrzewania
(∆T=5 oC) – rozwiązanie numeryczne MEB
Rys. 7. Pole temperatury w przekroju poprzecznym izolacji
dwóch przewodów centralnego ogrzewania (∆T=5 oC)
– rozwiązanie numeryczne MEB
120
Tomasz Janusz Teleszewski
Rys. 11. Linie przepływu ciepła w przekroju poprzecznym
izolacji dwóch przewodów centralnego ogrzewania (∆T=5 oC) –
rozwiązanie numeryczne MEB
Rys. 14. Linie przepływu ciepła w przekroju poprzecznym
izolacji dwóch przewodów centralnego ogrzewania (∆T=20 oC)
– rozwiązanie numeryczne MEB
W drugim przykładzie obliczeniowym wykonano symulację przepływu ciepła, w której założono większą
temperaturę zasilania Tz=70 oC, w wyniku czego różnica
temperatur między zasilaniem i powrotem, wyniosła
∆T =20 oC. Na rysunkach 12-14 wykreślono rezultaty
obliczeń: pole temperatury, wypadkową gęstości strumienia ciepła i linie przepływu ciepła. W drugim przykładzie obliczeniowym wymiana ciepła odbywa się
również miedzy przewodem zasilania i przewodem powrotnym instalacji centralnego ogrzewania.
5. WNIOSKI
Metoda elementów brzegowych jest obecnie intensywnie rozwijana i trwają prace nad jej udoskonalaniem.
Przedstawiony algorytm metody elementów brzegowych
wyznaczania linii przepływu ciepła i gęstości ciepła w
przewodzeniu ciepła jest uzupełnieniem metody MEB i
pozwala w sposób efektywny wyznaczać wymienione
wielkości. Podstawową zaletą prezentowanego algorytmu
jest eliminacja siatek wewnątrz obszaru, które są nieodłącznym elementem klasycznych metod obszarowych
takich jak metoda różnic skończonych, metoda elementów skończonych czy metoda objętości skończonych.
Wyprowadzony w pracy algorytm również charakteryzuje się małym błędem obliczeniowym.
W pracy przedstawiono przykład obliczeniowy symulacji przepływu ciepła w wspólnej izolacji dwóch przewodów instalacji centralnego ogrzewania, w którym
wzrost różnicy temperatury między przewodem zasilającym i powrotnym powoduje wymianę ciepła między
tymi przewodami.
Rys. 12. Pole temperatury w przekroju poprzecznym izolacji
dwóch przewodów centralnego ogrzewania (∆T=20 oC)
– rozwiązanie numeryczne MEB
Rys. 13. Wypadkowa gęstości strumienia ciepła w przekroju
poprzecznym izolacji dwóch przewodów centralnego ogrzewania
(∆T=20 oC) – rozwiązanie numeryczne MEB
Opracowanie zrealizowano w ramach pracy statutowej Politechniki Białostockiej.
121
NUMERYCZNA WIZUALIZACJA LINII PRZEPŁYWU CIEPŁA I GĘSTOŚCI STRUMIENIA…
Literatura
1.
2.
Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T.: Numerical recipes in FORTRAN: example book
The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 1992.
Taler J., Duda P.: Solving direct and inverse heat conduction problems. Berlin: Springer Verlag, 2006.
3.
Rao Y.V.: Heat transfer. India: Universities Press Lim., 2001.
4.
Nag P.K.: Heat & mass transfer.2th ed. New Delhi: Tata McGraw-Hill Publ. Comp., 2007.
5.
Holman J.: Heat transfer. 10th ed. Tokyo: McGraw-Hill, 2009.
6.
Hooman K., Gurgenci H., Dincer I.: Heatline and energy-flux-vector visualization of natural convection in a
porous cavity occupied by a fluid with temperature-dependent viscosity. “Journal of Porous Media” 2010, Vol.
12, Iss. 3, p. 265 – 275.
7.
Natarajan E., Basak T., Roy S.: Heatline visualization of natural convection flows within trapezoidal enclosures.
In: Proc. of the 5th IASME / WSEAS International Conference on Fluid Mechanics and Aerodynamics, August
25-27, 2007, Athens, Greece, World Scientific and Engineering Academy and Society, 2007, p.55 - 66.
8.
Basak T., Chamkha A.J.: Heatline analysis on natural convection for nanofluids confined within square cavities
with various thermal boundary conditions."International Journal of Heat and Mass Transfer" 2012, Vol.55,
p.5526 - 5543.
9.
Singh A.K., Roy S., Basak T.: A comprehensive Bejan’s heatline approach for natural convection heat transfer
within inclined square cavities. ASME Heat Transfer Summer Conference, Rio Grande 2012, p. 1067 - 1076.
10. Kaluri R.S, Basak T.: Numerical visualization of heat flow and thermal mixing in various differentially heated
square cavities using Bejan’s heatlines. ASME/JSME 8th Thermal Engineering Joint Conference Hawaii 2011, p.
T10051-T10051-10.
11. Speetjens M.F.M., Steenhoven A.A. van: Visualisation of heat transfer in unsteady laminar flows. “Computational Thermal Sciences” 2011, Vol. 3(1), p.31 - 47.
12. Mahmud S., Fraser R.A.: Visualizing energy flows through energy streamlines and pathlines. "International
Journal of Heat and Mass Transfer" 2007, Vol. 50(19-20), p.3990 - 4002.
13. Bejan A.: Convection heat transfer. 4th ed. New Jersey : John Wiley 2013.
14. Costa V.A.F.: Bejan’s heatlines and masslines for convection visualization and analysis. “Applied Mechanics
Reviews” 2006, Vol. 59, Iss. 3, p. 126 – 145.
15. Majchrzak E.: Metoda elementów brzegowych w przepływie ciepła. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstochowskiej,
2001.
16. Brebbia C.A., Telles J.F.C., Wrobel L.C.: Boundary element techniques: theory and applications in engineering.
New York: Springer-Verlag, 1984.
122