Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiarów

Transkrypt

Niepewności pomiarów
Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała
normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1].
W roku 1999 normy zostały opublikowane w języku polskim [2] i od tego czasu
ich stosowanie jest wymagane prawem, podobnie jak układu jednostek SI.
1. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO, Switzerland 1995.
2. Wyrażanie niepewności pomiaru: Przewodnik, Główny Urząd Miar, Warszawa 1999.
Niepewności pomiarów - Kazimierz Pater
1/19
Wszystkie pomiary obarczone są niepewnościami, których nie można
całkowicie wyeliminować. Niepewność pomiaru jes t
nieodłączną cechą
pomiaru i charakteryzuje rozrzut wyników pomiaru.
2/19
Terminologia
Niepewność standardowa u(x) (standard uncertainty) wyniku pomiaru
bezpośredniego wielkości X obliczana jest metodami statystycznymi lub wynika
z niepewności wzorcowania przyrządu pomiarowego, eksperymentatora i/lub
tablicowej.
Złożona niepewność standardowa uc(y) (combined standard uncertainty) jest
niepewnością wielkości złożonej, na którą składają się wielkości mierzone
bezpośrednio. Złożona niepewność standardowa jest obliczana z prawa
przenoszenia niepewności pomiaru.
3/19
Niepewność rozszerzona U lub U(y) (expanded uncertainty) jest miarą
przedziału otaczającego wynik pomiaru, w którym powinna się znaleźć
mierzona wielkość. Wartość U oblicza się mnożąc niepewność standardową
przez bezwymiarowy współczynnik rozszerzenia k, który przyjmujemy
arbitralnie w oparciu o własną wiedzę i doświadczenie.
4/19
Niepewności pomiarów bezpośrednich
Seria pomiarów
Ocena niepewności pomiaru wielokrotnego opiera się na analizie statystycznej
serii składającej się z N wyników pojedynczych pomiarów (x1, x2,... xi,...xN) .
Za wynik pomiaru przyjmuje się średnią arytmetyczną wszystkich wyników
poszczególnych pomiarów z serii:
1
x=
N
N
∑ xi
,
(1)
i=1
5/19
Niepewnością
standardową
serii
pomiarów
jes t
eksperymentalne
odchylenie standardowe średniej arytmetycznej poszczególnych wyników
serii:
u  x =

N
2

x−x

∑
i
i=1
,
(2)
N  N −1
Jeżeli seria zawiera zbyt mało pomiarów ( N<6 ), wynik dany wzorem (2) należy
pomnożyć przez współczynnik z rozkładu Studenta zależny od ilości pomiarów i
przyjętego poziomu ufności.
6/19
Regresja liniowa
Celem regresji liniowej jest optymalne dopasowanie prostej regresji do zbioru n
par punktów doświadczalnych { (x1,y1), (x2,y2), ... (xn,yn) }. Sposób obliczania
niepewności
standardowych współczynników prostej regresji: y = ax + b,
można zaliczyć do metod statystycznych. Do regresji liniowej stosuje się
najczęściej metodę najmniejszych kwadratów, nie dlatego że jest to metoda
ścisła w sensie matematycznym, ale dla jej stosunkowej prostoty. Gdy słuszne
jest założenie, że punkty eksperymentalne zmierzono z jednakowymi
niepewnościami,
metoda
najmniejszych
kwadratów
sprowadza
się
do
zastosowania wzorów podanych na następnej stronie.
7/19
a=
n ∑ x i y i − ∑ x i  ∑ y i 
2
n ∑ x − ∑ x i 
2
i
,
b=
u a=

(3)
n ∑ x i2  ∑ y i − ∑ x i  ∑ xi yi 
2
n ∑ x − ∑ x i 
2
i
n ∑  y i −ax i b2
2
n ∑ xi2− ∑ x i 

2
x
∑
i
, u b=u a
n
,
(4)
8/19
Pomiar jednokrotny
Gdy dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru albo gdy wyniki nie wykazują
rozrzutu, niepewność standardową ocenia się na podstawie niepewności
wzorcowania W przyrządów pomiarowych lub/i niepewności wynikającej z
wiedzy i doświadczenia eksperymentatora E oraz tzw. niepewności
tablicowej T. Niepewność standardowa jednokrotnego pomiaru wielkości
x wyraża się wzorem:

ΔW 2 Δ E 2 ΔT 2
u  x=


3
3
3
,
(5)
9/19
Niepewność wzorcowania przyrządów analogowych
W przyrządzie analogowym o jego niepewności wzorcowania W stanowi
klasa przyrządu podawana jako procent maksymalnej wartości możliwej do
zmierzenia na wybranym zakresie przyrządu:
W = klasa x zakres/100 ,
(6)
Przy obliczaniu niepewności standardowej oprócz podanej wyżej wartości
należy uwzględnić niepewność odczytu ze skali przyrządu, którą zwykle
przyjmujemy arbitralnie jako równą wartości 0,5 do 1 działki skali wybranego
zakresu.
10/19
Niepewność wzorcowania przyrządów cyfrowych
W celu określenia niepewności wzorcowania przyrządu cyfrowego musimy
zajrzeć do instrukcji, gdzie znajdziemy informację o sposobie obliczania
niepewności wzorcowania, podaną zwykle w postaci:
W = C1%
x
rdg + C2 x dgt,
(7)
gdzie współczynnik C1 oznacza procent wielkości wskazywanej (mierzonej), a
C2 jest krotnością rozdzielczości przyrządu (krotnością „ostatniej wyświetlanej
cyfry”).
W = 1%
x
57,69 + 2
x 0,01=0,58
+ 0,02=0,60.
11/19
Niepewność eksperymentatora i tablicowa
Ważnymi
przyczynkiem
do
niepewności
pomiarów
jednokrotnych
jest
niepewność eksperymentatora E, której wielkość eksperymentator sam
określa korzystając ze swego doświadczenia i wiedzy.
Niepewnościami obarczone są również wyniki zaczerpnięte z literatury, tablic
matematycznych lub kalkulatora. Jeśli brak jest jakiejkolwiek informacji o
niepewności takiej danej, przyjmujemy że niepewność tablicowa T jest
równa 10 jednostkom ostatniego miejsca rozwinięcia dziesiętnego danej
wielkości. Na przykład, jeżeli do obliczeń przyjmujemy g=9,81 m/s2 to
przyjmujemy też, że U(g)=0,10 m/s2 .
12/19
Niepewności pomiarów złożonych
Prawo przenoszenia niepewności
W większości pomiarów fizycznych szukana wielkość nie daje się zmierzyć
bezpośrednio, ale jest obliczana z zależności funkcyjnej:
gdzie
Y = f(X),
X = (x1,x2,x3,...xj,...xK ) oznacza wyniki pomiarów K wielkości xj
mierzonych bezpośrednio.
Zgodnie z prawem przenoszenia niepewności, niepewność standardowa
pomiaru złożonego obliczana jest na podstawie znanych niepewności
standardowych pomiarów bezpośrednich
13/19
Niepewność pomiarów nieskorelowanych.
W pomiarach nieskorelowanych każdą wielkość mierzy się w innym,
niezależnym doświadczeniu, a współczynniki korelacji między wielkościami
mierzonymi są małe, co interpretujemy jako brak korelacji.
Złożoną niepewność standardową uc(Y) dla pomiarów nieskorelowanych
oblicza się korzystając z prawa przenoszenia niepewności pomiarów
bezpośrednich nieskorelowanych w postaci:
u c Y =

K
∑
j =1


2
∂ f X 
2
u  x j
∂xj
,
(8)
14/19
Niepewność pomiarów skorelowanych
Pomiary należy uznać za skorelowane zawsze wtedy, gdy dane wielkości są
mierzone na jednym stanowisku pomiarowym w tym samym czasie. Obliczanie
złożonej
niepewności
standardowej
w
takim
przypadku
jest
bardzo
skomplikowane. Można obejść ten problem wykonując serię pomiarów na
danym
stanowisku
pomiarowym,
tj.
dokonując
wielokrotnie
pomiarów
złożonych. Przyjmuje się wtedy, że wynikiem pomiaru złożonego jest wartość
średnia serii pomiarów złożonych obliczana według wzoru (1), a złożoną
niepewność standardową wyniku określa wzór (2), według którego obliczamy
niepewność standardową serii pomiarów.
15/19
Prawo przenoszenia niepewności maksymalnej
Przepisy ISO dopuszczają rachunek niepewności złożonej oparty na metodzie
różniczki zupełnej:
k
Y =∑
j=1
∣
∣
∂ f X
xj
∂xj
,
(9)
gdzie : xj jest w praktyce niepewnością wzorcowania przyrządu jakim
uzyskano wynik xj.
W analogiczny sposób można też stosować metodę pochodnej logarytmicznej.
16/19
Niepewność rozszerzona i zapisywanie wyników
Dla celów komercyjnych, przemysłowych, zdrowia i bezpieczeństwa zachodzi
konieczność podania miary niepewności, która określa przedział otaczający
wynik pomiaru zawierający dużą, z góry określoną, część wyników, jakie można
przypisać wielkości mierzonej. Niepewność spełniającą powyższy warunek
nazywa się niepewnością rozszerzoną
i oznacza symbolem U(y) lub U.
Definiuje się ją wzorem U(y) = k uc(y), gdzie k nazywa się współczynnikiem
rozszerzenia. Jest to umownie przyjęta liczba, wybrana tak, by w przedziale y
± U(y)
znalazła się większość wyników pomiaru potrzebna do danych
zastosowań. W przepisach ISO przyjmuje się wartość k między 2 a 3.
17/19
Przyjmuje się zasadę zapisywania niepewności z dokładnością do dwu cyfr
znaczących. Wynika stąd, że wynik pomiaru powinien być zapisany z taką
liczbą cyfr znaczących, aby ostatnie dwie odpowiadały niepewności.
Spośród dwu sposobów skrótowego zapisu wartości mierzonej i jej niepewności
utrwala się zasada, by zapis z użyciem symbolu "±" stosować wyłącznie do
niepewności rozszerzonej, np. g =(9,81 ± 0,11) m/s2 , natomiast zapis z użyciem
nawiasów stosuje się do niepewności standardowej, np.
g = 9,817(63) m/s2. W obu powyższych przykładach zapisów zastosowano
zasadę podawania dwóch cyfr znaczących niepewności.
18/19
Podstawowe zasady oceny niepewności pomiaru
Wielkość
Symbol i sposób obliczania
Niepewność standardowa dla serii pomiarów.
u x =


i=1
N  N −1
2
∑ 
K
Złożona niepewność standardowa dla
nieskorelowanych wielkości.
u c Y =
Złożona niepewność standardowa dla
skorelowanych wielkości metodą różniczki .
j =1
k
Y =∑
j =1
Zalecany zapis niepewności .
∑  x−x i 2
2
Δ
Δ
Δ
u x = W  E  T
3
3
3
Niepewność standardowa gdy znana jest
niepewność wzorcowania lub inna.
Niepewność rozszerzona.
N
2

2
∂ f X
u x j 2
∂ xj
∣
∣
∂ f X
xj
∂xj
U(y) = k *u(y) ( 2< k < 3 )
standard - g = 9,817 m/s2, u(g) = 0,063 m/s2 lub g = 9,817(63) m/s2
rozszerzona - g = 9,81 m/s2, U(g) = 0,11 m/s2 lub g =(9,81±0,11) m/s2
(zasada podawania 2 cyfr znaczących niepewności)
19/19

Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiarów

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wykład: Metody analizy pomiarów

Witam! Chciałam wyrazić swoje zadowolenie z uczestnictwa w

Graficzna interpretacja wyników pomiarów i ich niepewności

N0 Opracowanie wyników pomiarów

Uwagi porządkowe do sprawozdań: 1. strona tytułowa i protokół na

Sx= 1 S x= 1

zasad pisania sprawozdzań

Zaproszenie – Oferta