łysy obraz

Transkrypt

łysy obraz

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
WYKŁAD 7
zdanie
wynikanie
wynikanie logiczne
1
[email protected]
Katedra Logiki i Metodologii Nauk
Instytut Filozofii
Uniwersytet Łódzki
ul. Kopcińskiego 16/18, I piętro, pok. 13
tel. 635-61-34
dyŜur: poniedziałki, godz. 1200-1300
[w razie potrzeby dyŜur będzie dłuŜszy]
2
Definicja wynikania
Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, jeśli implikacja
Z→W
jest zdaniem prawdziwym na mocy związku jaki zachodzi między tym o czym orzeka
zdanie W a tym o czym orzeka zdanie Z.
Z nazywamy racją, a W następstwem.
Z definicji wynikania wnioskujemy, iŜ istnieją róŜne rodzaje wynikania W z Z w
zaleŜności od rodzaju związku będącego podstawą prawdziwości implikacji Z → W.
3
Związek zachodzący między Z i W, będący podstawą prawdziwości Z → W moŜe być:
- przyczynowo-skutkowy (ze względu na wiedzę o rzeczywistości)
Jeśli zaleję herbatę zimną wodą, to jej nie zaparzę.
- strukturalny (w sensie czasu lub przestrzeni)
Jeśli wczoraj był poniedziałek, to jutro jest środa. (takŜe analityczny)
Jeśli obraz a wisi nad obrazem b, to obraz b wisi pod obrazem a. (takŜe analityczny)
Jeśli stoję twarzą na północ, to po prawej ręce mam wschód.
- tetyczny (ze względu na obowiązywanie pewnych norm)
Jeśli w sklepie płacę za towar, to część mojej zapłaty jest przeznaczona na podatek.
- analityczny (ze względu na sens słów - węŜsze rozumienie analityczności)
Jeśli ta figura jest kwadratem, to [ta figura] ma cztery boki równe.
- logiczny (ze względu na budowę zdań - nieprecyzyjne określenie, patrz dalej)
Jeśli Jan jest łysym adwokatem, to Jan jest adwokatem.
(Jeśli Jan jest łysy i Jan jest adwokatem, to Jan jest adwokatem.)
W kaŜdym powyŜszym przykładzie, pierwsze podkreślenie oznacza Z (rację) drugie zaś
W (następstwo).
4
Definicja wynikania logicznego
1. Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja
Z→W
jest prawdą logiczną. Symbolicznie Z |− W.
Z to przesłanka (załoŜenie), zaś W to wniosek.
2. Zdanie W wynika logicznie ze zdań Z1,...,Zn (ze zbioru zdań {Z1,...,Zn}) wtedy i tylko
wtedy, gdy implikacja
(Z1 ∧ ... ∧ Zn) → Z
jest prawdą logiczną. Symbolicznie {Z1,...,Zn} |− W.
Z1,...,Zn to przesłanki (załoŜenia), zaś W to wniosek.
5
Wnioskowanie dedukcyjne (dedukcja) to wnioskowanie w którym wniosek wynika
logicznie z przesłanek.
Wnioskowanie niezawodne to takie, które od prawdziwym przesłanek zawsze prowadzi
do prawdziwych wniosków. Dedukcja jest wnioskowaniem niezawodnym.
6
Zadanie 1. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdania „Deszcz pada”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy p → q jest tautologią?
p → q
0
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
Schemat ten nie jest tautologią, gdyŜ istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym:
p/ 1, q/0
(deszcz pada a mimo to ulice nie są mokre,
np. z powodu ich zadaszenia - konstrukcja moŜliwego świata)
Zatem zdanie q nie wynika ze zdania p (oczywiście!).
Uwaga: W świecie, w którym Ŝadna ulica nie jest zadaszona, zdanie „Ulice są mokre” wynika ze
zdania „Deszcz pada”. Nie jest to jednak wynikanie logiczne, lecz wynikanie przyczynowoskutkowe, ustalone na mocy wiedzy o świecie.
7
Zadanie 2. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdania „Jeśli deszcz pada, to ulice
są mokre”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (p → q) → q jest tautologią?
1
2
3
4
(p → q) → q
0
1
0
0
0
- przepisujemy wartość q
Schemat (p → q) → q nie jest tautologią, gdyŜ istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym: p/0, q/0. Zatem, zdanie q nie wynika logicznie ze zdania p → q
(oczywiście!). Zdanie „Ulice są mokre” nie wynika logicznie ze zdania wyraŜającego jedynie
zaleŜność tego, Ŝe ulice są mokre od tego, Ŝe deszcz pada. Sam związek nie wystarcza, bo w
świecie bez zadaszonych ulic związek ten jest prawdziwy zawsze, a więc i wtedy, gdy deszcz
nie pada.
8
Zadanie 3. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdań „Deszcz pada” oraz „Jeśli
deszcz pada, to ulice są mokre”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (p ∧ (p → q)) → q jest tautologią?
1
2
3
4
5
(p ∧ (p → q)) → q
0
1
0
1
1
1
0
0
- przepisujemy wartości p i q
- sprzeczność
Schemat (p ∧ (p → q)) → q jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym. Zatem, zdanie q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p → q}.
Symbolicznie:
{p, p → q} |− q.
Jest to reguła odrywania (Modus Ponens).
p, p → q
(inny zapis)
q
9
Zadanie 4. Czy zdanie „Nieprawda, Ŝe deszcz pada” wynika logicznie ze zdań „Nieprawda, Ŝe
ulice są mokre” oraz „Jeśli deszcz pada, to ulice są mokre”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (¬q ∧ (p → q)) → ¬p jest tautologią?
1
2
3
4
5
6
(¬ q ∧ (p → q)) → ¬ p
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
- sprzeczność
Schemat (¬q ∧ (p → q)) → ¬p jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie ¬p wynika logicznie ze zbioru zdań {¬q, p → q}. Symbolicznie:
{¬q, p → q} |− ¬p.
Jest to reguła Modus Tollens.
¬q, p → q
¬p
10
(inny zapis)
Zadanie 5. Czy zdanie „Jestem w czytelni” wynika logicznie ze zdań „Jestem w czytelni lub w
katalogach” oraz „Nieprawda, Ŝe jestem w katalogach”?
p - Jestem w czytelni
q - Jestem w katalogach
Zatem, czy ((p ∨ q) ∧ ¬q) → p jest tautologią?
1
2
3
4
5
6
((p ∨ q) ∧ ¬ q) → p
0
1
0
1
1
0
0 0
0
- sprzeczność
Schemat ((p ∨ q) ∧ ¬q) → p jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {p ∨ q, ¬q}. Symbolicznie:
{(p ∨ q), ¬q} |− p.
Jest to reguła odłączania alternatywy.
p ∨ q, ¬q
p
(inny zapis)
11
p ∨ q, ¬p
q
(takŜe)
Zadanie 6. Czy zdanie „Jan ma tysiąc dolarów lub Jan ma tysiąc złotych” wynika logicznie ze
zdania „Jan ma tysiąc dolarów”?
p - Jan ma tysiąc dolarów
q - Jan ma tysiąc złotych
Zatem, czy p → (p ∨ q) jest tautologią?
1
2
3
4
p → (p ∨ q)
0
1
0
1
1
- przepisujemy wartość p
- sprzeczność
Schemat p → (p ∨ q) jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {(p ∨ q), ¬q}.
Symbolicznie:
{p} |− p ∨ q (p |− p ∨ q).
Jest to reguła dołączania alternatywy.
p
(inny zapis)
p∨q
12
q
p∨q
(takŜe)
Zadanie 7. Czy zdanie „Jan jest złodziejem i mordercą” wynika logicznie ze zdania „Jan jest
złodziejem”?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy p → (p ∧ q) jest tautologią?
1
2
3
4
p → (p ∧ q)
0
1
0
1
0
Schemat p → (p ∧ q) nie jest tautologią, gdyŜ istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym: p/1, q/0 (świat, w którym Jan jest złodziejem i nie jest mordercą). Zatem,
zdanie p ∧ q nie wynika logicznie ze zdania p.
13
Zadanie 8. Czy zdanie „Jan jest złodziejem” wynika logicznie ze zdania „Jan jest złodziejem i
mordercą”?
Zatem, czy (p ∧ q) → p jest tautologią?
1
2
3
4
( p ∧ q) → p
0
1
0
0
0
- sprzeczność
Schemat (p ∧ q) → p jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zdania p ∧ q:
reguła odłączania koniunkcji:
{p ∧ q} |− p
p∧q
p
(p ∧ q |− p).
p∧q
(inny zapis)
q
14
(takŜe)
Zadanie 9. Czy zdanie „Jan jest złodziejem i mordercą” wynika logicznie ze zdań „Jan jest
złodziejem” i „Jan jest mordercą”?
Zatem, czy (p ∧ q) → p ∧ q jest tautologią? Oczywiście, Ŝe TAK.
Zatem, zdanie p ∧ q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, q}:
reguła dołączania koniunkcji:
{p, q} |− p ∧ q.
p, q
p∧q
(inny zapis)
Fakt ten moŜna dowodzić w oparciu o sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny:
p → (q → (p ∧ q)).
15
Zadanie 10. NiŜej przypomniany dowcip z PRL-u jest dowodem na to, Ŝe posługujemy się
logiką (rozumiemy logikę), bez względu na to, czy logikę lubimy, czy nie ☺
Student kupił ksiąŜkę do logiki i przed księgarnią spotkał kolegę ze szkoły podstawowej, który obecnie jest milicjantem.
M(ilicjant): Co to za ksiąŜka?
S(tudent): Do logiki.
M: Co to jest logika?
S: To nauka o poprawnym myśleniu.
M: Jakie myślenie jest poprawne?
S: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?
M: Tak.
S: Skoro masz akwarium, to lubisz rybki.
M: Tak!
S: Skoro lubisz rybki, to lubisz wypić.
M: Tak!
S: Skoro lubisz wypić, to lubisz dziewczyny.
M: Zgadza się! Fantastyczna jest ta logika! TeŜ kupię tę ksiąŜkę!
Gdy milicjant wrócił na komendę z ksiąŜką do logiki, kolega milicjant pyta go
M2: Co to za ksiąŜka?
M: Do logiki.
M2: Co to jest logika?
M: To nauka o poprawnym myśleniu.
M2: Jakie myślenie jest poprawne?
M: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?
M2: Nie.
M: To ty jesteś gejem!
16
Analiza logiczna dowcipu:
p - M ma akwarium; q - M lubi rybki; s - M lubi wypić; r - M lubi dziewczyny
A. Czy zdanie r wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p → q, q → s, s → r}? TAK, bo:
(p ∧
1
2
3
4
5
6
7
8
1
(p → q) ∧ (q → s) ∧ (s → r)) → r
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
- patrz przypis
- przepisujemy wartości p i r
- przepisujemy wartość q
- przepisujemy wartość s
- sprzeczność
B. Czy zdanie ¬r wynika logicznie ze zbioru zdań {¬p, p → q, q → s, s → r}? NIE, bo:
1
2
3
4
5
(¬ p ∧ (p → q) ∧ (q → s) ∧ (s → r)) → ¬ r
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
Podstawienie obalające: p/0, q/0, s/0, r/1.
17
- patrz przypis
- przepisujemy wartości p i r
- przypisujemy wartość fałszu zdaniom q i s
Niezbędny komentarz do powyŜszej analizy.
Oczywiście, to tylko dowcip, więc nie kaŜde ze zdań p → q, q → s, s → r musi być
uznane za prawdziwe!
Ponadto, ma tu miejsce błąd ekwiwokacji:
zamiast jednego zdania q, powinny być dwa róŜne zdania q1 oraz q2 - w innym
znaczeniu lubi się rybki, hodując je w akwarium, w innym zaś, gdy się je traktuje jako
zakąskę.
18
tautologie KRZ
reguły KRZ
p ∨ ¬p
∅ |− p ∨ ¬p
¬(p ∧ ¬p)
∅ |− ¬(p ∧ ¬p)
p ↔ ¬¬p
p |−| ¬¬p
((p → q) ∧ (q → p)) → (p ↔ q)
{p → q, q → p} |− p ↔ q
(p ↔ q) → ((p → q) ∧ (q → p))
{p ↔ q} |− (p → q) ∧ (q → p)
(p → q) ↔ (q ∧ ¬p)
p → q |−| q ∧ ¬p
(p → q) ↔ (¬q → ¬p)
p → q |−| ¬q → ¬p
p → (¬p → q)
{p, ¬p} |− q
¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)
¬(p ∨ q) |−| ¬p ∧ ¬q
prawdy logiczne zawsze moŜna
dodać do przesłanek*
p
¬¬p
19
p↔q
(p → q) ∧ (q → p)
p→q
¬q → ¬p
¬(p ∨ q)
¬p ∧ ¬q
p → q, q → p
p↔q
p→q
q ∧ ¬p
p, ¬p
q
¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)
¬(p ∧ q) |−| ¬p ∨ ¬q
¬(p → q) ↔ (p ∧ ¬q)
¬(p → q) |−| p ∧ ¬q
((p → q) ∧ (q → s) ∧ p) → s
{p → q, q → s, p} |− s
((p → q) ∧ (q → s)) → (¬s → ¬p)
{p → q, q → s, ¬s} |− ¬p
¬(p ∧ q)
¬(p → q)
p ∧ ¬q
¬p ∨ ¬q
p → q, q → s, p
s
p → q, q → s, ¬s
¬p
W powyŜszej tabeli podwójna kreska w ułamku wyraŜającym regułę oznacza, Ŝe ułamek ten wyraŜa dwie
reguły: w jednej licznik jest przesłanką, a mianownik wnioskiem, w drugiej mianownik jest przesłanką, a
licznik wnioskiem.
Wnioskowanie KRZ jest monotoniczne, tzn.
jeśli X ⊆ Y i X |− p, to Y |− p.
*Wniosek
Zatem, w szczególności, jeśli jakieś zdanie wynika ze zbioru pustego, to wynika z
kaŜdego zbioru przesłanek, bo zbiór pusty zawiera się w kaŜdym zbiorze przesłanek.
zbiór przesłanek
20
wniosek
Wynikania logiczne oparte na wielu logikach formalnych, w tym logice klasycznej, są
monotoniczne, tzn. poszerzenie zbioru przesłanek o nowe przesłanki poszerza dotychczasowy
zbiór wniosków (konsekwencji). Fakt ten odróŜnia te wynikania od „zwykłego” rozumowania
człowieka, które jest niemonotoniczne.
Przykład na niemonotoniczność ludzkiego rozumowania:
poszerzanie zbioru przesłanek
wnioski
I.
z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z osobą y. w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio ubrać,
wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do kawiarni x.
II. z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z osobą y. w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio ubrać,
z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje
niską temperaturę.
w2 - Musze się cieplej ubrać.
III. z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z osobą y. w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio ubrać,
w2 - Muszę się cieplej ubrać.
w3 - Muszę zabrać parasol.
z3 - (przed wyjściem z domu) Zaczął padać deszcz.
Do tego miejsca rozumowanie jest monotoniczne.
IV. z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z osobą y. w4 - Moje spotkanie o godzinie t w kawiarni x z osobą y nie
odbędzie się.
Zatem, wnioski w1-w3 przestają być waŜne - rozumowanie
przestaje być monotoniczne.
z3 - (przed wyjściem z domu) Zaczął padać deszcz.
z4 - (miałem rozmowę telefoniczną z osobą z) Osoba y
miała wypadek samochodowy i leŜy w szpitalu.
21
Zadanie 11.
WykaŜemy, Ŝe świat nie jest Absolutem. Jeśli bowiem świat byłby Absolutem, to jeśli byłby
ponadto stworzony, to musiałby sam się stworzyć. Lecz to ostatnie oznaczałoby, Ŝe świat ma
początek. Jednak wówczas świat nie moŜe być wieczny. Z drugiej strony jasne jest, Ŝe Absolut
nie moŜe nie być wieczny. Ponadto, jeśli świat istnieje, to musiał mieć kiedyś początek. Jeśli,
natomiast, nie istnieje, to tym bardziej nie moŜe być Absolutem.
p - świat jest Absolutem
p1 - świat jest stworzony
p2 - świat sam się stworzył
p3 - świat ma początek
p4 - świat jest wieczny
p5 - świat istnieje
{p → (p1 → p2), p2 → p3, p3 → ¬p4, p → p4, p5 → p3, ¬p5 → ¬p} |− ¬p
22
{p → (p1 → p2), p2 → p3, p3 → ¬p4, p → p4, p5 → p3, ¬p5 → ¬p} |− ¬p
(p → (p1 → p2)) ∧ (p2 → p3) ∧ (p3 → ¬ p4) ∧ (p → p4) ∧ (p5 → p3) ∧ (¬ p5 → ¬ p)) → ¬ p
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
Przesłanki pierwsza i druga nie są wykorzystane w analizie. Zatem, wniosek ¬p wynika
logicznie takŜe ze zbioru mniejszego, czyli z {p3 → ¬p4, p → p4, p5 → p3, ¬p5 → ¬p}.
23
Zadanie 12.
WykaŜemy, Ŝe następujący zbiór zdań tworzy wypowiedź sprzeczną:
„Jeśli świat jest wieczny, to nie ma początku lub końca. Z drugiej strony, świat jest wieczny lub
ma zarazem początek i koniec. Nie jest prawdą, Ŝe stworzoność świata implikuje to Ŝe nie ma on
początku. Ponadto, świat nie jest stworzony, o ile załoŜymy, Ŝe jest wieczny wtedy i tylko
wtedy, gdy nie ma końca.”
p1 - świat jest wieczny
p2 - świat ma początek
p3 - świat ma koniec
p4 - świat jest stworzony
{p1 → (¬p2 ∨ ¬p3), p1 ∨ (p2 ∧ p3), ¬(p4 → ¬p2), (p1 ↔ ¬p3) → ¬p4}
24
{p1 → (¬p2 ∨ ¬p3), p1 ∨ (p2 ∧ p3), ¬(p4 → ¬p2), (p1 ↔ ¬p3) → ¬p4}
p1 → (¬ p2 ∨ ¬ p3) ∧ p1 ∨ (p2 ∧ p3) ∧ ¬ (p4 → ¬ p2) ∧ (p1 ↔ ¬ p3) → ¬ p4
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
zał.1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
zał.2
0
1
0
0
0
0
0
25
Nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie cztery formuły zamienią się w zdania
prawdziwe. Nie jest więc moŜliwe, aby wszystkie cztery zdania były jednocześnie prawdziwe.
Oznacza to, Ŝe tekst jest sprzeczny.
26
Elementy Klasycznej Logiki Kwantyfikatorów
x, y, z - zmienne nazwowe
∀ - kwantyfikator ogólny „dla kaŜdego...”
∃ - kwantyfikator szczegółowy „dla pewnego...”, „istnieje... takie, Ŝe...”
P(x), Q(y) - formuły jednej zmiennej (wyraŜają własności)
P(x,y), Q(y,z) - formuły dwóch zmiennych (wyraŜają relacje, związki)
P(x,y,x), Q(y,z,x) - formuły trzech zmiennych (wyraŜają relacje, związki)
„∀x P(x)” czytamy „dla kaŜdego x, P(x)”
„∃x P(x)” czytamy „dla pewnego x, P(x)” lub „istnieje x takie, Ŝe P(x)”
∀x P(x)
¬∀x P(x)
∃x P(x)
¬∃x P(x)
∀x ¬P(x)
∃x ¬P(x)
↔
↔
↔
↔
↔
↔
{x: P(x)} = Dz (Dz - dziedzina rozwaŜań)
{x: P(x)} ≠ Dz
{x: P(x)} ≠ ∅
{x: P(x)} = ∅
{x: ¬P(x)} = Dz
{x: ¬P(x)} ≠ ∅
27
zdanie prawdziwe
∀x P(x)
∃x P(x)
∀x ¬P(x)
∃x ¬P(x)
28
zdanie fałszywe
Objaśnienie.
Czarna kropka na diagramie oznacza niepustość zbioru, do którego naleŜy.
Szare wypełnienie oznacza pustość zbioru wypełnionego tym kolorem.
Negacja zdań skwantyfikowanych:
¬∀x P(x) ↔ ∃x ¬P(x)
¬∃x P(x) ↔ ∀x ¬P(x)
Zatem,
∀x P(x) ↔ ¬∃x ¬P(x)
∃x P(x) ↔ ¬∀x ¬P(x)
29
Zadanie: Jak brzmi zaprzeczenie zdania:
1. KaŜdy adwokat kiedyś obroni jakiegoś oskarŜonego.
2. śaden prokurator nie wycofa nigdy Ŝadnego aktu oskarŜenia.
3. Pewien sędzia wydał kiedyś [jakiś] niesprawiedliwy wyrok.
1. ∀x∈A ∃y∈T ∃z∈Os Obr(x,y,z)
¬∀x∈A ∃y∈T ∃z∈Os Obr(x,y,z) ↔ ∃x∈A ∀y∈T ∀z∈Os ¬Obr(x,y,z)
Odp: Pewien adwokat nigdy nie obroni Ŝadnego oskarŜonego.
2. ∀x∈Pr ∀y∈T ∀z∈Akt ¬W(x,y,z)
¬∀x∈Pr ∀y∈T ∀z∈Akt ¬W(x,y,z) ↔ ∃x∈Pr ∃y∈T ∃z∈Akt W(x,y,z)
Odp: Pewien prokurator kiedyś wycofa jakiś akt oskarŜenia.
3. ∃x∈A ∃y∈T ∃z∈NW Wyd(x,y,z)
¬∃x∈A ∃y∈T ∃z∈NW Wyd(x,y,z) ↔ ∀x∈A ∀y∈T ∀z∈NW ¬Wyd(x,y,z)
Odp: śaden sędzia nigdy nie wydał [Ŝadnego] niesprawiedliwego wyroku.
30

łysy obraz

Transkrypt

Podobne dokumenty

spada deszcz

Zdanie. Zaprzeczenie zdania

Przykład

42 Sejmik Wiejskich Zespołów Teatralnych w Stoczku Łukowskim

Andrzej Miś prezentuje 2 1. Smutne Trio A.A.A.

ZAJĘCIA 04. Alternatywa i równowaŜność.

samodzielność dziecka

Protokół ze spotkania Partnerów