Ćwiczenie 7 Filtry LC

 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
1/28
Ćwiczenie 7
Filtry LC
1. Wstęp
Filtry elektryczne są układami liniowymi służącymi do przekształcania sygnałów
elektrycznych. W dziedzinie częstotliwości oznacza to wytłumienie niepożądanych składowych
widma sygnału. Natomiast w dziedzinie czasu oznacza to głównie kształtowanie czoła impulsu.
Nie jest możliwe zrealizowanie filtru o dowolnego kształtu charakterystyce
amplitudowej i fazowej. W szczególności nie jest możliwe zrealizowanie filtrów o tak
pożądanym w praktyce kształcie charakterystyki częstotliwościowej jak prostokątna
charakterystyka amplitudowa i liniowa charakterystyka fazowa. Jest możliwa realizacja jedynie
przybliżonych, aproksymowanych charakterystyk idealnych, prostokątnej amplitudowej i
liniowej fazowej. W ćwiczeniu laboratoryjnym zostanie rozpatrzona aproksymacja
maksymalnie płaska (Butterwortha) i równofalista (Czebyszewa) charakterystyki amplitudowej
oraz aproksymacja maksymalnie liniowa (Bessela) charakterystyki fazowej.
Filtry mogą być realizowane w różnych klasach elementów. W praktyce najszersze
zastosowania znajdują filtry LC, tj. filtry zbudowane z elementów L i C. W ćwiczeniu będą
projektowane i realizowane dolnoprzepustowe filtry LC drugiego i trzeciego rzędu.
Przewidywane teoretycznie charakterystyki częstotliwościowe i czasowe filtrów zostaną
porównane z charakterystykami pomierzonymi.
2. Podstawy teoretyczne
2.1. Kryteria realizowalności filtru
Filtr LC jest czwórnikiem liniowym, pasywnym o transmitancji H   . Idealny filtr
dolnoprzepustowy ma prostokątną charakterystykę amplitudową, liniową charakterystykę
fazową i przenosi bez zniekształceń sygnały o widmie skończonym, mieszczącym się w
przedziale pulsacji    g , gdzie  g jest pulsacją graniczną filtru (rys. 7.1a).
a)
H    A e j  
H0
 g
0
  
ht   F 1 H  
H 0 g

A 
g
b)

0
 t0 
 g g
Rys. 7.1. Charakterystyki idealnego filtru dolnoprzepustowego: a) charakterystyki
częstotliwościowe; b) odpowiedź impulsowa
t
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
2/28
Transmitancja idealnego filtru dolnoprzepustowego ma następującą postać
H ( )  A( )e
j (  )
 H 0 e  jt0

 0
, dla
, dla
  g
  g
(7.1)
gdzie A  jest charakterystyką amplitudową, a    jest charakterystyką fazową.
Odpowiedź impulsowa tego filtru wyraża się następującym wzorem
h(t )  F 1 H ( ) 
H 0 g sin  g (t  t 0 )

 g (t  t 0 )
, t  
(7.2)
Odpowiedź ta jest narysowana na rys. 7.1b dla H 0  0 . Odpowiedź ht  ma postać funkcji
sin x x , czyli pojawia się jeszcze przed przyłożeniem pobudzenia  t  , tzn. ht   0 dla t  0 .
Oznacza to, że nie jest spełniony warunek przyczynowości (odpowiedź wyprzedza w czasie
pobudzenie) i stąd idealny filtr dolnoprzepustowy jest nierealizowalny fizycznie, nie może
pracować w czasie rzeczywistym.
W dziedzinie częstotliwości warunki realizowalności filtru wyraża następujące
twierdzenie Paley’a-Wienera.
Twierdzenie. Jeżeli A() jest nieujemną, nierówną tożsamościowo zeru, parzystą funkcją


całkowalną z kwadratem   A 2 ( ) d   ) , to warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby



istniała rzeczywista funkcja ht  równa zeru dla t  0 , której transformata Fouriera
H ( )  F h(t ) ma moduł równy H ( )  A( ) , jest warunek, by zachodziła nierówność



ln A( )
1  2
d  
(7.3)

Warunek (7.3) nosi nazwę kryterium Paley`a-Wienera. Z twierdzenia wynika, że jeśli
dla danej charakterystyki amplitudowej A  nie jest spełnione kryterium Paley`a-Wienera, to
nie istnieje taka charakterystyka fazowa  ( ) , przy której funkcja h(t )  F 1 A( )e j ( )


byłaby przyczynowa. Mówi się wówczas, że dana charakterystyka amplitudowa A  nie jest
realizowalna fizycznie. Charakterystyka amplitudowa idealnego filtru z rys. 7.1a jest
przykładem charakterystyki amplitudowej nie spełniającej kryterium Paley’a-Wienera, a więc
nierealizowalnej.
Chociaż filtr idealny nie jest realizowalny, to można w drodze aproksymacji zbliżyć się
z dowolną dokładnością do jego idealnej charakterystyki amplitudowej lub fazowej.
Najczęściej stosowane są aproksymacja maksymalnie płaska (Butterwortha) i równofalista
(Czebyszewa) dla charakterystyki amplitudowej oraz maksymalnie liniowa (Bessela) dla
charakterystyki fazowej.
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
3/28
2.2. Normalizacja elementów filtru
W teorii filtrów regułą jest posługiwanie się unormowanymi wartościami elementów,
gdyż upraszcza to wyprowadzenie wzorów projektowych i zwiększa dokładność obliczeń
poprzez zmniejszenie błędów zaokrągleń obliczeń numerycznych. Normalizacja elementów
zostanie rozpatrzona na przykładzie pewnego układu zbudowanego z elementów R, L, C o
transmitancji napięciowej
1
V 2 ( R , j L ,
)
V2 ( )
j C
1
H v ( ) 

 H v ( R, jL,
)
(7.4)
1
V1 ( )
jC
V1 ( R, jL,
)
jC
Jest to funkcja wymierna względem impedancji elementów R, L, C. Dzieląc licznik i
mianownik funkcji H v ( ) przez dowolną rezystancję R0 w odpowiedniej potędze, osiąga się
normalizację impedancji gałęzi R, L, C względem R0
 R jL
1
H v ( )  H v  ,
,
 R0 R0 jCR0



(7.5)
Jako rezystancję R0 wybiera się jedną z rezystancji w układzie, z reguły jest to rezystancja
generatora lub rezystancja obciążenia.
Następnie normowana jest pulsacja  względem pewnej pulsacji  0 (jest nią z reguły
pulsacja graniczna filtru  g ). W tym celu definiuje się pulsację unormowaną    /  0 .
Transmitancja H v   zależy od pulsacji unormowanej  w następujący sposób
 R j 0 L

1

H v ()  H v  ,
,
R0
j 0 CR 0 
 R0
(7.6)
i od unormowanych impedancji elementów R, L, C

1 

H v ()  H v  R , jL ,
jC  

(7.7)
Jak widać, transmitancja H v ( ) jest dokładnie takiej samej postaci funkcją wymierną jak
transmitancja H v () , w której operuje się unormowanymi (bezwymiarowymi) wielkościami

0
R
R 
R0

L  0 L
R0
C    0 R0 C

(7.8a)
(7.8b)
(7.8c)
(7.8d)
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
4/28
Powrotu od wartości unormowanych do rzeczywistych dokonuje się z użyciem
zależności odwrotnych
  0
R  R0 R 
R
L  0 L
0
1
C
C
 0 R0
(7.9)
Normalizacja może być stosowana w opisie każdego układu liniowego. Filtr o
znormalizowanych elementach nazywa się filtrem prototypem.
2.3. Analiza układu o strukturze drabinkowej
Filtry LC są zwykle realizowane w postaci układów o strukturze drabinkowej jak na
rys. 7.2.
a)
L2  g 2
Rg  g 0
E
C1  g1
C3  g 3
b)
Ln  g n
V0
G0  g n 1
Cn  g n
n  parzyste
V0
R0  g n 1
n  nieparzyst e
Rys. 7.2. Struktura dolnoprzepustowego filtru drabinkowego LC: a) filtr parzystego rzędu;
b) filtr nieparzystego rzędu
Transmitancję takiego układu dogodnie jest zapisać wykorzystując pojęcie kontynuanty
H v ( s) 
H v(s) 
V0 ( s )
1

, n - parzyste
E ( s )  g 0 , sg 1 , sg 2 , ... , sg n , g n 1 
V0 s 
1

, n - nieparzyste
E s  
1 
 g 0 , sg 1 , sg 2 ,. .. , sg n 

g
n
1


(7.10a)
(7.10b)
gdzie n jest rzędem filtru, a ciąg w nawiasach kontynuantą.
Rozwinięcie kontynuanty odbywa się według następujących zasad. Rozwinięciem
kontynuanty zbudowanej z n-elementowego ciągu
 n   a1 , a 2 ,..., a n 
(7.11)
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
5/28
nazywamy N-elementową sumę następujących wyrazów:
a) pierwszy wyraz jest iloczynem wszystkich elementów ciągu;
b) następne wyrazy są iloczynami wszystkich możliwych kombinacji elementów ciągu
modyfikowanego w ten sposób, że po jednej parze sąsiadujących ze sobą elementów zastępuje
się jedynkami;
c) dalsze wyrazy otrzymuje się przez zastąpienie jedynką kombinacji dwóch par, następnie
trzech par elementów, itd.
 1  (a 1 )  a 1
 2  ( a1 , a 2 )  a1 a 2  1
 3  ( a1 , a 2 , a 3 )  a1 a 2 a 3  a1  a 3
 4  ( a1 , a 2 , a 3 , a 4 )  a1 a 2 a 3 a 4  a1 a 2  a1 a 4  a 3 a 4  1
..................................................................................
Liczbę wyrazów rozwinięcia kontynuanty N można łatwo obliczyć przyrównując elementy ai ,
i=1,2,...,n do jedności. Wówczas dla
n = 1, 2, 3, 4, 5, ...
otrzymujemy odpowiednio
N = 1, 2, 3, 5, 8, ...
Ciąg wartości N jest ciągiem Fibonacciego, tj. takim ciągiem, w którym każdy wyraz jest sumą
dwóch poprzednich wyrazów.
Przykład 7.1. Transmitancja napięciowa filtru drabinkowego LC rzędu drugiego obliczona z
wykorzystaniem pojęcia rozwinięcia kontynuanty ma następującą postać
H v (s ) 
1
1
 2
(7.12)
( Rg , sC1 , sL2 , G0 ) s C1 L2 R g G0  s (C1 R g  L2 G0 )  Rg G0  1
Jeśli rząd filtru równa się trzy, to
H v (s ) 
1

( Rg , sC1 , sL2 , sC 3  G0 )
1
 3
2
s C1C 3 L2 Rg  s L2 (C1 R g G0  C 3 )  s (C1 R g  L2 G0  C 3 Rg )  Rg G0  1
(7.13)

2.4. Filtr o maksymalnie płaskiej charakterystyce amplitudowej (Butterwortha)
Z definicji charakterystyka amplitudowa idealnego filtru dolnoprzepustowego jest
aproksymowana charakterystyką maksymalnie płaską stopnia n , gdy n  1 kolejnych
pochodnych kwadratu charakterystyki amplitudowej A 2 ( ) zeruje się w zerze
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
d k A 2 ( 2 )
 0,
d 2 k
k  1,2,..., n  1
6/28
(7.14)
0
Filtr drabinkowy LC rzędu n ma wszechbiegunową transmitancję
H v (s) 
1
a 0  a1 s  a 2 s  ....  a n s n
(7.15)
skąd kwadrat charakterystyki amplitudowej jest postaci
1

(a0  a 2  ...)   2 (a1  a3 2  ...) 2
A 2 ( 2 ) 
2
2
1
 2
2
2
2
a 0  (a1  2a0 a 2 )  (a 2  2a0 a 4  2a1a3 ) 4  ....  a n2 2 n
(7.16)
Z przyrównania do zera n  1 kolejnych pochodnych
 (a12  2a 0 a 2 )

0
a 02
dA 2 ( 2 )
d 2
 0
dA 4 ( 2 )
(7.17)

d 4
 (a 22  2a 0 a 4  2a1a 3 )
0
a 02
 0
........................................................................
wynikają warunki
a12  2a 0 a 2  0, a 22  2a0 a 4  2a1a3  0, ...
(7.18)
które muszą być spełnione przez współczynniki ai , i  0,1,2,, n , aby charakterystyka
amplitudowa A  była maksymalnie płaska. Podstawiając warunki (7.18) do (7.16),
otrzymuje się poszukiwaną postać maksymalnie płaskiej charakterystyki amplitudowej
1
A( ) 
(7.19)
2
a 0  a n2 2 n
Wprowadzając normalizację pulsacji (7.8a), gdzie  0   g  n a 0 / a n i przyjmując a0  1
otrzymuje się unormowaną maksymalnie płaską charakterystykę amplitudową (Butterwortha)
A(  ) 
1
1   2n
, n  1,2,...
(7.20)
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
7/28
Charakterystykę tę wykreślono na rys. 7.3.
A 
Id. char. prostokątna
1
1
2
n
n3
0
n2
1
n 1


g
Rys. 7.3. Charakterystyki amplitudowe filtru Butterwortha
W miarę wzrostu rzędu filtru n, charakterystyka ta coraz lepiej aproksymuje charakterystykę
idealnego filtru dolnoprzepustowego. Unormowana pulsacja graniczna filtru jest stała
 g ,3dB  1 , gdyż A1  1 2 niezależnie od rzędu filtru n.
W przypadku, gdy filtr ma przenosić sygnały impulsowe, to istotna jest znajomość jego
charakterystyki czasowej. Na rys.7.4 wykreślono odpowiedź g t  filtru Butterwortha na
pobudzenie jednostkowym skokiem napięcia.
g t 
l
n2 3 4 5
tn
t0
   gt
Rys. 7.4. Odpowiedź filtru Butterwortha na pobudzenie skokiem napięcia
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
8/28
Kształt odpowiedzi impulsowej opisuje się podając czas narastania czoła impulsu t n
(zdefiniowany jako czas narastania od 10% do 90% stanu ustalonego), opóźnienie t 0
(zdefiniowane jako opóźnienie na poziomie 50% stanu ustalonego), amplitudę pierwszego
przerzutu l (wyrażaną często w procentach). W miarę wzrostu rzędu filtru n rośnie opóźnienie
impulsu t 0 i zniekształcenia impulsu objawiające się coraz większą amplitudą pierwszego
przerzutu l.
Z warunków maksymalnej płaskości (7.18) można wyznaczyć wartości
współczynników ai , i  0,1, , n  1 , a następnie wartości współczynników g i , i  1,2, , n
prototypu filtru Butterwortha. Takie postępowanie prowadzi do wyprowadzenia następujących
wzorów projektowych
g 0  g n 1  1
 

g k  2 sin 2k  1 , k  1,2,..., n
2n 

(7.21)
Przykład 7.2. Zostanie zaprojektowany filtr Butterwortha rzędu n  3 o częstotliwości
granicznej f g  10 kHz i rezystancji obciążenia R0  255  . Posługując się zależnościami
(7.21), przy oznaczeniach jak na rys. 7.2b, wyznacza się wartości elementów filtru prototypu

g 0  Rg  1
 

g1  C1  2 sin    1
6
 

g 2  L2  2 sin  3   2
 6
 

g 3  C 3  2 sin  5   1
 6

g 4  R0  1
Posłużymy się wzorami (7.9) do przejścia od wartości unormowanych do rzeczywistych i przy
 0  2f g  2 10 4 rad/s otrzymujemy następujące wartości

R g  R0 R g  255 
C1 
1

C1  62,4 nF
 g R0
L2 
R0 
L2  8,12 mH
g
C3 
1

C 3  62, 4 nF
 g R0
Transmitancja operatorowa filtru (7.13) przyjmie poniższą postać
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
9/28
1
0,5

2
5
3
2
8  10 s  10 s  6,36  10 s  2  s 
 s 



  2
  2 s   1
 g 
 g 
 g 






zaś transmitancja częstotliwościowa ma następującą postać
H v ( s) 
15
3
9
0,5
H v ( ) 
2
 

  j  2   

 g    g



1  2

 g




2




skąd mamycharakterystykę amplitudową (p. wzór (7.20))
A ( ) 
0,5
  

1  
 g 
6
i fazową
2
 

2
 

g


 ( )  arctg
2
g
 

1  2
 
 g
Wykreślenie charakterystyk amplitudowej i fazowej będzie ułatwione, gdy zostaną
wyznaczone ich asymptoty
 6dB,
   g



20 lg A( )  
 6dB  3  20 lg
,    g

g

   g
 0,
 ( )  
0
 3  90 ,    g
Dodatkowo widać z postaci funkcji charakterystyki fazowej, że faza przyjmuje wartość –900
1
f g , wartość  135 0 przy f  f g i wartość  180 0 przy f  2 f g . Asymptoty
przy f 
2
i charakterystyki Bodego zaprojektowanego filtru wykreślono na rys. 7.5.
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
fg
10kHz
20 lg A f 
0dB
1kHz
10/28
100kHz
lg f
 6dB
3dB
 9dB
 10dB
 60dB/dek
 20dB
fg
7 10 14
 f 
00
1kHz
100kHz
lg f
 90 0
 1350
 180 0
 2700
Rys. 7.5. Asymptoty i charakterystyki Bodego filtru Butterwortha, n  3 , z przykładu 7.2
Odpowiedź g t  filtru na pobudzenie skokiem jednostkowym jest taka jak na rys. 7.4
R0
dla n  3 . Odpowiedź ustala się na poziomie g t    
 0,5 .
Rg  R0

2.5. Filtr o równomiernie falistej charakterystyce amplitudowej (Czebyszewa)
Charakterystyka Czebyszewa aproksymuje idealną charakterystykę amplitudową filtru
dolnoprzepustowego w ten sposób, że jest zapewnione równomierne zafalowanie
charakterystyki w paśmie przepustowym i monotoniczne opadanie charakterystyki poza
pasmem przepustowym. Charakterystyka Czebyszewa jest opisana następującą zależnością
1
A ( ) 
1 
2
C n2
, 
( )

g
(7.22)
gdzie C n  x  jest wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju obliczanym ze wzoru
rekurencyjnego
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
11/28
C0 (x )  1
C1 ( x )  x
C 2 ( x )  2x 2  1
C 3 ( x )  4 x 3  3x
(7.23)
........................
C n ( x )  2xCn 1 ( x )  Cn  2 ( x )
Współczynnik falistości  określa nierównomierność charakterystyki w paśmie przepustowym.
Nierównomierność tą można wyrazić w mierze decybelowej następująco
R[dB]  20 lg 1   2
(7.24)
Charakterystyki amplitudowe filtru Czebyszewa wykreślono na rys. 7.6.
A 
1
R
1
n
1  2
n3
0
n2
1
n 1


g
Rys. 7.6. Charakterystyki amplitudowe filtru Czebyszewa
Odpowiedzi skokowe g t  filtru Czebyszewa wykreślono na rys. 7.7.
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
12/28
1 .2
g  
R  1 dB
1 .0
0 .8
0 .6
n2
3
5
4
0 .4
0 .2
  g t
0
0
2
V (1 )/ 1 V
4
6
8
10
12
14
16
18
20
T im e /1 s
1.2
g  
R  2 dB
1.0
0.8
0.6
n2
3
5
4
0.4
0.2
  g t
0
0
2
V( 1 ) /1 V
4
6
8
10
12
14
16
18
20
T im e /1 s
1.2
g  
R  3 dB
1.0
0.8
0.6
n2
3
4
5
0.4
0.2
  g
t
0
0
2
V ( 1) /1 V
4
6
8
10
12
14
16
T im e /1 s
Rys. 7.7. Odpowiedzi filtru Czebyszewa na pobudzenie skokiem jednostkowym
18
20
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
13/28
Widać, że w miarę wzrostu parametru R rosną zniekształcenia czoła impulsu. Dlatego w
praktyce nie stosuje się filtrów Czebyszewa o dużym zafalowaniu charakterystyki
amplitudowej w paśmie przepustowym.
Prototyp filtru Czebyszewa o strukturze drabinkowej jak na rys. 7.2 projektuje się
wykorzystując następujące wzory
g0  1
2a1

4a a
g k  k 1 k , k  2,3,..., n
bk 1 g k 1
g1 
g n1
(7.25)
1,
n - nieparzyst e


  2  
cth   ,
n - parzyste

4
gdzie parametry  ,  , a k , bk są parametrami pomocniczymi
 
  ln cth ln 4 1   2

 
  sh  
 2n 
 

a k  sin 2k  1 , k  1,2,..., n
2n 

 k 
bk   2  sin 2  , k  1, 2,..., n  1
 n 
Wyniki obliczeń dla filtrów Czebyszewa rzędu n  2 i n  3 przy wybranych wartościach
parametru R zestawiono w tabeli 7.1.
Tabela 7.1. Parametry prototypu filtru Czebyszewa rzędu n  2 i n  3 ( g 0  1 )
Rząd
filtru
n2
n3
Nierównomierność
charakterystyki
R = 1dB
R = 2dB
R = 3dB
R = 1dB
R = 2dB
R = 3dB
g1
g2
g3
g4
1,8219
2,4881
3,1013
2,0236
2,7107
3,3487
0,6850
0,6075
0,5339
0,9941
0,8327
0,7117
2,6599
4,0957
5,8095
2,0236
2,7107
3,3487
1
1
1
Przykład 7.3. Zostanie zaprojektowany filtr Czebyszewa rzędu n  3 o częstotliwości
odcięcia f g  10 kHz , zafalowaniu R  3 dB i rezystancji generatora R g  400  .
Wartości elementów prototypu filtru oblicza się ze wzorów (7.25), (7.26) lub
odczytuje z tabeli 7.1
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
14/28




C1  3,3487, L2  0,7117, C 3  3,3487, R0  1
Wartości elementów po denormalizacji to
C1 
L2 
1

C1  133,2 nF
 g Rg
Rg
g

L2  4,53 mH
1

C 3  133,2 nF
 g Rg
C3 

R0  R g R0  400 
Transmitancja operatorowa filtru (7.13) przyjmuje poniższą postać
H v (s) 
1
32  10
15
3
9
2
5
s  1,2  10 s  11,8  10 s  2
0,5

 s
4
 g

zaś transmitancja częstotliwosciowa jest następująca
0,5
H v ( ) 

1  2,38
 g

2



  j  3,71  4 

 g
g 







skąd charakterystyka amplitudowa (p. wzór (7.22))
A ( ) 
0,5
2
4
  
  
  
  24
  16

1  9
 g 
 g 
 g 
6
i fazowa

3,71  4


 g
 ( )  arctg
g

1  2,38

 g








2
2
Asymptoty Bodego obu charakterystyk są następujące
2




2


  2,38 s

 g


2


  3,71 s

 g



 1


 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
15/28
 6dB,
   g


3  
20 lg A( )  
 4
,    g

6
dB

3

20
lg




g



   g
 0,
 ( )  
0
 3  90 ,    g
Dodatkowo widać z postaci funkcji charakterystyki fazowej, że faza przyjmuje wartość –900
1
1
przy f 
f g , wartość  180 0 przy f 
3,71 f g i wartość  192 0 przy f  f g .
2
2,38
Asymptoty i charakterystyki Bodego zaprojektowanego filtru wykreślono na rys. 7.8.
20 lg A f 
0dB
1kHz
6,3
fg
10
100kHz
lg f
 6dB
R  3dB
 9dB
 10dB
 60dB/dek
 20dB
 f 
00
1kHz
fg
6,3 9,6 10
100kHz
lg f
 90 0
 1350
 180 0
 2700
Rys. 7.8. Asymptoty i charakterystyki Bodego filtru Czebyszewa, n  3 , z przykładu 7.3
Odpowiedź filtru na pobudzenie skokiem jednostkowym jest taka jak na rys. 7.7 dla
R0
 0,5 .
n  3 . Odpowiedź ustala się na poziomie g t    
Rg  R0

 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
16/28
2.6. Filtr o maksymalnie liniowej charakterystyce fazowej (Bessela)
Charakterystyka Bessela aproksymuje idealną, liniową charakterystykę fazową w ten
sposób, że kolejne pochodne charakterystyki fazowej od drugiego rzędu włącznie zerują się w
zerze
d k  ( )
 0, k  2,3, ...
d k
(7.27)
0
Maksymalna liniowość fazy jest równoznaczna z maksymalną płaskością grupowego czasu
przejścia
 g ( )  
d (  )
d
(7.28)
Warunki maksymalnej liniowości fazy (7.27) spełnia następująca transmitancja
H ( )  A() e j (  ) 
1 3  5  (2n  1)
Bn ( j  )
(7.29)
gdzie Bn x  jest wielomianem Bessela. Wielomiany Bessela wyznacza się z zależności
rekurencyjnej
B0 ( x )  1
B1 ( x )  1  x
B 2 ( x)  3  3x  x 2
B3 ( x )  15  15 x  6 x 2  x 3
....................................
Bn ( x )  (2n  1) Bn1 ( x)  x 2 Bn 2 ( x )
Charakterystyki amplitudowe filtru Bessela o transmitancji (7.29) wykreślono na
rys. 7.9.
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
17/28
H  
3 dB
n2
3
4 5
1,7557 2,4274
t 0
1,3617 2,1139
Rys. 7.9. Charakterystyki amplitudowe filtru Bessela
Unormowana pulsacja graniczna filtru Bessela, przy której charakterystyka amplitudowa opada
o 3dB, może być obliczona w sposób przybliżony z zależności
 3dB 
2n  1 ln 2 ,
n3
(7.31)
Dokładnie wartość ta równa się  3dB  1 dla n  1 ,  3dB  1,362 dla n  2 ,  3dB  1,756
dla n  3 . Odpowiedzi skokowe g t  filtru Bessela wykreślono na rys. 7.10. Porównując je z
odpowiedziami skokowymi filtrów Butterwortha i Czebyszewa widać, że filtr Bessela
wprowadza najmniejsze zniekształcenia czoła impulsu, gdyż filtr ten nie powoduje przerzutów.
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
18/28
g t 
n 2
3
4
5
t t0
Rys. 7.10. Odpowiedź filtru Bessela na pobudzenie skokiem jednostkowym
Wartości elementów prototypu filtru Bessela o strukturze drabinkowej jak na rys. 7.2
zostały wyznaczone metodami numerycznymi, a wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 7.2.
Tabela 7.2. Parametry prototypu filtru Bessela ( g 0  g n1  1 )
n
1
2
3
4
g1
2,0000
1,5774
1,2550
1,0598
g2
g3
g4
0,4226
0,5528
0,5116
0,1922
0,3181
0,1104
Przykład 7.4. Zostanie zaprojektowany filtr Bessela rzędu n  3 o trzydecybelowej
częstotliwości granicznej f g  10 kHz i rezystancji generatora R g  292  .
Wartości elementów prototypu filtru odczytuje się z tabeli 7.2




C1  1,255, L2  0,5528, C 3  0,1922, R0  1
Wartości elementów po denormalizacji (należy przyjąć  0   g /  3dB ,  3dB  1,755) , to
 Andrzej Leśnicki
C1 
L2 
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
19/28
1

C1  120 nF
0 R g
Rg

L2  4,5 mH
0
1

C3 
C 3  18,4 nF
0 Rg

R0  R g R0  292 
Transmitancja operatorowa filtru (7.13) przyjmie poniższą postać (p. wzór (7.29))
1

2,9  10 s  6,24  10 10 s 2  5,6  10 5 s  2  s

 0
zaś transmitancja częstotliwościowa jest następująca
H v ( s) 
15
H v ( ) 
3
7,5
3

 s
  6

 0
2

 s
  15

 0

  15

7,5
2
 

15  6   j
0
 0 
skąd charakterystyka amplitudowa


15  

 0



2



7,5
A( ) 

225  45
 0
2
4

   
  6    

 0    0 
6
i fazowa
2
 
15   

 0 
 ( )  arctg
2
0
 


15  6 
 0 
Asymptoty Bodego obu charakterystyk są następujące
 6dB,


 
20 lg A( )  
 6dB  3  20 lg  3

 15 0

   0

,    0


   0
 0,
 ( )  
0
 3  90 ,    0
Dodatkowo widać z postaci funkcji charakterystyki fazowej, że faza przyjmuje wartość
15
14
 arctg  59 0 przy f  f 0 , wartość  90 0 przy f 
f 0 i wartość  180 0 przy
9
6
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
20/28
f  15 f 0 . Asymptoty i charakterystyki Bodego zaprojektowanego filtru wykreślono na rys.
7.11.
fg
10kHz 14kHz
20 lg A f 
0dB
1kHz
100kHz
lg f
 6dB
3dB
 9dB
 10dB
 60dB/dek
 20dB
 f 
00
1kHz
5,6
fg
9 10
22
100kHz
lg f
0
 59
 90 0
 180 0
 2700
Rys. 7.11. Asymptoty i charakterystyki Bodego filtru Bessela, n  3 , z przykładu 7.4
Odpowiedź filtru na pobudzenie skokiem jednostkowym jest taka jak na rys. 7.10 dla
R0
 0,5 .
n  3 . Odpowiedź ustala się na poziomie g t    
R g  R0

3. Opis zestawu ćwiczeniowego
3.1. Opis badanego układu
Schemat elektryczny badanego układu filtru LC o strukturze drabinkowej pokazano
na rys.7.12.
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
Rg
0  500
WE
1
L2  N 2 0,5mH  0,5mH , 2mH , 4,5mH lub 8mH
3
S1
N
1
S2

1
S3

1
21/28
2
WY
S4

1
C1
R0
C3
0  255nF
0  500
0  255nF
0
Rys. 7.12. Schemat badanego filtru LC
Jest możliwa realizacja filtru rzędu n  3 lub n  2 (ustawia się wówczas C3 = 0). Rezystory
R g i R0 posiadają płynnie regulowaną rezystancję w zakresie od 0 do 500. Induktor L2 ma
cztery do wyboru wartości indukcyjności: 0,5mH, 2mH, 4,5mH, 8mH; ustalane za pomocą
przełączników S1, S2, S3, S4. Projektując filtr należy tak dobrać R g , R0 , aby indukcyjność
L2 miała wartość zbliżoną do jednej z tych czterech wartości. Pojemności kondensatorów C1 i
C2 są regulowane skokowo co 1nF w zakresie od 0 do 255nF.
3.2. Zestaw pomiarowy i metoda pomiaru
Pomiary charakterystyk częstotliwościowych i czasowych badanych filtrów LC są
dokonywane w zestawie pomiarowych o schemacie blokowym jak na rys. 7.13.
Multimetr
(pomiar
rezystancji)
Generator
funkcyjny
Woltomierz cyfrowy
L2136, wskaźnik
V
20 lg A dB
VB
Bufor
L2165B
Woltomierz
wektorowy
L22311
10dB 1000
V
V
Woltomierz cyfrowy
L2136, wskaźnik
 A   B  0

A B
Płytka obwodu drukowanego
z badanym filtrem
WE
Rys. 7.13. Schemat blokowy układu do pomiaru filtru LC
Y1
WY
Y2
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
22/28
Charakterystyki częstotliwościowe A f  i   f  są mierzone punkt po punkcie przy
pobudzeniu układu sygnałem sinusoidalnym z generatora funkcyjnego. Generator funkcyjny
łącznie z buforem (sumatorem) tworzą praktycznie idealne źródło napięciowe (o bliskiej zeru
rezystancji wewnętrznej). Wyjście i wejście filtru są podłączone odpowiednio do kanału A i B
woltomierza wektorowego. Dwa woltomierze cyfrowe podłączone do woltomierza
wektorowego służą jako wskaźniki i odczytuje się z nich odpowiednio wartość A f  w
decybelach i   f  w stopniach. Dodatkowo podłączenie wejścia i wyjścia do oscyloskopu
dwustrumieniowego pozwala obserwować na jego ekranie zmianę stosunku amplitud i
przesunięcia fazowego obu sygnałów w funkcji częstotliwości.
Odpowiedź skokową filtru g t  mierzy się za pomocą oscyloskopu przy pobudzeniu
filtru okresowym sygnałem prostokątnym z generatora funkcyjnego. Czas trwania
pobudzającego impulsu prostokątnego powinien być większy niż czas trwania procesów
przejściowych w filtrze.
Wymagane wartości rezystancji R g i R0 ustawia się przesuwając suwak potencjometru
i obserwując wskazania omomierza. Na czas pomiaru rezystancji omomierzem należy odłączyć
źródło sygnału z generatora funkcyjnego.
4. Program wykonania ćwiczenia
A. Przygotowanie ćwiczenia
1. Zaprojektuj dolnoprzepustowe filtry LC rzędu n  2 (C3 wyłączone) o
charakterystykach: a) Butterwortha, b) Czebyszewa, c) Bessela. Przyjmij częstotliwość
graniczną f g z przedziału 2kHz - 20kHz, o wartości wspólnej dla każdego z trzech filtrów.
Rezystancje R g i R0 można wybrać dowolnie z przedziału 0 - 500, tak jednak, aby L2
przyjęło wartość zbliżoną do jednej z czterech realizowalnych wartości: 0,5mH, 2mH, 4,5mH
lub 8mH. Wykreśl asymptoty i charakterystyki Bodego zaprojektowanych filtrów. Wykreśl
odpowiedzi filtrów na pobudzenie skokiem jednostkowym.
2. Zaprojektuj dolnoprzepustowe filtry LC rzędu n  3 o charakterystykach:
a) Butterwortha, b) Czebyszewa, c) Bessela. Przyjmij częstotliwość graniczną f g taką samą
jak w punkcie A1. Wykreśl asymptoty i charakterystyki Bodego zaprojektowanych filtrów.
Wykreśl odpowiedzi filtrów na pobudzenie skokiem jednostkowym.
B) Eksperymenty i pomiary
1. Zrealizuj filtry rzędu n  2 zaprojektowane w punkcie A1. Zmierz charakterystyki
Bodego i charakterystyki g t  filtrów. Wyniki pomiarów nanoś we wspólnym układzie
współrzędnych z wynikami przewidywań teoretycznych.
2. Zrealizuj filtry rzędu n  3 zaprojektowane w punkcie A2. Zmierz charakterystyki
Bodego i charakterystyki g t  filtrów. Wyniki pomiarów nanoś we wspólnym układzie
współrzędnych z wynikami przewidywań teoretycznych.
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
23/28
C) Opracowanie wyników i dyskusja
1. Porównaj wyniki obliczeń i pomiarów z punktów A1 i B1. Porównaj częstotliwości
graniczne f g , nachylenia charakterystyki amplitudowej w paśmie zaporowym, kształty
charakterystyki amplitudowej i fazowej. Dla charakterystyk czasowych g t  porównaj czasy
narastania czoła odpowiedzi t n , czasy opóźnień t 0 , amplitudy pierwszego przerzutu l.
Wymienione parametry powinny być zaznaczone na wykresach charakterystyk, wartości
liczbowe zestawione w tabelach w rogach wykresów. Przedyskutuj wpływ stosowanych metod
projektowych i pomiarowych na zaobserwowane rozbieżności wyników teoretycznych i
praktycznych.
2. Porównaj wyniki obliczeń i pomiarów z punków A2 i B2 w taki sam sposób jak w
punkcie C1.
3. Przedyskutuj, który typ filtru Butterwortha, Czebyszewa czy Bessela ma przy tym
samym rzędzie filtru najlepsze właściwości filtrujące, który ma najkorzystniejszą odpowiedź w
dziedzinie czasu g t  , a który ma właściwości pośrednie między dobrym filtrowaniem, a
korzystną charakterystykę czasową? Jaki jest wpływ rzędu filtru n na wspomniane
właściwości? Jaki jest wpływ nierównomierności charakterystyki amplitudowej R filtru
Czebyszewa na wspomniane właściwości filtru?
4. Posłuż się twierdzeniem Paley’a-Wienera dla wykazania, że nie jest możliwa fizyczna
realizacja idealnego filtru dolnoprzepustowego.
5. Wyprowadź wzór na transmitancję napięciową filtru LC o strukturze drabinkowej
rzędu n = 2 i n = 3. Posłuż się pojęciem kontynuanty, a następnie uzyskaj ten sam wynik w
sposób elementarny traktując strukturę drabinkową jako kaskadę dzielników impedancyjnych.
6. Oblicz wartości elementów filtru prototypu dla wybranego filtru Bessela zestawione
w tabeli 7.2. Zastosuj metodę dopasowywania współczynników, tzn. wiadomo jaki powinien
być wielomian mianownika transmitancji filtru Bessela, wiadomo jak współczynniki
wielomianu zależą od elementów filtru drabinkowego, współczynniki jednego i drugiego
wielomianu powinny się sobie równać, być dopasowane.
7. Podaj przykłady praktycznych zastosowań filtrów LC.
6. Komputerowe przygotowanie ćwiczenia
CW.7 P.1 FILTRY LC RZEDU N=2
*FILTR BUT
VIN 3 0 AC 1V PULSE(0V 1V)
RG 3 1 200ohm
C1 1 0 112.54nF
L2 1 2 4.50158mH
RL 2 0 200ohm
.AC DEC 50 1kHz 100kHz
.TRAN 1us 200us
.PROBE V(2)
.END
FILTR CZE
VIN 3 0 AC 1V PULSE(0V 1V)
RG 3 1 235ohm
C1 1 0 210.037nF
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
24/28
L2 1 2 1.99686mH
RL 2 0 40.451ohm
.AC DEC 50 1kHz 100kHz
.TRAN 1us 200us
.PROBE V(2)
.END
FILTR BES
VIN 3 0 AC 1V PULSE(0V 1V)
RG 3 1 220ohm
C1 1 0 154.054nF
L2 1 2 1.99759mH
RL 2 0 220ohm
.AC DEC 50 1kHz 100kHz
.TRAN 1us 200us
.PROBE V(2)
.END
-0
A(f) [dB]
-6d B
n=2
3dB
-10
-16 .7dB
R =3dB
-19 .7dB
-20
CZE
BU T
BES
-30
-40d B/dek
f g=10kHz
-40
1.0K Hz
3.0KHz
1 0KHz
VdB(2)
Fre quency
30KHz
10 0KHz
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
25/28
-0d
n=2
-40d
-80d
BES
- 90d
Char akterys tyka
m aksymaln ie
lin iowa
BUT
-120d
CZE
-160d
fg= 10kHz
-180d
1. 0KHz
3. 0KHz
10KHz
30KHz
100KHz
VP(2)
F requency
Rys. 7.14. Charakterystyki amplitudowe i fazowe zaprojektowanych filtrów LC rzędu n  2
60us
n=2
50us
CZE
40us
30us
BUT
20us
BE S
C harakter ystyka
mak symalni e
plaska
10us
fg=1 0kHz
0s
1.0 KHz
3.0KHz
10KHz
VG(2)
Fr equency
30KHz
10 0KHz
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
26/28
600mV
n =2
g(t)
l =4.3%
fg=10kH z
E*RL /(RG+RL )
500mV
90 %
400mV
BUT : tn=35 us, to=2 4us, l=4 ,3%
BES
CZE : tn=28 us, to=2 5us, l=2 3%
BU T
BES : tn=34 us, to=2 0us, l=0 %
300mV
50%
200mV
C ZE
E*RL /(RG+RL)
100mV
10%
tn=35u s
t o=24us
0V
0s
20 us
40u s
60us
80us
100us
120us
1 40us
16 0us
180 us
200us
V(2)
Time
Rys. 7.15. Charakterystyki opóźnienia grupowego i odpowiedzi skokowe zaprojektowanych
filtrów LC rzędu n  2 (na przykładzie BUT pokazano jak odczytać czas
narastania czoła impulsu t n , czas opóźnienia t 0 , amplitudę pierwszego przerzutu l )
CW.7 P.2 FILTRY LC RZEDU N=3
*FILTR BUT
VIN 3 0 AC 1V PULSE(0V 1V)
RG 3 1 255ohm
C1 1 0 62.4137nF
L2 1 2 8.1169mH
C3 2 0 62.4137nF
RL 2 0 255ohm
.AC DEC 50 1kHz 100kHz
.TRAN 1us 300us
.PROBE V(2)
.END
FILTR CZE
VIN 3 0 AC 1V PULSE(0V 1V)
RG 3 1 400ohm
C1 1 0 133.241nF
L2 1 2 4.53082mH
C3 2 0 133.241nF
RL 2 0 400ohm
.AC DEC 50 1kHz 100kHz
.TRAN 1us 300us
.PROBE V(2)
.END
FILTR BES
VIN 3 0 AC 1V PULSE(0V 1V)
RG 3 1 292ohm
C1 1 0 119.707nF
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
27/28
L2 1 2 4.49582mH
C3 2 0 18.3328nF
RL 2 0 292ohm
.AC DEC 50 1kHz 100kHz
.TRAN 1us 300us
.PROBE V(2)
.END
-0
6.3 kHz
-6dB
14kHz
n=3
-9dB
-10
-20
CZE
B UT
BES
-30
-60dB/ dek
fg=10 kHz
-40
1.0K Hz
3.0KHz
1 0KHz
30KHz
10 0KHz
VdB(2)
Fre quency
-0d
arg( H)
n=3
-40d
-80d
-120d
-1 35d
-160d
-200d
B ES
BUT
Charakte rystyka
m aksymaln ie
liniow a
CZ E
-240d
fg= 100kHz
-270d
1. 0KHz
3. 0KHz
10KHz
30KHz
100KHz
VP(2)
F requency
Rys. 7.16. Charakterystyki amplitudowe i fazowe zaprojektowanych filtrów LC rzędu n  3
 Andrzej Leśnicki
Laboratorium Sygnałów Analogowych, Ćwiczenie 7
28/28
120us
taug (f)
n= 3
CZE
100us
80us
60us
BUT
40us
BES
20us
Cha raktery styka
maksymal nie
p laska
fg= 10kHz
0s
1. 0KHz
3. 0KHz
10KHz
30KHz
100KHz
VG(2)
F requency
600mV
n=3
l=8. 15%
g(t)
fg=10k Hz
500mV
400mV
BES
BUT
BUT: tn=38us , to=34u s
CZE
CZE: tn= 53us, to =49us
BES: tn= 35us, to =27us
300mV
200mV
100mV
0V
0s
20u s
V(2)
40us
60us
8 0us
100u s
120us
140us
16 0us
180u s
200us
2 20us
240 us
260us
280us
300u s
Tim e
Rys. 7.17. Charakterystyki opóźnienia grupowego i odpowiedzi skokowe zaprojektowanych
filtrów LC rzędu n  3