Wykład2

Rozdział 1
Zmienne losowe, ich rozkłady
i charakterystyki
1.1
Definicja zmiennej losowej
Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast element zbioru Ω, czyli pojedynczy wynik eksperymentu,
będziemy nazywać zdarzeniem elementarym i oznaczać ω.
Przykład 1 Rozpatrzmy przypadek dwukrotnego rzutu symetryczną monetą. Wówczas
przestrzeń zdarzeń elemnetarych (zbiór możliwych wyników eksperymentu) jest postaci
Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)},
gdzie np. ω = (O, R) oznacza, że za pierwszym razem wypadł orzeł, a za drugim razem
wypadła reszka.
Definicja 1 Zmienną losową nazywamy funkcję określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, o wartościach w zbiorze R liczb rzeczywistych. Funkcja ta musi spełniać pewien
warunek, który tutaj pomijamy, ponieważ rozpatrywane przez nas funkcje będą go spełniać.
Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami, np. X, Y, Z, ich wartości (nazywane
również realizacjami) – odpowiednimi małymi literami x, y, z, często z indeksami, np.
x1 , x2 , itp. Zbiory wartości zmiennych losowych X, Y, Z będziemy oznaczać odpowiednio
WX , WY , WZ .
1
Przykład 2 Cd. przykładu 1. Rozpatrzmy przypadek dwukrotnego rzutu symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów uzyskanych w tych dwóch rzutach, czyli


0, gdy ω = (R, R),



X(ω) =  1, gdy ω = (O, R) lub ω = (R, O),


 2, gdy ω = (O, O).
Zbiór wartości zmiennej losowej X jest postaci WX = {0, 1, 2}.
1.2
Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności
Definicja 2 Dystrybuantą FX (x) zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną na
zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem
FX (x) = P ({ω : X(ω) ¬ x})(w skrócie = P (X ¬ x)).
Jeżeli nie ma wątpliwości z jaką zmienną losową mamy do czynienia, to jej dystrybuantę
będziemy oznaczali krótko przez F (x) zamiast FX (x).
Przykład 3 Cd. przykładu 2. Z założenia, że moneta jest symetryczna mamy
P (X = 0) = P ((R, R)) = 1/4,
P (X = 1) = P ((O, R) ∪ (R, O)) = P ((O, R)) + P ((R, O)) = 1/4 + 1/4 = 1/2,
P (X = 2) = P ((O, O)) = 1/4.
Zatem dystrybuanta F zmiennej losowej X ma następującą postać


0,
gdy x < 0,





 1/4, gdy 0 ¬ x < 1,
F (x) =


3/4, gdy 1 ¬ x < 2,





1,
gdy x ­ 2.
Wykres dystrybuanty zmiennej losowej X ilustruje rysunek 1.1.
Fakt 1 Dystrybuanta dowolnej zmiennej losowej X ma następujące własności:
1. 0 ¬ F (x) ¬ 1,
2. F (x) jest funkcją niemalejącą,
2
Rysunek 1.1: Dystrybuanta zmiennej losowej z przykładu 3
3. limx→−∞ F (x) = 0 oraz limx→∞ F (x) = 1,
4. F (x) jest funkcją prawostronnie ciągłą,
5. prawdopodobieństwo P (a < X ¬ b) przyjęcia przez zmienną losową X wartości
z przedziału (a, b] jest równe przyrostowi wartości dystrybuanty F między punktami a i b, tzn.
P (a < X ¬ b) = F (b) − F (a),
6. prawdopodobieństwo P (X = x0 ) przyjęcia przez zmienną losową X dowolnej, ustalonej wartości wyraża się za pomocą dystrybuanty F równością:
P (X = x0 ) = F (x0 ) − F (x0 − 0),
gdzie F (x0 − 0) oznacza lewostronną granicę dystrybuanty F w punkcie x0 , czyli
F (x0 − 0) = limx→x−0 F (x).
Twierdzenie 1 Jeżeli G jest dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych spełniającą
warunki 2, 3, 4, to jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.
Zmienne losowe mogą być typu skokowego, typu ciągłego lub typu mieszanego. W dalszej części wykładu będziemy rozpatrywać przypadki zmiennych losowych tylko dwóch
pierwszych typów (skokowego lub ciągłego).
3
1.3
Zmienne losowe typu skokowego
Definicja 3 Zmiennymi losowymi typu skokowego lub zmiennymi losowymi dyskretnymi
nazywamy takie zmienne losowe, których zbiór wartości jest przeliczalny (w szczególności
skończony).
Przykład 4 Cd. przykładu 2. Jeżeli X oznacza liczbę orłów uzyskanych w dwóch rzutach
monetą, to zbiór wartości WX = {0, 1, 2} zmiennej losowej X jest skończony i zmienna
losowa X jest zmienną typu skokowego.
1.3.1
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Definicja 4 Niech X będzie zmienną losową typu skokowego. Funkcję p określoną na
zbiorze WX = {x1 , x2 , . . .} równością
p(xi ) = P (X = xi ) := pi
nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa lub krócej – funkcją prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X.
Przykład 5 Cd. przykładu 2. Z założenia, że moneta jest symetryczna, funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest postaci:
p(0) = P (X = 0) = 1/4,
p(1) = P (X = 1) = 1/2,
p(2) = P (X = 2) = 1/4.
Definicja 5 Wykresem funkcji prawdopodobieństwa, w prostokątnym układzie współrzędnych, nazywamy zbiór punktów (xi , pi ).
Z aksjomatów prawdopodobieństwa wynika, że funkcja prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X posiada następujące własności:
1. pi ­ 0,
2.
∑
i
pi = 1.
4
Fakt 2 Jeżeli dana jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, to
prawdopodobieństwo przyjęcia przez tę zmienną wartości ze zbioru A jest określone równością:
∑
P (X ∈ A) =
pi .
xi ∈A
W szczególności dla dowolnego przedziału (a, b) mamy
P (a < X < b) =
∑
pi ,
a<xi <b
dla przedziału (−∞, b]
P (−∞ < X ¬ b) = P (X ¬ b) = F (b)
oraz dla przedziału (a, b] mamy
P (a < X ¬ b) = F (b) − F (a).
Fakt 3 Wykres dystrybuanty zmiennej losowej typu skokowego jest funkcją schodkową
o skokach w punktach x1 , x2 , . . . i wysokościach schodków odpowiednio p(x1 ), p(x2 ), . . . .
Definicja 6 Wartością modalną (in. modą lub dominantą) zmiennej losowej X o funkcji
prawdopodobieństwa p, nazywamy taką wartość xk ∈ WX , dla której
p(xk ) = max p(xi ),
i
tzn. xk jest najbardziej prawdopodobną wartością zmiennej losowej.
1.4
Zmienne losowe typu ciągłego
Definicja 7 Zmienną losową, która przyjmuje nieprzeliczalnie wiele wartości (np. przyjmuje wszystkie wartości z pewnego przedziału albo przedziałów) nazywamy zmienną losową
typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja f taka, że dystrybuantę zmiennej losowej
X można przedstawić w postaci
∫
F (x) =
x
−∞
f (t)dt.
Funkcję f nazywamy gęstością rozkładu zmiennej losowej X lub krótko – gęstością zmiennej losowej X.
5
Przykład 6 Jeżeli dystrybuanta zmiennej losowej X jest postaci


0,



F (x) =
gdy x ¬ 0,
x, gdy 0 < x ¬ 1,



 1,
(1.1)
gdy x > 1,
to gęstość zmiennej losowej X jest postaci

 0, gdy x < 0 lub x > 1
f (x) = 
1, gdy 0 ¬ x ¬ 1.
(1.2)
Z definicji dystrybuanty wynikają następujące własności funkcji gęstości:
1. f (x) ­ 0, dla każdego x ∈ R,
2.
∫∞
−∞
f (x)dx = 1.
Fakt 4 Dystrybuanta zmiennej losowej typu ciągłego jest funkcją ciągłą.
1.4.1
Własności zmiennej losowej typu ciągłego
Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o dystrybuancie F i gęstości f. Wówczas
prawdziwe są następujące stwierdzenia.
1. Jeżeli x jest punktem ciągłości gęstości f, to
f (x) = F ′ (x).
2. Dla każdego c ∈ R, P (X = c) = 0.
3. P (a ¬ X < b) = P (a < X ¬ b) = P (a < X < b) = P (a ¬ X ¬ b) = F (b) − F (a).
4. P (a ¬ X < b) = P (a < X ¬ b) = P (a < X < b) = P (a ¬ X ¬ b) =
1.5
∫b
a
f (x)dx.
Charakterystyki zmiennej losowej
Definicja 8 Wartością oczekiwaną (in. wartością przecietną lub średnią) zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x1 , x2 , . . . odpowiednio z prawdopodobieństwami p1 , p2 , . . . , nazywamy wartość
E(X) =
∑
xi pi ,
i
jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna.
6
Przykład 7 Wartość oczekiwana zmiennej losowej X z przykładu 2 jest równa
E(X) = 0 ∗ 1/4 + 1 ∗ 1/2 + 2 ∗ 1/4 = 1.
Definicja 9 Wartością oczekiwaną (in. wartością przecietną lub średnią) zmiennej losowej X typu ciągłego o gęstości f nazywamy wartość
∫
E(X) =
∞
−∞
xf (x)dx,
jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna.
Przykład 8 Wartość oczekiwana zmiennej losowej X z przykładu 6 jest równa
∫
1
xdx = 1/2.
E(X) =
0
Fakt 5 Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu skokowego czy ciągłego ma następujące
własności
1. dla dowolnej liczby rzeczywistej a
E(aX) = aE(X),
2. dla dowolnej liczby rzeczywistej a
E(X + a) = E(X) + a,
3. jeżeli istnieją wartości oczekiwane E(X) i E(Y ), to
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Wartości oczekiwane zmiennych losowych są szczególnymi przypadkami tzw. momentów zwykłych, które definiowane są następująco:
Definicja 10 Momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x1 , x2 , . . . odpowiednio z prawdopodobieństwami p1 , p2 , . . . , nazywamy
wartość
E(X) =
∑
xki pi ,
i
jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna.
7
Definicja 11 Momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji
gęstości f nazywamy wartość
∫
E(X) =
∞
−∞
xk f (x)dx,
jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna.
Definicja 12 Wariancją zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x1 , x2 , . . . ,
odpowiednio z prawdopodobieństwami p1 , p2 , . . . , nazywamy wartość
Var(X) =
∑
(xi − E(X))2 pi ,
i
jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna.
Definicja 13 Wariancją zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości f nazywamy
wartość
∫
Var(X) =
∞
−∞
(x − E(X))2 f (x)dx,
jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna.
Uwaga 1 Wariancję zmiennej losowej X często wyznacza się ze wzoru
Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 .
Przykład 9 Wariancja zmiennej losowej z przykładu 2 jest równa
Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 ,
gdzie E(X) = 1 obliczyliśmy w przykładzie 7 oraz
E(X 2 ) = 02 ∗ 1/4 + 12 ∗ 1/2 + 22 ∗ 1/4 = 3/2.
Zatem
Var(X) = 3/2 − 12 = 1/2.
Przykład 10 Wariancja zmiennej losowej z przykładu 6 jest równa
Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 ,
gdzie E(X) = 1/2 obliczyliśmy w przykładzie 8 oraz
∫
1
E(X 2 ) =
x2 dx = 1/3.
0
Zatem
Var(X) = 1/3 − (1/2)2 = 1/12.
8
Fakt 6 Jeżeli X jest zmienną losową (typu skokowego lub typu ciągłego), dla której
E(X 2 ) < ∞, to istnieje Var(X) oraz
1. Var(X) ­ 0,
2. Var(cX) = c2 Var(X),
3. Var(X + a) = Var(X).
9