Turysta w świecie Amberu

Niefrasobliwie
o matematyce (1)
Turysta w świecie Amberu
- Wyobraźmy sobie szklaną kulę… która zresztą wcale nie musi być szklana… a tak
właściwie to i kula jest niepotrzebna…
(Anonimowy wykładowca matematyki)
Trzeba przyznać – Naczelny ma intuicję. Wywołując mnie do tablicy na stronie 14
Informatora 252 przewidział, Ŝe będę miał ochotę to napisać. A chodziło mu
o matematykę, do której adeptów mam zaszczyt się zaliczać.
Jak wiadomo od czasów Platona, wszyscy tkwimy uwięzieni w jaskini, plecami do
wejścia, i oglądamy kiepski teatr cieni na jej tylnej ścianie (nawiasem mówiąc, jest to
celna satyra na teleoglądactwo). Cienie rzuca prawdziwy świat, który Platon zwał
światem idei, a Roger Zelazny Amberem. Świat, którym jako jedna z nielicznych
zajmuje się matematyka.
Prawdziwy przedmiot, zrekonstruowany podług swego cienia, nazywamy
skromnie jego modelem matematycznym. Takich modeli tworzy na pęczki np. fizyka,
ale ta uŜywa ich tylko do nawigacji w cieniu Amberu zwanym Ziemią (lub
Wszechświatem). Takie stworzone ad hoc instrumenty nawigacyjne często wyglądają
jak ów nieszczęsny robot z Cyberiady, cały połatany i powiązany sznurkami. Dopiero
matematyk, nie mogąc znieść takiej profanacji, naprawia go i poleruje, aby zgodnie
z przeznaczeniem błyszczał, dźwięczał i promieniował, a nie imitował jakiegoś
bladawca z naszego cienia Ziemi.
Swój świat idei ma takŜe literatura fantastyczna. Jest on ciągle poszerzany, lecz
najczęściej twórczość na tym polu polega na konstruowaniu światów cieni rzucanych
w róŜnoraki sposób przez znane juŜ idee. W zaleŜności od rodzaju rzutowania
dostajemy wtedy nowy/stary świat SF, fantasy czy horroru.
Matematyka przeciwnie, woli zajmować się samym światem idei, traktując cienie
jedynie jako źródło inspiracji (czy rekonstrukcji). Co ciekawe, takŜe idee
matematyczne okazują się z reguły cieniami idei jeszcze wyŜszego rzędu, co oznacza
moŜliwość zbudowania kolejnego poziomu abstrakcji, po nim następnego i tak dalej.
śeby się w tym wszystkim nie pogubić, konieczna jest wyjątkowo surowa
samodyscyplina, poniewaŜ świata idei nie umiemy oglądać bezpośrednio. Inaczej
mówiąc, matematycy starają się trzymać jak najdalej od Dworców Chaosu,
pozostawiając te rejony poezji bądź filozofii. Nie znaczy to jednak, Ŝe są oni
obywatelami Amberu – nic podobnego, są w nim co najwyŜej zagubionymi turystami.
Stare, uznane teorie matematyczne są tu jak szerokie szlaki w nieznanym terenie,
natomiast działalność badawcza przypomina raczej przedzieranie się przez chaszcze –
tam, gdzie być moŜe w przyszłości pojawi się jakaś nowa droga. No a reszta obszaru
Amberu to po prostu terra incognita.
Wśród idei matematycznych jest jedna szczególna, która prawdopodobnie nie
rzuca Ŝadnego cienia, choć zdania w tej sprawie są mocno podzielone. Jest to pojęcie
nieskończoności, zajmujące w matematyce miejsce centralne, lecz będące źródłem
licznych paradoksów. Ale o tym dopiero w następnym odcinku.
Andrzej Prószyński
Niefrasobliwie
o matematyce (2)
Biwakowanie na lodzie
Matematyka to dziedzina, w której nigdy nie wiemy, o czym mówimy, ani czy to, co
mówimy, jest prawdą.
(Bertrand Russell, 1872-1970)
KaŜda idea platońska rzuca tak wiele nieprzewidywalnych cieni, Ŝe pierwsza część
powyŜszego motta zdaje się jak najbardziej usprawiedliwiona. Za to druga to znacznie
powaŜniejsza sprawa.
ChociaŜ w świecie idei (czyli Amberze) istnieje wszystko, co jest do pomyślenia,
matematyczne istnienie wymaga czegoś więcej: zgodności ze Wzorcem. Oznacza to
między innymi oczekiwanie, Ŝeby Ŝadne dwa sprzeczne ze sobą stwierdzenia nie były
jednocześnie prawdziwe. OtóŜ gdyby tak się stało, zgodnie z regułami logiki juŜ dalej
absolutnie wszystko musiałoby być prawdziwe, a matematycy pozostaliby bez pracy.
Był nawet jeden taki potencjalny bezrobotny, który co jakiś czas ogłaszał, Ŝe odnalazł
sprzeczność w matematyce, ale potem – aŜ do następnego razu – odwoływał.
Czy moŜemy zagwarantować, Ŝe matematyka nie jest sprzeczna? To zaleŜy od
tego, jaki jest nasz stosunek do idei nieskończoności. Kurt Gödel dowiódł (1931), Ŝe
jeśli jakaś teoria zawiera to pojęcie, to nie moŜna udowodnić jej niesprzeczności
metodami samej matematyki.*) Tym samym okazało się, Ŝe pole biwakowe, na którym
od 25 wieków matematycy koczują w świecie Amberu, zostało załoŜone na kruchym
lodzie. TuŜ obok za to, juŜ na twardym gruncie, stoi namiocik z napisem Finityści. To
ci odszczepieńcy, którzy sądzą, Ŝe nieskończoność nie istnieje. Uczciwie mówiąc,
mają trochę racji. Po pierwsze, jako się rzekło poprzednim razem, prawdopodobnie
idea ta nie rzuca Ŝadnego cienia, przynajmniej w świecie Ziemi. Po drugie, w samej
matematyce nie uŜywa się z reguły (na przykład) wszystkich liczb na raz – zwykle
wystarczy ich skończona ilość. Tak więc według finitystów istnieją tylko te liczby,
których juŜ zdąŜyliśmy uŜyć, a kolejne ewentualnie zostaną przez nas stworzone
w przyszłości. Zawsze jednak będzie istnieć tylko skończona ich ilość jednocześnie.
O finitystycznej matematyce wiadomo, Ŝe jest niesprzeczna, większość turystów
w świecie Amberu uwaŜa jednak, Ŝe jest zbyt uboga, a Ŝycie na lodzie jest ciekawsze.
A skoro ów dotąd nie trzasnął i wybicie przerębli jeszcze nikomu nie wyszło… Krótko
mówiąc, przyjmujemy odwaŜnie, Ŝe nieskończoność istnieje, otwierając w ten sposób
puszkę Pandory. Nie moŜe bowiem istnieć tylko jeden rodzaj nieskończoności, ale od
razu całe ich mnóstwo. Dla przykładu mamy nieskończenie wiele liczb rzeczywistych,
nie moŜna ich jednak wszystkich ustawić w ciąg, tak jak liczby naturalne, a więc tych
pierwszych jest „więcej” (continuum) niŜ tych drugich (alef zero). Słynna Hipoteza
Continuum (Georg Cantor, 1878) głosiła, Ŝe pomiędzy tymi dwiema nieskończonymi
wielkościami nie ma innych pośrednich, zanim okazało się (Paul Cohen, 1963), Ŝe nie
moŜna tego udowodnić i tylko od naszej decyzji zaleŜy, czy owe nieskończoności
istnieją i jak wiele ich jest. Ale to dopiero początek paradoksów.
Andrzej Prószyński
*)
Znana nadinterpretacja tego twierdzenia głosi, Ŝe Ŝaden dostatecznie skomplikowany system – np. ludzki mózg
– nie moŜe poznać sam siebie.
Niefrasobliwie
o matematyce (3)
Nie zadzieraj z fryzjerem!
W pewnym miasteczku Ŝyje fryzjer, który goli tych wszystkich, którzy nie golą się
sami. Czy powinien golić sam siebie?
(Paradoks golibrody)
Widać, Ŝe facet ma powaŜny kłopot, bo jeśli by się nie golił, to powinien się golić,
i vice versa. A jeśli przypadkiem nazywa się Sweeney Todd, to nie denerwujmy go
paradoksami, bo otrzymamy gościa zabijającego tych wszystkich, którzy nie są
samobójcami. W obu wypadkach dylemat wynika z tego, Ŝe oceniający jest
jednocześnie ocenianym, czego naleŜy unikać (dlatego w GKF-ie mamy Komisję
Rewizyjną). Na gruncie matematyki odpowiednikiem obu paradoksów jest zbiór tych
wszystkich zbiorów, które nie są swoimi własnymi elementami. MoŜna zapytać, czy
ten zbiór jest, czy teŜ nie jest swoim własnym elementem, nie otrzymując Ŝadnej
sensownej odpowiedzi (paradoks Russella). Wniosek jest taki, Ŝe ów dziwny twór nie
przeszedł testu zgodności z Wzorcem Amberu, a więc po prostu nie istnieje. Co teŜ
stanowi gwóźdź do trumny tzw. naiwnej teorii zbiorów, która beztrosko definiowała
wszystko, co tylko da się pomyśleć, lawirując w pobliŜu Dworców Chaosu. Objawem
zmiany podejścia do zbiorów jest między innymi przestrzeganie ścisłej hierarchii: są
elementy, potem zbiory tych elementów, potem rodziny czyli zbiory zbiorów i tak
dalej. Podobnie w informatyce – mamy pliki, potem katalogi (foldery) plików, potem
katalogi katalogów, itd. Wyklucza się przy tym paradoks Russella: Ŝaden katalog nie
moŜe być swoim własnym elementem, chyba Ŝe w wyniku błędu komputera, co
pewnie kaŜdemu choć raz się przydarzyło.
Fundamentem współczesnej matematyki jest tak zwany aksjomat wyboru. Mówi
on, Ŝe mając dowolną rodzinę zbiorów moŜna wybrać po jednym elemencie z kaŜdego
z tych zbiorów, tworząc z nich nowy zbiór. Brzmi to dość niewinnie, ale pozory mylą.
Wynika z niego na przykład twierdzenie Banacha i Tarskiego o paradoksalnym
rozkładzie kuli, mówiące, Ŝe kulę moŜna rozłoŜyć na pięć części, z których po
odpowiednim przemieszczeniu moŜna złoŜyć dwie kule identyczne z wyjściową.*) Jak
widać, mamy tu do czynienia z cudownym rozmnoŜeniem, na podstawie argumentacji
nie moŜna jednak wywnioskować, jak to konkretnie zrobić, bo jest to tak zwany czysty
dowód istnienia. Tego typu rozumowania kwestionują konstruktywiści, którzy
uwaŜają, Ŝe dowód istnienia jakiegoś obiektu musi zawierać jego precyzyjną
konstrukcję. W świecie Amberu ci malkontenci rozbili swój namiot tuŜ obok
finitystów, gdyŜ podobnie jak tamci są ignorowani przez większość, i to dokładnie dla
tych samych przyczyn (bo na lodzie jest fajniej). Tym niemniej ogół matematyków do
pewnego stopnia przyznaje im rację, przedkładając konstruktywne dowody nad
niekonstruktywne, nie rezygnując jednak przy tym z aksjomatu wyboru.
Tak więc matematycy znów zostali na lodzie, ale mają za to jedną zabawkę więcej.
Andrzej Prószyński
*)
Istnieją więc zbiory w przestrzeni, którym nie moŜna w rozsądny sposób przypisać objętości (tzw. zbiory
niemierzalne). Twierdzenie to stało się punktem wyjścia mojego opowiadania O szkodliwości pchania kuli,
zamieszczonego niegdyś w Clapsie 22 (http://matematyka.ukw.edu.pl/~ap/teksty/Pchanie%20kuli.pdf).
Niefrasobliwie
o matematyce (4)
Bracia Marx
Jedność dzieli się na dwoje.
(Twierdzenie Mao Tse-tunga)
W swoich przepysznych komediach bracia Marx występowali najczęściej we
trójkę: Groucho, Chico i Harpo. W porywach dołączał do nich Zeppo, a takŜe (tylko
na scenie) Gummo.
Za PRL-u znani byli takŜe inni bracia Marx: Marks, Engels i Lenin (w porywach
takŜe Stalin i Mao). Pracowali w tej samej branŜy, ale reprezentowali Ciemną Stronę
Mocy, więc ich humor był czarny jak noc i cięŜki jak płyta grobowa. Zainspirowali za
to wielu naszych rodaków, którzy tak jak Bareja i Pietrzak dbali o to, Ŝeby Polska
rosła w humor, a ludzie Ŝyli weselej.
Owi klasycy czarnej komedii starali się sprawiać wraŜenie, Ŝe znają się absolutnie
na wszystkim. Same dzieła Stalina w katalogu biblioteki uniwersyteckiej zajmowały
prawie dwie szufladki (rekord Guinessa murowany). Z kolei Engels, który w tym
gronie uchodził za największego mózgowca, wtrącał chętnie swoje trzy grosze do
róŜnych nauk, w tym do matematyki. Z jednym z jego dzieł na jej temat miałem
niekłamaną przyjemność zapoznać się w ramach obowiązkowych lektur do egzaminu
doktorskiego z filozofii. Gdybym miał tę ksiąŜkę, postawiłbym ją pewnie obok takich
rarytasów jak Nauka Świata Dysku czy Wstęp do imagineskopii Śledzia Otrembusa.
Niestety, jestem zmuszony do odtwarzania jej zawartości z pamięci.
Tematem krytyki (jakŜeby inaczej) był rachunek całkowy, a konkretnie jego
zastosowanie do obliczania objętości brył. Sam pomysł jest bardzo stary i wywodzi się
jeszcze od Archimedesa, który wyprowadzał wzory na objętość przy pomocy prostego
zabiegu. OtóŜ naleŜy pociąć bryłę na bardzo cienkie plasterki i następnie policzyć
objętość kaŜdego z nich poprzez pomnoŜenie pola podstawy przez jego grubość. Po
zsumowaniu otrzymujemy przybliŜoną objętość bryły (czyli cień tej objętości), która
jest tym dokładniejsza, im cieńsze są plasterki. Ostatni etap to przejście do granicy,
czyli odtworzenie objętości przy pomocy jej cieni (przybliŜeń). Natomiast rachunek
całkowy dostarcza metod, które pozwalają to zrobić szybko, bez konieczności
oglądania kaŜdego plasterka z osobna.
Do skrytykowania tego pomysłu Engels wytoczył najcięŜsze działa – stwierdził
mianowicie, Ŝe materia nie składa się z punktów, tylko z atomów, a więc cała metoda
jest z gruntu fałszywa. Dokładna analiza doprowadziła go do wniosku, Ŝe matematycy
systematycznie pomijają te atomy, które znajdują się w wierzchołkach brył, a zatem
wyniki ich obliczeń są do kitu. I co na to powiecie doświadczeni juŜ czytelnicy tego
cyklu? Czy kogoś takiego wpuszczono by do Amberu? Osobiście wątpię.
Na zakończenie krótka anegdotka. Pewien radziecki matematyk zamieścił kiedyś
w swoim artykule następującą informację: Dowód patrz Lenin, Dzieła, tom XX, str.72,
wiersz szósty od góry. Było to całkiem zgodne z duchem czasu, więc tylko jedna osoba
zadała sobie trud weryfikacji. W podanym miejscu było napisane: To jest prawda.
Amen.
Andrzej Prószyński
Niefrasobliwie
o matematyce (5)
Trochę o niemoŜliwości
Z nieba nie mogą spadać kamienie, poniewaŜ w niebie nie ma Ŝadnych kamieni.
(oświadczenie Akademii Francuskiej, XIX w.)
Parę lat przed lotem braci Wright lord Kelvin dowodził, Ŝe nie jest moŜliwe zbudowanie
maszyny latającej cięŜszej od powietrza, a gdyby nawet, to w Ŝadnym wypadku nie dałoby się
nią sterować. TuŜ przed rundką Gagarina mój znajomy kategorycznie twierdził, Ŝe człowiek
nie moŜe polecieć w Kosmos, a jeŜeli juŜ, to w Ŝadnym razie nie będzie mógł wrócić.
Obecnie słyszymy, Ŝe absolutnie niewykonalne są podróŜe międzygwiezdne, itd. Wniosek jest
jeden: jeŜeli ktoś ci mówi, Ŝe coś jest niemoŜliwe – nie wierz mu.
Dlaczego ci pesymiści okazali się niewiarygodni? Ano dlatego, Ŝe świat rzeczywisty nie
jest światem idei, w którym wszystko chodzi jak w zegarku. Natomiast gdy bywalec Amberu
twierdzi, Ŝe coś jest niemoŜliwe, zawsze wie dokładnie, co ma na myśli, i jego słuchacze
równieŜ, bo opiera swą wypowiedź na precyzyjnych załoŜeniach. Jeśli więc Platon bądź jeden
z jego następców uwaŜa coś za niewykonalne, moŜna mu wierzyć, poniewaŜ wie, co mówi.*)
Oto kilka niemoŜliwości. Gdyby ktoś chciał wykafelkować płaszczyznę w najbardziej
nudny sposób, a więc uŜywając jednakowych płytek będących wielokątami foremnymi, to nie
zdołałby tego zrobić inaczej, jak tylko za pomocą trójkątów równobocznych, kwadratów lub
sześciokątów foremnych (na wzór plastra miodu). Jeśli by za to, w przystępie megalomanii,
chciał tak samo potraktować kulę ziemską, mógłby otrzymać tylko i wyłącznie jeden z pięciu
moŜliwych wielościanów foremnych, czyli tak zwanych brył platońskich: czworościan,
sześcian, ośmiościan, dwunastościan lub dwudziestościan. Inne wielościany foremne po
prostu nie istnieją, choć jest cała masa tak zwanych wielościanów półforemnych (na przykład
klasyczna piłka zszyta jest z pięciokątów i sześciokątów foremnych).
Łącząc odcinkami środki ścian brył platońskich, otrzymujemy znowu wielościany
foremne, w szczególności z dwunastościanu dwudziestościan i vice versa. Taka podwójna
siatka na kuli ziemskiej podobno realnie istnieje i wyznacza np. uskoki tektoniczne, miejsca
narodzin staroŜytnych cywilizacji czy Trójkąt Bermudzki. PoniewaŜ jednak w Internecie nie
moŜna znaleźć tej teorii, więc jakby nie istniała. Pisze się za to o Keplerze i jego harmonii
sfer wykorzystującej bryły platońskie, tudzieŜ o mnóstwie innych ezoterycznych interpretacji.
Inne niemoŜliwości wiąŜą się z konstrukcjami geometrycznymi, np. z przysłowiową juŜ
kwadraturą koła, podziałem kąta na trzy równe części czy pewnymi wielokątami foremnymi
(napiszę o nich w następnym odcinku). Nie da się teŜ znaleźć wzorów na rozwiązywanie
równań stopnia piątego i wyŜszych. Tu matematycy musieli przezwycięŜyć samych siebie,
przechodząc od pytania Jak to zrobić? do pytania Czy to moŜliwe? i w ten sposób dowodząc
naukowej dojrzałości swojej dziedziny. A stało się to dopiero w XIX wieku.
Andrzej Prószyński
*)
Co prawda w odcinku drugim Bertrand Russell głosił coś wręcz przeciwnego, teraz jednak mogę juŜ zdradzić,
Ŝe była to zwykła kokieteria, czyli właściwa matematykom potrzeba epatowania róŜnymi fajnymi paradoksami.
Szybka autoanaliza uświadomiła mi, Ŝe jest to równieŜ główna siła napędowa niniejszego cyklu.
Niefrasobliwie
o matematyce (6)
Dziesiąty ksiąŜę Amberu
W kaŜdej nauce tyle jest prawdziwej wiedzy, ile jest w niej matematyki.
(Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)
Oto wypowiedź godna prawdziwego Amberyty, który nie zawraca sobie głowy jakimiś
cieniami, nieprawdaŜ? …chyba, Ŝe są dostatecznie wyraziste. Gauss zajmował się fizyką
teoretyczną, geodezją i astronomią, ale jego prawdziwą miłością była królowa nauk, o której
tu niefrasobliwie rozprawiamy. Zwany był juŜ za Ŝycia księciem matematyków i podobno
„wiedział wszystko”, więc moŜe rzeczywiście był jakimś zagubionym dziedzicem Amberu?
Gauss pozostawił swój ślad właściwie w kaŜdym dziale matematyki, najbardziej podobno
jednak cenił sobie konstrukcję siedemnastokąta foremnego (tzn. takiego, który ma równe boki
i równe kąty), którą odkrył jako dziewiętnastolatek. Legenda głosi nawet, Ŝe chciał mieć
nagrobek tego kształtu. Czy jako siedemnastolatek próbował skonstruować dziewiętnastokąt
foremny, historia milczy, dowiódł jednak później, Ŝe zadanie to (jak i wiele innych) jest
niewykonalne. Tu godzi się przypomnieć, Ŝe chodzi o działania w świecie idealnym
(Amberze), a nie w cieniu Ziemi, gdzie wszystko moŜna skonstruować dowolnie dokładnie,
czyli prawie, ale to prawie decyduje o wszystkim. Istnieje np. dość prosta i bardzo dokładna
(w granicach grubości kresek), tym niemniej przybliŜona konstrukcja siedmiokąta foremnego,
którą moŜna odszukać w podręcznikach dla inŜynierów. Nie jest ona jednak matematycznie
poprawna, co oznacza, Ŝe w świecie Amberu nie istnieje. Mamy więc do czynienia z czymś,
czego Platon nie przewidział – są takie cienie, które przez nic nie są rzucane.
Cyril Northcote Parkinson (ten od prawa Parkinsona o biurokracji) lansował kiedyś
pogląd, twórczo parodiujący nasze dzisiejsze motto, Ŝe kaŜdy tekst roszczący sobie prawo do
naukowości powinien w charakterze ozdobnika zawierać jakąś formułę matematyczną,
najlepiej malowniczą i wielce skomplikowaną.*) Ośmielony tą ideologią, pozwolę sobie podać
pochodzący od Gaussa niespecjalnie malowniczy wzór, określający ilość boków (n) tych
wielokątów foremnych, które moŜna skonstruować w klasyczny sposób, czyli przy pomocy
cyrkla i linijki. Mianowicie n jest iloczynem
n = 2sp1…pm ,
gdzie s,m = 0,1,2,…, a p1,…,pm są róŜnymi liczbami pierwszymi, które na dodatek są tak
zwanymi liczbami Fermata, czyli liczbami postaci Fk = 2t + 1, gdzie t = 2k, dla k = 0,1,2,…
Konkretniej, F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, itd. Pierre de Fermat, odkrywca
tych liczb (o którym napiszę w następnym odcinku), uwaŜał, Ŝe wszystkie one są pierwsze.
Wymienione powyŜej rzeczywiście są, lecz juŜ następna, F5 = 4294967297, jest liczbą
złoŜoną. Co więcej, nie wiemy, czy wśród liczb Fermata istnieją jeszcze jakiekolwiek inne
liczby pierwsze poza powyŜszymi. Tłumacząc to wszystko po ludzku: moŜna skonstruować
wielokąty foremne o liczbie boków 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,…, a nie moŜna o ilości
boków 7,9,11,13,14,18,19,21,… A co z liczbami F3 = 257 i F4 = 65537, naleŜącymi, jak by
nie było, równieŜ do pierwszej serii? Myślicie, Ŝe nikomu się nie chciało wykonać
odpowiednich konstrukcji? I tu się mylicie – dzieło Ŝycia pewnego pasjonata tego zagadnienia
jest przechowywane na uniwersytecie w Getyndze w kilku duŜych skrzyniach.
Andrzej Prószyński
*)
W swoim czasie znany był tzw. wzór Dudy (matematyka i ministra jednocześnie), określający wysokość
finansowania poszczególnych uczelni publicznych. Dziś pozostały po nim jedynie miłe wspomnienia.
Niefrasobliwie
o matematyce (7)
Wielkie, ale nie za bardzo
Znalazłem naprawdę zadziwiający dowód tego twierdzenia, lecz margines jest za mały,
Ŝeby go pomieścić.
(Pierre de Fermat, 1601-1665)
Oto najsłynniejsza wypowiedź drugiego (poza Gaussem) potencjalnego Amberyty,
zakamuflowanego w cieniu Ziemi jako prawnik z Tuluzy. Czytając przełoŜoną właśnie na
łacinę Arytmetykę Diofantosa z Aleksandrii (III w. n.e.), popisywał się na marginesach innymi
kojarzącymi mu się faktami ze świata Amberu, nie zaprzątając sobie zbytnio głowy
dowodami. TuŜ obok równania Pitagorasa (x2+y2=z2) napisał, Ŝe podobne równanie xn+yn=zn
(gdzie n>2) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich, dodając na odczepnego
nasze dzisiejsze motto. Po śmierci Fermata jego syn wydał te notatki, i tu dopiero się zaczęło.
Udowodniono bowiem kolejno wszystko to, co ów zmarginalizował, poza powyŜszym, i co
obecnie nosi nazwę Wielkiego Twierdzenia Fermata (WTF).*)
Matematycy (jako ogół) to tacy dziwni ludzie, którzy jak się juŜ na coś zasadzą, to nie
odpuszczą. Przez dwa wieki wielu słynnych matematyków popełniło fałszywe dowody WTF,
oparte na pozornie oczywistych, lecz nieprawdziwych przesłankach. Sprowokowana nimi
analiza stymulowała rozwój wiedzy matematycznej, w tym zwłaszcza powstanie nowoczesnej
algebry. I w tym tkwi jedyna wielkość problemu, który sam w sobie nie jest jakoś szczególnie
ekscytujący. Nieprzystępność jednak prowokuje i podgrzewa atmosferę wokół zagadnienia,
obiecując nagrodę w postaci wiekuistego splendoru. Dobrze oddaje to następująca anegdota:
Pewien XIX-wieczny matematyk panicznie bał się podróŜy morskich. Kiedy musiał taką
odbyć, rozsyłal do kolegów po fachu listy z wiadomością, Ŝe udowodnił WTF, ale szczegóły
poda po powrocie. Zamiast tego wszystko odwoływał, aŜ do następnego rejsu. Kiedy ktoś go
zapytał, czemu tak postępuje, ten odpowiedział: Pan Bóg nie dopuści, Ŝeby taki ateista jak ja
odszedł w pełni chwały. (Co, nawiasem mówiąc, udało się Fermatowi).
Udowodnienie WTF zajęło w sumie około 350 lat. W 1993 r. Andrew Wiles przedstawił
dowód tego faktu za pomocą metod zrozumiałych jedynie dla nielicznych matematyków.
Zanim to się jednak stało, mieliśmy przez ostatnie stulecie zwątpienie fachowców zmieszane
z entuzjazmem amatorów, zwiedzionych pozorną prostotą zagadnienia. Pospolita aberracja
umysłowa zwana fermatyzmem objawiała się u tych drugich skrajną nieufnością wobec tych
pierwszych, podejrzewanych o chęć zawłaszczenia rezultatów ich pracy. Sam miałem na
studiach kolegę fermatystę, który nie zaliczył nawet I roku. Wychodzi więc na to, Ŝe dowód
Wilesa trafił w sedno, eliminując skutecznie jedną z chorób cywilizacyjnych.
Kiedy w połowie ubiegłego wieku zapytano kilku znanych polskich uczonych, jakie jest
najwaŜniejsze zadanie nauki w najbliŜszym pięćdziesięcioleciu, matematyk, Hugo Steinhaus,
odpowiedział, Ŝe złapanie muchy na KsięŜycu. Następnie wyjaśnił zdumionemu rozmówcy,
Ŝe samo w sobie jest to nieistotne, lecz by tego dokonać, trzeba rozwinąć metody, jakie dziś
są jeszcze nie do pomyślenia. Jest to dobra metafora zmagań z WTF czy teŜ innymi znanymi
problemami, które poprzez piętrzące się trudności stymulują rozwój nowych gałęzi ludzkiej
wiedzy. Swoją drogą miło jest pomyśleć, Ŝe polski matematyk jako pierwszy przewidział –
sam o tym nie wiedząc – patelnie teflonowe.
Andrzej Prószyński
*)
Po angielsku nazywa się ono ostatnim (Last Fermat’s Theorem), por. ksiąŜkę A. C. Clarke’a i F. Pohla
Ostatnie twierdzenie, a szczególnie Trzecie zakończenie, zawierające więcej informacji o WTF, niŜ ten artykuł.
Niefrasobliwie
o matematyce (8)
Kartografia innych światów
Wiele jest światów płynących jak pęcherzyki piany po Rzece Czasu...
(Arthur C. Clarke, Ściana mroku)
Rzeczywiście jest ich chyba sporo, ale wszystkie jak spod jednej sztancy: sfera, sfera,
sfera… jeszcze raz sfera… Coś jak kosmiczna czkawka, co zauwaŜył juŜ Lem w Cyberiadzie.
Do chlubnych wyjątków naleŜy świat z opowiadania ACC, ale o tym za chwilę.
Jak wiadomo, kaŜda mapa zawsze coś zniekształca, a to odległości, a to kąty. Przestańmy
się tym przejmować i wyobraźmy sobie światy z gumy, które moŜna poddawać dowolnym
deformacjom. Klasyczną planetę moŜna by wtedy przekształcić w sześcian Eneferców (znów
ta Cyberiada), natomiast Ŝadną miarą nie dałoby się z niej zrobić torusa bądź precla (wypieku
z zasadniczo dowolną ilością otworów). Wkraczamy tu na teren topologii, określanej czasem
jako geometria przedmiotów gumowych. Z jej punktu widzenia sfera i sześcian to to samo, ale
sfera i torus juŜ nie. Przyjęcie tak abstrakcyjnego spojrzenia pozwala na dokonanie pełnej
klasyfikacji wszystkich światów, będących powierzchniami zamkniętymi bez brzegu, czyli
bez urwiska z Kosmosem u spodu (Świat Dysku więc odrzucamy). Okazuje się, Ŝe są tylko
dwie serie takich światów. Pierwszą tworzy sfera i wszelkie moŜliwe precle, które moŜna teŜ
opisać jako sfery z doklejonymi uchwytami, zaś najprostszym przedstawicielem tej drugiej
jest świat ze Ściany mroku. Tworzy się go tak, Ŝe w zwykłej sferze wycina się otwór, a potem
skleja się ze sobą wszystkie pary przeciwległych punktów tego otworu. Trzeba być Amberytą,
Ŝeby to sobie wyobrazić, gdyŜ operacja jest niewykonalna w 3D (4D juŜ wystarczy). Jeśli to
samo zrobimy z większą ilością otworów, otrzymamy pozostałe powierzchnie drugiej serii.
W Ścianie mroku feralny otwór jest otoczony wysokim murem, za którym panuje
ciemność. Kto się w nią zapuści i pójdzie przed siebie, wróci do punktu wyjścia, tyle Ŝe jako
lustrzane odbicie. PoniewaŜ moŜna od tego oszaleć, więc mur wydaje się całkiem sensowny.
Z drugiej strony zupełnie zwariowane są konsekwencje doklejania uchwytów do tego świata:
nie uwierzycie, ale kaŜdy z nich jest wymienialny na takie dwie dziury, jak tamta za murem.
No, ale miało być o kartografii. Chodzi tu o rzecz z pozoru banalną, czyli o kolorowanie
map. Jeśli dwa państwa sąsiadują ze sobą, powinny być oznaczone róŜnymi kolorami; pytanie
brzmi, ile barw wystarczy do prawidłowego pokolorowania kaŜdej moŜliwej mapy danego
świata. Rzecz jasna zaczęto od naszej Ziemi, czyli sfery. Około roku 1880 opublikowano
dowód, Ŝe cztery barwy wystarczą, po 10 latach odkryto jednak nieścisłość, wyszło więc na
to, Ŝe na pewno wystarczy pięć kolorów, a jeśli chodzi o cztery, to nie wiadomo. Tak narodził
się problem czterech barw, który rozwiązany został (pozytywnie) dopiero w 1976 r. Ciekawe
jest to, Ŝe dowód twierdzenia o czterech barwach nie był zwykłym dowodem, gdyŜ wymagał
zaprzęgnięcia do pracy komputera, któremu weryfikacja sporej ilości przypadków zajęła ok.
1000 godzin. Dziś zapewne znacznie mniej, lecz nie zmienia to faktu, Ŝe nie da się tego zrobić
„ręcznie”. I to był szok dla całej matematycznej społeczności.
Co interesujące, w przypadku innych światów sprawa okazała się znacznie prostsza. JuŜ
w 1890 r. znany był wzór określający minimalną ilość barw dla powierzchni pierwszej serii
(poza sferą), np. dla torusa (czyli sfery z jednym uchwytem) liczbą tą jest siedem. Dla map
świata Ściany mroku minimalna ilość barw to sześć (co jest wiadome od 1910 r.), zaś wzór
określający tę liczbę dla innych powierzchni drugiej serii znany jest od 1954 r. Widać więc,
Ŝe sfera opierała się najdłuŜej, być moŜe więc istotnie Ŝyjemy na najlepszym z moŜliwych
światów – a jeśli jednak nie, to przynajmniej na najciekawszym.
Andrzej Prószyński
Niefrasobliwie
o matematyce (9)
Francuz i dziewica
Matematycy są jak Francuzi: cokolwiek im się powie, od razu tłumaczą na swój własny
język i staje się to zupełnie czym innym.
(Johann Wolfgang Goethe)
W języku staropolskim słowo „całka” oznaczało dziewicę. Dlatego szukanie całki jest
znacznie trudniejsze od róŜniczkowania.
(popularny dowcip matematyczny)
Pomówmy tym razem o terminologii matematycznej. Jeśli chodzi o pierwsze motto,
sprawa nie jest jeszcze taka powaŜna – w końcu jeśli matematyk dorzuci excuse my French,
moŜna mu to wybaczyć. Trochę gorzej jest z drugim – gdy niewtajemniczony nie załapie, Ŝe
tekst jest po francusku, moŜe dojść do powaŜnych nieporozumień. Dla przykładu zdanie
„Ciało ma tylko trywialne ideały” wygląda z pozoru jak tanie moralizatorstwo. Tymczasem
we właściwym kontekście, czyli na wykładzie po francusku dla adeptów języka francuskiego
(II rok studiów) okazuje się waŜnym twierdzeniem z zakresu algebry.
Jeśli potrzebujemy nowych terminów na oznaczenie nowych pojęć, tworzymy je z tego,
co mamy pod ręką, czyli z języka potocznego, na zasadzie luźnych skojarzeń. Najczęściej
dzieje się to gdzieś za granicą, kolejnym etapem jest więc adaptacja, która moŜe być dwojaka:
albo wychodząca od sensu potocznego (przekład), albo od brzmienia (adaptacja fonetyczna).
W powyŜszym przykładzie ciało jest wynikiem przekładu, ideał moŜna otrzymać na oba
sposoby, zaś trywialny to adaptacja fonetyczna, będąca w matematyce synonimem słowa
„banalny” bądź „oczywisty”. W ten sposób powstaje coś w rodzaju światowego języka nauki.
Wiadomo jednak, Ŝe Polacy nie gęsi, czym w swoim czasie bardzo się przejął Jędrzej
Śniadecki (1768-1838), który wziął sobie na ambicję, by spolszczyć w nauce, co tylko się da.
Najbardziej namieszał w swojej dziedzinie, czyli chemii (glin zamiast aluminium, tlen, itd.),
ale takŜe w matematyce (ta nieszczęsna całka to teŜ jego dzieło). Tymczasem Hoene-Wroński
(1778-1835) był tak radykalny (eliminacja wszystkich słów obcego pochodzenia), Ŝe – na
szczęście – nie osiągnął niczego. Współczesne próby są juŜ tylko Ŝartobliwe – taki np. Śledź
Otrembus (nazwisko i adres znane redakcji) odwołał się do Fausta Goethego następująco:
Goethe Jan Wilkołaz, Pięść. Jedna tragedia, Mexico 1976
prześlicznie parodiując tego typu tendencje.
Weźmy w końcu na warsztat jakiś konkret. Moim faworytem jest matematyczny termin
„prawie wszystkie”, który jest tak popularny, Ŝe ma nawet powszechnie uŜywany skrót (p.w.).
Oznacza on „wszystkie z wyjątkiem być moŜe skończonej ilości”, co zastosowane do
ponumerowanego ciągu znaczy „wszystkie począwszy od pewnego miejsca”. Jest to dość
naturalne określenie (w końcu czym jest choćby miliard wobec nieskończoności), ale moŜe
powodować zabawne skutki, jeśli się je zastosuje do zbioru skończonego. Wtedy bowiem
nasz termin nie oznacza zgoła niczego i tym samym jest zawsze akceptowalny. Dla przykładu
ze wszech miar prawdziwe są następujące zdania:
Prawie wszyscy Polacy są członkami GKF.
Prawie wszystkie kobiety są męŜczyznami.
Prawie wszyscy Marsjanie są alkoholikami.
Prawie wszystkie filmy są bardzo dobre.
Prawie wszyscy czytelnicy Informatora uwielbiają tę rubrykę.
Oczywiście naleŜy pamiętać, Ŝe to było po francusku. Excuse my French.
Andrzej Prószyński
Niefrasobliwie
o matematyce (10)
CięŜka dola matematyka
Dziewięćdziesiąt procent czegokolwiek jest do niczego.
(politycznie poprawna wersja prawa Sturgeona)
Znany pisarz sf Theodore Sturgeon (1918-1985) odpowiedział kiedyś w powyŜszy sposób
na zarzut dziennikarza, Ŝe 90 procent ksiąŜek sf jest, łagodnie mówiąc, do niczego. Ta być
moŜe odruchowa riposta zrobiła oszałamiającą karierę, awansując nieomalŜe do rangi prawa
przyrody. Całkiem zresztą słusznie.
Prawo Sturgeona jest od dawna znane w nauce. Pewien profesor chemii dzielił nawet
(zgodnie ze słownictwem tej dziedziny) wszystkie prace swoich kolegów na naukowe oraz
naukawe (czyli te o mniejszej wartościowości). Co prawda nie ujawnił proporcji jednych do
drugich, skądinąd jednak wiadomo, Ŝe jest ona zgodna z prawem Sturgeona. Rzecz w tym, Ŝe
badania naukowe są do pewnego stopnia błądzeniem w ciemności (gdyby bowiem wszystko
było jasne, nauka byłaby zbędna). Jednak wydaje się na to publiczne pieniądze, co skutkuje
koniecznością publikacji – chociaŜby po to, by kolejni naukowcy nie powielali błędów
poprzedników.
W matematyce jest trochę inaczej. Co
prawda tutaj równieŜ podobna część pomysłów
jest do niczego (o czym moi koledzy po fachu
wiedzą od zawsze), nie ma jednak zwyczaju
pisania o swych niepowodzeniach. Tym samym
90 procent tego, co wymyśli matematyk, ląduje
nieuchronnie w koszu, o czym lojalnie się
uprzedza młodych adeptów tej dziedziny
wiedzy. Warto o tym pamiętać, oglądając
sielskie obrazki przedstawiające matematyka
przy pracy (obok i w Internecie).
Jeśli ów będzie się domagał właściwych warunków do swej działalności (np. wyjazdu na
konferencję w kraju egzotycznym), zostanie nieuchronnie obciąŜony planowaniem tudzieŜ
sprawozdawczością połączoną z obowiązkiem publikacji. Co ma jednak zrobić, jeśli zgodnie
z prawem Sturgeona nic mu nie wyjdzie? Albo co innego niŜ zakładał? Odpowiedź znalazł
jeden z moich mistrzów, profesor Edward Sąsiada: naleŜy po prostu planować to, czego się
dokonało w roku ubiegłym, a sprawozdanie będzie idealnie zgodne z załoŜeniami. Tu
biurokrata z pewnością załamie ręce, krzycząc z oburzeniem jak w PRL-owskim kabarecie:
Za jakie chwyty oni się uciekają? No tak, ale urzędnik z natury rzeczy naleŜy do całkiem innej
rzeczywistości, podległej prawu Parkinsona, a nie Sturgeona, więc nie ma mu się co dziwić.
Niemiły ponadto jest fakt, Ŝe matematykom nie przyznaje się Nagród Nobla, i to z niskich
pobudek. OtóŜ pewna panna nie chciała Alfreda i wyszła za matematyka, nasz dobrodziej
więc się zaparł i zadecydował, Ŝe nie da matematykowi (dla pewności Ŝadnemu) swojej
krwawicy. Tak teŜ się stało, choć nie do końca, gdyŜ matematyk John Nash, jeden z twórców
teorii gier, dostał w 1994 r. Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii (patrz film Rona Howarda
Piękny umysł). Z tej dyskryminacji zrodziła się po latach specjalna nagroda zwana Medalem
Fieldsa, będąca w załoŜeniu odpowiednikiem Nagrody Nobla w dziedzinie matematyki. śeby
jednak nie było zbyt słodko, wprowadzono ograniczenie wiekowe (do 40 lat).
Tyle na dziś. A czy istotnie cięŜka jest dola matematyka, proszę ocenić samemu.
Andrzej Prószyński
Niefrasobliwie
o matematyce (11)
Głupie pytania
Potrzebowałbym czasu, Ŝeby to wytłumaczyć, natomiast pan potrzebowałby wieczności,
Ŝeby to zrozumieć.
(Albert Einstein)
W ten właśnie sposób genialny Albert odpowiedział podczas prelekcji na pytanie, jaka
jest róŜnica między czasem a wiecznością. Wyjaśnienie to jest zaledwie o włos grzeczniejsze
od prostego stwierdzenia, Ŝe pytanie było głupie, ale za to jest o wiele bardziej błyskotliwe.
Całkiem podobnie zareagował Bertrand Russell, kiedy na jakimś odczycie wyjaśniał
podstawowe zasady logiki. Jedna z nich głosi, Ŝe z fałszu wynika wszystko – co ściślej moŜna
wyrazić w ten sposób, Ŝe zdanie „jeśli A, to B” jest zawsze prawdziwe, gdy A jest fałszywe,
niezaleŜnie od prawdziwości (lub nie) zdania B. Prawidło to stosujemy często, aby obrazowo
wyrazić nasz stosunek do róŜnych rzeczy, np.: Jeśli on to zrobi, to tu mi kaktus wyrośnie, itp.
OtóŜ jeden ze słuchaczy Russella wymyślił na gorąco analogiczny przykład, a mianowicie:
JeŜeli 2x2=5, to Bertrand Russell jest papieŜem, ale, o dziwo, zapytał, jak to udowodnić. Tu
nasz prelegent, podobnie jak Einstein, nie stracił kontenansu i zamiast stwierdzić, Ŝe to nie
wymaga dowodu, przeprowadził następujące rozumowanie:
Przyjmijmy, Ŝe 2x2=5. PoniewaŜ skądinąd wiadomo, Ŝe 2x2=4, więc 4=5. Odejmując od
kaŜdej ze stron 3 otrzymujemy, Ŝe 1=2. Ja jestem jeden, a ja i papieŜ to dwóch, a więc ja
jestem papieŜem.
Charakter tej odpowiedzi jest dokładnie ten sam, co poprzedniej – pytanie było głupie, ale
ja potrafię na to zareagować z wdziękiem. Co jednak z tymi, którzy sądzą, Ŝe nie ma głupich
pytań? Tym moŜna natychmiast zacytować inne powiedzonko: Jakie pytanie, taka odpowiedź.
CóŜ jednak ma począć wykładowca, jeśli prawie nigdy nie słyszy Ŝadnych pytań poza
„czy to jest X, czy teŜ Y?” Jak moŜe wyczuć, Ŝe to, co mówi, dociera do słuchaczy?
Będąc teŜ wykładowcą, zacznę więc teraz bronić wszystkich pytań, takŜe tych głupich.
Co więcej, będę twierdził, Ŝe nawet głupie pytania posuwają naprzód naszą wiedzę.
Sławomir MroŜek napisał kiedyś opowiadanie o dwóch zapaśnikach, którzy zaplątali się
tak dokumentnie, Ŝe zniecierpliwieni jurorzy zapieczętowali ich na noc i udali się do domów.
Zapaśnicy z nudów zaczęli z sobą rozmawiać, a kiedy rano otwarto salę, jeden z nich właśnie
powiedział: A gdybyśmy tak wzięli masę i pomnoŜyli przez kwadrat prędkości światła, to co by
wyszło? NiezaleŜnie od intencji autora moŜna stwierdzić, Ŝe przed Einsteinem uznano by to
za bardzo głupie pytanie, a samego Einsteina, na szczęście, nikt nie próbował deprymować.
Nikołaj Łobaczewski (1792-1856) zapytał, co by się stało, gdyby przez punkt poza prostą
przechodziła więcej niŜ jedna prosta równoległa do niej. Nie bacząc na pozorną absurdalność
tej kwestii, szukał przez lata wyczerpującej odpowiedzi, stając się w ten sposób ojcem tzw.
geometrii nieeuklidesowej. Co więcej, moŜna przypuszczać, Ŝe opisuje ona lepiej otaczający
nas Wszechświat niŜ geometria znana wszystkim ze szkoły.
Pytania, nawet te głupie, świadczą o tym, Ŝe myślimy, a nie tylko chłoniemy informacje,
a takŜe o tym, Ŝe to, co przyswajamy, nie jest nam obojętne. Mówiąc inaczej – nie stosujemy
wyłącznie operacji kopiuj-wklej, ale angaŜujemy przy tym mniej lub bardziej skomplikowane
filtry informacji, lub, co jeszcze lepiej, stajemy się kreatywni.
Kiedy będąc studentem przygotowywałem się do egzaminów, często przychodziły mi do
głowy róŜne pytania, na które starałem się znaleźć odpowiedź. Wtedy mój współlokator
mówił: Ty nie myśl, tylko się ucz. Cieszę się, Ŝe ani razu go nie posłuchałem.
Andrzej Prószyński
Niefrasobliwie
o matematyce (12)
Smoki Amberu
Raz czterej sławni uczeni z Peru
Płynęli morzem w łódce z papieru.
Gdyby ich łódkę zrobiono z drzewa,
DłuŜej bym podróŜ mędrców opiewał.
(z „Księgi nonsensu”)
Zadaniem powyŜszego wierszyka jest zasygnalizowanie, Ŝe moŜna by było jeszcze długo
i niefrasobliwie rozprawiać o matematyce, ale być moŜe papier nie jest aŜ tak cierpliwy, na
jaki wygląda. Czas więc zawinąć do portu, aby nie utknąć na mieliźnie, lub, jeszcze gorzej,
pójść na dno.
Zamykając ten cykl wróćmy raz jeszcze do Amberu i jego eksploratorów.
W jednej z monografii matematycznych zamieszczono w charakterze motta następującą
przypowieść:
Pewien Chińczyk uczył się przez kilkanaście lat trudnej sztuki zabijania smoków. Jednak
kiedy juŜ opanował ją do perfekcji, okazało się, Ŝe nie ma moŜliwości, by ją wypróbować.
Ot, problem. CóŜ więc poradził mu matematyk, autor monografii?
I wtedy załoŜył własną szkołę, w której zaczął nauczać trudnej sztuki zabijania smoków.
KaŜdy matematyk odruchowo rozumie ten dowcip. Co prawda w cieniu Ziemi nie ma
(podobno) smoków, ale w Amberze oczywiście są. Nie ma się więc co przejmować brakiem
moŜliwości wykorzystania teorii w naszym świecie, chyba Ŝe ma się obsesję na tym punkcie.
TakŜe miłośnik fantastyki nie będzie się upierał, Ŝe trzeba koniecznie wyhodować smoki, aby
moŜna było je zaakceptować. I tak, jak matematyk, będzie protestował przeciwko utylitarnym
zapędom krytyków. Smoki cenimy za to, Ŝe są interesujące, a nie za to, Ŝe moŜna je zaprząc
(na Ziemi) do przewozu towarów. Co innego w Amberze – tam wszelkie moŜliwości ich
wykorzystania są jak najbardziej w cenie.
Jedną z myśli przewodnich tego cyklu było to, Ŝe róŜnorakim eksploratorom świata idei
nie jest tak bardzo daleko do siebie – co teŜ z powyŜszego widać bardzo wyraźnie. Cieszmy
się więc wspólnie smokami, póki jakiś zazdrośnik nie będzie chciał nam ich odebrać. Wtedy,
rzecz jasna, zakrzykniemy chórem:
Ręce precz od smoków Amberu!
Andrzej Prószyński