rozkład logarytmiczno-normalny - Wydział Zarządzania i Ekonomii

Jerzy Czesław Ossowski
Katedra Ekonomii i Zarz dzania Przedsi biorstwem
Wydział Zarz dzania i Ekonomii
Politechnika Gda ska
VIII Ogólnopolskie Seminarium Naukowe nt. „Dynamiczne Modele Ekonometryczne”,
Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu,
Toru , 9-11 wrzesie 2003,
ROZKŁAD LOGARYTMICZNO-NORMALNY
A WZGL DNE I ABSOLUTNE MIARY ROZPROSZENIA
1. ROZKŁAD LOGARYTMICZNO-NORMALNY
A REDNIA ARYTMETYCZNA I GEOMETRYCZNA
Wi kszo zmiennych ekonomicznych przyjmuje jedynie warto ci dodatnie. Wiele z
nich scharakteryzowa mo emy za pomoc rozkładu logarytmiczno-normalnego. Uznajmy,
e zmienna losowa y nale y do tej grupy zmiennych. Oznacza to, e logarytm naturalny tej
zmiennej ma rozkład normalny, tym samym funkcja g sto ci prawdopodobie stwa dana jest
wzorem ([1] s.8, [14] s. 170-172):
f (ln y ) =
−
1
σ ln y 2π
e
(ln y − µ ln y ) 2
2
2σ ln
y
,
(1)
w którym parametry warto ci oczekiwanej i wariancji zmiennej lny definiujemy nast puj co:
µ ln y = E ln y ,
(2)
2
2
σ ln
y = E(ln y − µ ln y ) .
(3)
σ ln y = E(ln y − µ ln y )2 .
(4)
Odchylenie standardowe jest równe:
1
Wykorzystuj c fakt, e d ln y = dy / y , funkcj g sto ci prawdopodobie stwa logarytmu
zmiennej y przekształci mo emy w funkcj g sto ci zmiennej y o nast puj cej postaci:
−
1
f (y) =
y σ ln y 2π
(ln y − µ ln y )2
e
2
2σ ln
y
.
(5)
Funkcja ta wyznacza krzyw asymetryczn . Asymetria ta jest prawostronna i jej wielko
zale y od warto ci oczekiwanej i wariancji logarytmu zmiennej y. Tym samym warto
oczekiwana zmiennej y (Ey) oraz jej dominanta (Dy) i mediana (My) nie pokrywaj si i
wynosz odpowiednio (patrz: [1], s 8-9):
Ey = µ y = e
2
µ ln y + 1 σ ln
y
2
,
(6)
µ
My = e ln y ,
Dy = e
Z powy szego wynika, e
Mo na ponadto wykaza ,
odpowiednio:
(7)
2
µ ln y − σ ln
y
.
(8)
Dy < My < Ey.
e wariancja i odchylenie standardowe zmiennej y wynosz
σ 2y = E( y − Ey ) 2 = e
2
2µ ln y + σ ln
y
σ y = E( y − Ey ) 2 = e
2
σ
(e ln y − 1) ,
2
µ ln y + 1 σ ln
y
2
2
σ
e ln y − 1 .
(9)
(10)
Przedstawione powy ej wła ciwo ci rozkładu logarytmiczno-normalnego zmiennej y
wykorzystali Murti i Sastri (patrz: [11]) przy formułowaniu zwi zków pomi dzy redni
arytmetyczn i redni geometryczn tej zmiennej losowej. Zgodnie z poczynion przez nich
umow , warto oczekiwan logarytmu zmiennej y oznaczymy w sposób nast puj cy:
µ ln y = ln g .
(11)
Obecnie zgodnie z koncepcj wspomnianych autorów zdefiniujemy redni geometryczn
zmiennej y w sposób nast puj cy:
µ
g = e ln y = e E ln y .
(12)
Oznacza to, e rednia geometryczna zmiennej y jest zdelogarytmowan warto ci
nadziei matematycznej logarytmu zmiennej y. Z drugiej strony Murti i Sastri okre lili
redni arytmetyczn zmiennej losowej y jako jej warto oczekiwan , tzn.:
a = µ y = Ey .
(13)
Wykorzystuj c (6) i (12) stwierdzamy, e:
2
µ ln y + 1 σ ln
y
2
Ey = e
2
1 2
σ
µ
= e ln y e 2 ln y .
W konsekwencji na podstawie (13) redni arytmetyczn (12) zapiszemy nast puj co:
1 2
σ
a = g e 2 ln y .
(14)
Wykazany przez wspomnianych autorów zwi zek funkcyjny pomi dzy redni arytmetyczn
i geometryczn zmiennej y charakteryzuj cej si rozkładem logarytmiczno-normalnym był
swego czasu szeroko omawiany w literaturze po wi conej modelom multiplikatywnym.
Funkcja ta posiada licz ce si walory poznawcze i praktyczne, czemu wiele uwagi po wi cił
L.R.Klein ([9] s.155-156, 221-224). Ko cz c t cz
rozwa a zauwa my, e w przypadku
zmiennej charakteryzuj cej si
rozkładem logarytmiczno-normalnym
rednia
geometryczna i mediana pokrywaj si ze sob . W uj ciu graficznym sytuacj powy sz
przedstawiono na rys.1.
f(lny)
f(y)
0
gdzie:
µlny
E lny
lny
0
g
a
Dy My Ey
y
g = exp µlny = exp E lny
a = Ey = g exp(1/2)σ2lny
σ2lny = E(lny-µlny)2 = E(lny-lng)2 = E[ln(y/g)]2
Rys.1 Podstawowe miary pozycyjne w rozkładzie logarytmiczno-normalnym
Przykład 1.
Niech płace miesi czne (y) pracowników pewnego sektora gospodarczego charakteryzuj si rozkładem
logarytmiczno normalnym. Płace wyra one s w złotych. Załó my, e warto oczekiwana i wariancja
logarytmów płac równaj si odpowiednio:
µ ln y = 7,49554 ,
2
σ ln
y = 0,16 .
Okre li : 1)median ( redni geometryczn ), 2) warto
Ad 1) Zgodnie z (7) i (12) otrzymujemy:
oczekiwan ( redni arytmetyczn ), 3) dominant płac.
µ
My = g = e ln y = e 7,49554 = 1800 zł
Zauwa my, ze logarytmy płac s wielko ciami niemianowanymi. Ich delogarytmy wyra one s w jednostkach
pierwotnych. Obecnie powiemy, e rednia geometryczna płac, b d ca median , wynosiła 1800 złotych.
Oznacza to, e 50% pracowników zatrudnionych w sektorze przedsi biorstw zarabia mniej, ni 1800 złotych.
Tym samym płace 50% pracowników przekraczaj 1800 złotych.
Ad 2) Zgodnie z (6) a tym samym (15) mamy:
1
0,16
= 1800e 2
1 σ2
e 2 ln y
Ey = a = g
= 1950 zł
Powiemy, e rednie (arytmetyczne) miesi czne wynagrodzenie pracowników sektora przedsi biorstw wynosiło
1950 złotych.
Ad 3) Warto dominuj ca zgodnie z (8) wynosi
Dy = e
2
µ ln y − σ ln
y
= 1800e − 0,16 = 1533,9 zł
3
Oznacza to, e płace oscyluj ce wokół warto ci 1533,9 zł były najcz ciej spotykane.
Przy okazji zauwa my, e odchylenie standardowe logarytmu płac jest równe
σ ln y = E(ln y − µ ln y ) 2 = 0,16 = 0,4
Powiemy wi c, e przeci tne standardowe odchylenie logarytmu płac od warto ci oczekiwanej logarytmu płac
(logarytmu redniej geometrycznej płac) wynosi 0,4. Z uwagi na fakt, e zmienna losowa wyra ona jest w
logarytmach jest ona tym samym niemianowana. (patrz: rys.5)
2. WZGL DNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
W RELACJI DO REDNIEJ GEOMETRYCZNEJ
Zastanówmy si obecnie nad mo liwo ci okre lenia prawdopodobie stwa tego, e
zmienna losowa y, charakteryzuj ca si rozkładem logarytmiczno-normalnym, przyjmie
warto ci z okre lonego przedziału. Jak pisał Z. Pawłowski, w praktyce wygodnie jest
„wykorzysta fakt, e logarytm zmiennej losowej Y ma rozkład normalny N( , ).
Prawdopodobie stwo tego, e a Y b, jest równowa ne prawdopodobie stwu tego, e
lna lnY lnb, a to ostatnie łatwo jest obliczy korzystaj c z tablic dystrybuanty
standaryzowanego rozkładu normalnego ([14] s.172).” Z powy szego wynika, e ostatni
nierówno zapisa mo emy równowa nie w sposób nast puj cy: elna elnY elnb. Obecnie
zgodnie z reguł trzech sigm powiemy, e prawdopodobie stwo tego, i logarytm zmiennej
losowej y przyjmie warto ró ni c si od redniej logarytmu tej zmiennej o jedno
odchylenie standardowe jest równe 0,6826, co zapiszemy nast puj co:
lub z uwagi na (11):
P( − σ ln y ≤ ln y − µ ln y ≤ σ ln y ) = 0,6826 ,
(15)
P( − σ ln y ≤ ln y − ln g ≤ σ ln y ) = 0,6826 .
(16)
Jak wiemy odchylenie standardowe jest miar rozproszenia zmiennej losowej wokół jej
warto ci przeci tnej. Je li zmienna losowa jest wyra ona w jednostkach rzeczywistych, tzn.
nietrasformowanych, to odchylenie standardowe jest miar zró nicowania absolutnego. W tej
sytuacji zwyczajowo interpretujemy odchylenie standardowe, jako przeci tne, standardowe
odchylenie zmiennej losowej od jej warto ci oczekiwanej wyra one w jednostkach
analizowanej zmiennej. Jest rzecz oczywist , e je li zmienna wyra ona jest w kilogramach
to odchylenie standardowe wyra one jest równie w kilogramach, itp. Z inn nieco sytuacj
mamy do czynienia w przypadku, gdy zmienna losowa i jej charakterystyki wyra one s w
logarytmach. W tej sytuacji zarówno zmienna losowa jak i odchylenie standardowe staj si
jednostkami niemianowanymi. W dalszym jednak ci gu odchylenie standardowe pozostaje
miar rozproszenia. Oznacza to, e interpretuj c odchylenie standardowe, jako przeci tne,
standardowe odchylenie logarytmu zmiennej y od warto ci oczekiwanej logarytmu tej
zmiennej, mamy na my li fakt, i dwie trzecie tych odchyle zawiera si b dzie w przedziale
wyznaczonym zgodnie z (16), natomiast blisko jedna trzecia wykracza b dzie poza ten
przedział. Mimo, i
takie rozumowanie odchylenia standardowego mo e by
satysfakcjonuj ce w sensie statystycznym, ma jednak prawo nie zadowala nas w sensie
interpretacyjnym. Nie my limy bowiem w kategoriach logarytmów poszczególnych
zmiennych, chocia mo emy rozumie ich istot . Dlatego celem wzbogacenia interpretacji
otrzymanych wyników przekształ my (16) w nast puj cy sposób:
P (e
− σ ln y
≤e
ln
y
g
a st d
4
σ
≤ e ln y ) = 0,6826
P (e
− σ ln y
≤
y
σ
≤ e ln y ) = 0,6826
g
(17)
Zauwa my, e zdefiniowana w nast puj cy sposób zmienna:
v=
y
g
(18)
wskazuje na stosunek zmiennej losowej y do jej redniej geometrycznej, tym samym okre la
udział tej zmiennej losowej w poziomie jej redniej geometrycznej. Wtedy kiedy zmienna
losowa y przyjmie warto ci mniejsze od redniej geometrycznej g, zmienna losowa v
przyjmie warto ci mniejsze od 1. W sytuacji odwrotnej, tzn. gdy zmienna losowa przyjmie
warto ci wi ksze od parametru g, wówczas zmienna losowa v przyjmowa b dzie warto ci
wi ksze od jedno ci. Oznacza to, e dla ka dego odchylenia standardowego lny, b d cego
dodatnim pierwiastkiem wariancji zmiennej losowej lny, spełnione s nast puj ce
nierówno ci:
0 < vd = e
− σ ln y
<1
σ
v g = e ln y > 1
(19)
(20)
Przy okazji zauwa my, e:
vd ⋅ vg = e
− σ ln y σ ln y
e
= e0 = 1
(21)
rednia geometryczna zmiennej v jest równa
Powy sza wła ciwo jest o tyle istotna, i
jedno ci, co wynika z nast puj cego faktu:
E(ln y − µ ln y ) = E(ln y − ln g ) = 0
g v = e E ln v = e E(ln y − ln g ) = e 0 = 1
(22)
gdzie gv jest redni geometryczn zmiennej v1.
Obecnie na podstawie (17) oraz po przyj ciu oznacze z (19) i (20) powiemy, e z
prawdopodobie stwem równym 0,6826 udział zmiennej losowej y w jej redniej
geometrycznej g mie ci si b dzie w przedziale od vd do vg. Oznacza to, e dokonuj c
interpretacji w my l której, przeci tny udział zmiennej y w jej redniej geometrycznej
waha si w granicach od vd do vg mamy na my li fakt, i jest to przeci tny udział w
kategoriach standardowych, gdy został on wyznaczony na bazie odchylenia standardowego
logarytmu zmiennej y z wszelkimi wypływaj cymi z tego konsekwencjami stochastycznymi.
Powiemy tym samym, e vd i vg s przeci tnymi, wzgl dnymi miarami rozproszenia
zmiennej losowej y wzgl dem jej redniej geometrycznej.
Celem dalszego wzbogacenia interpretacji omawianej przez nas wzgl dnej miary
rozproszenia, dokonajmy przekształcenia nierówno ci równoczesnej uj tej w (17) poprzez
odj cie stronami warto ci 1, wykorzystuj c jednocze nie oznaczenia przyj te w (19) i (20). W
rezultacie tego działania otrzymujemy:
P( v d − 1 ≤
y
− 1 ≤ v g − 1) = 0,6826
g
(23)
Przemna aj c powy sz nierówno stronami przez 100, otrzymany wynik wyra amy w
procentach, co zapiszemy nast puj co:
1
Omówione tutaj miary rozproszenia s ci le zwi zane z miarami rozproszenia zmiennej endogenicznej
wzgl dem warto ci teoretycznych w modelach multiplikatywnych w sytuacji, gdy warto ci teoretyczne ocenione
s na poziomie warunkowych rednich geometrycznych, co przedstawiono w artykule [12] oraz monografii [13]
s. 33 – 36.
5
P[( v d − 1)100 ≤ (
y−g
)100 ≤ ( v g − 1)100] = 0,6826
g
(24)
W sensie standardowym przeci tnie, zmienna losowa y odchyla si od jej redniej
geometrycznej w przedziale od (vd-1)100% do (vg-1)100%. W analizowanym przypadku
odchylenia te b d zawiera si w wyznaczonych granicach dla 2/3 wszystkich przypadków.
Mo na zada pytanie, dlaczego wyznaczamy dolne i górne przedziały przeci tnych odchyle ,
zamiast powiedzie wprost, o ile procent przeci tnie zmienna y odchyla si od jej redniej
geometrycznej? Odpowied jest prosta i wynika z asymetrii rozkładu logarytmicznonormalnego. Mo na bowiem udowodni , rozpisuj c w szereg Maclaurina wyra enia (19) i
(20), i spełniona jest nast puj ca nierówno :
( v d − 1) + ( v g − 1) > 0
(25)
Zauwa my ponadto, e z reguły trzech sigm wynika, i
P (e
P (e
− 2σ ln y
− 3σ ln y
≤
y
2σ
≤ e ln y ) = 0,9545
g
(26)
≤
y
3σ
≤ e ln y ) = 0,9973
g
(27)
W celu utrzymania si w przyj tej konwencji oznacze umówmy si , e:
v 2d = e
v 3d = e
−2σ ln y
−3σ ln y
i v 2g = e
i v 3g = e
2σ ln y
(28)
3σ ln y
(29)
W uj ciu graficznym opisan powy ej sytuacj przedstawiono na rys.2.
f(lnv)
f(v)
σlnv σlny
-σlny 0 σlny
E lnv
gdzie:
1-vd vg-1
lnv
0
vd
u = ln v = lny – lng = ln(y/g) = lny - µlny
v = y/g ,
vd = exp(-σlny), vg = exp(σlny).
1
Mv
vg
v
Rys. 2 Wzgl dne rozproszenie zmiennej y w relacji do redniej geometrycznej
w przypadku rozkładu logarytmiczno-normalnego
Przykład 2
Na podstawie danych z przykładu 1 okre li przedziały udziałów płac w ich redniej geometrycznej
(medianie) realizowane z prawdopodobie stwem: 1) P1=0,6826, 2) P2=0,9545, 3) P3=0,9973.
Ad 1) Na podstawie (19) i (20) otrzymujemy:
vd = e
− σ ln y
= e − 0,4 = 0,67
σ
v g = e ln y = e 0,4 = 1,49
6
Z uwagi na (17) powiemy, e w analizowanym przypadku prawdopodobie stwo tego, e udział płac w redniej
geometrycznej (medianie) mie ci si b dzie w przedziale od 0,67 do 1,49 wynosi 0,6826. Tym samym, zgodnie
z (24) powiemy, e płace odchylaj si od redniej geometrycznej (mediany) w przedziale od –33% do 49% w
2/3 przypadków.
Ad 2) Na podstawie (28) otrzymujemy:
v 2d = e
v 2g = e
−2σ ln y
2σ ln y
= e − 0,8 = 0,449
= e 0,8 = 2,225
Z uwagi na (26) powiemy, e w analizowanym przypadku prawdopodobie stwo tego, e udział płac w redniej
geometrycznej (medianie) mie ci si b dzie w przedziale od 0,449 do 2,225 wynosi 0,9545. Tym samym płace
odchylaj si od redniej geometrycznej (mediany) w przedziale –55,1% do 122,5% w około 95 przypadków na
sto.
Ad 3) Obecnie na podstawie (29) stwierdzamy, e
v 3d = e
v 3g = e
−3σ ln y
3σ ln y
= e −1,2 = 0,301
= e 1,2 = 3,32
Z uwagi na (27) powiemy, e w analizowanym przypadku z prawdopodobie stwem 0,9973 udział płac w
redniej geometrycznej (medianie) mie ci si b dzie w przedziale od 0,301 do 3,32. Oznacza to, e
prawdopodobie stwo tego, i płace odchylaj si od redniej geometrycznej (mediany) w przedziale –69,88% do
232,01% wynosi 0,9973.
Nale y s dzi , i wcze niej przeprowadzone rozwa ania oraz otrzymane powy ej wyniki upowa niaj
do stwierdzenia, e w sensie standardowym przeci tny udział płac w ich redniej geometrycznej (medianie)
waha si w granicach od 0,67 do 1,49, czyli płace przeci tnie odchylaj si od ich redniej geometryczne
(mediany) w przedziale od –33% do 49%. (patrz: rys.5)
3. ABSOLUTNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
W RELACJI DO REDNIEJ GEOMETRYCZNEJ
Wnioski wypływaj ce z przeprowadzonej powy ej analizy dotycz cej wzgl dnego
rozproszenia zmiennej losowej y wokół jej redniej geometrycznej s szczególnie przydatne
przy okre leniu wła ciwo ci stochastycznych modeli multiplikatywnych. W praktyce
statystycznej, w przypadku rozpatrywania zmiennych losowych o rozkładzie logarytmicznonormalnym, szczególnie interesuj ce mog by miary rozproszenia wyra one w jednostkach
absolutnych. Celem ich wyznaczenia przekształ my (15) do nast puj cej postaci:
P(µ ln y − σ ln y ≤ ln y ≤ µ ln y + σ ln y ) = 0,6826 .
(30)
Po zdelogarytmowaniu stronami wyra enia zapisanego w nawiasie otrzymujemy:
µ
−σ
µ
σ
P (e ln y e ln y ≤ y ≤ e ln y e ln y ) = 0,6826 ,
(31)
co po uwzgl dnieniu przyj tych wcze niej oznacze zapiszemy w nast puj cy sposób:
P(g ⋅ v d ≤ y ≤ g ⋅ v g ) = 0,6826
(32)
Obecnie powiemy, e prawdopodobie stwo tego, i zmienna losowa y przyjmuje warto ci w
granicach od g·vd do g·vg, jest równe 0,6826. Zauwa my, e zarówno zmienna losowa y jak i
wyznaczone granice przedziałów wyra one s w jednostkach rzeczywistych analizowanej
zmiennej. Aby wyja ni istot asymetrii wyznaczonej tutaj absolutnej miary rozproszenia
zauwa my, e poniewa logarytm zmiennej y ma rozkład normalny, wi c spełniona musi by
nast puj ca równo :
P(µ ln y − σ ln y ≤ ln y ≤ µ ln y ) = P(µ ln y ≤ ln y ≤ µ ln y + σ ln y ) = 0,341,
7
co po zdelogarytmowaniu wyra e ograniczonych nawiasami i przyj ciu wcze niej
przyj tych oznacze zapiszemy nast puj co:
P (g ⋅ v d ≤ y ≤ g ) = P (g ≤ y ≤ g ⋅ v ) = 0,341 .
(33)
Z uwagi na (25) stwierdzamy, e:
(34)
g ⋅ vd − g g − g ⋅ vg
Oznacza to, e analizowane absolutne rozproszenie zmiennej y odnosi si do redniej
geometrycznej (mediany) zmiennej y. Rozproszenie to charakteryzuje si tym, i
jednakowemu prawdopodobie stwu realizacji zdarze odpowiada, co do warto ci
bezwzgl dnej, mniejszy przedział dolny i wi kszy przedział górny odchyle zmiennej y
od jej redniej geometrycznej (mediany).
Obecnie mo emy powiedzie , e przeci tne, w sensie standardowym, odchylenie
zmiennej losowej y od jej redniej geometrycznej (mediany) waha si w granicach od
g·vd do g·vg. Jest to, jak si wydaje, w miar poprawny sposób okre lenia przeci tnej,
absolutnej miary rozproszenia zmiennej losowej y w stosunku do jej warto ci redniej w
sytuacji, gdy zmienna ta charakteryzuje si asymetrycznym rozkładem. Uzupełniaj c
rozwa ania dotycz ce absolutnego rozproszenia zmiennej losowej y wzgl dem jej redniej
geometrycznej (mediany) zauwa my, e zgodnie z reguł trzech sigm otrzymujemy:
P(g ⋅ v 2d ≤ y ≤ g ⋅ v 2g ) = 0,9545
(35)
P(g ⋅ v 3d ≤ y ≤ g ⋅ v 3g ) = 0,9945
(36)
W uj ciu graficznym sytuacj omawian powy ej przedstawiono na rys.1.
f(lny)
f(y)
σlnv σlny
0
gdzie:
µlny-σlny µlny µlny+σlny
E lny=lng
g-gvd gvg-g
lny
0
g = exp µlny = exp E lny
vd = exp(-σlny), vg = exp(σlny).
g·vd
g
g·vg
g=My
y
Rys. 3 Absolutne rozproszenie zmiennej y w relacji do redniej geometrycznej
w przypadku rozkładu logarytmiczno-normalnego
Przykład 3
Na podstawie danych z przykładu 1 i 2 wyznaczy absolutne przedziały rozproszenia płac w stosunku
redniej geometrycznej (mediany) realizowane z prawdopodobie stwem: 1) P1=0,6826, 2) P2=0,9545, 3)
P3=0,9973. Wyniki zinterpretowa charakteryzuj c równocze nie asymetri badanych miar rozproszenia.
Na wst pie zauwa my, e rednia geometryczna płac (mediana płac) wynosi: g =1800 zł
Ad 1) Elementy zawarte w nawiasie w wyra eniu (32) wynosz odpowiednio:
g·vd = 1800·0,67 = 1206 zł,
g·vg = 1800·1,49 = 2682 zł.
Powiemy, e prawdopodobie stwo tego, i płace pracowników odchylaj si od ich redniej geometrycznej
(mediany) w przedziale od 1206 zł do 2682 zł wynosi 0,6826. Z drugiej strony prawdopodobie stwo tego, i
płace b d zawarte w przedziale od 1206 zł do 1800 zł jest równe prawdopodobie stwu tego, i płace b d
zawarte w przedziale od 1800 zł do 2682 zł. W jednostkach absolutnych odchylenie dolne płac od ich redniej
geometrycznej wynosi –594 zł, natomiast odchylenie górne jest równe 882 zł.
8
Ad 2) Elementy zawarte w nawiasie w wyra eniu (35) wynosz odpowiednio:
g·v2d = 1800·0,449 = 808 zł,
g·v2g = 1800·2,225 = 4005 zł.
Tak wi c prawdopodobie stwo tego, i płace pracowników odchylaj si od ich redniej geometrycznej
(mediany) w przedziale od 808 zł do 4005 zł wynosi 0,9545. Z drugiej strony prawdopodobie stwo tego, i
płace b d zawarte w przedziale od 808 zł do 1800 zł jest równe prawdopodobie stwu tego, i płace b d
zawarte w przedziale od 1800 zł do 4005 zł. W jednostkach absolutnych odchylenie dolne płac od ich redniej
geometrycznej wynosi –992 zł, natomiast odchylenie górne jest równe 2205 zł.
Ad 3)
Elementy zawarte w nawiasie w wyra eniu (36) wynosz odpowiednio:
g·v3d = 1800·0,301 = 542 zł,
g·v3g = 1800·3,320 = 5976 zł.
Tym samym prawdopodobie stwo tego, i płace pracowników odchylaj si od ich redniej geometrycznej
(mediany) w przedziale od 542 zł do 5976 zł wynosi 0,9973. Z drugiej strony prawdopodobie stwo tego, i
płace b d zawarte w przedziale od 542 zł do 1800 zł jest równe prawdopodobie stwu tego, i płace b d
zawarte w przedziale od 1800 zł do 5976 zł. W jednostkach absolutnych odchylenie dolne płac od ich redniej
geometrycznej wynosi –1258 zł, natomiast odchylenie górne jest równe 4176 zł. (patrz: rys.5)
4. ABSOLUTNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
W RELACJI DO REDNIEJ ARYTMETYCZNEJ
Omawiane dotychczas miary rozproszenia odnosiły si do redniej geometrycznej. W
prowadzonych rozwa aniach pomijali my miar rozproszenia odnosz c si do warto ci
oczekiwanej y, czyli redniej arytmetycznej tej zmiennej. Skoncentrowanie si na redniej
geometrycznej uzna jednak nale y za zasadne, z uwagi na fakt, e logarytm redniej
geometrycznej jest jednocze nie warto ci oczekiwan w rozkładzie normalnym logarytmu
zmiennej y. Powstaje jednak pytanie, jakimi wła ciwo ciami charakteryzuje si rozproszenia
zmiennej y wokół jej redniej arytmetycznej? Zauwa my, e rozproszenie to mierzone
odchyleniem standardowym (10) w relacji do warto ci oczekiwanej zmiennej y (6) w sensie
odległo ci jest symetryczne. Natomiast, z uwagi na charakter rozkładu logarytmicznonormalnego, jest ono asymetryczne w sensie prawdopodobie stwa realizacji zdarze
zachodz cych w odchyleniu dolnym i górnym od redniej arytmetycznej. Z uwagi na fakt, e
rednia arytmetyczna jest poło ona bardziej na prawo od redniej geometrycznej, b d cej
median w rozpatrywanym rozkładzie, musi zaj nast puj ca nierówno :
Pd (µ y − σ y < y < µ y ) > Pg (µ y < y < µ y + σ y )
(37)
gdzie wyst puj ce w nawiasach parametry rozkładu zmiennej y zdefiniowano w (6) i w (10),
natomiast Pd i Pg s odpowiednio prawdopodobie stwami zaj cia zdarze w przedziale
dolnym i górnym odchyle zmiennej losowej y od jej redniej arytmetycznej o wielko
odchylenia standardowego. Obecnie utrzymuj c oznaczenia w my l których:
• a = y, jest redni arytmetyczn zmiennej y,
• ln g = ln lny, jest logarytmem redniej geometrycznej zmiennej y,
przekształcimy (37) do po danej standaryzowanej postaci prawdopodobie stw w
nast puj cy sposób:
Pd (a − σ y < y < a ) > Pg (a < y < a + σ y ) ,
(38)
Pd [ln(a − σ y ) < ln y < ln a ) > Pg (ln a < ln y < ln(a + σ y )] ,
(39)
Pd ( z 1 < z < z 0 ) > Pg ( z 0 < z < z 2 ) ,
(40)
ln y − ln g ln( y g )
=
σ ln y
σ ln y
(41)
gdzie:
z=
9
z0 =
z1 =
ln a − ln g ln(a / g )
=
σ ln y
σ ln y
ln(a − σ y ) − ln g
σ ln y
z2 =
=
ln[(a − σ y ) / g ]
(43)
σ ln y
ln(a + σ y ) − ln g
σ ln y
(42)
=
ln[(a + σ y ) / g ]
(44)
σ ln y
Na podstawie (38), (39), (40), (41) i (42) potrafimy okre li prawdopodobie stwo zaj cia
zdarze opisanych przez (37), co w uj ciu graficznym, przedstawiono na rys. 4.
σy
ln[a/(a-σy)] ln(1+σy/a)
0 ln(a-σy)
gdzie:
µlny lna
E lny
ln(a+σy)
lny
0
a-σy
g a=µy
Dy My Ey
σy
a+σy
y
g = exp µlny = exp E lny
a = Ey = g exp(1/2)σ2lny
σ2y = E(y-µy)2 = E(y-a)2
Rys.4 Absolutne rozproszenie zmiennej y w relacji do redniej arytmetycznej
w przypadku rozkładu logarytmiczno-normalnego
Przykład 4
Na podstawie danych z przykładu 1 i 2 obliczy i zinterpretowa :
1. odchylenie standardowe płac (y) wzgl dem ich redniej arytmetycznej a = y ,
2. prawdopodobie stwo tego, e płace nie b d mniejsze o wielko jednego odchylenia standardowego od
płacy wyznaczonej na poziomie redniej arytmetycznej,
3. prawdopodobie stwo tego, e płace nie b d wi ksze o wielko jednego odchylenia standardowego od
płacy wyznaczonej na poziomie redniej arytmetycznej,
4. prawdopodobie stwo tego, e płace b d mniejsze (wi ksze) od płacy wyznaczonej na poziomie redniej
arytmetycznej,
Ad 1) Wiedz c, e rednia arytmetyczna płac a=1950 zł oraz wariancja logarytmu płac wynosi 0,16 odchylenie
standardowe zmiennej y od jej redniej arytmetycznej wyznaczymy na podstawie (10) i (14). Wynosi ono:
σy = e
2
µ ln y + 12 σ ln
y
e
2
σln
y
− 1 = 1950 e 0,16 − 1 = 812,27 zł.
Wst pnie powiemy, e płace przeci tnie odchylaj si od płacy redniej, wynosz cej 1950 zł, o około 812,27 zł.
Aby w pełni poprawnie zinterpretowa odchylenie standardowe, w przypadku rozkładu asymetrycznego
powinni my okre li prawdopodobie stwo odchyle dolnych i górnych
Przed okre leniem prawdopodobie stw z punktów 2, 3 i 4 obliczamy zgodnie z (42), (43) i (44)
warto ci z0, z1, i z2. Warto ci te równaj si odpowiednio:
z0 = [ln(a/g)]/ lny = [ln(1950/1800)]/0,4 = 0,20
z1 = {ln[(a- y )/g)]}/ lny = {ln[(1950-812,27)/1800]}/0,4 = -1,15
z2 = {ln[(a+ y )/g)]}/ lny = {ln[(1950+812,27)/1800]}/0,4 = 1,07
10
Ad 2) Post puj c zgodnie z odpowiedni procedur (patrz: [10] s. 91-93) wyznaczamy prawdopodobie stwo
tego, e płace nie b d mniejsze o jedno odchylenie standardowe od płacy wyznaczonej na poziomie redniej
arytmetycznej. Prawdopodobie stwo to wynosi:
Pd (a- y < y < a) = Pd (z1 <z < z0 ) = Pd(-1,15<z<0,20) = 0,3749 + 0,0793 = 0,454
Powiemy, e prawdopodobie stwo tego, e płace nie b d mniejsze o 812,27 zł (odchylenie standardowe) od
1950 zł ( rednia arytmetyczna) jest równe 0,454.
Ad 3) Post puj c zgodnie z odpowiedni procedur (patrz: [10] s. 91-93) wyznaczamy prawdopodobie stwo
tego, e płace nie b d wi ksze o jedno odchylenie standardowe od płacy wyznaczonej na poziomie redniej
arytmetycznej. Prawdopodobie stwo to wynosi:
Pg (a < y < a+ y) = Pg (z0 <z < z2 ) = Pg(0,2<z<1,07) = -0,0793 + 0,3577= 0,2784
Oznacza to, e prawdopodobie stwo tego, e płace nie b d wi ksze o 812,27 zł (odchylenie standardowe) od
1950 zł ( rednia arytmetyczna) jest równe 0,2784.
Obecnie precyzuj c interpretacj odchylenia standardowego z Ad 1) powiemy, e płace przeci tnie
odchylaj si od płacy redniej wynosz cej 1950 zł o około 812,7 zł, z prawdopodobie stwem Pd+Pg = 0,7324.
Ad 4) Przechodz c do wyznaczenia prawdopodobie stwa tego, e płace b d mniejsze od redniej
arytmetycznej wynosz cej a=1950 zł zauwa my, e:
P(0<y<a) = P1(0<y<g) + P2(g<y<a) = 0,5 + P2(g<y<a).
Obecnie logarytmuj c i standaryzuj c zmienne wyst puj ce w nawiasie przy P2 i post puj c zgodnie z procedur
wyznaczania prawdopodobie stwa dla standaryzowanych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym
otrzymujemy:
P2(lng<lny<lna) = P2[(lng-lng)/ lny)<(lny-lng)/ lny)<(lna-lng)/ lny)] = P2(0<z<z0) = 0 +0,0793 = 0,0793
Ostatecznie stwierdzamy, e:
P(0<y<a) = P1 + P2 = 0,5 + 0,0793 = 0,5793
Powiemy wi c, e w 58 przypadkach na 100 płace pracowników analizowanego sektora b d ni sze od ich
redniej arytmetycznej, tym samym w w 42 przypadkach na 100 płace pracowników analizowanego sektora b d
wy sze od ich redniej arytmetycznej (patrz: rys.5).
5. WZGL DNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
W RELACJI DO REDNIEJ ARYTMETYCZNEJ
Aby wyznaczy i poprawnie zinterpretowa wzgl dn miar rozproszenia zmiennej
losowej y w relacji do redniej arytmetycznej wykorzystajmy nierówno (38). Na jej
podstawie powiemy, e:
P(a − σ y < y < a + σ y ) = Pd (a − σ y < y < a ) + Pg (a < y < a + σ y ) .
Po podzieleniu stronami elementów zawartych w nawiasach przez wielko
arytmetycznej (a) otrzymujemy:
P (1 −
σy
a
<
σy
σy y
σy
y
y
<1+
) = Pd (1 −
),
< < 1) + Pg (1 < < 1 +
a
a
a
a
a
a
(45)
redniej
(46)
co równowa nie mo emy zapisa nast puj co:
P( −
σy
a
<
σy y
σy
σy
y
y
−1<
) = Pd ( −
).
< − 1 < 0) + Pg (0 < − 1 <
a
a
a
a
a
a
(47)
gdzie E(y/a) =1, tym samym E[(y-a)/a] = 0.
Zauwa my, e iloraz odchylenia standardowego i redniej arytmetycznej wyra ony w
postaci ułamkowej lub w procentach nazywany jest współczynnikiem zmienno ci losowej.
Jak pisz Kendall i Buckland (patrz.: [8] s. 270) został on po raz pierwszy zaproponowany
przez K. Pearsona w 1895 roku w celu porównania dyspersji rozkładów cz sto ci. Oznaczaj c
współczynnik zmienno ci losowej du liter V mamy:
V=
σy
a
11
.
(48)
Wykorzystuj c powy sz definicj wyra enie (47) zapiszemy nast puj co:
P( − V <
y−a
y−1
y−a
< V ) = Pd ( − V <
< 0) + Pg (0 <
< V)
a
a
a
(49)
gdzie, zgodnie z (38) Pd > Pg.
Na podstawie powy szego stwierdzamy, e w przypadku rozkładu logarytmicznonormalnego zmiennej losowej y:
• przeci tnie zmienna losowa y odchyla si od redniej arytmetycznej o (V 100)%,
• prawdopodobie stwo tego, i zmienna losowa przeci tnie odchyli si od redniej
arytmetycznej o -(V 100)% jest wi ksze od prawdopodobie stwo tego, e zmienna ta
przeci tnie odchyli si od redniej arytmetycznej o (V 100)%, co wynika z asymetrii
rozkładu zmiennej losowej y.
Przykład 5
Na podstawie danych z przykładu 1 i 2 oraz informacji z przykładu 4 obliczy i zinterpretowa
współczynnik zmienno ci losowej płac wzgl dem ich redniej arytmetycznej.
Z uwagi na fakt, e:
a = 1950,00 zł,
y= 812,27 zł,
otrzymujemy:
V=812,27/1950 =0,4165.
Powiemy wi c, ze przeci tnie płace pracowników analizowanego sektora odchylaj si od ich redniej
arytmetycznej wynosz cej 1950 zł o około 41,65%.
Celem doprecyzowania powy szej interpretacji, wykorzystuj c zapis (48) oraz informacje z przykładu 4
stwierdzamy, e:
Pd{-0,4165<[(y-1950)/1950]<0} = 0,454,
Pg{0<[(y-1950)/1950]<0,4165} = 0,2785,
P{-0,4165<[(y-1950)/1950]<0,4165} = 0,7324.
Oznacza to, e w 73,24 przypadkach na 100 płace nie b d ni sze lub wy sze o wi cej ni 41,65% od
ich redniej arytmetycznej. U ci laj c powiemy, e w 45,4 przypadkach na 100 płace nie b d ni sze od ich
redniej arytmetycznej o wi cej ni 41,65% i jednocze nie o t wielko nie b d wy sze od ich redniej
arytmetycznej w 27,85 przypadkach na 100. (patrz: rys. 5)
Podsumowuj c t cz
rozwa a powiemy, e jednakowemu rozproszeniu
absolutnemu i wzgl dnemu zmiennej losowej w relacji do redniej arytmetycznej
odpowiada wi ksze prawdopodobie stwo odchyle
ujemnych oraz mniejsze
prawdopodobie stwo odchyle dodatnich (patrz: rys.5).
5. DWA RÓWNOWA NE TWIERDZENIA DOTYCZ CE
ROZKŁADU LOGARYTMICZNO-NORMALNEGO
W dotychczas prowadzonych rozwa aniach warto oczekiwan (6) i wariancj
zmiennej y (9) wyra ali my w kategoriach warto ci oczekiwanej i wariancji logarytmu
zmiennej y. W sensie poznawczym za po yteczne nale y uzna odwrócenie sytuacji poprzez
wyra enie warto ci oczekiwanej oraz wariancji logarytmu zmiennej y w kategoriach warto ci
oczekiwanej zmiennej y. W tym celu, zgodnie z propozycj Teekens’a i Koerts’a (patrz:
[15]), wyra my (9) w nast puj cej postaci:
2 )2
( µ ln y + σ ln
y
σ 2y = e
2
σ
(e ln y − 1)
Wykorzystuj c (6) powy sze wyra enie zapiszemy nast puj co:
12
(50)
σ 2y
2
2 σ ln y
= µ y (e
2
2 σ ln y
− 1) = µ y e
− µ 2y
(51)
Przekształcaj c (51) otrzymujemy kolejno:
2
σ
µ 2y e ln y = σ 2y + µ 2y ,
e
σ ln y
=
σ 2y
µ 2y
+1,
i ostatecznie:
2
2
σ ln
y = E(ln y − E ln y ) = ln
σ 2y
µ 2y
+1 ,
(52)
co nale ało wykaza .
Z drugiej strony na podstawie (6) mamy:
µy
1 2
µ ln y 2 σ ln y
=e
e
.
(53)
Wprowadzaj c w powy szym wyra eniu w miejsce wariancji logarytmu zmiennej y
wariancj zdefiniowan w (52) otrzymujemy:
µy = e
2
1 ln σ y + 1
2
µ 2y
µ ln y
e
,
co logarytmuj c obustronnie daje:
ln µ y = µ ln y + 12 ln
σ 2y
µ 2y
+1
Przekształcaj c powy sze wyra enie, otrzymujemy ostatecznie2:
µ ln y = ln µ y −
1 ln
2
σ 2y
µ 2y
+1 .
(54)
Obecnie sformułowa mo emy dwa równowa ne wzgl dem siebie twierdzenia
dotycz ce rozkładu logarytmiczno-normalnego zmiennej losowej y. Przy pierwszym z nich
wykorzystamy zdefiniowania uj te w (2), (3), (6) oraz (9) i powiemy:
TWIERDZENIE 1. Je eli logarytm zmiennej losowej y ma rozkład normalny
Ν ( µ ln y ,σ ln2 y )
to zmienna y ma rozkład logarytmiczno-normalny
µ
+ 1σ 2
2µ
+σ 2
σ2
Λ [ e ln y 2 ln y , e ln y ln y ( e ln y − 1 )]
Z kolei wykorzystuj c (52) i (54) oraz ogólne zdefiniowanie warto ci oczekiwanej i
wariancji zmiennej losowej y powiemy:
TWIERDZENIE 2. Je eli zmienna losowa y ma rozkład logarytmiczno-normalny
2
Przedstawiony tutaj sposób przekształce , wynikaj cy z propozycji Teekens’a i Koerts’a [15], znajdzie
czytelnik w monografii [13] s. 18-19.
13
Λ( µ y , σ 2y )
to logarytm zmiennej losowej y ma rozkład normalny
Ν [ln µ y − 12 ln
σ 2y
µ 2y
+ 1 , ln
σ 2y
µ 2y
+1 ]
Alternatywny sposób zdefiniowania rozkładu logarytmiczno-normalnego sugeruje
mo liwo
alternatywnego wzgl dem (14) zdefiniowania zwi zku pomi dzy redni
arytmetyczn i geometryczn . W tym celu zdelogarytmujmy stronami wyra enie (54), w
wyniku czego otrzymujemy:
µ
ln µ
e ln y = e y e
−
2
1 σy
+1
2 µ2
y
(55)
Zauwa my, ze wyra enie z lewej strony równania jest rednia geometryczna zmiennej y,
natomiast y=exp(ln y) jest redni arytmetyczn (a). W konsekwencji tego otrzymujemy:
g=
a
σ 2y
a2
(56)
−1
Po prostym przekształceniu (56), alternatywny wzgl dem (14) zwi zek funkcyjny pomi dzy
redni geometryczn i arytmetyczn , przedstawia si nast puj co:
g=
a2
σ 2y + a 2
(57)
Przykład 6
Niech płace miesi czne (y) pracowników pewnego sektora gospodarczego charakteryzuj si rozkładem
oczekiwana ( rednia
logarytmiczno-normalnym. Płace wyra one s w złotych. Załó my, e warto
arytmetyczna) i odchylenie standardowe płac równaj si odpowiednio:
a = y = 1950 zł,
y = 812,27 zł.
Okre li : 1) median ( redni geometryczn ) płac 2) wzgl dne rozproszenie płac wokół redniej geometrycznej.
Na wst pie zauwa my, e w omawianym przypadku mamy:
a2 = 19502 = 3 802 500
2
2
y = 812,27 = 659 782,55
Ad 1) Na podstawie (57) otrzymujemy:
g=
3 802 500
659 722,52 + 3 802 500
= 1800 zł,
co jest zgodne z zało eniami do przykładu 1.
Ad 2) Wariancj logarytmu zmiennej y wzgl dem logarytmu zmiennej geometrycznej obliczymy w warunkach
alternatywnych na podstawie (52). W rezultacie otrzymujemy:
2
σ ln
y = ln
659 782,55
+ 1 = 0,16 ,
3 802 500
co znajduje potwierdzenie w danych do przykładu 1.
Oczywi cie odchylenie standardowej logarytmu zmiennej y jest równe: lny=0,4. Na jego podstawie obliczymy
przeci tne w sensie standardowym, wzgl dne rozproszenie zmiennej y w stosunku do redniej geometrycznej
(mediany) płac. Zgodnie z (19) i (20) mamy:
vd = exp(-0,4) = 0,67
vd = exp(0,4) = 1,4918
Obecnie tak jak w przykładzie 2 powiemy, e w sensie standardowym przeci tny udział płac w ich redniej
geometrycznej (medianie) waha si w granicach od 0,67 do 1,49, czyli płace przeci tnie odchylaj si od
ich redniej geometryczne (mediany) w przedziale od –33% do 49%. Rozpatrywany przykład unaocznia
równowa no Twierdzenia 1 i 2 (patrz: rys. 5).
14
f(y)
-g vd
g vg
-g v2d
500
1000
Dy
1500
g v2g
My Ey
2000
2500
3000
3500
4000
4500
y
Rys. 5 Pogl dowy rysunek funkcji g sto ci rozkładu logarytmiczno-normalnego płac
w rozpatrywanym przykładzie, gdzie:
µ
rednia geometryczna (mediana) płac: My = g = e ln y = e 7 ,49554 = 1800 zł ,
rednia arytmetyczna (warto oczekiwana) płac:
Ey = a = g e
2
0,5⋅σ ln
y
= 1800e 0,15⋅0,16 = 1950 zł,
µ ln y − σ 2
ln y
warto dominuj ca (dominanta) płac: Dy = e
= 1800e − 0,16 = 1533,9 zł,
odchylenie standardowe logarytmu płac: lny = 0,4
miary rozproszenia wzgl dnego i absolutnego płac:
A) vd = e- = e-0,4 =0,67; vg = e = e0,4 = 1,49
g·vd = 1800·0,67 = 1206 zł, g·vg = 1800·1,49 = 2682 zł
P(1206 zł < y < 2682 zł) = 0,6826
B) v2d = e-2 = e-0,8 = 0,449, v2g = e2 = e0,8 = 2,225
g·v2d = 1800·0,449 = 808 zł, g·v2g = 1800·2,225 = 4005 zł.
P(808 zł < y < 4005 zł) = 0,9545
Ko cz c t cz
rozwa a zauwa my, e mimo równowa no ci Twierdzenia 1 i 2
uzna nale y Twierdzenie 2 za pochodne wzgl dem Twierdzenia 1. wiadczy o tym sposób
dochodzenia do Twierdzenia 2, wynikaj cy z przekształce parametrów rozkładu normalnego
logarytmu zmiennej losowej y.
7. PARAMETRY ROZKŁADU RELACJI ZMIENNEJ LOSOWEJ
DO JEJ REDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I GEOMETRYCZNEJ
- KRÓTKIE WPROWADZENIE DO MODELI MULTIPLIKATYWNYCH
Rozpatrywany rozkład logarytmiczno-normalny w naturalny sposób zwi zany jest z
modelami multiplikatywnymi. Aby to wyja ni załó my, e zmienna v wyra a stosunek
pewnej, przyjmuj cej jedynie warto ci dodatnie, zmiennej losowej y do pewnego dodatniego,
nielosowego parametru :
v=
y
0.
µ
15
(58)
Oznacza to, e
y =µ⋅v.
Je li obecnie zało ymy, i warto
(59)
oczekiwana zmiennej losowej v jest równa jeden, tzn.:
wówczas stwierdzamy, e
µ v = Ev = 1 ,
(60)
Ey = µ ⋅ Ev = µ = a .
(61)
Oznacza to, e wtedy gdy spełniony jest warunek w my l którego Ev=1, to parametr w
równaniu (59) jest redni arytmetyczn zmiennej losowej y, co zasygnalizowano za
pomoc symbolu a, zgodnie z wcze niej przyj t umow . Jednocze nie zmienna losowa v
wyra a sob stosunek zmiennej losowej y do jej redniej arytmetycznej zgodnie z (58).
Po zlogarytmowaniu stronami równania (59) otrzymujemy:
ln y = ln µ + u
gdzie:
u = ln v .
(62)
(63)
Zauwa my, e je li zmienna u ma rozkład normalny to zmienna v ma rozkład
logarytmiczno-normalny. Je li obecnie zało ymy, e warto oczekiwana u jest równa zero,
tzn.:
µ u = Eu = 0 ,
(64)
wówczas stwierdzamy, e
E ln y = E ln µ + Eu = ln µ .
(65)
Poniewa warto oczekiwana logarytmu zmiennej y jest równa logarytmowi parametru ,
wi c parametr jest redni geometryczn zmiennej y, jako e
e ln y = e ln µ = µ = g
(66)
Oznacza to, e wtedy gdy spełniony jest warunek w my l którego Eu=lnv=0, to parametr
w równaniu (59) jest redni geometryczn zmiennej losowej y, co zasygnalizowano za
pomoc symbolu g, zgodnie z wcze niej przyj t umow . Jednocze nie zmienna losowa v
wyra a sob stosunek zmiennej losowej y do jej redniej geometrycznej zgodnie z (58)3.
Obecnie na bazie dwu wcze niej sformułowanych alternatywnych twierdze ,
sformułowa mo emy dwa nast pne dotycz ce zwi zków pomi dzy parametrami rozkładu
zmiennych losowych u i v.
TWIERDZENIE 3. Je eli w warunkach (63) zmienna losowa u ma rozkład normalny
Ν ( 0 , σ u2 ) ,
to v jest zmienn losow o rozkładzie logarytmiczno-normalnym
1
σ2
2
2
Λ [ e 2 u , e σ u ( e σ u − 1 )]
TWIERDZENIE 44. Je eli w warunkach (63) zmienna v jest zmienna losow o rozkładzie
logarytmiczno-normalnym
Λ( 1, σ v2 )
3
Przedstawione tutaj zało enia i wypływaj ce z nich wnioski stanowiły podstaw rozwa a dotycz cych modeli
multiplikatywnych w artykułach [2], [12] i monografii [13].
4
Twierdzenie to stanowiło podstaw do poszukiwa nieobci onego estymatora dla składnika systematycznego
w modelu multiplikatywnym w przypadku gdy składnik ten wyznacza warunkowe rednie arytmetyczne
zmiennej obja nianej (por: [3], [6], [7] i [15]).
16
to u jest zmienn losow o rozkładzie normalnym
Ν [ − 21 ln σ v2 + 1 , ln σ v2 + 1 ]
(
) (
)
Podsumowuj c zauwa my, e parametr mo e by uznany za warunkow redni
arytmetyczn lub geometryczn zmiennej losowej y w sytuacji, gdy rednia arytmetyczna a,
tym samym rednia geometryczna tej zmiennej, ulega b dzie zmianie pod wpływem
czynników nielosowych. Zmiana bowiem warunkowej redniej geometrycznej zmiennej y,
charakteryzuj cej si rozkładem logarytmiczno-normalnym, gwarantuje ci le okre lone
zmiany warunkowej redniej arytmetycznej i odwrotnie, zmiana warunkowej redniej
arytmetycznej zmiennej y gwarantuje ci le okre lone zmiany warunkowej redniej
geometrycznej. O tym, czy parametr
ma by warunkow redni arytmetyczn lub
geometryczn decydujemy przyjmuj c okre lone zało enia dotycz ce parametrów rozkładu
zmiennej losowej v a tym samym zmiennej u. Nale y podkre li z cał moc , e zmienna
losowa y, je li charakteryzuje si rozkładem logarytmiczno-normalnym, ma ci le okre lone
parametry rozkładu, takie jak rednia arytmetyczna (warto
oczekiwana), rednia
geometryczna (mediana), dominanta, wariancja zmiennej y lub wariancja logarytmu zmiennej
y. Tym samym korzystanie z twierdzenia 3 lub 4 w niczym nie narusza charakterystyki
rozkładu zmiennej losowej y. Decyduje jedynie o wyborze parametru odniesienia w stosunku
do innych parametrów rozkładu zmiennej y, a tym samym o sposobie zapisu wszystkich
pozostałych parametrów rozkładu zmiennej y. Parametry te bowiem mo emy zapisywa w
kategoriach zmiennej y lub jej logarytmu a tym samym w kategoriach zmiennej u lub v.
WNIOSKI KO COWE
W artykule wykazano, e w przypadku, gdy zmienna losowa y ma rozkład
logarytmiczno-normalny N( lny, 2lny) to:
• parametry vd=exp(- lny) i vg=exp( lny) wyznaczaj przedział dla przeci tnego w sensie
standardowym, wzgl dnego rozproszenia zmiennej y w stosunku do jej redniej
geometrycznej g=exp( lny),
• parametry g·vd do g·vg wyznaczaj przedział dla przeci tnego w sensie standardowym,
absolutnego rozproszenia zmiennej y wzgl dem jej redniej geometrycznej.
Stwierdzono:
• dla przypadku redniej geometrycznej zmiennej losowej y, i jednakowemu
prawdopodobie stwu realizacji zdarze odpowiada, co do warto ci bezwzgl dnej,
mniejszy przedział dolny i wi kszy przedział górny odchyle zmiennej y od jej redniej
geometrycznej (mediany).
• dla przypadku redniej arytmetycznej zmiennej losowej y, i jednakowemu rozproszeniu
absolutnemu i wzgl dnemu zmiennej losowej y w relacji do redniej arytmetycznej
odpowiada wi ksze prawdopodobie stwo odchyle
ujemnych oraz mniejsze
prawdopodobie stwo odchyle dodatnich.
Na podstawie przeprowadzonej analizy dotycz cej rodzajów miar dyspersji
wnioskujemy, e:
• miar wzgl dnego rozproszenia zmiennej losowej uzna mo na za naturaln miar
rozproszenia zmiennej losowej w relacji do redniej geometrycznej; natomiast miar
absolutnego rozproszenia zmiennej losowej wzgl dem redniej geometrycznej uzna
nale y za miar pochodn wzgl dem miary rozproszenia wzgl dnego.
• miar absolutnego rozproszenia zmiennej losowej uzna mo na za naturaln miar
rozproszenia zmiennej losowej w relacji do redniej arytmetycznej; natomiast miar
wzgl dnego rozproszenia zmiennej losowej wzgl dem redniej arytmetycznej uzna
nale y za miar pochodn wzgl dem miary rozproszenia absolutnego.
17
Wykazano ponadto, e w zakresie zwi zków pomi dzy redni arytmetyczn (a) i
geometryczn (g) zmiennej losowej y o rozkładzie logarytmiczno-normalnym, funkcja:
g=a2( 2y+a2)-(1/2) jest równowa na funkcji: g=a·exp[(1/2) 2lny], gdzie parametr 2y jest
wariancj zmiennej losowej y, natomiast parametr 2lny jest wariancj logarytmu zmiennej
losowej y.
LITERATURA
[1] Aitchison J., Brown A., The Lognormal Distribution, Cambridge University Press, Cambidge 1957.
[2] Bołt T.W., Ossowski J., Prognozowanie na podstawie modeli logarytmiczno-liniowych, Przegl d
Statystyczny 1992, z. 3-4 s.327-340.
[3] Bradu D., Mundlak Y., Estimation in Lognormal Linear Models, Journal of the American Staistical
Association, 1970 nr 65, s.198-211.
[4] Bronsztejn J.N., Siemiendiajew K.A., Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa 1976
[5] Goldberger A.S., Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa 1972.
[6] Golberger A.S., The Interpretation and Estimation of Cobb-Douglas Functions, Econometrica, 1968 nr 35,
s. 464-472.
[7] Heien D.M.: Not on Log-linear Regression, Journal on the American Statistical Associacion, 1968 nr 63,
s.1034-1038
[8] Kendall M. Bucland W.R., Słownik terminów statystycznych, PWE, Warszawa 1975.
[9] Klein L.R., Wst p do ekonometrii, PWE, Warszawa 1965.
[10] Kmenta J.: Elements of Econometrics, Second Edition, Macmillan Publishing Company, New York 1990.
[11] Murti V.N., Sastry V.K., Production Functions for Indian Industry, Economerica, 1957 nr 25, s. 205-221.
[12] Ossowski J., Własno ci interpretacyjne składnika losowego w modelu multiplikatywnym, Przegl d
Statystyczny 1988, z.2, s.131-142.
[13] Ossowski J., Modele klasy logarytmiczno-liniowej w analizie efektywno ci procesu produkcji,
Wydawnictwo Uniwersytetu Gda skiego, Gda sk 1989, Zeszyty Naukowe, Rozprawy i Monografie 130.
[14] Pawłowski Z., Wst p do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1969.
[15] Teekens R., Koerts J.., Some Statistical Implications of the Log Transformations of Multiplicative Models,
Econometrica, 1972 nr 5 , s. 793-819.
[16] Theil H., Zasady ekonometrii, PWN, Warszawa 1979
18