Wyboczenie - Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w

E
RS
Y
G
IC
Z
NY
ZA
N I OPOM O
OD
R
H
C
I
SK
W
UNI
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET
TECHNOLOGICZNY
w Szczecinie
KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych
z metody elementów skończonych
Ćwiczenie nr 11
Wyboczenie
Opracował:
Dr inż. Mariusz Leus
Szczecin 2012
TE
T T ECHNO
LO
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie siły krytycznej Pk powodującej utratę stateczności
pręta o dużej smukłości ściskanego siłą osiową i zbadanie wpływu różnych sposobów
zamocowania końców pręta na wartość siły krytycznej. Wyznaczone wartości siły
krytycznej należy porównać z wartościami obliczonymi ze wzoru Eulera.
Opis zadania
Przedmiotem obliczeń jest pręt AB obciążony siłą osiową P jak pokazano na
zamieszczonym rysunku. Obliczenia siły krytycznej Pk powodującej utratę stateczności
pręta wykonać dla czterech podstawowych sposobów zamocowania końców pręta.
Rys. 1. Schemat modelu pręta – podstawowe przypadki zamocowania
końców pręta ściskanego siłą osiową P
Dane do obliczeń:
b = 0.02 m, h = 0.03 m, l = 1 m, P = 1 N
Pręt wykonany jest ze stali konstrukcyjnej o module Younga E = 2.1·105 N/mm2
i współczynniku Poissona ν = 0.28.
KOLEJNE ETAPY ROZWIĄZYWANIA ZADANIA
I. Wyznaczenie wartości siły krytycznej ze wzoru Eulera
Do wyznaczenia siły krytycznej Pk przyjmujemy wzór Eulera:
π 2 ⋅ E ⋅ J min
Pk =
(µ ⋅ l )2
gdzie:
E – moduł Young’a ,
J – moment bezwładności przekroju,
L – długość pręta,
µ – współczynnik zależny od zamocowania końców pręta.
Minimalny moment bezwładności Jmin przekroju wyznaczamy ze wzoru:
h ⋅ b3 30 ⋅ 203
J min =
=
= 20000 mm 4
12
12
Wyznaczamy wartości siły krytycznej Pk dla poszczególnych wartości µ:
µ =2
⇒
Pk =
µ =1
⇒
Pk =
µ = 0 .7
⇒
Pk =
µ = 0 .5
⇒
Pk =
π 2 ⋅ 2.1 ⋅ 105 ⋅ 20000
(2 ⋅1000)2
π 2 ⋅ 2.1 ⋅ 105 ⋅ 20000
(1 ⋅1000 )2
π 2 ⋅ 2.1 ⋅ 105 ⋅ 20000
(0.7 ⋅1000)2
π 2 ⋅ 2.1 ⋅10 5 ⋅ 20000
(0.5 ⋅1000 )2
= 10363.08 N
= 41452.34 N
= 84596.61 N
= 165809.35 N
Otrzymane wartości siły krytycznej należy porównać z wartościami obliczonymi w
Nastranie FX.
II. Wyznaczenie wartości siły krytycznej w Nastranie FX
Przygotowanie modelu do obliczeń
Ustalenie parametrów początkowych
1. Rozpoczynamy nowy projekt, wybierając w Głównym Menu: File → New. W okienku
Analysis Setting zaznaczamy typ modelu (3D/General) oraz wybieramy system jednostek
(N, m, J, sek.).
Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK.
2. Projekt zapisujemy pod nazwą: Wyboczenie u2.fnb, wybierając w Głównym Menu: File
→ Save As....
Określenie materiału
1. Definiujemy rodzaj materiału. W tym celu w drzewku Model – Works wybieramy
Material, a następnie za pomocą prawego przycisku myszy (PPM) – Add → Isotropic….
W okienku Create/Modify Isotropic Material wybieramy przycisk DB. W kolejnym
okienku – Material DB – definiujemy rodzaj materiału, jako stal stopową (Alloy Steel).
Wybór zatwierdzamy naciskając przycisk Close w aktualnie otwartym okienku i klawisz
OK – w poprzednim.
Określenie własności modelu
1. Definiujemy ogólne właściwości modelu. W tym celu w drzewku Model –Works
wybieramy Property, a następnie za pomocą PPM – Add → 1D....
2. W okienku Create/Modify 1D Property, w zakładce Beam: wybieramy zdefiniowany
wcześniej rodzaj materiału (1: Alloy Steel) oraz klikamy na klawisz Section
(PBEAML).... W kolejnym okienku – Section Temlate – definiujemy wartość szerokości b
i wysokości h przekroju poprzecznego. Po wyborze rodzaju materiału i zdefiniowaniu
przekroju automatycznie uzupełnione zostaną wartości: przekroju poprzecznego (Cross
Sectional Area), momentów bezwładności przekroju (Area Moment of Inertia) oraz
sztywności geometrycznej przekroju (Torsional Constant).
Wybór zatwierdzamy dwukrotnie naciskając przyciski OK.
Tworzenie geometrii modelu
1. Definiujemy punkty geometrii pręta. Wybierając w Głównym Menu: Geometry →
Point → Create..., wywołujemy okienko Create Point, w którym definiujemy
współrzędne punktów geometrii modelu pręta: A (0, 0, 0), B (0, 1, 0).
Tworząc kolejne punkty należy pamiętać o podaniu ich nazwy (w tym przypadku
odpowiednio: „A”, „B”). Zatwierdzenie współrzędnych danego punktu następuje przez
kliknięcie na klawisz Apply. Proces tworzenia wszystkich punktów kończymy naciskając
przycisk OK. Na rys. 2a przedstawiono widok ogólny utworzonych w podany sposób
punktów geometrii modelu belki.
2. Analogicznie tworzymy linie łączącą zdefiniowane wyżej punkty. Wybierając w
Głównym Menu: Geometry → Curve → Create 3D → Line..., wywołujemy okienko 3D
Line, w którym definiujemy linię przez wskazanie punktów A i B. Widok ogólny modelu
fizycznego pręta pokazano na rys. 2b.
Rys. 2. Proces tworzenia modelu fizycznego pręta:
a) punkty geometrii, b) linia łącząca punkty geometrii
Tworzenie elementów skończonych
1. Tworzymy podział linii na belkowe elementy skończone. Wybierając w Głównym
Menu: Mesh → 1D Mesh → Auto Mesh Edge..., wywołujemy okienko Auto-Mesh Edge,
w którym mamy możliwość wyboru linii oraz sposobu podziału linii na elementy belkowe.
Definiując liczbę elementów belkowych, wykorzystujemy jeden z czterech sposobów
podziału linii (Seeding Method), polegających na wskazaniu liczby elementów na linii
(Number of Divisions). Zaznaczamy utworzona przez nas linię i podajemy NoD = 10.
2. W celu wyświetlenia punktów węzłowych, w drzewku Model – Works wybieramy Mesh
→ Mesh Set → Auto-Mesh(Edge), a następnie za pomocą PPM – Display → Node.
Siatkę elementów skończonych dla pręta pokazano na rys. 3.
Rys. 3. Siatka elementów skończonych
Utwierdzanie preta
1. Utwierdzamy węzeł pręta w punkcie A. W tym celu w drzewku Analysis – Works
wybieramy Boundary Condition, a następnie za pomocą PPM – Add → Constraints ….
2. Zamocowanie w punkcie A jest utwierdzeniem całkowitym – zatem należy zablokować
możliwość przemieszczania się i obrotów względem osi x, y i z. Po otwarciu okna
Constraint nadajemy nazwę „P_A”, wskazujemy odpowiedni węzeł, blokujemy podane
przemieszczenia i rotacje (naciskając przycisk Fixed), a następnie zatwierdzamy przez
kliknięcie na klawisz OK.
Obciążenie pręta
1. Definiujemy obciążenie pręta siłą skupioną P.
Wybierając w Głównym Menu: Analysis → Static Load → Force..., wywołujemy
okienko Force, w którym mamy możliwość zdefiniowania siły skupionej.
Po otwarciu okna Force podajemy nazwę „P”, wskazujemy węzeł który odpowiada
punktowi B i wstawiamy wartość siły działającej w osi Y w dół (F2 = -1 N).
Wprowadzone dane zatwierdzamy przez kliknięcie na klawisz OK.
Uruchomienie obliczeń
1. Definiujemy typ analizy. W Głównym Menu wybieramy: Analysis → Analysis Case....
W okienku Analysis Case Manager naciskamy na przycisk Add….
2. W kolejnym okienku – Add/Modify Analysis Case – wpisujemy nazwę przypadku
analizy (Title = Wyboczenie u2) oraz określamy rodzaj analizy (Solution Type = Linear
Buckling (105)).
Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK w aktualnie otwartym okienku i na klawisz
Close – w oknie Analysis Case Manager.
3. Uruchamiamy obliczenia. W tym celu w drzewku Analysis – Works wybieramy
Analysis Case → Wyboczenie u2: Linear Buckling (105), a następnie za pomocą PPM –
Solve….
W okienku Solver Manager zaznaczamy zdefiniowany wcześniej typ analizy oraz
naciskamy na przycisk OK.
Prezentacja graficzna wyników
Wartość siły krytycznej
1. W celu odczytania wyznaczonej wartości siły krytycznej Pk przechodzimy do drzewka
Results. W drzewku tym zostały wyświetlone kolejno wyznaczone wartości współczynnika
proporcjonalności EIGV, który mówi o ile siła krytyczna jest większa od siły P
przyłożonej do pręta.
W naszym przypadku P =1 N, a wyznaczona wartość EIGN =10360.53 stąd siła
krytyczna wynosi Pk = 10360.53 N. Pozostałe (większe) wartości współczynnika EIGN są
pozbawione istotnego znaczenia praktycznego, trzeba bowiem pamiętać, że siła
obciążająca już przy minimalnej wartości krytycznej (w tym przypadku Pk = 10360.53 N)
spowoduje wyboczenie.
Otrzymany wynik należy porównać z wynikiem wyznaczonym analitycznie.
Odkształcenie pręta
1. W celu graficznej wizualizacji odkształcenia preta zmieniamy widok na Isometric 2
klikając na ikonkę
. Należy również wyłączyć wyświetlanie punktów węzłowych (te
same czynności jak przy włączaniu, przy czyn teraz należy odznaczyć pozycje Node).
Następnie w drzewku Results wybieramy MODE 1 → Displacement i dwukrotnie
klikamy na TOTAL TRANSLATION.
2. W celu wyświetlenia sekcji pręta, w drzewku Model – Works wybieramy Property →
1D → 1D Property (Beam), a następnie za pomocą PPM – Show Section.
3. W celu włączenia animacji należy z Paska narzędzi wybrać komendę Post Style a
następnie Animation Recording.
Powinno się pojawić pod ekranem z naszymi wynikami menu do uruchamiania animacji –
włączenie animacji następuje poprzez wciśnięcie ikony szpulowego magnetofonu –
Record Button.
Wyznaczenie wartości siły krytycznej dla pozostałych przypadków
zamocowania pręta
W kolejnym kroku należy przeprowadzić podobne obliczenia dla pręta, dla którego
µ = 1, µ = 0.7 i µ = 0.5. W tym celu będziemy modyfikować podpory w punkcie A i B.
Dla µ = 1:
Podpora P_A (punk A)
Zablokować : T1, T2, T3
Podpora P_B (punk B)
Zablokować : T1, T3
Otrzymany wynik: siła krytyczna Pk = 41412.05 N
Dla µ = 0.7:
Podpora P_A (punk A)
Zablokować : T1, T2, T3, R1, R2, R3
Podpora P_B (punk B)
Zablokować : T1, T3
Otrzymany wynik: siła krytyczna Pk = 84618.77 N
Dla µ = 0.5:
Podpora P_A (punk A)
Zablokować : T1, T2, T3, R1, R2, R3
Podpora P_B (punk B)
Zablokować : T1, T3, R1, R2, R3
Otrzymany wynik: siła krytyczna Pk = 165201.59 N
III. Porównanie wyników obliczeń
Siła krytyczna Pk [N]
µ=2
µ=1
µ = 0.7
µ = 0.5
Metoda
analityczna
10363.08
41452.34
84596.61
165809.35
Nastran FX
10360.53
41412.05
84618.77
165201.59
Błąd [%]
0.025
0.097
0.026
0.367