ZARYS ŚLIMAKA TORUSOPOCHODNEGO KSZTAŁTOWANEGO

KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN – ODDZIAŁ W POZNANIU
Vol. 28 nr 2
Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji
2008
LESZEK SKOCZYLAS∗
ZARYS ŚLIMAKA TORUSOPOCHODNEGO
KSZTAŁTOWANEGO NARZĘDZIEM TRZPIENIOWYM
W artykule przedstawiono matematyczny opis śrubowej powierzchni bocznej torusopochodnego ślimaka kształtowanego narzędziem trzpieniowym. W modelu opisującym powierzchnię
śrubową uwzględniono możliwość ustawienia narzędzia trzpieniowego w dowolnym przekroju
podłużnym ślimaka. Przedstawiono kilka przykładów zarysu zęba obliczonych dla wybranych
parametrów ślimaka i narzędzia.
Słowa kluczowe: przekładnie ślimakowe, ślimak torusopochodny
1. WSTĘP
Duża różnorodność zarysów zwoju ślimaka w przekładniach ślimakowych
stwarza możliwości poszukiwań kształtu zarysu, przy którym przekładnia miałaby jak najlepsze parametry eksploatacyjne. Jak pokazują badania [3], przekładnie ślimakowe ze ślimakiem o kołowo-wklęsłym zarysie zwoju charakteryzują
się większą sprawnością i nośnością w porównaniu z zarysami prostoliniowymi
i wypukłymi ślimaka. W praktyce jednakże głównie wytwarzane są przekładnie
z łatwym do wykonania wypukłym zarysem ślimaka (ewolwentowym oraz stożkopochodnym kształtowanym narzędziem krążkowym). Ślimaki ewolwentowe
nie tylko są łatwe do wykonania, ale są również proste w opisie matematycznym. Sytuacja wygląda odmiennie w przypadku ślimaków stożkopochodnych,
których matematyczny opis charakteryzują skomplikowane zależności. Współczesny rozwój techniki komputerowej pozwala na przełamanie bariery obliczeniowej i analizę nieliniowego zarysu ślimaka, a także na analizę geometrii jego
zazębienia ze ślimacznicą [2–8]. Przeglądając literaturę, można zauważyć ograniczoną liczbę modeli opisujących geometrię ślimaka, którego powierzchnia
boczna zwoju definiowana jest za pomocą znamionowego zarysu narzędzia użytego do ich wykonania. Opracowania dotyczą głównie ślimaków stożkopochodnych kształtowanych narzędziem krążkowym [1, 2, 4, 5, 9]. Narzędzia z nieli∗
Dr inż. – Katedra Technologii Maszyn i Organizacji Produkcji Politechniki Rzeszowskiej.
130
L. Skoczylas
niowym zarysem praktycznie nie są rozważane. Jednym z takich zarysów jest
zarys kołowo-łukowy pozwalający na uzyskanie nieliniowego wklęsłego zarysu
ślimaka (torusopochodnego). Niniejsze opracowanie stanowi kontynuację zagadnień dotyczących opisu powierzchni bocznej zwoju ślimaka. Przedstawiono
w nim zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym.
2. MATEMATYCZNY OPIS POWIERZCHNI ZWOJU ŚLIMAKA
Śrubowa powierzchnia boczna zwoju ślimaka torusopochodnego definiowana
jest za pomocą znamionowego kołowego zarysu narzędzia użytego do jego
ukształtowania. Powstaje ona w wyniku
względnego ruchu obrotowego i postępowego
narzędzia względem ślimaka. Dlatego punktem
wyjścia do określenia zarysu ślimaka jest znajomość geometrii narzędzia. Parametry opisujące geometrię narzędzia przedstawiono na rys. 1.
Podstawowymi parametrami narzędzia (rys. 1)
są średnica podziałowa narzędzia dN, znamionowy kąt zarysu narzędzia αN określany na
średnicy podziałowej oraz promień krzywizny
zarysu narzędzia R. Przy takich założeniach
znamionowy kąt zarysu narzędzia narzuca położenie punktu zaczepienia promienia krzywizny R, którego odległość od średnicy znamionowej
Rys. 1. Parametry narzędzia
Fig. 1. Tool parameters
x0 = R sin α N .
(1)
Korzystając z rys. 1, parametryczne równanie
powierzchni narzędzia można zapisać następująco:
x N = R(sin α N − sin υ ),
⎛d
⎞
y N = ⎜ N + R (cosυ − cos α N )⎟ cos ξ ,
⎝ 2
⎠
⎛ dN
⎞
+ R (cos υ − cos α N )⎟ sin ξ .
zN = ⎜
⎝ 2
⎠
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
W równaniu ξ i υ oznaczają parametry powierzchni narzędzia.
Kinematykę kształtowania ślimaka przedstawiono na rys. 2.
(2)
Zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym
131
Rys. 2. Układ kinematyczny kształtowania zarysu zwoju ślimaka
Fig. 2. Kinematic system of worm tooth profile shaping
Przygotowując matematyczny model zarysu ślimaka, założono, że narzędzie
odsunięte jest od osi ślimaka o wartość aN (rys. 2) odpowiadającą promieniowi
podziałowemu ślimaka i na tym
promieniu określana jest średnica
i kąt znamionowy narzędzia. Dodatkowo założono, że narzędzie ma
możliwość wychylenia o kąt ϕN wokół osi zN układu narzędzia. Takie
wychylenie odpowiada ustawieniu
narzędzia w dowolnym przekroju
ślimaka poza przekrojem osiowym.
Przedstawiono to na rys. 3. W trakcie
kształtowania ślimaka pomiędzy nim
a narzędziem występuje liniowy
styk, który zarazem określa jedną
z tworzących śrubowej powierzchni
ślimaka. Drugą tworzącą jest linia
Rys. 3. Wychylenie narzędzia względem ślimaka
śrubowa ślimaka. Aby opisać poFig. 3. Tilt of tool relative to worm
wierzchnię zwoju ślimaka, należy
określić równanie opisujące linię styku pomiędzy narzędziem a ślimakiem.
Spełnia ona podstawowy warunek zazębienia:
nxt x + n y t y + nz t z = 0 ,
(3)
132
L. Skoczylas
gdzie nx, ny, nz przedstawiają składowe wektora normalnego do powierzchni, a tx,
ty, tz składowe wektora stycznego. Składowe wektora normalnego obliczane są
na podstawie znanej powierzchnię, którą w tym przypadku jest powierzchnia
narzędzia. Wykorzystując twierdzenie o normalnych do powierzchni, końcowe
zależności opisujące składowe wektora normalnego przedstawia się następująco:
nx = − R 2 cosυ sin υ ,
n y = R cos υ cos ξ ,
nz = R 2 cos 2 υ sin ξ .
2
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(4)
Wektorem stycznym może być prędkość względna narzędzia i ślimaka wynikająca z kinematyki kształtowania. Jej składowe wyliczone na podstawie rys. 2 i 3
mają następującą postać:
p
⎛
⎞
Vx = ω sin ϕ N ⎜ a N cos γ + z sin γ ⎟,
2π
⎝
⎠
pz
⎛
⎞
sin γ ⎟,
V y = ω cos ϕ N ⎜ a N cos γ +
2π
⎠
⎝
pz
⎛
⎞
cos γ ⎟.
Vz = ω ⎜ − a N sin γ +
2π
⎝
⎠
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(5)
Składowe prędkości zależą od prędkości kątowej ślimaka ω, skoku pz oraz kąta
wzniosu linii śrubowej zęba ślimaka γ i odległości układów współrzędnych aN.
Obliczając iloczyn skalarny wektorów normalnego i stycznego (3), po przekształceniach uzyskuje się następującą zależność:
p
⎛
⎞
⎜ a N sin γ − z cos γ ⎟
2π
⎠ − cos υ cos ξ cos ϕ + sin υ sin ϕ = 0.
cos υ sin ξ ⎝
N
N
p
⎛
⎞
⎜ a N cos γ + z sin γ ⎟
2π
⎝
⎠
(6)
Otrzymana zależność (6) pozwala na wyliczenie parametru ξ powierzchni narzędzia. Po podstawieniu wyliczonego parametru do równania (2) otrzymuje się
współrzędne linii styku narzędzia z kształtowanym ślimakiem. Celem uzyskania
powierzchni śrubowej ślimaka należy obrócić obliczoną uprzednio linię styku
oraz przesunąć wzdłuż linii śrubowej ślimaka. Należy również zauważyć, że
wyliczona linia styku jest określona w układzie xNyNzN, wobec czego należy
uwzględnić powiązanie układów narzędzia i ślimaka. Jako układ pośredniczący
przyjęto układ stały x0y0z0.
Układ narzędzia xNyNzN jest skręcony w stosunku do układu stałego x0y0z0
o kąt pochylenia narzędzia ϕN . Wobec tego macierz przejścia jest następująca:
Zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym
⎡cosϕ N
⎢ sin ϕ
N
⎢
⎢⎣ 0
− sin ϕ N
cos ϕ N
0
0⎤
0⎥⎥ .
1⎥⎦
133
(7)
Dodatkowo układ narzędzia jest skręcony o kąt γ oraz odsunięty o wartość aN od
układu stałego, co można zapisać za pomocą następującej macierzy:
0
⎡1
⎢0 cos γ
⎢
⎢⎣0 sin γ
0 ⎤ ⎡a N ⎤
− sin γ ⎥⎥ + ⎢⎢ 0 ⎥⎥ .
cos γ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
(8)
Z kolei układ ślimaka x2y2z2 jest skręcony o kąt ψ oraz przesunięty w stosunku
do układu stałego x0y0z0 o wartość (pzψ/(2π)). Opisuje to macierz:
⎡ cosψ
⎢− sinψ
⎢
⎢⎣ 0
sinψ
cosψ
0
⎡
0⎤ ⎢
0⎥⎥ + ⎢
⎢
1⎥⎦ ⎢−
⎣
⎤
⎥
0 ⎥.
p zψ ⎥
⎥
2π ⎦
0
(9)
Uwzględniając macierze przejścia, końcową zależność opisującą współrzędne
torusopochodnej powierzchni śrubowej ślimaka można zapisać:
⎫
x = (cosψ cos ϕ N + sinψ cos γ sin ϕ N )(xo − R sin υ ) + (sinψ cos γ cos ϕ N − cosψ sin ϕ N ) × ⎪⎪
⎪
⎛b
⎞
⎛b
⎞
× ⎜ N − R cos α N + R cosυ ⎟ cos ξ + (− sinψ )⎜ N − R cos α N − R cosυ ⎟ sin ξ sin γ + a N cosψ ⎪
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
⎪
y = (cosψ sin ϕ N cos γ − sinψ cos ϕ N )(xo − R sin υ ) + (sinψ sin ϕ N + cosψ cos ϕ N cos γ ) × ⎪
⎪
⎬
⎛ bN
⎞
⎛ bN
⎞
×⎜
− R cos α N + R cosυ ⎟ cos ξ + (− cosψ )⎜
− R cos α N + R cosυ ⎟ sin ξ sin γ − a N sinψ ⎪
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
⎪
⎛ bN
⎞
⎪
− R cos α N + R cosυ ⎟ cos ξ +
z = sin γ sinψ (xo − R sin υ ) + sin γ cosψ ⎜
⎪
2
⎝
⎠
⎪
p zψ
⎛ bN
⎞
⎪
.
+ cos γ ⎜
− R cos α N + R cosυ ⎟ sin ξ −
⎪
2π
⎝ 2
⎠
⎭
(10)
Osiowy zarys ślimaka otrzymuje się dla współrzędnej y = 0. Pozwala to na
wyliczenie parametru ψ, którego równanie przedstawia się następująco:
134
L. Skoczylas
⎛b
⎞
cos γ sin ϕ N ( xo − R sin υ ) + (cos γ cosϕ N cos ξ − sin γ sin ξ )⎜ N − R cos α N + R cosυ ⎟
⎝ 2
⎠
tgψ =
⎛ bN
⎞
− R cosα N + R cosυ ⎟
a N + cos ϕ N (xo − R sin υ ) − sin ϕ N cos ξ ⎜
⎝ 2
⎠
(11)
Mając wyliczony parametr ψ, z zależności (10) można obliczyć współrzędne x
i z osiowego zarysu ślimaka.
3. KSZTAŁT ZARYSU ZWOJU ŚLIMAKA TORUSOPOCHODNEGO
Celem zobrazowania wpływu parametrów konstrukcyjnych ślimaka i narzędzia na kształt zarysu zwoju ślimaka opracowano kilka przykładów obliczeniowych. Przyjęte parametry do obliczeń przedstawiono w tablicy 1.
Tablica 1
Parametry ślimaka i narzędzia
Worm and tool parameters
Nazwa parametru
Moduł osiowy ślimaka
Wskaźnik średnicowy
Współczynnik grubości zęba ślimaka
Kąt zarysu narzędzia
Promień krzywizny narzędzia
Wartość
5 mm
10
0,5
20o
50 mm
Oprócz parametrów przedstawionych w tablicy na zarys ślimaka ma również
wpływ liczba zwojów, od której zależy kąt wzniosu linii śrubowej oraz ustawienie narzędzia kształtującego ślimak. Założono, że parametry te są zmienne
i względem nich przygotowano charakterystyki osiowego zarysu zwoju ślimaka
torusopochodnego. Liczba zwojów, dla której obliczono zarysy zębów, wynosiła
1, 2, 4, 6. Ustawienie narzędzia określano przez kąt obrotu narzędzia względem
osi zN (rys. 3). Z uwagi na duży wpływ wychylenia narzędzia na zarys ślimaka
przy dużym kącie wzniosu jego linii śrubowej przyjęto różne wartości kąta wychylenia. Dla jedno- i dwuzwojnego ślimaka przyjęte wartości kąta to: –40o,
–20o, 0o, 20o, 40o. W pozostałych przypadkach kąt wychylenia wynosił: –20o,
–10o, 0o, 10o, 20o. W każdym przypadku wartość promienia krzywizny zarysu
narzędzia wynosiła 50 mm. Wyniki obliczeń zarysu ślimaka przedstawiono na
rys. 4. Jak pokazuje rysunek, dla różnych parametrów ślimaka oraz ustawienia
narzędzia uzyskuje się szeroki zakres zmian zarysu zwoju. Ponieważ w każdym
przypadku promień krzywizny narzędzia jest taki sam, można zauważyć zmiany
krzywizny zwoju ślimaka spowodowane różną liczbą zwojów ślimaka, a tym
Zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym
135
samym różnym kątem wzniosu linii śrubowej, oraz odpowiednim wychyleniem
narzędzia. W każdym przypadku obserwowana jest taka prawidłowość, że wraz
ze wzrostem kąta wychylenia narzędzia maleje kąt zarysu ślimaka na średnicy
podziałowej. Zwiększa się również promień krzywizny zwoju i przyjmuje różne
wartości w różnych punktach na zarysie. Tylko w jednym przypadku występuje
odstępstwo od widocznej prawidłowości (rys. 4a). Zjawisko to zaobserwowano
przy dużym wychyleniu narzędzia, po przekroczeniu określonej dodatniej wartości kąta wychylenia.
a)
b)
c)
d)
Rys. 4. Kształt zarysu zwoju ślimaka torusopochodnego
Fig. 4. Torusoidal worm teeth profile
Oprócz wychylenia narzędzia duże zmiany w kształtowaniu zarysu ślimaka
powoduje również promień krzywizny narzędzia. Celem wskazania wielkości
tego wpływu dla skrajnych przypadków analizowanych parametrów opracowano
zarys zwoju ślimaka ukształtowanego narzędziem o prostoliniowym zarysie
(ślimak stożkopochodny). Wyniki przedstawiono na rys. 5. W przypadku prostoliniowego zarysu znamionowego narzędzia występuje również omawiana wcześniej prawidłowość dotycząca kąta zarysu i promienia krzywizny zwoju ślimaka.
Ponadto dla liniowego zarysu narzędzia uzyskuje się dodatkowo wypukłe zarysy
ślimaka.
136
a)
L. Skoczylas
b)
Rys. 5. Kształt zarysu zwoju ślimaka stożkopochodnego
Fig. 5. K-worm teeth profile
4. PODSUMOWANIE
Przedstawiony w niniejszym artykule matematyczny opis zarysu zwoju ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym pozwala na
szczegółową analizę kształtu tego zwoju. Przedstawione obliczenia pokazują
zarazem dużą zależność kształtu zarysu ślimaka nie tylko od geometrii narzędzia, ale również od jego ustawienia. Stwarza to możliwość poszukiwań kształtu
zarysu ślimaka zapewniającego lepszą pracę przekładni przy jednoczesnym łatwym do zaprofilowania zarysie narzędzia, bez potrzeby posiadania skomplikowanego oprzyrządowania. Ocena tej grupy ślimaków wymaga jednakże badań
eksperymentalnych, jak również analizy zazębienia tak ukształtowanego ślimaka
ze ślimacznicą.
LITERATURA
[1] Kornberger Z., Przekładnie ślimakowe, Warszawa, WNT 1973.
[2] Litvin F.L., Gonzalez-Perez I., Yukishima K., Fuentes A, Hayasaka K., Design, simulation of meshing, and contact stresses for an improved worm gear drive, Mechanism and Machine Theory, 2007, vol. 42.
[3] Marciniak T., Obciążalność zazębienia przekładni ślimakowych, Zeszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej, 2004, nr 934.
[4] Marciniak T., Przekładnie ślimakowe walcowe, Warszawa, PWN 2001.
[5] Seol H. I., The design, generation, and simulation of meshing of worm-gear drive with longitudinally localized contacts, ASME Journal of Mechanical Design, 2000, vol. 122.
[6] Skoczylas L., Geometria zazębienia przekładni ślimakowej przy zmodyfikowanym zarysie
ślimaka Archimedesa, Mechanik, 2007, nr 2.
[7] Skoczylas L., Linia styku zębów przekładni ślimakowej o stożkopochodnym zarysie ślimaka,
Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 2006, vol. 26, nr 2, s. 191–199.
[8] Skoczylas L., Geometria zazębienia przekładni ślimakowej ze stożkopochodnym ślimakiem
kształtowanym narzędziem trzpieniowym, Zagadnienia Eksploatacji Maszyn, 2007, vol. 42,
z. 4 (152).
Zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym
137
[9] Su X., Houser D. R., Alternative equation of meshing for worm-gear drives and its aplication
to determining undercutting and reverse engineering, ASME Journal of Mechanical Design,
2000, vol. 122.
Praca wpłynęła do Redakcji 10.03.2008
Recenzent: dr hab. inż. Tadeusz Marciniak
PROFILE OF TORUSOIDAL WORM SHAPED BY SHANK TOOL
S u m m a r y
The paper presents mathematical description of helical side surface of torusoidal worm shaped
by shank tool. The model describing helical surface takes into consideration the possibility of
shank tool setting in arbitrary worm longitudinal section. A few examples of teeth profiles calculated for selected parameters of worm and tool were shown.
Key words: worm gears, torusoidal worm