WPM-9 - Piotr Rzonsowski

Warsztat pracy matematyka
Autor : Dorota Blinkiewicz
Zatwierdził : Piotr Rzonsowski
Zadanie 1. Spośród 100 studentów 24 uczy się języka niemieckiego, 41 — francuskiego, 6 —
angielskiego i francuskiego, 9 — niemieckiego i francuskiego, 15 — tylko niemieckiego, 20 —
niemieckiego, ale nie angielskiego, 32 — nie uczy się żadnego z wymienionych języków. Ilu
studentów uczy się tylko języka angielskiego, a ilu tylko języka angielskiego i niemieckiego?
Rozwiązanie: Wprowadźmy najpierw oznaczenia:
— S – zbiór wszystkich studentów,
— A – zbiór studentów, którzy uczą się języka angielskiego,
— F – zbiór studentów, którzy uczą się języka francuskiego,
— N – zbiór studentów, którzy uczą się języka niemieckiego.
Do zilustrowania zadania użyjemy diagramu Venna:
Uwagi do nagrania: Można by powiedzieć co to jest diagram Venna
Ciąg dalszy:
N
A
F
S
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
1
Legenda:
zbiór studentów uczących się tylko niemieckiego
zbiór studentów uczących się tylko angielskiego
zbiór studentów uczących się tylko francuskiego
zbiór studentów uczących się tylko francuskiego i niemieckiego
zbiór studentów uczących się tylko niemieckiego i angielskiego
zbiór studentów uczących się tylko angielskiego i francuskiego
zbiór studentów uczących się wszystkich trzech języków
zbiór studentów nie uczących się żadnego z tych trzech języków
Na powyższym diagramie nie wpisaliśmy jeszcze żadnych wartości — czas najwyższy to
zmienić. Zaczniemy od wypisania danych. Zatem zaczynamy czytać treść zadania:
(a) „Spośród 100 studentów (. . . )”, tzn. liczebność zbioru S wynosi 100, co zapisujemy:
|S| = 100;
(b) „(. . . ) 24 uczy się języka niemieckiego (. . . )”, tzn. liczebność zbioru N jest równa 24, czyli
|N| = 24;
(c) „(. . . ) 41 — francuskiego (. . . )”, tzn. liczebność zbioru F wynosi 41:
|F| = 41;
(d) „(. . . ) 6 — angielskiego i francuskiego (. . . )”, tzn. że przekrój zbiorów A i F liczy sobie 6–ciu
studentów, zatem:
|A ∩ F| = 6;
(e) „(. . . ) 9 — niemieckiego i francuskiego (. . . )”, tzn. że do przekroju zbioru F i N należy 9–ciu
studentów, co zapiszemy następująco:
|F ∩ N| = 9;
(f) „(. . . ) 15 — tylko niemieckiego (. . . )”, tzn. że ci studenci po pierwsze rzeczywiście się tego
języka uczą, ale nie uczą się żadnego innego języka (zauważmy uprzednio, że A ∩ F ∩ N ⊂
A ∩ N oraz A ∩ F ∩ N ⊂ F ∩ N), czyli
|N \ (F ∪ A)| = |N| − |A ∩ N| − |F ∩ N| +
|A ∩ F ∩ N|
| {z }
= 15.
moc tego zbioru odjęliśmy dwa razy
Tę wartość możemy wpisać do naszego diagramu:
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
2
15
(g) „(. . . ) 20 — niemieckiego, ale nie angielskiego (. . . )”, tzn. że tych 20–stu studentów może się
również uczyć francuskiego, czyli
|N \ A| = 20.
Zauważmy, że zbiór (N\A) ⊃ (N\(A∪F)). Ponadto widzimy, że (N\A)\(N\(A∪F)) = (N∩F)\A.
Więc korzystając z podpunktu (f) otrzymujemy:
|(F ∩ N) \ A| = 20 − 15 = 5.
Wartość tę możemy wpisać do diagramu:
15
5
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
3
Mając już te dane możemy cofnąć się do podpunktu (e). Mianowicie wiemy, że 9 studentów
uczy się niemieckiego i francuskiego, a ponadto wiemy, że (A ∩ F ∩ N) ∪ ((F ∩ N) \ A) = F ∩ N
oraz (A ∩ F ∩ N) ∩ ((F ∩ N) \ A) = ∅. Zatem |A ∩ F ∩ N| + |(F ∩ N) \ A| = |F ∩ N|. Stąd
|A ∩ F ∩ N| = 9 − 5 = 4.
Tę wartość możemy również wpisać do diagramu.
15
5
4
32
(h) „(. . . ) 32 — nie uczy się żadnego z wymienionych języków.” Tutaj nie trzeba nic liczyć, wystarczy wpisać, co już na powyższym diagramie zrobiliśmy.
Zauważmy, że moc zbioru |N| = 24, a 4 + 5 + 15 = 24, więc żaden więcej student nie może
uczyć się niemieckiego, zatem żółty fragment naszego diagramu, odpowiadający za studentów
uczących się języka angielskiego i niemieckiego możemy wypełnić zerem. Więc to uczyńmy:
15
0
5
4
32
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
4
Wróćmy teraz do podpunktu (d). Mamy, że 6-ciu studentów uczy się języka angielskiego i francuskiego. Widzimy, że spośród tych sześciu studentów, czterech uczy się również niemieckiego,
zatem tylko dwóch uczy się tylko angielskiego i francuskiego, co oczywiście niezwłocznie dopisujemy do naszego diagramu:
15
0
5
4
2
32
W podpunkcie (c) natomiast mamy, że francuskiego uczy się 41 studentów. Zatem tylko francuskiego uczy się 41 − 2 − 4 − 5 = 30 studentów.
15
0
5
4
2
30
32
Zostało nam zatem odpowiedzieć na pytanie, ilu studentów uczy się tylko angielskiego. Nic
prostszego, bo przecież wiemy, że studentów jest 100. Musimy od stu odjąć wszystkie pozostałe
wartości, a zatem:
100 − 30 − 4 − 5 − 2 − 15 − 32 = 12.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
5
Czyli możemy uzupełnić diagram do końca:
15
0
5
4
12
2
30
32
i odpowiedzieć na pytania.
Żaden student nie uczy się tylko języka angielskiego i niemieckiego, natomiast dwunastu
studentów uczy się tylko języka angielskiego.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
6