PDF version

ELEKTRYKA
Zeszyt 3-4 (223-224)
2012
Rok LVIII
Piotr KOZIERSKI
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej, Politechnika Poznańska
Marcin LIS
Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej, Politechnika Poznańska
WPŁYW SZUMÓW KOLOROWYCH NA DZIAŁANIE FILTRU
CZĄSTECZKOWEGO
Streszczenie. W artykule przedstawiono, jak działa filtr cząsteczkowy przy działaniu
różnych kolorów szumu. W wyniku badania stwierdzono, który rodzaj szumu sprawia
największe problemy przy filtracji. Zaproponowano także sposób polepszenia efektów
filtracji dla kolorów szumu, które sprawiały największe problemy. Pierwszy rozdział
został poświęcony filtrowi cząsteczkowemu, w drugim rozdziale przedstawiono kolory
szumów, a w trzecim rozdziale opisano doświadczenie i przedstawiono wyniki symulacji.
Słowa kluczowe: filtr cząsteczkowy, szum kolorowy
INFLUENCE OF COLOR NOISES ON PARTICLE FILTER EFFECTS
Summary. In the paper particle filter principle of operation with color noises is
presented. Noise, which causes the worst filtration effects was indicated, and for this case
was proposed method for improving filtration results. Particle filter is briefly described in
the Chapter 1. In Chapter 2 different types of noise are presented. In Chapter 3 there are
description and results of simulation.
Keywords: particle filter, noise color
1. FILTR CZĄSTECZKOWY
Filtr cząsteczkowy (PF) jest jedną z odmian sekwencyjnych metod Monte Carlo. Zadaniem
PF jest filtracja Bayesa, czyli estymacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF) a posteriori
p x k | Yk  , którą można zapisać jako
p x k | Yk  
p y k | xk   p x k | Yk 1 
.
p  y k | Yk 1 
(1)
38
P. Kozierski, M. Lis
gdzie p y k | x k  to wiarygodność, p x k | Yk 1  to PDF a priori, natomiast p y k | Yk 1  to
parametr normujący, dzięki któremu pole pod PDF a posteriori jest równe 1 [3].
W powyższym zapisie przyjęto, że x k to wartość zmiennej stanu w chwili k , y k to obserwacja w
tej samej chwili, natomiast Yk to zbiór obserwacji ze wszystkich chwil czasowych od 1 do k.
PF jest konkretną metodą implementacji filtru Bayesa, w której kluczowym pomysłem jest
przedstawienie PDF za pomocą zbioru próbek, z których każda ma pewną wartość oraz wagę
x , q . Można zatem zapisać postać miary prawdopodobieństwa
p x | Y    q   x  x ,
i
i
N
k
k
i
i
(2)
i 1
przy czym na podstawie mocnego prawa wielkich liczb, dla N   w wyrażeniu (2) będzie
można wstawić znak równości [2].
Możliwości zastosowania PF są bardzo szerokie, ponieważ mogą być filtrowane dowolne,
nawet silnie nieliniowe obiekty. W literaturze można znaleźć prace wykorzystujące PF zazwyczaj
do estymacji zmiennych stanu, ale także do identyfikacji parametrycznej obiektów [9], a także
do lokalizacji robota w przestrzeni [10].
Pierwszy algorytm filtru cząsteczkowego został zaproponowany przez Gordona w [5]
w 1993 roku. Poza inicjalizacją ma on 3 podstawowe kroki: predykcję, aktualizację
i resampling, które należy wykonać dla każdej z N cząsteczek.
Predykcja polega na oszacowaniu, w jaki sposób mogły zmienić się wartości zmiennych
stanu – obliczane jest to na podstawie znajomości struktury obiektu, sygnałów wejściowych oraz
wariancji szumu wewnętrznego.
Aktualizacja polega na obliczeniu przewidywanej wartości wyjściowej obiektu na
podstawie oszacowanych wcześniej zmiennych stanu, a następnie na podstawie PDF p y k | x k 
(wymagana jest wiedza na temat wariancji szumu pomiarowego) obliczana jest waga
cząsteczki. Po obliczeniu wszystkich wag następuje normalizacja.
Ostatnim krokiem jednej iteracji filtru cząsteczkowego jest resampling, czyli ponowne
próbkowanie. Polega ono na wylosowaniu N nowych cząsteczek z PDF uzyskanej po
normalizacji wag.
Opisany w [5] algorytm to tak zwany Bootstrap Filter, natomiast do dziś powstało wiele
jego odmian, jak na przykład Auxiliary PF [8], Gaussian PF [6], czy Likelihood PF [1], jednak
wszystkie działają na podobnej zasadzie.
Wpływ szumów kolorowych…
39
2. SZUM
Poniżej opisano 5 rodzajów szumu, które zostały wzięte pod uwagę. Różnią się przede
wszystkim widmową gęstością mocy (WGM), która jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości
podniesionej do pewnej potęgi 
S f  
1
f
a
.
(3)
2.1. Szum biały
Jest to najczęściej wykorzystywany do symulacji rodzaj szumu. Wartość współczynnika
szumu wynosi   0 . Na rys. 1 przedstawiono WGM oraz wygląd próbek szumu w czasie. Jak
można zaobserwować, WGM jest stała, a więc w szumie równy udział mają wszystkie częstotliwości.
Rys. 1. WGM i fragment sygnału szumu białego
Fig. 1. Power density and sample of white noise
2.2. Szum różowy
Dla tego koloru szumu współczynnik szumu jest równy   1 . Na rys. 2 można
zaobserwować WGM, która opada z szybkością 10dB/dek (co jest równoznaczne
z szybkością 3dB/okt). Oznacza to, że w szumie bardziej będą się objawiać niskie częstotliwości.
Rys. 2. Power density and sample of pink noise
Fig. 2. WGM i fragment sygnału szumu różowego
40
P. Kozierski, M. Lis
2.3. Szum brązowy
Nazwa pochodzi od R. Browna, który odkrył tzw. „ruch Browna”, będący efektem
opisywanego szumu. Czasami nazywany jest też szumem czerwonym. Współczynnik wynosi
  2 , co oznacza, że niskie częstotliwości mają jeszcze większy wpływ, niż w przypadku szumu
różowego – potwierdza się to na rys. 3, gdzie wykres WGM opada z szybkością 20 dB/dek
(6 dB/okt).
Rys. 3. WGM i fragment sygnału szumu brązowego
Fig. 3. Power density and sample of brown noise
Sygnały szumów różowego oraz brązowego można otrzymać poprzez odpowiednie
scałkowanie szumu białego.
2.4. Szum niebieski
Dla tego koloru szumu współczynnik jest równy   1 . Jak można zaobserwować na rys.
4, w tym przypadku większy udział mają wysokie częstotliwości.
Rys. 4. WGM i fragment sygnału szumu niebieskiego
Fig. 4. Power density and sample of blue noise
2.5. Szum purpurowy
Szum purpurowy jest określony dla parametru   2 , a tym samym wykres WGM
narasta z szybkością 20 dB/dek (rys. 5).
Wpływ szumów kolorowych…
41
Rys. 5. WGM i fragment sygnału szumu purpurowego
Fig. 5. Power density and sample of purple noise
Tak jak w przypadku dodatniego parametru  sygnał szumu mógł być otrzymywany
poprzez całkowanie, tak też dla ujemnego parametru można stwierdzić, że kolejne próbki sygnału
szumu są zależne od różnic dwóch ostatnich wartości sygnału.
3. WYNIKI SYMULACJI
Do symulacji wykorzystano obiekt dany przez równania stanu
x k  0.8  x k 1 
exp 0.1  x k 1 
0.1  x k21
 v k 1
(4)
y k  xk  nk
gdzie v k 1 to szum wewnętrzny, którego funkcja gęstości prawdopodobieństwa będzie zmieniana
w
zależności od
rozpatrywanego
przypadku,
natomiast
nk
to
szum pomiarowy
o rozkładzie normalnym i wariancji równej 1.
Do otrzymania szumu wewnętrznego skorzystano z gotowego generatora szumu [7].
Poszczególne sygnały zakłóceń znormalizowano w taki sposób, aby miały taką samą moc daną
wzorem [11]
Px 
1
M
M
 xi2  1 .
(5)
i 1
Do symulacji wykorzystano N  200 cząsteczek, a sama symulacja miała długość M  1000
chwil czasowych. Po zakończonej symulacji obliczono średni kwadrat błędu (MSE) estymacji.
Wykonano po 100 takich symulacji dla każdej wartości  , a w tabeli 1 zamieszczono wartości
średnie ze wszystkich 100 symulacji.
Tabela 1
Średnie wartości MSE dla poszczególnych wartości parametru α –
PDF szumu wewnętrznego zależna od wygenerowanego sygnału szumu
MSE
α = -2
31.0322
α = -1
0.7643
α=0
0.7184
α=1
0.7121
α=2
0.8959
42
P. Kozierski, M. Lis
Należy zauważyć bardzo duże błędy estymacji dla szumu fioletowego, a do obliczeń zostały
wzięte pod uwagę tylko te symulacje, z których udało się uzyskać wyniki (około co druga
symulacja kończyła się prawidłowo).
W drugiej części doświadczenia za szum wewnętrzny przyjęto szum normalny
o wariancji 2, niezależnie od rodzaju szumu, z jakim miał do czynienia obiekt. Tym samym
symulacje przebiegały identycznie, a jedynie w algorytmie PF przyjęto inną funkcję gęstości
prawdopodobieństwa. Pozostałe parametry symulacji pozostały bez zmian, a wyniki
przedstawiono w tabeli 2.
Tabela 2
Średnie wartości MSE dla poszczególnych wartości parametru α –
za szum wewnętrzny przyjęto szum normalny o wariancji równej 2
MSE
α = -2
0.9013
α = -1
0.7904
α=0
0.7645
α=1
0.7793
Α=2
0.8425
Należy także zauważyć,że tym razem nie było żadnych problemów z uzyskaniem wyników dla
szumu fioletowego.
4. WNIOSKI
Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że rodzaj szumu ma wpływ na
działanie PF. Zarazem stwierdzić również można, że szum fioletowy jest najbardziej
problematyczny spośród rozpatrywanych – może być wykorzystywany podczas badań jako
najgorszy z możliwych przypadków.
Porównując wyniki z obu części doświadczenia, zauważono, że dla skrajnych wartości
parametru  , przy przyjęciu wariancji szumu wewnętrznego równej 2, nastąpiła poprawa. Widać
zatem, że przyjęcie wariancji większej, niż rzeczywista może zarówno polepszyć, jak
i pogorszyć wyniki, ale w przypadku problemów z symulacją warto takie rozwiązanie
(zwiększenie wariancji szumu wewnętrznego) rozważyć.
Można także zauważyć, że w wynikach uzyskanych w pierwszej części doświadczenia to dla
szumu różowego uzyskano najlepsze efekty filtracji, a nie dla szumu białego, jak można by się
spodziewać. W związku z powyższym wykonano dodatkowe doświadczenia, identyczne jak w
pierwszej części doświadczenia (modelowanie szumu wewnętrznego zależne od parametru  ;
N  200 , M  1000 ; 100 powtórzeń), a jedyną zmienną było ziarno szumu. Uzyskane wyniki (już
tylko dla trzech wartości  ) przedstawiono w tabeli 3.
Wpływ szumów kolorowych…
43
Tabela 3
Średnie wartości MSE dla poszczególnych wartości parametru α
przy zmiennym ziarnie generatora – PDF szumu wewnętrznego zależna
od wygenerowanego sygnału szumu
MSE
ziarno
generatora
135
136
137
138
139
140
α = -1
α=0
α=1
0.7176
0.7688
0.7900
0.7350
0.7643
0.7555
0.7154
0.7614
0.7092
0.7407
0.7163
0.7184
0.7304
0.7545
0.7208
0.7440
0.7505
0.7626
Na podstawie wyników z tabeli 3 można stwierdzić,że te uzyskane w tabeli 1 są szczególnym
przypadkiem, a w przeważającej większości przypadków szum biały okazuje się „najprostszym”
szumem do filtracji.
BIBLIOGRAFIA
1. Arulampalam S., Maskell S., Gordon N., Clapp T.: A Tutorial on Particle Filters for Online Non-linear/Non-Gaussian Bayesian Tracking, IEEE Proceedings on Signal
Processing, Vol. 50, No. 2, 2002, s. 174-188.
2. Brzozowska-Rup K., Dawidowicz A.L.: Metoda filtru cząsteczkowego. „Matematyka
Stosowana: Matematyka dla Społeczeństwa” 2009, T. 10/51, s. 69-107.
3. Candy J.V.: Bayesian signal processing, WILEY, New Jersey 2009, s. 19-44.
4. Doucet A., Freitas N., Gordon N.: Sequential Monte Carlo Methods in Practice, SpringerVerlag, New York 2001, s. 225-246.
5. Gordon N.J., Salmond N.J., Smith A.F.M.: Novel approach to nonlinear/non-Gaussian
Bayesian state estimation. “IEE Proceedings-F” 1993, Vol. 140, No. 2, s. 107-113.
6. Kotecha J.H., Djurić P.M.: Gaussian Particle Filtering. “IEEE Trans Signal Processing”
2003, Vol. 51, No. 10, s. 2592-2601.
7. Little M., McSharry P., Roberts S., Costello D., Moroz I.: Exploiting Nonlinear
Recurrence and Fractal Scaling Properties for voice Disorder Detection. “BioMedical
Eng. OnLine” 2007, vol. 6, no. 23, s. 23-42.
8. Pitt M., Shephard N.: Filtering via simulation: auxiliary particle filters. “Journal of the
American Statistical Association” 1999, Vol. 94, No. 446, s.590-599.
9. Schön T.B., Wills A., Ninness B., System identification of nonlinear state-space models,
“Automatica” 2011, Vol. 47, p. 39-49.
10. Thrun S.: Particle Filters in Robotics, Proceedings of the 17th Annual Conference on
Uncertainty in AI (UAI), 2002.
44
P. Kozierski, M. Lis
11. Zieliński T.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: Od teorii do zastosowań. Wydawnictwa
Komunikacji iŁączności, Warszawa 2007, s. 1-38.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Janusz Walczak
Wpłynęło do Redakcji dnia 20 października 2012 r.
Mgr inż. Piotr KOZIERSKI
Politechnika Poznańska
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej
ul. Piotrowo 3a
60-965 Poznań
Tel.: (061) 6652377; e-mail: [email protected]
Mgr inż. Marcin LIS
Politechnika Poznańska
Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej
ul. Piotrowo 3a
60-965 Poznań
Tel. (061) 665-23-88