Topologia przestrzeni geograficznej w GIS

Lewandowicz E., 2007; Kartografia numeryczna i informatyka geodezyjna. Materiały II Ogólnopolskiej
Konferencji Naukowo-Technicznej, Rzeszów 2007, str. 17-24
Elżbieta LEWANDOWICZ 1
GRAFY JAKO MODELE TOPOLOGICZNE DANYCH MAPY NUMERYCZNEJ
1. Wprowadzenie, cel pracy
Mapa numeryczna będąca elementem systemu informacyjnego zawiera dane przestrzenne, które
nie tylko informują o kształcie, wielkości i położeniu obiektów w przestrzeni, ale także na podstawie
tych danych można określić wzajemne relacje między obiektami geograficznymi. Te relacje są często
niezbędne do zbudowania narzędzi analitycznych związanych z podejmowaniem decyzji w
gospodarce i planowaniu przestrzenią. Relacje między obiektami geograficznymi można określić z
mapy na podstawie danych geometrycznych. Uporządkowane dane geometryczne są podstawą do
zapisu tych relacji. Zapis tych danych za pomocą grafu umożliwi wykorzystanie ich do budowy
modeli matematycznych i narzędzi analitycznych.
Po przyjęciu przestrzeni geograficznej jako przestrzeni topologicznej, w której wyodrębniono
podzbiory opisane elementami geometrycznymi (punktami, liniami i powierzchniami) [1], relacje
między tymi elementami przyjmuje się jako topologię [2]. Zapis przyjętej topologii w formie grafu
stanowi model topologiczny przestrzeni geograficznej. Można to zapisać w formie schematu
przedstawionego na rys. 1.
Topologia
danych geometrycznych
Graf –
model topologiczny przestrzeni
Obiekty geometryczne
Modele matematyczne
(grafy, podgrafy, digrafy)
Atrybuty opisowe obiektów geograficznych
Rys.1. Metodyka budowy modeli matematycznych danych przestrzennych w bazach
GIS [1]
W literaturze przedmiotu i w rozwiązaniach narzędziowych mówi się o topologii węzłów, sieci i
obszarów (regionów) [3, 4, 5, 6, 7, 8]. Są to modele budowane na wyselekcjonowanych danych
geometrycznych w celu realizacji określonych zadań analitycznych. Norma ISO 19107 [9] w jednym
modelu przestrzennym wiąże wszystkie dane geometryczne i topologiczne.
W niniejszej pracy modele topologiczne danych przestrzennych przedstawię w oparciu o prosty
przykład obrazujący fragment mapy. Wykorzystując teorię grafów geometrycznych [10, 11] obraz
geometryczny mapy przekształcę na graf [12, 13, 14, 15]. Topologia danych geometrycznych zapisana
będzie w tym grafie. Uzyskany model danych przestrzennych w formie grafu, zapiszę w macierzach.
W oparciu o zapisy macierzowe będę wykonywała konwersję danych do nowych form. Tym samym
uzyskam nowe modele matematyczne danych geometrycznych w formie nowych grafów.
1
dr inż., Wydział Geodezji i Gospodarki Przestrzennej Uniwersytetu Warmińsko–Mazurskiego w Olsztynie
1
2. Zapis danych przestrzennych za pomocą grafów
Na rys.2. przedstawiam prosty wycinek mapy i zapis jej treści w formie modelu topologicznego
– grafu. Jak widzimy graf można uzyskać z prostego przełożenia rysunku mapy do schematycznej
formy [12]. W prostych rozwiązaniach obiekty punktowe mapy identyfikowane są węzłem grafu,
obiekty liniowe krawędzią. Graf to zbiór węzłów i krawędzi:
G=[W, K, f].
(1)
Funkcja f przyporządkowuje krawędzie do węzłów, gdyż każda krawędź zaczyna się i kończy w
węźle. W naszym przykładzie węzły to trójstyki dróg i linii granicznych użytków oraz punkty
informujące o polu namiotowym i pomniku przydrożnym. Krawędzie grafu to odcinki drogi i linie
graniczne użytków.
Przyjmijmy G jako graf geometryczny, czyli taki, w którym węzły mają określone położenie.
Jeśli krawędzie G nie przecinają się poza węzłem, to w takim grafie możemy wyróżnić ściany
(obszary) grafu. W naszym przypadku jest to możliwe. Można wyróżnić pięć obszarów, które
odpowiednio opisują: las, jezioro, łąkę i trzy obszary rolne.
Rys.2. Zapisy przestrzeni geograficznej a) w formie graficznej na mapie b) za pomocą
uproszczonego modelu topologicznego obrazowanego grafem G
Zapiszmy model G (rys.1b) w formie grafu etykietowanego (rys.3) z identyfikatorami: węzłów,
krawędzi i obszarów. Stanowi on bazowy model topologiczny danych przestrzennych. Taki model
zapisywany jest w tabelach relacyjnych bazy SIP, GIS [3, 4, 5, 6, 7. 8]. Ten model można wykorzystać
jako podstawę do budowania pochodnych modeli topologicznych [1].
Przedstawiony model danych przestrzennych w formie grafu (rys.3) można zapisać w formach
macierzowych. W literaturze przedmiotu mówi się o macierzach sąsiedztwa S, macierzy incydencji I i
macierzy oczek (obszarów) O [10, 11]. Macierze te określę jako macierze: sąsiedztwa węzłów Sw,
(tab.1), zależności węzłów i krawędzi ZW-K (tab.2) oraz jako macierz zależności obszarów i krawędzi
ZO-K. (tab.3). Są to podstawowe macierze opisujące graf geometryczny G. Odpowiadają one zapisowi
struktury danych przestrzennych w przyjętych formach tabelarycznych [3, 4, 5, 6, 7, 8, 16].
Macierze Sw, ZW-K , ZO-K, opisują relacje między węzłami i krawędziami i obszarami grafu G.
Macierz SW informuje, które węzły są połączone krawędzią. Jeśli element macierzy (sw)ij , (i, j  {1, 2,
…, 12}) przyjmuje wartość 1, to znaczy, że węzły opisane identyfikatorami i, j, są połączone
krawędzią. Macierz ZW-K przypisuje krawędziom węzły, czyli element macierz (zwk)ij, (i  {1, 2, …,
12}, j  {1, 2, …, 15}) przyjmuje wartość 1, jeśli węzeł i stanowi wierzchołek krawędzi j. Przyjmując
graf G jako graf geometryczny (o określonym położeniu węzłów), można w nim określić minimalne
oczka, które stanowią obszary (ściany) w grafie. Kolejna macierz ZO-K przypisuje obszarom
krawędzie ograniczające je. Element macierzy (zok)ij, (i  {I, II, …, VI}, j  {1, 2, …, 15} przyjmuje
wartość 1, jeśli krawędź j stanowi granicę obszaru i.
2
Rys.3. Model danych przestrzennych w formie grafu etykietowanego
Tablica 1. Macierz sąsiedztwa węzłów Sw przedstawia relacje między węzłami grafu G
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
2
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
3
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
4
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
5
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
6
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
7
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
9
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Sw=
Tablica 2. Macierz zależności węzłów i krawędzi ZW-K przedstawia relacje między węzłami
i krawędziami grafu G
ZW-K =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
3
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
4
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
5
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
6
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tablica 3. Macierz oczek ZO-K, przedstawia relacje między oczkami (obszarami) i krawędziami grafu
G, przy przyjęciu G jako grafu geometrycznego
3
ZO-K =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
I
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
II
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
III
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
IV
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
V
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
VI
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
Zauważmy, że graf G (rys.3) jest niespójny, węzły identyfikowane nr. 11, 12 nie są powiązane z
żadną krawędzią. Nazywa się je węzłami swobodnymi. Widać to także w zapisach macierzowych w
SW i ZW-K. Wyróżniając elementy powiązane w grafie G można określić podgraf spójny G’ w G [10,
11]:
G '  G,
(2)
G '  w11  w12  G.
(3)
3. Konwersja wyjściowych danych do nowych form
Przedstawiony graf G (rys.2) oraz jego zapisy macierzowe Sw, ZW-K , ZO-K, wykorzystam do
tworzenia nowych struktur zapisu topologii danych przestrzennych.
Zauważmy, że w oparciu o macierz ZW-K można określić graf sąsiedztwa krawędzi Gk,
przedstawiony na rys.3. Można go zapisać za pomocą macierzy SK.
Można zauważyć, że:
SK.= (ZW-K )T( ZW-K) –D2
(4)
gdzie D2 jest macierzą diagonalną o wartościach równych 2. Element macierzy (sk)ij (i, j  {1, 2,…,
15}) przyjmuje wartość równą 1, jeśli krawędź i przylega do krawędzi j w grafie G (krawędzie i, j
dochodzą do wspólnego węzła).
Gk
Sk=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
3
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
4
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
5
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
6
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
7
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
8
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
9
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
11
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
13
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
14
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
15
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
Rys. 3. Graf sąsiedztwa krawędzi Gk przedstawiony graficznie i w formie macierzy
sąsiedztwa krawędzi Sk
Macierz ZO-K zawiera dane, które pozwalają na wygenerowanie informacji o sąsiedztwie
obszarów. Na rys.4 przedstawiono to sąsiedztwo w formie grafu GO i zapisu macierzowego SO.
Macierz SO otrzymuje się poprzez działanie:
SO= (ZO-K) (ZO-K)T- DO
(5)
gdzie DO jest macierzą diagonalną o wartościach dii równych liczbie krawędzi opisujących obszar i.
4
Elementy macierzy SO, , (so)ij przyjmują wartości 1 jeśli obszar identyfikowany wartością i graniczny z
obszarem j , (i, j  {I, II, … , VI}).
I
I
II
III
IV
V
VI
So=
II III IV V VI
1 1 0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
0
1
1
0
0
0
Rys.4. Zapis sąsiedztwa obszarów, przedstawionego w formie graficznej Go
i macierzowej So, otrzymany z macierzy ZO-K
Krawędzie grafu GO opisane są w macierzy ZO-K, jako linie rozgraniczające obszary. Można je
wszystkie wprowadzić do zapisu graficznego GO, otrzymując kolejny model GO-K (rys.5).
GO-K
Rys.5. Przedstawienie graficzne sąsiedztwa obszarów z liniami granicznymi rozgraniczającymi te
obszary i liniami granicznymi kompleksu obszarów za pomocą grafu GO-K
Poszukajmy jeszcze relacji między obszarami a węzłami i zapiszmy je w macierzy ZW-O.
Otrzymać je możemy wykonując działanie:
ZW-O=( (ZO-K)(ZW-K)T) / 2.
(6)
Wyrazy tej macierzy przyjmują wartości równe 0, 1. Wartości macierzy (zow)ij równe 1 wskazują na
węzeł identyfikowany wartością j (j=1, 2, …, 12) jako punkt graniczny obszaru i (i=I, II, …, VI).
Tablica 4. Macierz zależności ZO-W między obszarami a węzłami grafu G
ZO-W =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
II
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
III
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
IV
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
V
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
VI
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
5
Podobne macierze zależności opisujące relacje między obiektami mapy można zapisać jako
transpozy macierzy opisanych wcześniej. Spróbujmy zapisać wszystkie macierze w jednym modelu
matematycznym.
4. Zapis danych topologicznych obiektów mapy w jednej macierzy sąsiedztwa
Przedstawione wyżej macierze opisują relacje między wybranymi obiektami mapy. Można te
pojedyncze zapisy uporządkować i przedstawić w jednym modelu matematycznym. W tym celu
zbudujmy macierz M symetryczną o wymiarach (n,n), gdzie n będzie sumą wszystkich obiektów
mapy identyfikowanych w naszym modelu: 12 węzłów, 15 krawędzi i 6 obszarów (n=12+15+6). W
tej macierzy zapiszmy relacje między obiektami mapy. Proszę zauważyć, że macierz M jest macierzą
składającą się z macierzy wyżej opisanych: Sw, ZW-K, ZO-K i z macierzy pochodnych: SK, SO, ZO-K,
ZO-W, (ZO-K)T=ZK-O, (ZW-K)T=ZK-W. Jest macierzą blokową, symetryczną. Na rys.6, 7a wyodrębniono
podmacierze macierzy M za pomocą kolorów i ramek.
Symetryczność macierzy M jest związana z tym, że opisuje relacje w przestrzeni topologicznej
przyjętej jako model przestrzeni geograficznej (przestrzeń topologiczna jest przestrzenią symetryczną
Engelking 1986). Opisując model M atrybutami obiektów przestrzeni geograficznej (rys.1), możemy
budować modele niesymetryczne [13, 15].
W oparciu o stworzoną macierz M możemy uzyskać zależności między obiektami, które są
pomocne do budowania funkcji analitycznych.
Przedstawiony model bazowy, opisany macierzą M, można przedstawić graficznie, ale byłby on
mało czytelny. Zawiera on dużo relacji między wyróżnionymi obiektami mapy. W oparciu o macierz
M można określić modele pochodne. Część z nich przedstawiono graficznie wyżej w formie modeli
GK, GO, GO-K (rys.3, 4, 5). Na rys.8 przedstawiono kolejne dwa przykłady: GK-(W-K), GK-(K-O). Model
GK-(W-K) przedstawia sąsiedztwo krawędzi i zależność węzłów od krawędzi, a model GK-(K-O) sąsiedztwo
krawędzi i zależności obszarów od krawędzi (rys.7 b, c). Przedstawiają one wybrane relacje między
obiektami mapy.
Rys.8. Modele topologiczne sąsiedztwa wybranych podzbiorów G: a) model GK-(W_K) krawędzi i
węzłów opisany macierzami SK i ZW-K, b) model GK-(O-K) krawędzi i obszarów opisany macierzami
SK i ZO-K
6
Rys.6. Macierz M sąsiedztwa obiektów mapy składająca się z podmacierzy SW,ZW-K, ZO-K i SK,
SO, ZK-W, ZK-O, ZO-W, ZW-O
a)
b)
c)
d)
Rys.7. Zapis różnych topologii danych przestrzennych: a) macierz blokowa M; b) składowe
macierzy M przedstawione w formie modelu GK-(K-W) ( rys.8 a); c) składowe macierzy M
przedstawione w formie modelu GK-(O-K) ( rys.8 b); d) podmacierz SK, przedstawiona w formie
modelu GK ( rys.3)
7
5. Zastosowania
Przedstawione modele grafowe i macierzowe opisują relacje między obiektami zobrazowanymi
na przykładowym fragmencie mapy. Zauważmy, że węzły swobodne opisujące pole namiotowe i
pomnik, nie wchodzą do przedstawionych zapisów. Należałoby je związać w wybranymi obiektami:
węzłami, krawędziami lub obszarami będącymi elementem spójnego podgrafugrafu G’ grafu G.
Przedstawione modele można wykorzystać do typowych analiz przestrzennych np. sieciowych.
Jednym z typowych zadań jest poszukiwanie najkrótszej drogi w grafie [10, 11]. Poszukajmy drogi do
jeziora (II), jeśli znajdujemy się na odcinku drogi opisanej krawędzią 15. Zauważmy, że wybierając
model GK-(O-K) przedstawiony na rys.8 b możemy określić tę drogę poprzez obiekty liniowe, a nawet
powierzchniowe. Możemy wybrać drogę na skróty przez łąkę. Takie analizy byłyby niemożliwe w
klasycznym modelu topologii sieciowej opartej na obiektach liniowych, opisanych grafem G.
6. Wnioski końcowe
Dane przestrzenne zawarte w wektorowej mapie numerycznej dają możliwość budowy różnych
modeli topologicznych. Przykłady ich budowy zaprezentowałam w niniejszej pracy. Budowa ich
powinna wynikać z założonych zadań analitycznych.
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
LEWANDOWICZ E., Przestrzeń geograficzna jako przestrzeń topologiczna. Seminarium
„Modelowanie informacji geograficznej według norm europejskich i potrzeb infrastruktury
informacji przestrzennej”. Warszawa, 2007 (w druku)
ENGELKING R., Wstęp do topologii. Biblioteka matematyczna, Tom 62, Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, PWN, Warszawa, 1986
BIELECKA E., System informacji geograficznej. Wydawnictwo PJWSTK Warszawa, 2006
ECKES K., Modelowanie rzeczywistości geograficznej w systemach informacji przestrzennej.
Roczniki Geomatyki, 2006, Tom IV , Zeszyt 3, Warszawa, s. 43-73
GAŹDZICKI J., Systemy Informacji Przestrzennej, Państwowe Przedsiębiorstwo Wydawnictw
Kartograficznych, Warszawa, 1990
MOLENAAR M., An introduction to the theory of spatial object modeling for GIS. Taylor &
Francis, London, 1998
SULLIVAN D., O., UNWIN D., J., Geographic Information Analysis. Jon Wiley &Sons, INC,
2003
URBAŃSKI J., Zrozumieć GIS. Analiza informacji przestrzennej. Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa, 1997
ISO 19107, Geographic information spatial schema – ttp://www.isotc211.org/
WILSON R., Wprowadzenie do teorii grafów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2000
KULIKOWSKI J., L., Zarys teorii grafów. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, PWN,
Warszawa, 1986
LEWANDOWICZ E., Grafy jako narzędzie do definiowania relacji przestrzennych pomiędzy
danymi geograficznymi. Roczniki Geomatyki, Warszawa, 2004, Tom II, Zeszyt 2, s. 160-171
LEWANDOWICZ E., Analizy sąsiedztwa mikroregionów w regionie w oparciu o dane
przestrzenne zapisane w formie grafu geometrycznego. Roczniki Geomatyki, Warszawa, 2005,
Tom III, Zeszyt 1, s. 73-82
LEWANDOWICZ E., BAŁANDYNOWICZ J., Some Ways of Formulation of Objective
Functions for Chosen Space Analysis. The 6th International Conference Faculty of
Environmental Engineering, Vilnius Gediminas Technical University, 2005, Volume 2, pp. 927930
LEWANDOWICZ E., Area Neighbourhood Models. Polish Academy of Sciences, Geodezja i
Kartografia, Geodesy and Cartography, 2006, Vol. 55, No. 3, pp. 147-167
8
[16] CHROBAK T., Modelowanie danych przestrzennych przy użyciu struktury FDS Molenaara.
Materiały II Ogólnopolskiego Seminarium - Modelowanie danych przestrzennych, Warszawa,
2000, s.17-28
9