Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Transkrypt

Krzywe stożkowe
Lekcja VII: Hiperbola
Marek Skarupski
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Marek Skarupski
Czym jest hiperbola?
Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka
płaszczyzną pod kątem 0 ¬ β < α (gdzie α jest kątem pomiędzy
wysokością stożka a jego tworzącą) tak, aby linia cięcia nie pokrywała się
z wysokością stożka.
Marek Skarupski
Hiperbolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że różnica
odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała.
Marek Skarupski
odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie:
{P ∈ R2 : |PF1 | − |PF2 | = const}
Marek Skarupski
odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie:
{P ∈ R2 : |PF1 | − |PF2 | = const}
Punkty F1 , F2 nazywamy ogniskami hiperboli.
Marek Skarupski
Elementy hiperboli
2a - oś rzeczywista, 2b - oś urojona
S - środek hiperboli, 2c = |F1 F2 | i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.
Marek Skarupski
Elementy hiperboli
S - środek hiperboli, 2c =
√|F1 F2 | i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.
Zachodzi zależność: c = a2 + b 2 .
Marek Skarupski
Elementy hiperboli
√|F1 F2 | i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.
Zachodzi zależność: c = a2 + b 2 . Mimośród hiperboli: m =
Marek Skarupski
c
a
>1
Elementy hiperboli
√|F1 F2 | i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.
Zachodzi zależność: c = a2 + b 2 . Mimośród hiperboli: m = ca > 1
Oprócz tego wyznacza się tzw. parametr ogniskowy, czyli połowę cięciwy
przechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi rzeczywistej:
2
p = ba
Marek Skarupski
Równanie kanoniczne hiperboli
Niech dana będzie hiperbola o środku w punkcie S(x0 , y0 ) oraz osiach
2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych.
Marek Skarupski
2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie
kanoniczne hiperboli dane jest wzorem
(y − y0 )2
(x − x0 )2
−
= 1.
a2
b2
Marek Skarupski
(1)
2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie
kanoniczne hiperboli dane jest wzorem
(y − y0 )2
(x − x0 )2
−
= 1.
a2
b2
Przy takim położeniu ogniska mają współrzędne:
F1 = (x0 − c, y0 )
Marek Skarupski
F2 = (x0 + c, y0 )
(1)
Równanie w postaci parametrycznej
Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć
równania parametryczne hiperboli:
Marek Skarupski
x = x0 + a cosh(α), y = y0 + b sinh(α),
gdzie
e t + e −t
e t − e −t
, sinh(t) =
,
2
2
gdzie liczba e jest stałą Eulera (podstawą logarytmów naruralnych.
cosh(t) =
Marek Skarupski
(2)
x = x0 + a cosh(α), y = y0 + b sinh(α),
gdzie
e t + e −t
e t − e −t
, sinh(t) =
,
2
2
gdzie liczba e jest stałą Eulera (podstawą logarytmów naruralnych.
n
1
e = lim 1 +
≈ 2.73
n→∞
n
cosh(t) =
Marek Skarupski
(2)
Istnieje też inna możliwość wyznaczenia równań parametrycznych dla
hiperboli:
1
, y = y0 + b tg(α).
(3)
x = x0 + a
cos(α)
Marek Skarupski
Równanie w postaci biegunowej
Niech środek hiperboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe
elipsy ma postać:
p
(4)
ρ=
1 + m cos(φ)
gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród.
Marek Skarupski
Kierownice hiperboli
Kierownice hiperboli są to proste prostopadłe do osi rzeczywistej, odległe
2
od środka S o odcinek d = ac . Ponieważ |SF1 | = c = ma to cd = a2 i
d = ma .
Marek Skarupski
2
d = ma .
Marek Skarupski
2
d = ma .
Zachodzi związek:
Marek Skarupski
r1
d1
=
r2
d2
= m > 1.
Asymptoty hiperboli
Hiperbola jako jedyna krzywa stożkowa posiada asymptoty.
Marek Skarupski
Asymptoty hiperboli
Hiperbola jako jedyna krzywa stożkowa posiada asymptoty. Są to proste,
do których nieograniczenie zbliża się punkt M(x, y ) hiperboli, gdy
x → ∞ lub x → −∞.
Marek Skarupski
Asymptoty hiperboli
Hiperbola jako jedyna krzywa stożkowa posiada asymptoty. Są to proste,
do których nieograniczenie zbliża się punkt M(x, y ) hiperboli, gdy
x → ∞ lub x → −∞. Równania asymptot dane są wzorami:
y1 =
Marek Skarupski
b
x,
a
b
y2 = − x.
a
Równanie stycznej do hiperboli
Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do hiperboli. Wtedy równanie stycznej do
hiperboli w punkcie P ma postać:
(y1 − y0 )(y − y0 )
=p
(x1 − x0 ) + (x − x0 )
Marek Skarupski
Równanie stycznej do hiperboli
Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do hiperboli. Wtedy równanie stycznej do
hiperboli w punkcie P ma postać:
(y1 − y0 )(y − y0 )
=p
(x1 − x0 ) + (x − x0 )
Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi
OY . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:
(x1 − x0 )(x − x0 ) (y1 − y0 ) + (y − y0 )
−
=1
a2
b2
Marek Skarupski
Równanie stycznej do hiperboli - c.d.
Rozważmy odcinek T1 T2 należący do stycznej do hiperboli w punkcie P
zawarty między dwoma asymptotami:
Marek Skarupski
Punkt P dzieli ten odcinek na dwie równe części: |T1 P| = |T2 P|.
Marek Skarupski
Punkt P dzieli ten odcinek na dwie równe części: |T1 P| = |T2 P|.
Pole trójkąta T1 OT2 jest równe ab.
Marek Skarupski
Hiperbola równoosiowa
Hiperbolę równoosiową otrzymujemy wówczas, gdy osie hiperboli są
równe: a = b. Wtedy też asymptoty są do siebie prostopadłe.
Marek Skarupski
Hiperbola równoosiowa
Hiperbolę równoosiową otrzymujemy wówczas, gdy osie hiperboli są
równe: a = b. Wtedy też asymptoty są do siebie prostopadłe.
Jeśli dokonamy obrotu naszej hiperboli o kąt π4 wokół środka hiperboli
otrzymujemy hiperbolę, której asymptoty są równoległe z osiami układu
współrzędnych.
Marek Skarupski
Hiperbola równoosiowa - c.d.
Jej równanie dane jest wzorem:
(x − x0 )(y − y0 ) = ±
Marek Skarupski
a2
2
Podziękowania
Dziękuję za uwagę
Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Transkrypt

Podobne dokumenty

Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie

„Żywa lekcja przyrody” to spotkanie mające na celu zaprezentowanie

Historia 14.01.2016r. godz. 8.00 poziom rozszerzony 180 min. sala 59

Niezwykła historia życia i pontyfikatu papieża Polaka! Zobacz jak

28 października

Scenariusz obchodów Światowego Dnia Książki i