Drgania - zadanka Zadania do przeliczenia na lekcji. 1. Ciało o

Drgania - zadanka
△ Zadania do przeliczenia na lekcji.
1. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na nieważkiej nitce o długości
l = 1m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi (g = 10 sm2 ),
(a) oblicz częstotliwość otrzymanych drgań i oblicz jak zmieni się owa częstotliwość gdy masę ciała zwiększymy 2 krotnie,
(b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,
(c) oblicz położenie ciała dla którego energia potencjalna jest równa energii
całkowitej i czas po którym osiągniemy to położenie.
(d) czy w powyższej sytuacji prawdziwe jest przybliżenie małych drgań?
odpwoiedź uzasadnij.
2. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na sprężynie o stałej sprężystości
k = 5 · 103 N
m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi,
(a) oblicz częstotliwość otrzymanych drgań i oblicz jak zmieni się owa częstotliwość gdy masę ciała zwiększymy 2 krotnie,
(b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,
(c) oblicz położenie ciała dla którego energia potencjalna jest równa energii
kinetycznej i czas po którym osiągniemy to położenie.
3. Jaką amplitudę, prędkość i przyspieszenie maksymalne ma drganie ciężarka
na sprężynce o stałej sprężystości k = 10 N
m , jeżeli jego energia wynosi
E = 50J
4. Drganie harmoniczne masy m = 300g zawieszonej na sprężynie opisane
jest równaniem: x(t) = 0.2 sin(8πt).
• wyznacz: amplitudę, okres i częstotliwość tych drgań oraz stałą sprężystości sprężyny,
• wyznacz czas po którym energia kinetyczna stanowi połowę energii potencjalnej i wychylenie dla którego ten stan następuje.
5. Wahadło matematyczne o długości 30cm odchylono o 15cm. Napisz równanie ruchu drgającego dla tego wahadła, oraz oblicz prędkość i przyspieszenie
maksymalne. Wyznacz kąt o jaki wychyla się wahadło przy maksymalnym
wychyleniu i na tej podstawie uzasadnij, czy wolno Ci korzystać ze wzoru na
okres drgań? (g = 10m/s2 )
1
6. Jaką masę należy powiesić na stalowym pręcie o długości 1m i polu przekroju
poprzecznego 1cm2 aby jego wydłużenie względne wyniosło 1%? (moduł
Younga dla stali wynosi E = 200GP a). Zakładamy, że takie wydłużenie
jest jeszcze w obszarze sprężystości.
△ Zadania do zrobienia w domu na podstawie przerobionych
7. Rownanie ruchu drgającego w którym k = 1 N
m ma postać: x(t) =
10 sin(10Πt). Wyznacz: amplitudę, okres i częstotliwość drgań energię
oraz prędkość i przyspieszenie maksymalne. (Odp: 10m, 15 s, 5Hz , 100Π m
s,
1000Π2 sm2 )
N
i
8. Ciało o masie 1kg zawieszono na sprężynie o stałej sprężystości 10 m
wprawiono w drgania
o energii 1J . Napisz równanie tego ruchu drgającego
√
√
(Odp: x(t) = 55 sin( 10t))
9. Na stalowym pręcie o długości 1m i polu przekroju poprzecznego 1cm2
powieszono ciało o masie 100kg . Oblicz wydłużenie względne pręta, pomiń
masę samego pręta (moduł Younga dla stali wynosi E = 200GP a). (Odp:
0.05mm)
10. Ciężarek zawieszony na sprężynie wykonuje drgania. Zmierzono że 20 okresów
tych drgań zajmuje 30 sekund. Wiedząc że stała sprężystości rozważanej
sprężyny wynosi k = 20 N
m , oblicz masę ciężarka. Czy otrzymany wynik jest
dokładny i dlaczego mierzono aż 20 okresów drgań? (Odp: 1.12kg )
11. Wahadło matematyczne odchylono o 45 stopni. Zmierzono że 20 okresów
drgań zajmuje 30s. Wiedząc że wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi
g = 10 sm2 , oblicz długość wahadła. Czy otrzymany wynik jest dokładny i
dlaczego mierzono aż 20 okresów drgań? (Odp: 0.55m)
△ nie ma byka na Cedrika
12. Znaleźć okres drgań harmonicznych punktu materialnego jeżeli amplituda
tych drgań wynosi 1cm a maksymalna szybkość, vmax = 31, 4 cm
s (T =
A
2π vmax
= 0.2s)
13. Po jakim czasie od chwili początkowej punkt materialny wykonujący drgania
harmoniczne przesunie się na odległość równą połowie amplitudy jeżeli faza
początkowa jest równa zeru a okres drgań wynosi T = 12s? (1s)
2
14. Napisać równanie ruchu drgającego punktu materialnego, który wykonuje
drgania o amplitudzie 5cm, okresie 2s i fazie początkowej 45o (x =
0.05 sin π(t + 0.25)m)
15. Drgania punktu materialnego odbywają się zgodnie ze wzorem w układzie SI:
x = 0.03 sin π(t − 0.5)
Znaleźć największe wartości szybkości i przyspieszenia. Jaka będzie faza
m
drgań po 5s od chwili początkowej? (vmax = 2π
T A = 0.094 s , amax =
4π 2 A2
T2
= 0.29 sm2 , φ =
3π
2 )
16. Znaleźć fazę początkową ciała, jeżeli po czasie t = 0.25s od chwili
początkowej wychylenie było równe połowie amplitudy. Okres drgań wynosi
T = 6s (φ0 = 15o )
17. Zakładając, że ruch tłoka w cylindrze silnika spalinowego jest ruchem harmonicznym znaleźć maksymalne wartości szybkości i przyspieszenia tłoka, jeżeli
samochód porusza się z szybkością 72 km
h na biegu bezpośrednim, promień
kół wynosi R = 344mm, a odległość między skrajnymi położeniami tłoka
m
1 v2 l
l = 100mm (vmax = 12 v Rl = 2.9 m
=
167
)
,
a
=
max
2
s
2R
s2
18. Ciało o masie 5g wykonuje drganie, które w układzie SI opisać można
równaniem liczbowym:
π
1
x = 0.1 sin
t+
2
3
Znaleźć liczbowe wartości energii kinetycznej i potencjalnej ciała po upływie
20s od chwili początkowej. Jaka jest całkowita energia ciała? (Ep =
1.5 · 10−5J , Ek = 4.6 · 10−5J , W = 6.1 · 10−5J )
19. Znaleźć masę ciała wykonującego drgania harmoniczne o amplitudzie 0.1m,
częstości 2s−1 i fazie początkowej 30o , jeżeli energia całkowita ciała jest
równa 7.7 · 10−3 J . Po ilu sekundach od chwili początkowej energia kinetyczna będzie równa energii potencjalnej. (2.5 · 10−3 kg , 0.02s)
20. Znaleźć amplitudę drgań harmonicznych punktu materialnego, jeżeli jego
całkowita energia jest równa 4·10−2 J , a działająca nań siła przy wychyleniu
do połowy amplitudy wynosi 2N . (A = W
F = 0.02m)
3
21. Jak zmieni się chód zegarów wahadłowych 20km nad Ziemią? (nastąpi
opóźnienie w stosunku 1.0003)
22. Wahadło matematyczne zawieszono pod sufitem wagonu pociągu. Ile razy
zmieni się okres drgań tego wahadłaqjeżeli wagon uzyska przyspieszenie a w
T
kierunku poziomym. (n = T1 = 4 1 + ( ag )2)
2
23. Kulka zawieszona na sprężynie wykonuje drgania z częstością 5Hz . Znaleźć
współczynnik sprężystości sprężyny. (k = 4πmf 2 = 197 N
m)
24. Znaleźć okres wahań ciężarka na wadze sprężynowej jeżeli w stanie równowagi
przesuwa on
q wskaźnik wagi o ∆x = 2cm względem podziełki zerowej.
(T = 2π ∆x
g = 0.28s)
25. Znaleźć minimalną częstotliwość drgań (w kierunku prostopadłym do powierzchni) przy której znajdujące się na niej ciało zacznie się ześlizgiwać. Kąt
nachylenia równi wynosi α = 10o , amplituda
qdrgań A = 10cm, współczynnik tarcia statycznego k = 0.4 (f =
1
2π
g(k cos(α)−sin(α))
A
= 1Hz )
26. Szklanka o masie m1 = 20g i polu przekroju poprzecznego S = 5cm2
zawiera m2 = 80g rtęci i pływa po powierzchni wody. Pod działaniem
siły pionowej szklanka została wychylona z położenia równowagi a następnie
rozpoczęła
swobodne już drgania. Wyznacz częstotliwość tych drgań. (f =
q
1
2π
Sg̺
m1 +m2
= 1.1Hz )
27. Pręt o długości 50cm wykonuje wahania wokół poziomej osi przechodzącej przez punkt odległy o d = 12.5cm od końca tego pręta. Znaleźć częstotliwość tych drgań. Moment bezwładności pręta o długości
2
1
l względem
osi przechodzącej przez jego środek wynosi: I = 12
ml
q
3g(l−2d)
1
(f = 2π 2(l2−3ld+3d2) = 0.92Hz )
28. Do końców pręta o masie m = 60g i długości l = 49cm przymocowano
dwie kulki o masach m1 = 70g i m2 = 90g . Pręt zawieszono tak, że może
on wykonywać wahania wokół poziomej osi przechodzącej
q przez jego środek.
Znaleźć okres małych drgań tego pręta. (T = 2π
1.7s)
(m+3(m1 +m2 )l)
6g(m1 −m2 )
=
29. Do sufitu windy przymocowano zawiasowo jeden koniec pręta o długości l =
50cm. Znaleźć okres wahań pręta, jeżeli winda porusza się z przyspieszeniem
4
1.2 sm2
(T = 2π
q
2l
3(g+a)
= 1.1s)
30. Jednorodna tarcza o promieniu R = 0.1m wykonuje wahania wokół
poziomej osi przechodzącej przez punkt odległy o R2 od środka tarczy. Oblicz
q
2g
1
= 1.3Hz )
częstotliwość wahań tarczy. (f = 2π 3R
△ NAPRĘŻENIE I ODKSZTAŁCENIE
31. Jak długa musi być stalowa linka aby zawieszona pionowo urwała się pod
własnym ciężarem. (l = p̺gz = 9km)
32. Ciężar zawieszony na gumce o długości 50cm wykonuje w płaszczyźnie
poziomej ruch po okręgu ze stałą prędkością tak, że linka tworzy stożek
o kącie rozwarcia 120o . Znaleźć względne wydłużenie linki (odkształcenie)
jeżeli ten sam ciężar zawieszony nieruchomo wydłuża gumkę o 1cm (4%)
33. Jaką siłą należy działać na koniec aluminiowego pręta w temperaturze 0o C
aby miał taką samą długość jak w temperaturze 10o C ? pole przekroju
poprzecznego pręta wynosi 1.5cm2 , moduł Younga dla aluminium 7 ·
1010 mN2 (F = SE(1 + λ∆t))
34. Prosty stalowy drut o długości l wznosi się pionowo pod wpływem siły
przyłożonej do jego końca. Znajdź przyspieszenie pręta przy kórym nastąpi
jego zerwanie. (a = pz −̺gl
gl )
35. Znaleźć względne wydłużenie stalowego drutu o danym module Younga E i
długości l wznoszącego się pionowe pod wpływem siły przyłożonej do jego
końca (σ = ̺l(g+a)
2E )
36. Znaleźć względne wydłużenie pręta miedzianego jeżeli przy jego rozciąganiu
wykonano pracę 0.12J . Długość początkowa pręta wynosi 2m zaś pole
2W
przekroju poprzecznego 1mm2 (σ = SEl
)
0
37. Znaleźć siłę z jaką gimnastyk działa na sprężystą siatkę po skoku z wysokości
h = 8m jeżeli wiadomo, że pod ciężarem q
nieruchomego gimnastyka siatka
ugina się o x0 = 16cm (F = mg(1 + x2h + 1))
0
38. Jaka siła potrzebna jest do naciągnięcia łuku o x = 0.2m jeżeli cała wykonana praca będzie równa energii kinetycznej strzały w momencie wystrzału
a maksymalny zasięg wystrzału wynosi s = 36m. Masa strzały wynosi
m = 50g i nie uwzględniamy oporu powietrza. (F mgs
x )
5
39. Na jaką wysokość wzniesie się kamień o masie m = 30g wystrzelony
pionowo do góry z procy, któej gumową linkę o polu przekroju S = 0.2cm2
i długości początkowej l = 30cm rozciągnięto o ∆l = 20cm (h =
ES∆l2
)
2mgl3
6