Geometria analityczna przestrzeni

ALGEBRA LINIOWA 1
Wydział Mechaniczny / AIR, MTR
Semestr zimowy 2009/2010
Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz
Geometria analityczna przestrzeni
Wektory, długość wektora
Zadanie 1 [5.1] Obliczyć długości podanych wektorów:
→
→
b) b = ( 3 , − 5 , 2 5 );
→
c) c = ( ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, h ) , gdzie ρ ≥ 0 oraz ϕ, h ∈ R ;
→
d) d = ( ρ cos ϕ cos ψ, ρ sin ϕ cos ϕ, ρ sin ψ ), gdzie ρ ≥ 0 oraz ϕ, ψ ∈ R .
a) a = ( 3, −4, 12 ) ;
→→
Zadanie 2 [5.2] Wektory a , b tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe tego trójkąta przez
→→
wektory a , b .
→
Zadanie 3 [5.3] Znaleźć wersor u , który:
a) leży w płaszczyźnie xOy i tworzy kąt α z dodatnią częścią osi Ox ;
b) tworzy z dodatnimi częściami osi Ox, Oy, Oz odpowiednio kąty α, β, γ ;
→
→
c) tworzy jednakowe kąty z wektorami a = ( 0, 3, −4 ) , b = ( 8, 6, 0 ) i jest położony w płaszczyźnie
wyznaczonej przez te wektory.
Iloczyn skalarny
Zadanie 4 [5.4] Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów:
→
→ → →
→ → →
→
→
b) u = 3 i − 2 k , v = − i + 3 j + 7 k ;
→ → → → →
→ → →
→→→
c) x = p + 2 q − r , y = 3 p − q + 2 r , gdzie p , q , r są parami prostopadłymi wersorami .
a) a = ( 1, −2, 5 ) , b = ( 3, −1, 0 ) ;
.
Zadanie 5 [5.5] Korzystając z iloczynu skalarnego obliczyć miary kątów między:
→
→
a) wektorami a = ( −3, 0, 4 ) , b = ( 0, 1, −2 ) ;
b) dwusiecznymi kątów utworzonych przez osie Ox, Oy oraz osie Oy, Oz układu Oxyz ;
→
→
c) przekątnymi równoległościanu rozpiętego na wektorach u = ( 1, 2, 3 ) , v = ( −1, 0, 2 ) ,
→
w = ( 3, 1, 5 ).
→
Zadanie 6 [5.6] Obliczyć długość rzutu prostokątnego wektora a = ( 2 , 3 , − 5 ) na wektor
→
b = ( − 8 , 0, 5 ).
Iloczyn wektorowy
Zadanie 7 [5.7] Obliczyć iloczyny wektorowe podanych par wektorów:
→
→
a) a = ( −3, 2, 0 ) , b = ( 1, 5, −2 ) ;
→ → → → → →
→
u
=
2
i −3 k , v = i + j −4 k ;
b)
→
→ → → →
→
→
→
→→→
c) x = 2 p + q + r , y = p + 3 q + 4 r , gdzie p , q , r są parami prostopadłymi wersorami
o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych.
Zadanie 8 [5.8] Obliczyć pola podanych powierzchni:
→
→
a) równoległobok rozpięty na wektorach a = ( 1, 2, 3 ) , b = ( 0, −2, 5 ) ;
b) trójkąt o wierzchołkach A = ( 1, −1, 3 ) , B = ( 0, 2, −3 ) , C = ( 2, 2, 1 ) ;
→→→
c) czworościan rozpięty na wektorach u , v , w .

→

→
Zadanie 9 [5.9] Trójkąt ABC jest rozpięty na wektorach AB = ( 0, 5, −3 ) , AC = ( −1, 0, 4 ) .
Obliczyć wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C .
Iloczyn mieszany
Zadanie 10 [5.10] Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:
→
→
→
→ → → →
→ → →
→ → → →
b) u = i + j , v = 2 i − 3 j + k , w = − i + 2 j − 5 k .
a) a = ( −3, 2, 1 ) , b = ( 0, 1, −5 ) , c = ( 2, 3, −4 ) ;
Zadanie 11 [5.11] Obliczyć objętości podanych wielościanów:
→
→
→
a) równoległościan rozpięty na wektorach a = ( 0, 0, 1 ) , b = ( −1, 2, 3 ) , c = ( 2, 5, −1 ) ;
b) czworościan o wierzchołkach A = ( 1, 1, 1 ) , B = ( 1, 2, 3 ) , C = ( 2, 3, −1 ) , D = ( −1, 3, 5 ) ;
→→→
c*)równoległościan o przekątnych u , v , w .
Zadanie 12 [5.12] Sprawdzić, czy:
→
→
→
a) wektory a = ( −1, 3, −5 ), b = ( 1, −1, 1 ) , c = ( 4, −2, 0 ) są współpłaszczyznowe;
b) punkty P = ( 0, 0, 0 ) , Q = ( −1, 2, 3 ) , R = ( 2, 3, −4 ) , S = ( 2, −1, 5 ) są współpłaszczyznowe.
Równania płaszczyzn i prostych
Zadanie 13 [5.13] Napisać równania ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających podane warunki:
→
a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = ( 1, −2, 0 ) i jest prostopadła do wektora n = ( 0, −3, 2 ) ;
b) płaszczyzna przechodzi przez punkty P 1 = ( 0, 0, 0 ) , P 2 = ( 1, 2, 3 ) , P 3 = ( −1, −3, 5 );
c) płaszczyzna przechodzi przez punkty P 1 = ( 1, −3, 4 ) , P 2 = ( 2, 0, −1 ) i jest prostopadła do
płaszczyzny xOz ;
→
d) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = ( 1, −1, 3 ) i jest równoległa do wektorów a = ( 1, 1, 0 ) ,
→
b = ( 0, 1, 1 );
e) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = ( 0, 3, 0 ) i jest równoległa do płaszczyzny
π : 3x − y + 2 = 0 ;
f) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = ( 2, 1, −3 ) i jest prostopadła do płaszczyzn π 1 : x + y = 0 ,
π2 : y − z = 0 .
Zadanie 14 [5.14] Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:
→
a) prosta przechodzi przez punkt P = ( −3, 5, 2 ) i jest równoległa do wektora v = ( 2, −1, 3 ) ;
b) prosta przechodzi przez punkty P 1 = ( 1, 0, 6 ) , P 2 = ( −2, 2, 4 ) ;
c) prosta przechodzi przez punkt P = ( 0, −2, 3 ) i jest prostopadła do płaszczyzny π : 3x − y + 2z = 6 ;
→
d) prosta przechodzi przez punkt P = ( 7, 2, 0 ) i jest prostopadła do wektorów v 1 = ( 2, 0, −3 ) ,
→
v 2 = ( −1, 2, 0 );
e) prosta jest dwusieczną kąta ostrego utworzonego przez proste
l1 :
x+2
3
=
y−4
−1
=
z−2
, l2
2
:
x+2
1
=
y−4
−5
z
= 3;
f*) prosta jest dwusieczną kąta ostrego utworzonego przez proste
l1 :
x−1
2
=
y+1
−1
=
z−2
, l2
2
:
x+6
4
=
y−1
−3
=
z + 29
.
−12
Wzajemne położenia punktów, płaszczyzn i prostych
Zadanie 15 [5.15] Zbadać, czy
 x = 1+t

a) punkty A = ( 1, 2, 3 ) , B = ( −1, −2, 0 ) należą do prostej l :  y = 2 + 2t , gdzie t ∈ R ;

 z = 3−t
 2x + y − z + 3 = 0
b) prosta m : 
jest zawarta w płaszczyźnie π : 5y − 3z + 13 = 0 ;
 x − 2y + z − 5 = 0
 x = −1 + s + t

c) punkty A = ( 0, 1, 5 ) , B = ( 1, 2, 3 ) należą do płaszczyzny π :  y = 2 + 3s − t , gdzie s, t ∈ R ;

 z = 3 − s + 2t
d) proste l 1 :
x+1
−2
=
y−3
1
=
z+4
, l2
−8
:
x
1
=
y−1
1
=
z−2
mają punkt wspólny;
2
x = t

e) prosta l :  y = 1 + 2t , gdzie t ∈ R , jest równoległa do płaszczyzny π : x + y − z + 3 = 0 .

 z = 2 + 3t
Zadanie 16 [5.16] Znaleźć punkty przecięcia:
 x + 2y − z + 4 = 0
 2x − y − 2z + 8 = 0
, l2 : 
;
y+z−3 = 0

 x + 2y + 2z − 5 = 0
 x = s+t
y+2

x−1
z−4
b) prostej l :
i płaszczyzny π :  y = 1 + s + 2t , gdzie s, t ∈ R ;
=
=
0
3
−1

 z = 3 + 2s + 4t
c) płaszczyzn π 1 : 3x + y + z + 1 = 0 , π 2 : x + 2z + 6 = 0 , π 3 : 3x + 2z = 0 .
a) prostych l 1 : 
Zadanie 17 [5.17] Obliczyć odległość:
a) punktu P = ( 1, −2, 3 ) od płaszczyzny π : x + y − 3z + 5 = 0 ;
b) płaszczyzn π 1 : 2x + y − 2z = 0 , π 2 : 2x + y − 2z − 3 = 0 ;
c) płaszczyzn π 1 : x − 2y + 2z + 5 = 0 , π 2 : 3x − 6y + 6z − 3 = 0 ;
y
x
z
d) punktu P = ( 0, 1, −1 ) od prostej l : 2 = −1 = 3 ;
x−1
1
=
y+1
2
z
x
y−1
= −1 , −2 = −4 =
x=0
x=1
f) prostych skośnych l 1 : 
, l2 : 
;
y=0
 z=1
y−2
y+7
z
x
x−9
z−2
g) prostych l 1 :
, l2 :
=
=
=
= 2 ;
−3
−1
−2
9
4
e) prostych równoległych l 1 :
z−3
;
2
 x = 2+t

h) prostej l :  y = −3 + 2t , gdzie t ∈ R , od płaszczyzny π : 2x + y + 4z = 0 .

 z = 2−t
Zadanie 18 [5.18] Obliczyć miarę kąta między:
y−1
x−3
2
z+2
= 0 = −3 i płaszczyzną π : x − z = 0 ;
b) płaszczyznami π 1 : x − 2y + 3z − 5 = 0 , π 2 : 2x + y − z + 3 = 0 ;
 x = 1−t
 x = 3 − 2t


c) prostymi l 1 :  y = −2 + t , gdzie t ∈ R , l 2 :  y = 4 − t , gdzie t ∈ R .


 z = 3t
 z = 1 + 3t
a) prostą l :
Zadanie 19 [5.19] Znaleźć rzut prostokątny:
a) punktu P = ( −3, 2, 0 ) na płaszczyznę π : x + y + z = 0 ;
b) punktu P = ( −1, 2, 0 ) na prostą l : x = y = z ;
c) prostej l :
x−3
1
=
y−5
2
=
z+1
na płaszczyznę
0
π : x + 3y − 2z − 6 = 0 .
Zadanie 20 [5.20] Znaleźć punkt symetryczny do punktu P = ( 2, 3, −1 ) względem:
 x+y = 0
; c) płaszczyzny π : 2x − y + z − 6 = 0 .
 y+z = 0
a) punktu S = ( 1, −1, 2 ) ; b) prostej l : 
→
Zadanie 21 [5.21] Znaleźć rzut ukośny w kierunku wektora v = ( 2, 3, −1 ) :
a) punktu O = ( 0, 0, 0 ) na płaszczyznę π : x − 2z + 8 = 0 ;
b) prostej l : x − 1 = y + 1 = z − 2 na płaszczyznę π : x − y + z − 1 = 0 .
Zadanie 22 [5.22] Obliczyć objętości i pola powierzchni brył ograniczonych podanymi płaszczyznami :
a) x = 1 , y = −1 , z = 3 , x + y + z = 5 ;
b) x − y = 1 , x − y = 5 , x + 2z = 0 , x + 2z = 3 , z = −1 , z = 4 .
Zadanie 23 [5.23] Obliczyć pole trójkąta utworzonego przez parami przecinające się proste:
 x = −2 + 2t

l1 :  y =
, l2
0

 z = 4t
x= 0

:  y = 3 + 3s , l 3

 z = −4s
 x = −2p

:  y = 3 − 3p , gdzie t, s, p ∈ R .

z= 0
Przykłady zastosowań
Zadanie 24 [5.24] Stacje radiolokacyjne S 1 , S 2 , S 3 są umieszczone w wierzchołkach trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych l 1 = 300 km , l 2 = 400 km. Pomiary odległości rakiety R od tych stacji dały
następujące wyniki: d 1 = 300 km, d 2 = 400 km, d 3 = 400 km . Obliczyć, na jakiej wysokości h
leciała rakieta.
Zadanie 25 [5.25] Cząsteczka porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. W chwili t 1 = 2 cząsteczka
znajdowała się w punkcie P 1 = ( 0, −2, 5 ) , a w chwili t 2 = 3 w punkcie P 2 = ( 2, 3, 3 ) . Znaleźć
położenie P 0 tej cząsteczki w chwili t 0 = 0 .
Zadanie 26 [5.26] Na pochyłym płaskim terenie wytyczono kwadrat A 1 A 2 A 3 A 4 . Wzniesienia nad poziom
morza punktów A 1 , A 2 , A 3 wynoszą odpowiednio h 1 = 100 m , h 2 = 110 m, h 3 = 160 m .
Obliczyć wzniesienie h 4 punktu A 4 nad poziom morza.
Zadanie 27 [5.27] W celu określenia kąta nachylenia płaskiego nasypu do poziomu wykonano pomiary kąta
nachylenia tego nasypu w kierunku wschodnim i południowym. Pomiary te dały następujące wyniki: w
kierunku wschodnim nasyp wznosi się pod kątem α = 30 , a w kierunku południowym opada pod kątem
β = 45 . Obliczyć kąt nachylenie tego nasypu do poziomu.
Zadanie 28 [5.28] Płaska trójkątna siatka maskująca tajny obiekt wojskowy zaczepiona jest w
wierzchołkach trójkąta na trzech masztach. Maszty te mają wysokości h 1 = 5 m , h 2 = 7 m , h 3 = 10 m
i są ustawione w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a = 20 m . Obliczyć pole siatki
maskującej.
Zadanie 29 [5.29] Nad Wrocławiem przebiegają dwa prostoliniowe korytarze powietrzne dla samolotów.
Pierwszy z nich przebiega poziomo na wysokości h 1 = 1000 m ze wschodu na zachód, a drugi przebiega
z południowego-wschodu na północny-zachód i wznosi się pod kątem α = 10 . Samoloty poruszające się
tym korytarzem przelatują nad Wrocławiem na wysokości h 2 = 3000 m. Obliczyć najmniejszą możliwą
odległość między samolotami lecącymi tymi korytarzami.
Zadanie 30 [5.30] Trzy punkty materialne o masie m są przymocowane do nieważkich ramion o długości
l , które tworzą między sobą kąty 120 . Układ ten jest osadzony na poziomej osi i może obracać się wokół
niej. Uzasadnić, że ten układ pozostaje w równowadze niezależnie od położenia początkowego.
Zastosowania rachunku wektorowego w mechanice (materiał dodatkowy)
Zadanie 31 Korzystając z rachunku wektorowego uzasadnić, że

→
1

→ 
→
b) środek S odcinka o końcach A, B ma wektor wodzący OS = 2 ( OA + OB ) ;
b) środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 2 : 1 licząc
od wierzchołków (ten punkt nazywamy środkiem ciężkości trójkąta);
c) środek ciężkości S trójkąta o wierzchołkach A, B, C ma wektor wodzący

→
OS =
1
3

→ 
→ 
→
( OA + OB + OC ) :
d*)odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami ciężkości przeciwległych boków przecinają się
w jednym punkcie, który dzieli te odcinki w stosunku 3 : 1 licząc od wierzchołków (ten punkt nazywamy środkiem ciężkości czworościanu);
e*)środek ciężkości S czworościanu o wierzchołkach A, B, C, D ma wektor wodzący

→ 1 
→ 
→ 
→ 
→
OS = . 4 ( OA + OB + OC + OD ) .
Zadanie 32 [5.8.4]
a) W wierzchołkach trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a = 2 i b = 3 umieszczono jednakowe
masy. Znaleźć położenie środka masy tego układu.
b) W siedmiu wierzchołkach sześcianu o krawędzi d = 1 umieszczono masy m = 1 , a w ósmym umieszczono masę M = 7 . Znaleźć położenie środka masy tego układu.
c) W wierzchołkach trójkąta umieszczono jednakowe masy. Uzasadnić, że środek masy tego układu
pokrywa się z punktem przecięcia środkowych trójkąta.
d*)Korzystając z pojęcia środka masy uzasadnić twierdzenie: punkt przecięcia odcinków łączących środki
przeciwległych boków czworokąta wypukłego dzieli na połową odcinek łączący środki przekątnych
tego czworokąta.
Zadanie 33 [5.8.7]
a) W wierzchołkach podstawy sześcianu o krawędzi a = 2 umieszczono jednakowe masy m = 1 ,
a w pozostałych wierzchołkach jednakowe masy M = 3 . Obliczyć moment bezwładności tego układu
względem pionowej osi symetrii sześcianu.
.
b) W wierzchołkach czworościanu foremnego o krawędzi a = 1 umieszczono jednakowe masy m .
Obliczyć moment bezwładności tego układu względem prostej łączącej środki skośnych krawędzi
czworościanu.
c*)Wykazać, że moment bezwładności względem dowolnej prostej układu punktów materialnych o łącznej
masie równej m wyraża się wzorem Steinera I = I 0 + md 2 , gdzie I 0 jest momentem bezwładności
tego układu względem prostej przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do początkowej
prostej, a d jest odległością obu prostych.
→
d*)Tensorem bezwładności układu punktów materialnych w przestrzeni o wektorach wodzących r 1 ,
→
→
r 2 , ..., r n i masach równych odpowiednio m 1 , m 2 ,..., m n nazywamy macierz symetryczną postaci
 I x I xy I xz 


I =  I xy I y I yz  ,


 I xz I yz I z 
gdzie I x , I y , I z są momentami bezwładności tego układu względem osi Ox, Oy, Oz oraz
n
n
n
I xy = −Σ i=1 m i x i y i , I xz = −Σ i=1 m i x i z i , I yz = −Σ i=1 m i y i z i . Uzasadnić, że moment bezwładności
tego układu względem prostej l o unormowanym wektorze kierunkowym v T = [a, b, c] przechodzącej przez początek układu współrzędnych wyraża się wzorem I v = v T I v .
Uwaga. Dla dowolnego wektora niezerowego
jest nieujemnie określona.
Zadanie 34 [5.8.9]
→
→
v jest spełniona nierówność v T I v ≥ 0 oznaczająca z definicji, że macierz I
→ →
a) Obliczyć moment siły F = 3 i + 5 j − k przyłożonej w punkcie P = ( 1, 0, −1 ) , względem
punktu Q = ( 2, 0, −3 ) .
.
b) Obliczyć moment siły F = 5 N działającej stycznie do obwodu koła rowerowego o średnicy d = 1 m ,
względem osi obrotu.
Zadanie 35 [5.8.11, 5.8..12]
a) Obliczyć siłę, z jaką masy m 1 = 1 , m 2 = 2 , m 3 = 3 , m 4 = 4 rozmieszczoe w wierzchołkach
kwadratu o boku a = 2 przyciągają masę punktową M = 1 znajdującą się na wysokości h = 1 nad
środkiem tego kwadratu..
.
b*) Zbadać, czy siła przyciagania grawitacyjnego masy punktowej przez układ punktów materialnych jest
równoległa do wektora lączącego masę punktową ze środkiem masy tego układu.
.
Zadanie 36 [5.31P] W punktach P 1 = ( 0, 1, −3 ) , P 2 = ( 7, −3, 2 ) , P 3 = ( 1, 4, 2 ) są umieszczone
odpowiednio masy m 1 = 3 , m 2 = 1 , m 3 = 2 .
a) Wyznaczyć położenie środka masy tego układu.
b) Obliczyć moment bezwładności podanego układu mas względem osi Ox .
c) Obliczyć moment bezwładności podanego układu mas względem prostej l : x = y = 3z .
d) Obliczyć siłę przyciągania grawitacyjnego masy M = 4 znajdującej się w początku układu współrzednych przez podany układ mas.
Zadanie 37 [5.31Z] W wierzchołkach sześcianu o krawędzi a = 10 są umieszczone punkty materialne o
masach odpowiednio m 1 = 1 , m 2 = 2 , m 3 = 3 , m 4 = 4 , m 5 = 5 , m 6 = 6 , m 7 = 7 , m 8 = 8 . Masy
m 1 , m 2 , m 3 , m 4 znajdują się w kolejnych wierzchołkach podstawy tego sześcianu, a masy m 5 , m 6 ,
m 7 , m 8 znajdują się odpowiednio ponad nimi.
a)
b)
c)
d)
Określić położenie środka masy tego układu.
Obliczyć moment bezwładności podanego układu mas względem osi Oz .
Obliczyć moment bezwładności podanego układu mas względem osi łączącej masy m 3 i m 7 .
Obliczyć siłę przyciągania grawitacyjnego masy m 8 przez układ pozostałych mas.
Teresa Jurlewicz, 1 października 2009 r.