Pobierz artykuł

Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania.
Rafał Henryk Kartaszyński
Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej
Pl. M. Curie-Skłodowskiej 1, 20-031 Lublin, Polska
Streszczenie. W artykule tym zajmujemy się prostym doświadczeniem fizycznym, którego
zilustrowane wyniki przedstawiają fraktalne baseny przyciągania, a granice między nimi
mają strukturę fraktalną. We wstępie omówiono zagadnienie dziwnych atraktorów i basenów
przyciągania. Następnie omawiamy samo doświadczenie. W kolejnym paragrafie
przedstawiamy implementację programu służącego do modelowania naszego doświadczenia.
Abstract. In this paper we present simple physical experiment and its results showing fractal
basins of attraction, which boundaries show fractal structure. In introduction we explain what
strange attractors and fractal basins of attraction are. Next we describe our experiment and
program used for its modeling. Finally program implementation is concerned and project
results presented.
1.Wstęp.
Dziwne
atraktory.
Zajmujemy
się
dynamicznymi układami wielowymiarowymi.
Jest to przypadek bardzo rzeczywisty,
ponieważ realne stany rzadko dają się opisać
pojedynczymi zmiennymi. Musimy się też
ograniczyć do układów dyssypatywnych, tj.
takich, w których występuje tarcie, a ogólniej
utrata energii. Za przykład może posłużyć,
będący przedmiotem głębszej analizy, ruch
wahadła w pewnym ośrodku np. powietrzu.
Traci ono energie na skutek różnego rodzaju
tarć.
Przeciwieństwem
układów
dyssypatywnych są układy zachowawcze, w
których nie występują straty energii.
Matematycy i fizycy skłonni byli
uważać,
że
zachowanie
układów
dyssypatywnych, w dłuższym okresie czasu,
Rys.1.1. Atraktor Russela
daje się opisać prostymi wzorcami ruchu, na
przykład przez istnienie punktu spoczynku. Dziwne atraktory, w przeciwieństwie, są
wzorcami charakteryzującymi zachowania złożonych układów dyssypatywnych, a dokładniej
ich stanów ustalonych. Przejawiają one wszelkie oznaki chaosu. Dziwne atraktory są
pomostem łączącym chaos i fraktale. Jeżeli patrzymy na nie jako na struktury geometryczne,
widzimy fraktale, jeżeli chcemy je analizować jako układy dynamiczne, to mamy do
czynienia z chaosem. W rzeczywistości nie ma jeszcze konkretnej definicji matematycznej
dziwnego atraktora. Poniżej przedstawiamy próbę zdefiniowania podstawowych własności
dziwnego atraktora [1].
Niech T(x, y) będzie przekształceniem płaszczyzny o współrzędnych x, y.
Ograniczony podzbiór płaszczyzny A jest chaotycznym dziwnym atraktorem przekształcenia
T, jeżeli istnieje zbiór R, mający następujące własności:
· Atraktor. R jest otoczeniem A, tzn. dla każdego punktu (x, y) Î A istnieje mały dysk o
środku w (x, y), który jest zawarty w R. R jest obszarem pułapką, tzn. każda orbita
zaczynająca się w R pozostaje na zawsze w R. Ponadto, orbita staje się bliska A i
pozostaje tak blisko, jak tylko chcemy. A jest atraktorem.
· Czuła zależność. Orbity wychodzące z punktów należących do R wskazują czułą
zależność od warunków początkowych. A jest atraktorem chaotycznym.
· Fraktal. Atraktor ma strukturę fraktalną – jest dziwnym atraktorem.
· Mieszanie. A nie może zostać podzielony na dwa mniejsze atraktory (atraktor nie musi
być zbiorem spójnym). Istnieją punkty początkowe z obszaru R, których orbity
podchodzą dowolnie blisko dowolnego punktu atraktora A.
Fraktalne baseny przyciągania. Zbadajmy teraz sytuację, gdy mamy wiele atraktorów.
Wówczas orbita danego punktu początkowego powinna zbiegać do któregoś z atraktorów.
Logiczne jest więc, że muszą istnieć brzegi odpowiednich basenów przyciągania, które często
mają strukturę fraktalną. Z numerycznego i fizycznego punktu widzenia punkt początkowy
można wyznaczyć jedynie z pewną dokładnością r.
W tym miejscu pojawia się definicja punktu
niepewnego. Jest to punkt, w którego otoczeniu o promieniu
r istnieje punkt, którego trajektoria zbiega do innego
atraktora, niż badanego punktu (rys.1.2.). Obszar ten ma
szerokość 2r, jest więc proporcjonalny do r. Jeżeli
zmniejszymy promień niepewności dwukrotnie (poprawiając
r
dokładność) to obszar punktów niepewnych zmniejsza się
dwukrotnie. W naszym przypadku mamy jednak do
czynienia z brzegiem o charakterze fraktalnym, więc
zależność będzie bardziej złożona. Wyprowadzenie jej nie
będziemy jednak przytaczać, wspomnimy jedynie, że jest to
związek potęgowy, wyprowadzany w oparciu o wymiar
2r
pudełkowy brzegu.
Kłopotów z przewidzeniem stanu końcowego układu
nie ma jedynie w przypadku, gdy dany punkt początkowy
r
oraz jego otoczenie, tj. punkty w odległości nie większej niż
r od niego, zbiegają do tego samego atraktora. Gdy tak nie
jest i istnieją punkty z tego obszaru zbiegające do różnych
stanów, to nie możemy jednoznacznie przewidzieć, do
którego atraktora zbiega trajektoria danego punktu
początkowego. Widzimy, że przewidywanie zachowania
Rys.1.2. Granica pomiędzy
dwoma basenami frakatalnymi.
układów nieliniowych, z więcej niż jednym atraktorem, jest
Po prawej punkt niepewny.
utrudnione, a wymiar fraktalny zyskuje interpretację
dynamiczną.
2. Wahadło matematyczne w polu magnetycznym. Rozważamy wahadło matematyczne,
które może wykonywać ruchy we wszystkich kierunkach. Pod wahadłem, w pewnej
odległości od położenia równowagi, umieścimy magnesy o takiej sile przyciągania, by
wahadło znajdujące się dostatecznie blisko magnesu zostało przez niego przyciągnięte.
Można wywnioskować, że ruch takiego wahadła nie będzie ruchem harmonicznym, lecz
ruchem bardzo złożonym, można powiedzieć chaotycznym. Z powodu występujących sił
oporu, wahadło po pewnym czasie zatrzyma się przy którymś z magnesów lub w położeniu
równowagi. Można spróbować przewidzieć, czy wahadło zatrzyma się w położeniu
równowagi, czy przy magnesie. A jeśli przy magnesie, to przy którym. Oczywiście już z
samej analizy problemu wynika, że położenie końcowe wahadła będzie zależało od wielu
parametrów początkowych np.: położenia początkowego wahadła, położenia i siły magnesów
czy od oporów ośrodka, w którym porusza się wahadło. Trudno byłoby ustalić
eksperymentalnie położenie końcowe wahadła w zależności od tych wszystkich parametrów.
Dlatego spróbujemy wykonać symulację komputerową naszego eksperymentu. Należy, zatem
zacząć od wyprowadzenia równania ruchu wahadła.
W celu uproszczenia rachunków wprowadzimy pewne założenia, a mianowicie:
– wahadło matematyczne zawieszone jest na nieważkiej i nierozciągliwej nitce o długości
jednostkowej,
– wahadło traktujemy jako punkt materialny o jednostkowej masie,
–
wahadło może wahać się we wszystkich kierunkach w zakresie kąta - p / 2 < a < p / 2 , po
powierzchni sfery o promieniu jednostkowym,
– ruch wahadła rozpatrujemy w układzie współrzędnych XYZ, a punkt zaczepienia znajduje
się w punkcie o współrzędnych (0, 0,
1) (rys. 2.1),
– na płaszczyźnie XY umieszczone są
magnesy w wierzchołkach wielokąta
foremnego wpisanego w okrąg o
promieniu R i środku w początku
układu współrzędnych,
– siła oddziaływania każdego magnesu
z
wahadłem
jest
odwrotnie
proporcjonalna
do
kwadratu
odległości (drugie prawo Coulomba),.
– siła oporu ruchu wahadła jest
proporcjonalna do prędkości (siła
r
r
Rys. 2.1 Schemat doświadczenia
Stokesa F = 6phrV ),
Równanie ruchu. Po tych założeniach możemy przystąpić do wyprowadzania równania
ruchu wahadła. Zgodnie z naszymi założeniami wahadło porusza się po sferze spełniającej
równanie:
2
x 2 + y 2 + ( z - 1) = 1
(2.1)
Z warunku kąta wychylenia wahadła z
położenia równowagi wynika, że składowa zowa zmienia się w zakresie 0, 1) , więc:
(
z =1 - 1- x2 + y 2
gdzie:
(
)
)
1 - x 2 + y 2 = cos a = h
(x
)
(2.2)
(2.3)
+ y 2 = sin a
(2.4)
Ze względu na tak jednoznaczne
powiązanie zmiennych z, x i y (wzór 2.2)
wystarczy, jeżeli napiszemy równania ruchu dla
osi X i Y.
Rozpatrzmy teraz ruch wahadła w polu
grawitacyjnym. Wypadkową siłą, powodującą
Rys. 2.2 Rozkład siły grawitacji
ruch wahadła po krzywej kołowej, jest
składowa siły ciężkości, leżąca na stycznej do trajektorii wahadła (rys. 2.2).
2
Korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz rachunku wektorowego, możemy napisać
równania ruchu wahadła w polu grawitacyjnym (wzór):
ìïx ¢¢ + gx 1 - x 2 + y 2 = x ¢¢ + gxh = 0
(2.5)
í
ïîy ¢¢ + gy 1 - x 2 + y 2 = y ¢¢ + gyh = 0
gdzie: g – przyspieszenie ziemskie. Jest to układ równań różniczkowych zwyczajnych
drugiego rzędu. W tym wypadku wahadło wykonuje ruch harmoniczny w jednej
płaszczyźnie.
Rozpatrzmy teraz siłę oddziaływania wahadła
z i-tym magnesem (rys.2.3.). Niech położenie i-tego
magnesu będzie określone warunkiem:
ì
é 2p
ù
ï x i = R × cos ê n (i - 1)ú
ï
ë
û
(2.6)
í
ï y = R × sin é 2p (i - 1)ù
êë n
úû
ïî i
gdzie: n – ilość magnesów
i = 1, 2, 3, ..., n
R = promień okręgu opisanego na wielokącie.
Jak wynika z naszych założeń, siła oddziaływania itego magnesu z wahadłem wynosi:
M
Fi = 2
(2.7)
Rys.2.3. Wpływ przyciągania magnesów
di
gdzie: M – współczynnik proporcjonalności, zależny
od rodzaju magnesu
d i – odległość i-tego magnesu od wahadła, która wynosi:
(
(
)
)
(
))
(
2
d i2 = ( x i - x ) + ( y i - y ) + 1 - 1 - x 2 + y 2
(2.8)
Biorąc pod uwagę to, że siła składowa, wywołująca ruch wahadła, jest rzutem
prostopadłym siły magnetycznej na płaszczyznę styczną od sfery (rys. 2.3) oraz
wykorzystując rachunek wektorowy, otrzymamy:
M
Fxi = 3 x i - x xxi + yy i + 1 - x 2 + y 2
di
(2.9)
M
2
2
Fyi = 3 y i - y xxi + yy i + 1 - x + y
di
Równanie ruchu wahadła przyjmie postać:
n
M
ì
¢
¢
[x i - x(xx i + yy i + h)] + gxh = 0
x
å
ï
3
i =1 d i
ï
(2.10)
í
n
M
ïy ¢¢ [y i - y(xx i + yy i + h)] + gyh = 0
å
3
ïî
i =1 d i
Otrzymany układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego stopnia mógłby
posłużyć nam do badania trajektorii ruchu wahadła w polu magnetycznym magnesów.
Zauważymy jednak, że wahadło nasze jest przyspieszane (rys.2.4.) i nigdy nie
zatrzyma się. Dlatego do równania (2.10) wprowadzamy czynnik związany z siłą oporu
ośrodka, która jest proporcjonalna do prędkości wahadła. Po wprowadzeniu tego czynnika
otrzymamy ostateczną postać równania ruchu wahadła:
2
[
[
2
(
(
(
))]
(
))]
n
M
ì
¢
¢
¢
+
x
C
x
[x i - x(xx i + yy i + h)] + gxh = 0
å
ï
3
i =1 d i
ï
í
n
M
ïy ¢¢ + Cy ¢ [y i - y(xx i + yy i + h)] + gyh = 0
å
3
ïî
i =1 d i
gdzie: C – współczynnik proporcjonalności
związany z oporem ośrodka.
Rozwiązanie tego układu równań
wymaga podania wielu parametrów
początkowych jak: określenie położenia
początkowego wahadła, jego prędkości
początkowej, współczynnika oporu ruchu,
siły oddziaływania magnesów na wahadło
czy przyspieszenia ziemskiego. Takie
zagadnienie
z
tyloma
parametrami
początkowymi możemy na wiele sposobów
rozwiązywać numerycznie.
(2.11)
3. Symulacje komputerowe ruchu
wahadła matematycznego w polu
magnetycznym. Wiadomo, że obraz
Rys. 2.4. Trajektoria wahadła w polu magnetycznym
powstały na ekranie monitora jest obrazem
trzech magnesów bez oporu ruchu.
płaskim, dlatego należy przyjąć pewne
odwzorowanie powierzchni sfery, po której
porusza się wahadło na powierzchnię płaską. Ponieważ w naszym modelu zależność między
współrzędną z-ową a współrzędnymi x i y jest jednoznaczna, możemy tworzyć obrazy
poprzez rzut prostopadły punktu P(x, y, z) sfery na punkt P’(x, y) na płaszczyźnie (rys. 3.1).
Rys. 3.1. Odwzorowanie sfery na płaszczyznę
W naszym programie wykorzystamy także inne odwzorowanie sfery na płaszczyznę.
Jeżeli poprowadzimy prostą ze środka sfery przechodzącą przez punkt P(x, y, z), to prosta ta
przetnie płaszczyznę XY w punkcie P”(Ux, Uy) (rys. 3.1). Należy zauważyć, że jeżeli punkt P
zbliża się do równika sfery, punkt P” dąży do nieskończoności. Dlatego w naszych
rozważaniach rozpatrujemy ruch wahadła w zakresie kątów - p / 2 < a < p / 2 .
Takie odwzorowanie połowy sfery na płaszczyznę jest jednoznaczne i można je
przedstawić w postaci:
x
x
x
Ux =
=
=
(3.1)
2
2
1- z
h
1- x + y
(
)
y
y
y
=
=
(3.2)
1- z
h
1 - x2 + y 2
Istnieje także jednoznaczne odwzorowanie punktów płaszczyzny na punkty sfery:
Ux
x=
(3.3)
1 + U 2x + U 2y
Uy =
y=
(
Uy
1 + U 2x + U 2y
z =1-
1
1 + U 2x + U 2y
)
(3.4)
(3.5)
4. Implementacja. Program został napisany w Delphi jako aplikacja wielowątkowa.
Gdy znalezione zostały
odwzorowania sfery na płaszczyznę,
srodek:= robrazka div 2;
należało również przejść ze
przelicznik:=1.0/srodek;
współrzędnych ekranu (piksele) na
Ux:=(wiersz-srodek)*przelicznik;
współrzędne płaszczyzny rzutu. Do
Uy:=(srodek-kolumna)*przelicznik;
określenia, jakie współrzędne na
Rys.4.1. Przeliczanie pikseli na współrzędne na płaszczyźnie.
płaszczyźnie (Ux, Uy) odpowiadają
pikselowi (wiersz, kolumna) służy kod rys.4.1.
Zmienne używane w programie to parametry początkowe doświadczenia: liczba
magnesów, promień okręg, na którym znajdują się magnesy, współczynnik namagnesowania
magnesów, przyspieszenie grawitacyjne, współczynnik oporu ośrodka oraz współrzędne
początkowe wahadła. Dzięki takiej parametryzacji możemy przeprowadzić nasze
doświadczenie np. na dowolnej planecie, a wahadło umieścić w dowolnym ośrodku.
Ruch wahadła odbywa się na sferze. Współrzędna sfery przeliczane są na współrzędne
płaszczyzny, a te z kolei na piksele rysunku o zadanym rozmiarze. Rozpatrując ruch wahadła,
bierzemy pod uwagę przesunięcie przy stałej czasowej, uwzględniając siły oddziaływania
pochodzące od pola grawitacyjnego i
każdego magnesu z osobna. Na podstawie
elAlfa := (DwaPi/IleMag);
wyprowadzonych
poprzednio
równań
for i := 1 to IleMag do
wyznaczamy kolejne położenia wahadła.
begin
Program analizuje trajektorię ruchu wahadła
Alfa := elAlfa * (i - 1);
od wybranego punktu początkowego do
Xi[i] := R * cos(Alfa);
Yi[i] := R * sin(Alfa);
chwili uwięzienia wahadła przez magnes lub
end;
pole grawitacyjne. Dla każdego magnesu i
Xi[0] := 0;
środka
ciężkości
ustalamy
promień
Yi[0] := 0;
uwięzienia wahadła. Jeżeli wahadło w
ustalonej
liczbie
kroków
pozostanie
Rys.4.2. Obliczanie współrzędnych magnesów.
wewnątrz okręgu o tym promieniu,
uznajemy, że dany magnes, lub punkt równowagi jest położeniem końcowym wahadła. Gdy
chcemy sporządzić obraz basenów przyciągania, każdemu punktowi na ekranie
przyporządkowywany jest kolor zależny od położenia końcowego wahadła. Zauważyć należy,
że nasycenie szarości informuje o punktach stacjonarnych. W programie można dowolnie
wybierać kolor odpowiadający wybranemu magnesowi, lub punktowi równowagi.
5. Wyniki. Efektem wykonania programu są rysunki przedstawiające rzut trajektorii ruchu
wahadła na płaszczyznę.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rys. 5.1. Widok trajektorii wahadła w polu magnesów, dla zmieniających się parametrów początkowych jak:
opór ruchu (C), siła oddziaływania magnesów (M), położenie początkowe (X,Y) czy liczby magnesów (N):
a) N = 3; C = 0,4; M = 0,0015; X = 0,1, Y = 0,3;
b) N = 3; C = 0,8; M = 0,0015; X = 0,1, Y = 0,3;
c) N = 3; C = 0,9; M = 0,001; X = 0,1, Y = 0,3;
d) N = 3; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,3;
e) N = 5; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,1;
f) N = 12; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,1;
Na rysunku 5.2 możemy zaobserwować zależność położenia końcowego wahadła od
zmieniających się parametrów początkowych: oporu ruchu, siły oddziaływania magnesów,
położenia początkowego wahadła oraz liczby magnesów. Jak widzimy wszystkie parametry
układu równań (2.11) mają wpływ na trajektorię ruchu i położenie końcowe wahadła.
Przejdźmy do głównego eksperymentu, polegającego na stworzeniu mapy zależność
położenia początkowego od położenia końcowego wahadła. Wyobraźmy sobie, że puszczamy
wahadło z dowolnego punktu sfery i sprawdzamy czy wahadło zatrzyma się przy określonym
przez nas magnesie. Zbiór takich punków nazywamy basenami przyciągania.
Rys. 5.2. Baseny przyciągania dla wahadła zawieszonego nad dwoma magnesami
Rys. 5.3 Baseny przyciągania dla wahadła zawieszonego nad
czterema magnesami
Rys. 5.5. Powiększenie fragmentu
rysunku obok
Rys.5.4. Baseny przyciągania dla wahadła zawieszonego nad trzema
magnesami. Rzut prostopadły.
Na powyższych rysunkach widzimy skomplikowany układ przenikających się
basenów przyciągania magnesów. Należy zauważyć, że fragment basenu przyciągania, który
wydaje się należeć tylko do jednego magnesu, po powiększeniu (rys. 5.5.) okazuje się
poprzedzielany innymi basenami przyciągania i tak w nieskończoność. Widzimy, że w istocie
mają one bardzo skomplikowaną, fraktalną strukturę, podobną do zbioru Cantora.
Dalsze rozważania i obserwacje. W dalszej części pracy zajmę się basenami przyciągania
dla układu pole grawitacyjne – magnes.
Na rysunku 5.6 widzimy strukturę
basenów przyciągania magnesu. Zastanówmy się,
czym są baseny przyciągania, jakie zjawisko w
istocie obserwujemy. Jeżeli przeanalizujemy
układy równań (2.10) lub (2.11), ruchu wahadła,
zauważymy, że wahadło porusza się w dwóch
polach opisanych funkcjami sinusoidalnymi.
Załóżmy, że wahadło uwięzione jest w pewnej
studni potencjału opisanej wzorem (patrz układ
równań (2.5) – wahadło w polu grawitacyjnym):
(
)
V ( x, y , z ) = - A 1 - x 2 + y 2 = - A cos a (5.6)
gdzie: A – współczynnik proporcjonalności.
Jeżeli teraz wprowadzimy pewne
zaburzenie tej studni potencjału innym
Rys. 5.6 Baseny przyciągania dla wahadła
potencjałem,
opisanym
także
funkcją
zawieszonego nad jednym magnesem.
proporcjonalną do cosa (oddziaływanie magnes –
wahadło), to nastąpi interpolacja obu potencjałów oraz zaburzenie jednej z funkcji falowej
przez drugą. Można na tej podstawie wnioskować, że obrazy basenów przyciągania w istocie
przedstawiają zaburzenia jednego potencjału przez inny potencjał.
Można by było zapytać, czym jest wahadło w naszym doświadczeniu? Sądzę, że
najprościej rzecz ujmując, wahadło można traktować jak sondę badającą zaburzenia
potencjału. Przecież wahadło nie wprowadza w nasze pole żadnych zaburzeń i jeżeli
wykonalibyśmy nasze doświadczenie bez magnesów, otrzymalibyśmy biały obraz, bez
basenów przyciągania. Dopiero po wprowadzeniu magnesu w pobliże wahadła powoduje
powstanie basenów przyciągania.
Rozważmy zaburzenie potencjału grawitacyjnego przez słaby potencjał magnetyczny.
Takie zaburzenie ilustruje rysunek 5.6.
Rys.5.6. a)
Rys. 5.6 b)
Rys. 5.6. c)
Baseny przyciągania dla wahadła zawieszonego nad jednym magnesem, przy zmieniającym się współczynniku
oporu ruchu wynoszącym odpowiednio dla: a) C = 0,9; b) C = 0,6; c) C = 0,3.
W ciągu tych rysunków obserwujemy zmieniający się kształt i położenie basenów
przyciągania względem środka studni zaburzonego potencjału oznaczonego „+”. Zauważymy,
że pierwszy basen przyciągania, znajdujący się po prawej stronie „+”, ma identyczny kształt
na wszystkich rysunkach. Jest to główny basen przyciągania znajdujący się w pobliżu
magnesu. Następne baseny przyciągania różnią się wyglądem, ale w każdym z nich możemy
doszukać się podobieństwa do fragmentów zniekształconej funkcji sinusoidalnej. Przy czym
im bardziej oddalamy się od środka, tym większe są to fragmenty. Należy zwrócić także
uwagę na pierwszy basen przyciągania w kształcie łuku, znajdujący się po lewej stronie
środka zaburzonego potencjału. Jego kształt zasadniczo nie ulega zmianie, ale wraz z
malejącym oporem ruchu, przybliża się on do środka „+”. I jeżeli na rysunku 5.6.a, znajduje
się on w odległości większej od środka niż główny basen przyciągania, to na rysunku 5.6.c,
odległość tego basenu przyciągania od środka, jest mniejsza od odległości głównego basenu.
W naszym eksperymencie, możemy obserwować zaburzenie studni potencjału w
maksymalnym zakresie kąta - p / 2 < a < p / 2 . Lecz jeżeli baseny przyciągania są obrazem
zaburzenia studni potencjalnej, to nie powinny ograniczać się tylko do tego obszaru.
Rys.5.7. Baseny przyciągania dla wahadła zawieszonego nad jednym magnesem, obserwowane przy
rzucie prostopadłym.
Na rysunku powyżej widzimy, jak basen przyciągania znajdujący się po lewej został
przerwany tak, jakby dalsza jego część znajdowała się powyżej tego kąta.
5. Podsumowanie. W artykule tym zaprezentowaliśmy proste doświadczenie, którego wyniki
prowadzą do złożonych wniosków. Badanie stanu końcowego układu w zależności od
warunków początkowych prowadzi do ciekawych obserwacji. Zilustrowane wyniki
przedstawiają fraktalne baseny przyciągania, a granice między nimi mają strukturę fraktalną.
Doświadczenie wymaga jednak użycia programu komputerowego. Odpowiednio zmieniając
parametry doświadczenia możemy modelować i zmieniać otrzymane struktury fraktalne.
Bibliografia.
[1]
Peitgen O., Jűrgens H., Saupe D. „Granica chaosu Fraktale”, PWN 2000
[2]
Szuster P. „Chaos deterministyczny”, PWN 1994
[3]
Penrose R. „Nowy umysł cesarza” PWN 1995
[4]
Kudrewicz J. „Fraktale i chaos” PWN 1989