prezentacja - Uniwersytet Rzeszowski

„Implikacje rozmyte”
Zbigniew Suraj
Instytut Informatyki
Uniwersytet Rzeszowski
Seminarium naukowe „Grupy badawczej RSPN”, 8 kwietnia 2013, Rzeszów
Logika klasyczna
(arystotelesowska)
1. Stwierdzenia są albo prawdziwe albo fałszywe.
2. Oparta jest na trzech prawach, zwanych zasadami logiki
klasycznej:
•
Prawo tożsamości:
•
Prawo sprzeczności:
•
Prawo wyłączonego środka:
Logiki nieklasyczne
1. Nie obowiązuje zasada dwuwartościowości (prawda,
fałsz).
2. Nie obowiązuje co najmniej jedno z trzech praw logiki
klasycznej.

Podział logik
logika
klasyczna
rachunek
zdań
rachunek
predykatów
nieklasyczne
rachunek
rezolucyjny
intuicjonistyczna
modalne
TRZ
Floyda-Hoare’a
rozmyta
Klasyfikacja rozumowania
rozumowanie
pewne
dedukcyjne
redukcyjne
niepewne
przez analogię
statystyczne
rozmyte
logiczne
wnioskowanie
dowodzenie
sprawdzanie
wyjaśnienie
estymacja
weryfikacja
funkcyjne
Podstawy teoretyczne
Normy trójkątne
Funkcję t: [0,1]2 → [0,1] nazywamy t-normą wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnych a, b, c ϵ [0,1]:
(1) 1 jest elementem neutralnym, tzn. t(a,1) = a
(2) t jest monotoniczna, tzn. jeśli a ≤ b to t(a, c) ≤ t(b, c)
(3) t jest przemienna, tzn. t(a, b) = t(b, a)
(4) t jest łączna, tzn. t(t(a, b), c) = t(a, t(b, c))
Przykłady t-norm:
TM(a, b) = min(a, b) (t-norma Gödla),
TL(a, b) = max(0, a + b - 1)
TP(a, b) = a * b,
Normy trójkątne (cd.)
Funkcję s: [0,1]2 → [0,1] nazywamy s-normą (lub t-conormą)
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b, c ϵ [0,1]:
(1) 0 jest elementem neutralnym, tzn. s(a,0) = a
(2) s jest monotoniczna, tzn. jeśli a ≤ b to s(a, c) ≤ s(b, c)
(3) s jest przemienna, tzn. s(a, b) = s(b, a)
(4) s jest łączna, tzn. s(s(a, b), c) = s(a, s(b, c))
Przykłady s-norm:
SM(a, b) = max(a, b),
SL(a, b) = min(a + b, 1)
SP(a, b) = a + b - a * b,
Relacje między wybranymi t- i snormami
Własność. Niech TD, TM, TL, TP będą t-normami, a SD, SM, SL, SP
- s-normami zdefiniowanymi jak wyżej. Wtedy:
TD ≤ TL ≤ TP ≤ TM ≤ SM ≤ SP ≤ SL ≤ SD
gdzie:
TD (a,b) = 0, jeśli (a,b) ϵ [0,1)2
SD(a,b) = 1, jeśli (a,b) ϵ (0,1]2
TD (a,b) = min(a,b) w p.p.
SD(a,b) = max(a,b) w p.p.
TD
TL
TP
TM
SM
SP
SL
SD
E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap: Triangular norms, Kluwer, 2000, pp. 4-19.
Parametryczne rodziny t- i s-norm
TABLICA. Wykaz wybranych parametrycznych rodzin t- i s-norm
Si (a,b,v)
i
Ti (a,b,v)
a  b  (2  v)ab
1  (1  v)ab
ab
v  (1  v)(a  b  ab)
1  [max (0, (1  a)v  (1  b)v  1)]1/ v
max (0, a v  bv  1)]1/ v
a  b  ab  min (a, b,1  v)
max( 1  a,1  b, v)
ab
max (a, b, v)
 (v1a  1)(v1b  1) 
1  log v 1 

v

1


 (v a  1)(v b  1) 
log v 1 

v

1


1
1
1
 1

1  (  1) v  (  1) v 
b
 a

H
(0, )
SS
(, )
DP
(0, 1)
F
1  min [1, ((1  a) v  (1  b) v )1 / v ] Y
min [1, (a v  b v )1 / v ]
1
1/ v
1
 1

1  (  1) v  (  1) v 
b
 a

1/ v
Zakres
D
(0, )
(0, )
(0, )
Własności:
SH(a,b,1) = SP(a,b)
TH(a,b,1) = TP(a,b)
SSS(a,b,1) = SL(a,b)
TSS(a,b,1) = TL(a,b)
SDP(a,b,?) = S?(a,b)
TDP(a,b,?) = T?(a,b)
SF(a,b,0) = SM(a,b)
TF(a,b,0) = TM(a,b)
SY(a,b,1) = SL(a,b)
TY(a,b,1) = TL(a,b)
SD(a,b,1) = SH(a,b,0)
TD(a,b,1) = TH(a,b,0)
H - Hamacher, SS – Schweizer-Sklar, DP – Dubois i Prade,
F – Frank, Y – Yager, D – Dombi
Własności:
1.
S H1  S P  S Hv  S D  S H
2.

0
1
v

S SS
 S M  S SS
 S P  S SS
 S L  S SS
 S D  S SS
TH1  TP  THv  TD  TH
1
TSS  TM  TSS0  TP  TSS
 TL  TSSv  TD  TSS
3.
4.
S F0  S M  S Fv  S L  S F
TF0  TM  TFv  TL  TF
SY0  S D  SY1  S L  SYv  SM  SY
TY0  TD  TY1  TL  TYv  TM  TY
5.
S D0  S D  S Dv  S M  S D
TD0  TD  TDv  TM  TD
E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap: Triangular norms, Kluwer, 2000, pp. 315-331.
SwH = S0D = SwSS= S0Y
SD
SvSS
SL
= S1SS = S1Y = SwF
SvH
SvD
S1H = S0SS = SP
SM
TwD = T-wSS= TwY= T0F =
TM
T1H = T0SS =
TP
TvH
TL
TvD
SvY
= SwD = S-wSS = SwY = S0F
TvY
TvF
T1SS = T1Y = TwF
TvSS
TwH = T0D = TwSS= T0Y =
TD
SvF
Klasyczny rachunek zdań
Tablica prawdy.
Negacja, alternatywa, koniunkcja

p
q
p
pq
pq
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
Definicja implikacji binarnej
Funkcję IB: {0,1}2  {0,1} nazywamy implikacją binarną
wtedy i tylko wtedy, gdy:
(I1) IB(0,0) = 1,
(I2) IB(0,1) = 1.
(I3) IB(1,0) = 0,
(I4) IB(1,1) = 1.
W logice klasycznej IB może być definiowana na wiele
różnych sposobów.
Różne sposoby definiowania IB
• Tablica prawdy:
p
q
IB(p,q)
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1

• Formuły:
I B1 ( p, q)  p  q
I B 2 ( p, q)  max{ x  {0,1} : p  x  q}

I B 3 ( p, q )  p  ( p  q )


I B 4 ( p, q )  ( p  q )  q
Uwaga: Można łatwo pokazać, że implikacje te są równoważne.
Implikacje rozmyte
M. Baczyński, B. Jayaram: Fuzzy implications, Studies in Fuzziness and Soft
Computing, Vol. 231, Springer, Berlin 2008.
Definicja implikacji rozmytej
Funkcję I: [0,1]2  [0,1] nazywamy implikacją rozmytą wtedy i tylko wtedy,
gdy dla dowolnych x, x1, x2, y, y1, y2 spełnione są następujące warunki:
(I1)
(I2)
(I3)
(I4)
(I5)
Jeśli x1 ≤ x2, to I(x1, y) ≥ I(x2, y), tzn. I(∙, y) jest słabo malejąca,
Jeśli y1 ≤ y2, to I(x, y1) ≤ I(x, y2), tzn. I(x,∙) jest słabo rosnąca,
I(0,0) = 1,
I(1,1) = 1,
I(1,0) = 0.
Zbiór wszystkich implikacji rozmytych będziemy oznaczać przez FI.
Uwaga: Z definicji implikacji rozmytej wynika, że:
I(0,y) = 1 dla y ϵ[0,1],
I(x,1) = 1 dla x ϵ[0,1].
Ponadto I(x,1) ≥ I(1,1) = 1, czyli I(0,1) = 1.
Wzajemna niezależność
aksjomatów
Funkcja z [0,1]2 w [0,1]
I 1 ( x, y)  max(1  x, min( x, y))
I 2 ( x, y)  max( y, min(1  x,1  y))
0, gdy y  1
I 3 ( x, y)  
1, gdy y  1
1, gdy x  0
I  4 ( x, y )  
0, gdy x  0
I 5 ( x, y)  1
I1
I2
I3
I4
I5
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
Przykłady implikacji rozmytych
Nazwisko
Rok
Łukasiewicz
1923
Gödel
1932
Reichenbach
1935
Kleene-Dienes
Goguen
1938, 1949
1969
Wzór
I LK ( x, y)  min(1, 1  x  y)
1, gdy x  y
I GD ( x, y )  
 y, gdy x  y
I RC ( x, y) 1  x  xy
I KD ( x, y)  max(1  x, y)
1, gdy x  y

I GG ( x, y )   y
 x , gdy x  y
Przykłady implikacji rozmytych
Wzór
Nazwisko
Rok
Rescher
1969
Yager
1980
Weber
1983
1, gdy x  1
IWB ( x, y )  
 y, gdy x  1
Fodor
1993
1, gdy x  y
I FD ( x, y )  
max( 1  x, y ), gdy x  y
1, gdy x  y
I RS ( x, y )  
0, gdy x  y
1, gdy x  0 i y  0
IYG ( x, y )   x
 y , gdy x  0 lub y  0
Szczególne implikacje rozmyte
Rodzina implikacji rozmytych FI ma najmniejszą implikację rozmytą:
1, gdy x  0 lub y  1
I 0 ( x, y )  
0, gdy x  0 i y  1
i największą implikację rozmytą:
1, gdy x  1 lub y  0
I1 ( x, y )  
0, gdy x  1 i y  0
Częściowy porządek implikacji
rozmytych
I KD  I RC  I LK  IWB
I RS  I GD  I GG  I LK  IWB
IYG  I RC  I LK  IWB
I KD  I FD  I LK  IWB
I RS  I GD  I FD  I LK  IWB
Twierdzenie
Rodzina (FI, ≤ ) jest kratą zupełną i rozdzielną z operacjami:
( I  J )( x, y)  max( I ( x, y), J ( x, y)),
( I  J )( x, y)  min( I ( x, y), J ( x, y),
dla dowolnych x, y ϵ [0,1], gdzie I, J ϵ FI.
Przykład:
H 2  I GG  I RC
1, gdy x  y

H 1 ( x, y )  
y
max(
,1  x  xy ), gdy x  y

x

1  x  xy , gdy x  y

H 2 ( x, y )  
y
min(
,1  x  xy ), gdy x  y

x

IWB
ILK
H1
H5
H3
H12
IRC
H8
IYG
H9
IFD
H2
IGG
H10
H11
IGD
H13
IKD
H4
H6
H7
IRS
H14
H15
Definicja negacji rozmytej
Funkcję N: [0,1]  [0,1] nazywamy negacją rozmytą wtedy i tylko wtedy,
gdy spełnione są następujące warunki:
(I1)
(I2)
(I3)
N(0) = 1,
N(1) = 0,
N jest funkcją malejącą.
Przykłady negacji rozmytych:
N ( x)  1  x
N ( x)  1  x 2
N ( x)  1  x
Inne negacje rozmyte
• Najmniejsza negacja rozmyta (negacja Gödla)
1, gdy x  0
N GD1 ( x)  
0, gdy x  (0,1]
• Największa negacja rozmyta (dualna negacja Gödla)
0, gdy x  1
N GD 2 ( x)  
1, gdy x  [0,1)
Rodziny implikacji rozmytych
• Rozmyte odpowiedniki implikacji binarnych:
I ( p, q)  S ( N ( p), q)
I ( p, q)  sup{x  [0,1] : T ( p, x)  q}
I ( p, q)  S ( N ( p), T ( p, q))
I ( p, q)  S (T ( N ( p), N (q)), q)
• Implikacje te nie są równoważne.
• W przypadku ogólnym, prawo wyłączonego środka i
prawo sprzeczności nie są prawdziwe w logice rozmytej.
Rodziny implikacji rozmytych
• Te cztery ogólne implikacje określają różne rodziny
implikacji rozmytych.
• Warianty dla każdej rodziny uzyskuje się przez dobór
różnych T, S i N operatorów.
• Każda klasa implikacji rozmytych ma różne własności.
• Pewne implikacje rozmyte mogą należeć do więcej niż
jednej rodziny.
S-implikacje
• Oparte na I(p,q) = S(N(p),q) oraz standardowej negacji rozmytej,
tzn. N(x) = 1-x.
• Różne postacie implikacji otrzymuje się poprzez wybór różnych S
operatorów.
Implikacja
Łukasiewicz
Reichenbach
Kleene-Dienes
S
S LK ( x, y)  min(1, x  y)
S P ( x, y)  x  y  xy
S M ( x, y)  max( x, y)
Największa S
 x, gdy y  0
- implikacja S L ( x, y )  
 y, gdy x  0
1 w pp.

I
I LK ( x, y)  min(1, 1  x  y)
I RC ( x, y) 1  x  xy
I KD ( x, y)  max(1  x, y)
1  x, gdy y  0

I LS ( x, y )   y, gdy x  1
1 w pp.

• Uporządkowanie S-implikacji: I LS  I LK  I RC  I KD
R-implikacje
• Oparte na standardowej negacji rozmytej, różnych T-normach oraz
I ( p, q)  sup{x [0,1] : T ( p, x)  q}
• Różne postacie implikacji otrzymuje się poprzez wybór różnych T
operatorów.
Implikacja
Łukasiewicz
Goguen
Godel
Największa
R - implikacja
T
I
TLK ( x, y)  max( 0, x  y  1)
I LK ( x, y)  sup{z : max( 0, x  z  1  y} 
min(1,1  x  y)
TP ( x, y)  xy
TM ( x, y)  min( x, y)
Nie można określić analitycznie.
• Uporządkowanie S-implikacji:
 y, gdy x  1
I LR ( x, y )  
1 w pp.
I LR  I LK  I GG  I GD
QL-implikacje
• Oparte na dualnych T-S operatorach, standardowej negacji rozmytej
oraz
I ( p, q)  S ( N (a), T (a, b))
• Różne postacie implikacji otrzymuje się poprzez wybór różnych T-S
operatorów.
Implikacja
Zadeh
Klir i Yuan 1
Kleene-Dienes
Dualne T – S
TM  min, S M  max
TP  xy, S P  x  y  xy
TLK ( x, y )  max( 0, x  y  1),
S LK ( x, y )  min(1, x  y )
I
I ZD ( x, y)  max(1  x, min( x, y))
I KY1 ( x, y) 1  x  xxy
I KD ( x, y)  max(1  x, y)
Inne implikacje
• Poprzednie implikacje są najczęściej używane
• Inne implikacje są także możliwe stosując schemat
S(T(N(x), N(y)), y)