1 Sprawdzian 2a Zestaw 1 Imi˛e i nazwisko Zadanie 1. W sze´sciu

1
Sprawdzian 2a
Zestaw 1
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. W sześciu pojemnikach rozmieszczono w sposób losowy n kul. Prawdopodobieństwo, że wszystkie kule znajduja˛ sie˛ w tym samym pojemniku jest 60 razy
mniejsze od prawdopodobieństwa, że żadne dwie kule nie znajduja˛ sie˛ w tym samym
pojemniku. Ile wynosi n ?
Zadanie 2. W pierwszej szufladzie jest 5 koszulek białych i pewna liczba koszulek
czarnych, w drugiej jest 6 koszulek czarnych i pewna liczba koszulek białych. Wiadomo,
że przy losowaniu bez zwracania z pierwszej szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek białych jest wieksze
˛
od 29 , a przy losowaniu bez zwracania z drugiej
szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek czarnych jest wieksze
˛
od
1
.
Ustalić,
w
której
szufladzie
jest
wi
ecej
˛
koszulek
białych,
a
w
której
wi
ecej
˛
koszulek
3
czarnych.
Zadanie 3. Ze zbioru wierzchołków n-kata
˛ foremnego W (gdzie n jest liczba˛
parzysta)
˛ wybieramy (bez zwrotu) dwa wierzchołki. Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że wybrane wierzchołki nie bed
˛ a˛ końcami średnicy okregu
˛ opisanego na n-kacie
˛
W.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że każdy kot ściga mysz o tej samej
barwie, jaka˛ ma ten kot.
2
Sprawdzian 2a
Zestaw 2
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. Każda z trzech jednakowych urn zawiera 15 kul, z których dokładnie
n jest czarnych. Z każdej urny losujemy jedna˛ kule.
˛ Dla jakiej wartości n prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch kul czarnych jest najwieksze?
˛
Zadanie 2. Rzucamy 3 razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Zdarzenie A
polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ arytmetyczny, zaś zdarzenie
B polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ geometryczny. Które z
tych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne?
Zadanie 3. Zbiór złożony z 3n osób (gdzie n > 1), spośród których dwie sa˛
wyróżnione, dzielimy w sposób losowy na trzy równoliczne grupy.Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wyróżnione osoby trafia˛ do tej samej grupy.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że żaden kot nie ściga myszy o tej samej
barwie, jaka˛ ma ten kot.
3
Sprawdzian 2a
Zestaw 3
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. Z urny w której znajduje sie˛ n kul, w tym 6 białych losujemy kolejno
dwie kule bez zwracania. Dla jakich n prawdopodobieństwo tego, że obie kule sa˛
białe bedzie
˛
wieksze
˛
od 14 ?
Zadanie 2. W pierwszej szufladzie jest 5 koszulek białych i pewna liczba koszulek
czarnych, w drugiej jest 6 koszulek czarnych i pewna liczba koszulek białych. Wiadomo,
że przy losowaniu bez zwracania z pierwszej szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek białych jest wieksze
˛
od 29 , a przy losowaniu bez zwracania z drugiej
szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek czarnych jest wieksze
˛
od
1
. Ustalić, w której szufladzie jest wiecej
˛
koszulek białych, a w której wiecej
˛
koszulek
3
czarnych.
Zadanie 3. Ze zbioru wierzchołków n-kata
˛ foremnego W (gdzie n jest liczba˛
podzielna˛ przez 3) wybieramy (bez zwrotu) trzy wierzchołki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrane wierzchołki bed
˛ a˛ wierzchołkami trójkata
˛ równobocznego.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że każda mysz jest ścigana.
4
Sprawdzian 2a
Zestaw 4
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. W urnie sa˛ kule białe, czarne i niebieskie. Kul czarnych jest dwa
razy wiecej
˛
niż białych, a niebieskich dwa razy wiecej
˛
niż czarnych. Ile jest kul w
urnie, jeżeli przy jednoczesnym losowaniu trzech kul prawdopodobieństwo wylosowa8
nia każdej kuli w innym kolorze wynosi 35
?
Zadanie 2. Rzucamy 3 razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Zdarzenie A
polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ arytmetyczny, zaś zdarzenie
B polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ geometryczny. Które z
tych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne?
Zadanie 3. Zbiór złożony z 2n osób (gdzie n > 1), spośród których trzy sa˛
wyróżnione, dzielimy w sposób losowy na dwie równoliczne grupy.Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wyróżnione osoby trafia˛ do tej samej grupy.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że każdy kot ściga mysz o tej samej
barwie, jaka˛ ma ten kot.
5
Sprawdzian 2a
Zestaw 5
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. 12 osób siada losowo wokół okragłego
˛
stołu, przy którym jest 12
miejsc. Dwie osoby sa˛ wyróżnione. Czy bardziej jest prawdopodobne to, że siad
˛ a˛ one
koło siebie, czy to, że naprzeciw siebie?
Zadanie 2. W pierwszej szufladzie jest 5 koszulek białych i pewna liczba koszulek
czarnych, w drugiej jest 6 koszulek czarnych i pewna liczba koszulek białych. Wiadomo,
że przy losowaniu bez zwracania z pierwszej szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek białych jest wieksze
˛
od 29 , a przy losowaniu bez zwracania z drugiej
szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek czarnych jest wieksze
˛
od
1
. Ustalić, w której szufladzie jest wiecej
˛
koszulek białych, a w której wiecej
˛
koszulek
3
czarnych.
Zadanie 3. Ze zbioru wierzchołków n-kata
˛ foremnego W (gdzie n jest liczba˛
podzielna˛ przez 4) wybieramy (bez zwrotu) cztery wierzchołki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrane wierzchołki bed
˛ a˛ wierzchołkami kwadratu.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że żaden kot nie ściga myszy o tej samej
barwie, jaka˛ ma ten kot.
6
Sprawdzian 2a
Zestaw 6
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. Urna zawiera 9 kartoników z cyframi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Losujemy
kolejno bez zwracania trzy cyfry układajac
˛ je w liczbe.
˛ Zakładajac,
˛ że wszystkie
możliwe liczby otrzymane w ten sposób sa˛ jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej od 666.
Zadanie 2. Rzucamy 3 razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Zdarzenie A
polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ arytmetyczny, zaś zdarzenie
B polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ geometryczny. Które z
tych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne?
Zadanie 3. Zbiór złożony z 2n osób (gdzie n > 1), spośród których dwie sa˛
wyróżnione, dzielimy w sposób losowy na dwie równoliczne grupy.Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wyróżnione osoby trafia˛ do różnych grup.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że każda mysz jest ścigana.
7
Sprawdzian 2a
Zestaw 7
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. W sześciu pojemnikach rozmieszczono w sposób losowy n kul. Prawdopodobieństwo, że wszystkie kule znajduja˛ sie˛ w tym samym pojemniku jest 60 razy
mniejsze od prawdopodobieństwa, że żadne dwie kule nie znajduja˛ sie˛ w tym samym
pojemniku. Ile wynosi n ?
Zadanie 2. W pierwszej szufladzie jest 5 koszulek białych i pewna liczba koszulek
czarnych, w drugiej jest 6 koszulek czarnych i pewna liczba koszulek białych. Wiadomo,
że przy losowaniu bez zwracania z pierwszej szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek białych jest wieksze
˛
od 29 , a przy losowaniu bez zwracania z drugiej
szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek czarnych jest wieksze
˛
od
1
.
Ustalić,
w
której
szufladzie
jest
wi
ecej
˛
koszulek
białych,
a
w
której
wi
ecej
˛
koszulek
3
czarnych.
Zadanie 3. Ze zbioru wierzchołków n-kata
˛ foremnego W (gdzie n jest liczba˛
parzysta)
˛ wybieramy (bez zwrotu) dwa wierzchołki. Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że wybrane wierzchołki nie bed
˛ a˛ końcami średnicy okregu
˛ opisanego na n-kacie
˛
W.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że każdy kot ściga mysz o tej samej
barwie, jaka˛ ma ten kot.
8
Sprawdzian 2a
Zestaw 8
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. Każda z trzech jednakowych urn zawiera 15 kul, z których dokładnie
n jest czarnych. Z każdej urny losujemy jedna˛ kule.
˛ Dla jakiej wartości n prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch kul czarnych jest najwieksze?
˛
Zadanie 2. Rzucamy 3 razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Zdarzenie A
polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ arytmetyczny, zaś zdarzenie
B polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ geometryczny. Które z
tych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne?
Zadanie 3. Zbiór złożony z 3n osób (gdzie n > 1), spośród których dwie sa˛
wyróżnione, dzielimy w sposób losowy na trzy równoliczne grupy.Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wyróżnione osoby trafia˛ do tej samej grupy.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że żaden kot nie ściga myszy o tej samej
barwie, jaka˛ ma ten kot.
9
Sprawdzian 2a
Zestaw 9
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. Z urny w której znajduje sie˛ n kul, w tym 6 białych losujemy kolejno
dwie kule bez zwracania. Dla jakich n prawdopodobieństwo tego, że obie kule sa˛
białe bedzie
˛
wieksze
˛
od 14 ?
Zadanie 2. W pierwszej szufladzie jest 5 koszulek białych i pewna liczba koszulek
czarnych, w drugiej jest 6 koszulek czarnych i pewna liczba koszulek białych. Wiadomo,
że przy losowaniu bez zwracania z pierwszej szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek białych jest wieksze
˛
od 29 , a przy losowaniu bez zwracania z drugiej
szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek czarnych jest wieksze
˛
od
1
. Ustalić, w której szufladzie jest wiecej
˛
koszulek białych, a w której wiecej
˛
koszulek
3
czarnych.
Zadanie 3. Ze zbioru wierzchołków n-kata
˛ foremnego W (gdzie n jest liczba˛
podzielna˛ przez 3) wybieramy (bez zwrotu) trzy wierzchołki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrane wierzchołki bed
˛ a˛ wierzchołkami trójkata
˛ równobocznego.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że każda mysz jest ścigana.
10
Sprawdzian 2a
Zestaw 10
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. W urnie sa˛ kule białe, czarne i niebieskie. Kul czarnych jest dwa
razy wiecej
˛
niż białych, a niebieskich dwa razy wiecej
˛
niż czarnych. Ile jest kul w
urnie, jeżeli przy jednoczesnym losowaniu trzech kul prawdopodobieństwo wylosowa8
nia każdej kuli w innym kolorze wynosi 35
?
Zadanie 2. Rzucamy 3 razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Zdarzenie A
polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ arytmetyczny, zaś zdarzenie
B polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ geometryczny. Które z
tych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne?
Zadanie 3. Zbiór złożony z 2n osób (gdzie n > 1), spośród których trzy sa˛
wyróżnione, dzielimy w sposób losowy na dwie równoliczne grupy.Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wyróżnione osoby trafia˛ do tej samej grupy.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że każdy kot ściga mysz o tej samej
barwie, jaka˛ ma ten kot.
11
Sprawdzian 2a
Zestaw 11
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. 12 osób siada losowo wokół okragłego
˛
stołu, przy którym jest 12
miejsc. Dwie osoby sa˛ wyróżnione. Czy bardziej jest prawdopodobne to, że siad
˛ a˛ one
koło siebie, czy to, że naprzeciw siebie?
Zadanie 2. W pierwszej szufladzie jest 5 koszulek białych i pewna liczba koszulek
czarnych, w drugiej jest 6 koszulek czarnych i pewna liczba koszulek białych. Wiadomo,
że przy losowaniu bez zwracania z pierwszej szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek białych jest wieksze
˛
od 29 , a przy losowaniu bez zwracania z drugiej
szuflady, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch koszulek czarnych jest wieksze
˛
od
1
. Ustalić, w której szufladzie jest wiecej
˛
koszulek białych, a w której wiecej
˛
koszulek
3
czarnych.
Zadanie 3. Ze zbioru wierzchołków n-kata
˛ foremnego W (gdzie n jest liczba˛
podzielna˛ przez 4) wybieramy (bez zwrotu) cztery wierzchołki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrane wierzchołki bed
˛ a˛ wierzchołkami kwadratu.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że żaden kot nie ściga myszy o tej samej
barwie, jaka˛ ma ten kot.
12
Sprawdzian 2a
Zestaw 12
Imie˛ i nazwisko
Zadanie 1. Urna zawiera 9 kartoników z cyframi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Losujemy
kolejno bez zwracania trzy cyfry układajac
˛ je w liczbe.
˛ Zakładajac,
˛ że wszystkie
możliwe liczby otrzymane w ten sposób sa˛ jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej od 666.
Zadanie 2. Rzucamy 3 razy symetryczna˛ sześcienna˛ kostka˛ do gry. Zdarzenie A
polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ arytmetyczny, zaś zdarzenie
B polega na tym, że wyniki kolejnych rzutów utworza˛ ciag
˛ geometryczny. Które z
tych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne?
Zadanie 3. Zbiór złożony z 2n osób (gdzie n > 1), spośród których dwie sa˛
wyróżnione, dzielimy w sposób losowy na dwie równoliczne grupy.Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wyróżnione osoby trafia˛ do różnych grup.
Zadanie 4. Cztery koty: biały, szary, czarny i rudy ruszaja˛ w pościg za czterema
myszami - biała,˛ szara,˛ czarna˛ i ruda.˛ Zasady sa˛ nastepuj
˛ ace:
˛
1. Każdy kot ściga dokładnie jedna˛ mysz, nie wiecej
˛
(myszy sa˛ sprytne i każda
ucieka w inna˛ strone˛ świata).
2. Kilka kotów może ścigać ta˛ sama˛ mysz.
3. Koty wybieraja˛ myszy do ścigania z jednakowym prawdopodobieństwem, nie
preferujac
˛ żadnego koloru.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że każda mysz jest ścigana.