Opracowanie - Instytut Łączności

Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych Z-14
Opracowanie
Analiza numeryczna i projektowanie
komponentów mikrostrukturalnych dla
szerokopasmowych optycznych sieci
telekomunikacyjnych
Praca nr 14 30 004 6
Warszawa – Miedzeszyn, grudzień 2006
Analiza numeryczna i projektowanie komponentów mikrostrukturalnych dla
szerokopasmowych optycznych sieci telekomunikacyjnych.
Sprawozdanie.
Praca nr 14 30 004 6
Słowa kluczowe:
światłowody; mikrostrukturalne; fotoniczne; modelowanie; nieliniowość
Kierownik pracy: dr inż. Marek Jaworski
Wykonawcy pracy:
mgr inż. Mariusz Zdanowicz
mgr inż. Tomasz Abraham
doc. dr hab. Marian Marciniak
Kierownik zakładu: doc. dr hab. Marian Marciniak
...................................
Kierownik Zakładu Z-14
© Copyright by Instytut Łączności, Warszawa 2006
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
1. WSTĘP.................................................................................................................................................... 2
2. ŚWIATŁOWODY FOTONICZNE. ..................................................................................................... 3
2.1. RODZAJE ŚWIATŁOWODÓW FOTONICZNYCH...................................................................................... 3
2.2. MECHANIZMY PROWADZENIA ŚWIATŁA W ŚWIATŁOWODACH FOTONICZNYCH.................................. 4
3. ZJAWISKO NIELINIOWOŚCI........................................................................................................... 5
4. METODY NUMERYCZNE.................................................................................................................. 7
4.1. METODA BPM. ................................................................................................................................. 7
4.2. IMPLEMENTACJA METODY W PROGRAMIE NAPISANYM W JĘZYKU FORTRAN. ................................. 8
4.3. METODA SPLIT-STEP Z KRYTERIUM BŁĘDU LOKALNEGO................................................................. 11
4.4. OBSŁUGA PROGRAMU...................................................................................................................... 13
5. PRZYKŁADOWE WYNIKI............................................................................................................... 14
6. PODSUMOWANIE. ............................................................................................................................ 19
6.1. DOTYCHCZASOWE OSIĄGNIĘCIA. .................................................................................................... 19
6.2. KONTYNUACJA PROJEKTU WE WSPÓŁPRACY Z UNIWERSYTETEM NOTTINGHAM............................. 19
LITERATURA......................................................................................................................................... 21
LISTA PUBLIKACJI ZWIĄZANYCH Z TEMATEM PROJEKTU................................................. 21
1
1. Wstęp
Symulacje numeryczne są od dłuższego już czasu wykorzystywane do projektowania i
analizy komponentów mikrostrukturalnych, takich jak światłowodów fotonicznych PCF (z
ang. Photonic Crystal Fibre) czy mikrorezonatorów. Znanych jest wiele metod modelowania,
z których najbardziej znane to: metoda propagacji wiązki (BPM, ang. Beam Propagation
Method) – wektorowy schemat różnic skończonych (FD-VBPM), metoda fal płaskich,
metoda linii, metoda wielopolowa i inne. Metody te są realizowane wyłącznie w sposób
numeryczny, bądź też hybrydowo, z wykorzystaniem metod analitycznych. Komputerowe
metody modelowania charakteryzują się dużą dokładnością i są szeroko stosowane przy
projektowaniu zarówno pojedynczych komponentów, jak i całych systemów telekomunikacji
światłowodowej. Wykorzystywane są one szczególnie chętnie do projektowania elementów
optycznych zbudowanych z kryształów fotonicznych (np. światłowodów fotonicznych).
Proces wytwarzania mikrostruktur jest nadal kosztowny, dlatego też przed wytworzeniem
danego elementu optycznego dobrze jest mieć pewność, że będzie on działał prawidłowo.
W zakładzie Z-14 opracowano oprogramowanie do symulacji propagacji światła w
światłowodach fotonicznych z rdzeniem stałym o różnych profilach rozkładu współczynnika
załamania. Oprogramowanie to jest w dalszym ciągu rozwijane, do obliczeń wprowadzono
efekty nieliniowe, praca nad nim będzie kontynuowana w ramach projektu dyplomowego
kursu organizowanego przez IŁ wspólnie z Uniwersytetem Nottingham. Temat projektu jest
ściśle związany z międzynarodowym programem COST P11.
2
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
2. Światłowody fotoniczne
Koncepcja światłowodów mikrostrukturalnych (ang. Photonic Crystal Fibres – PCF)
zrodziła się niedługo po odkryciu kryształów fotonicznych i zbadaniu ich własności.
Światłowody mikrostrukturalne zbudowane są zwykle z jednego materiału o stałym
współczynniku załamania, w których obszar płaszcza jest jedno- bądź dwuwymiarowym
kryształem fotonicznym. Wyciąga się je z preformy wykonanej z ułożonych w odpowiedniej
konfiguracji rurek szklanych (tzw. kapilar).
Rysunek 1. Wytwarzanie światłowodów fotonicznych: a) przygotowanie preformy;
b) wyciąganie światłowodu; c) preforma po rozpoczęciu wyciągania.
Proces wyciągania takich światłowodów zademonstrowano na rysunku 1.
2.1. Rodzaje światłowodów fotonicznych
Światłowody fotoniczne klasyfikowane są ze względu na ich budowę oraz własności
prowadzenia światła. Najogólniej światłowody te można podzielić na dwie podstawowe
grupy:
♣ światłowody fotoniczne z rdzeniem powietrznym (ang. hollow core PCF)
♣ światłowody fotoniczne z rdzeniem stałym.
Rysunek 2. Podstawowe typy światłowodów fotonicznych: a) światłowód z rdzeniem
stałym; b) światłowód z rdzeniem powietrznym.
Na rysunku 2 przedstawiono przykładowe zdjęcia obydwu typów światłowodów.
Światłowody z rdzeniem powietrznym powstają poprzez usunięcie jednej lub kilku kapilar z
3
wnętrza preformy, a następnie wyciąganie. Światłowody z rdzeniem stałym powstają poprzez
zastąpienie jednej lub kilku kapilar z wnętrza preformy jednorodnym prętem szklanym i
następnie wyciągnięcie światłowodu.
2.2. Mechanizmy prowadzenia światła w światłowodach fotonicznych
Kryształy fotoniczne charakteryzują się własnością selektywnego odbicia pewnego przedziału
częstości optycznych. Przedział ten nazywany jest zabronioną przerwą fotoniczną.
Mechanizm powstawania przerwy fotonicznej został wykorzystany do budowy pierwszych
światłowodów mikrostrukturalnych. Początkowo mechanizm przerwy wzbronionej uważany
był za jedyne zjawisko powodujące prowadzenie światła w światłowodach fotonicznych.
Szczegółowe badania wykazały jednak, że prowadzenie występuje również na zasadzie
całkowitego wewnętrznego odbicia od struktury płaszcza, w której sieć otworów powoduje
obniżenie efektywnego współczynnika załamania światła. Zjawisko całkowitego
wewnętrznego odbicia przeważa w przypadku propagacji światła w światłowodzie
fotonicznym o stałym rdzeniu. W przypadku światłowodów fotonicznych o rdzeniu
powietrznym, jedynym zjawiskiem odpowiadającym za prowadzenie światła jest odbicie od
fotonicznej przerwy wzbronionej.
Rysunek 3. Mechanizmy prowadzenia światła w światłowodach fotonicznych: a) prowadzenie
na zasadzie odbicia od fotonicznej przerwy zabronionej; b) prowadzenie na zasadzie
zmodyfikowanego warunku całkowitego wewnętrznego odbicia.
Schematyczny obraz obydwu mechanizmów prowadzenia światła wewnątrz światłowodów
fotonicznych został przedstawiony na rysunku 3.
4
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
3. Zjawisko nieliniowości
Dielektryczne ośrodki materialne charakteryzują się brakiem swobodnych nośników, które
mogłyby się poruszać pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego E = ( E x , E y , E z ) w
sposób uporządkowany. Sumaryczny ładunek cząstki dielektryka równy jest zeru, lecz mimo
to wykazuje on pewne własności elektryczne. W przypadku pola TE (Transverse Electric) z
zastosowaniem przybliżenia skalarnego, wystarczy rozpatrywać tylko jedną składową
wektora pola E, np. Ex = E ( x, t ) = U exp (ikx − iωt ) , przy czym dla fali monochromatycznej
amplituda pola elektrycznego U jest stała w czasie i przestrzeni. Podstawową wielkością
opisującą wpływ monochromatycznego pola elektrycznego o częstości ω na dielektryk, jest
polaryzacja P:
P = ε0χ U
(1)
gdzie ε 0 – przenikalność elektryczna próżni, χ – bezwymiarowa wielkość nazywana
podatnością elektryczną substancji. Wzór 1 opisuje liniową zależność między polem i
ośrodkiem. W przypadku, gdy polaryzacja zawiera wyrazy wyższego rzędu, jest ona
nieliniową funkcją pola U [1]:
P = ε 0 ⎡⎣ χ (1)U + χ (2)U 2 + χ (3)U 3 + ...⎤⎦ = ε 0 ⎡⎣ χ (1) + χ (2)U + χ (3)U 2 + ...⎤⎦ U
(2)
Taka zależność polaryzacji od pola zewnętrznego powoduje modyfikację wartości
przenikalności elektrycznej ośrodka, a także wartości jego współczynnika załamania. W
ogólności rozpatruje się dwa główne efekty nieliniowe występujące w ośrodkach:
♣ nieliniowy efekt Pockelsa – czyli zmiana podatności elektrycznej ośrodka pod
wpływem zewnętrznego pole elektrycznego U (tzw. zjawisko elektrooptyczne)
♣ nieliniowość optyczna typu Kerra – czyli zależność podatności elektrycznej od
wartości natężenia fali elektromagnetycznej oddziałującej z ośrodkiem.
Rozpatrując określoną we wzorze (2) wartość przenikalności elektrycznej, otrzymujemy wzór
na całkowitą indukcję elektryczną D ośrodka postaci:
D = ε 0U + ε 0 ⎡⎣ χ (1) + χ (2)U + χ (3)U 2 + ...⎤⎦ U = ε 0 ⎡⎣1 + χ (1) + χ (2)U + χ (3)U 2 + ...⎤⎦ U
(3)
W ogólności mamy D = ε (ω )U , oraz w przypadku ośrodka niemagnetycznego (μ = 1):
n = n (ω ) = με = ε , co ostatecznie, po odrzuceniu wyrażeń wyższych rzędów, daje
wartość współczynnika załamania ośrodka postaci przedstawionej za pomocą wyrażenia:
n = 1 + χ (1) + χ (2) U + χ (3) U 2
(4)
dodatkowo przyjmując wartość liniową współczynnika załamania w postaci przedstawionej
wyrażeniem:
n0 = n0 (ω ) = 1 + χ (1)
(5)
przy założeniu, że rozpatrywany ośrodek jest izotropowy (posiada symetrię środkową), w
którym to przypadku nieliniowości parzystego rzędu nie występują, otrzymuje się:
n = n0 1 + χ (3) U 2 / n02
5
(6)
Wyrażenie pod pierwiastkiem można rozwinąć w szereg Taylora względem χ (3)U 2 , dla
założenia χ ( )U 2 << n0 . Po odrzuceniu wyrazów wyższych rzędów otrzymuje się związek:
3
n ≈ n0 + nNL I , gdzie : I = U
2
(7)
gdzie wartość nieliniowa współczynnika załamania jest zdefiniowana jako nNL = χ (3) / 2n0 , a I
– jest natężeniem fali elektromagnetycznej. Wzór (7) opisuje zjawisko nieliniowości typu
Kerra, która występuje we wszystkich ośrodkach nieliniowych. W takim przypadku wartość
całkowita współczynnika załamania jest modyfikowana przez natężenie fali
elektromagnetycznej w jego wnętrzu.
6
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
4. Metody numeryczne
4.1. Metoda BPM
Metoda propagacji wiązki (ang. Beam Propagation Method) [2], [3], [4] jest jedną z wielu
technik numerycznych modelowania propagacji światła. Sama metoda BPM również posiada
wiele odmian podstawowe to: FFT – metoda szybkiej transformaty Fourier’a (ang. Fast
Fourier Transform) i FD, czyli metoda różnic skończonych (ang. Finite Difference). Program
stworzony w ramach projektu działa na bazie algorytmu różnic skończonych i pozwala na
symulację propagacji wiązki światła w dziedzinie częstotliwości. Oznacza to, że badana jest
tylko droga wiązki światła o z góry określonej długości fali. Bazę prezentowanego algorytmu
stanowi dobrze znana teoria optyki oparta na równaniach Maxwella. Równania te tylko w
niektórych, szczególnych przypadkach posiadają ścisłe rozwiązanie analityczne. W
przypadkach ogólnych rozwiązanie równań Maxwella jest bardzo pracochłonne, czasem
wręcz niemożliwe. Właśnie w takich przypadkach stosowane są metody numeryczne, które
nie rozwiązują równań w pełnej postaci, jednak po dokonaniu pewnych uproszczeń
(zależnych od rodzaju postawionego problemu), stanowią wystarczająco dokładne narzędzie
do przybliżania rozwiązania w obszarze o określonych własnościach [5]. W przypadku
prezentowanego algorytmu dokonano uproszczeń, które doprowadziły do przejścia od
równania falowego do równania dyfuzji niezależnego od czasu, według schematu:
a) Ogólnie znana pełna postać równań Maxwella:
∂D
⎧
⎪⎪rotH − ∂t = 0
,
⎨
∂
B
⎪rotE +
⎪⎩
∂t
⎧divD = 0
⎨
⎩divB = 0
(8)
H – wektor pola magnetycznego,
D – wektor indukcji pola elektrycznego,
B – wektor indukcji magnetycznej,
E – wektor pola elektrycznego.
Równania materiałowe:
⎧D = εε 0 E
⎨
⎩B = μμ 0 H
(9)
ε – przenikalność elektryczna ośrodka,
ε 0 – przenikalność elektryczna próżni,
μ – przenikalność magnetyczna ośrodka,
μ0 – przenikalność magnetyczna próżni.
b) Postać wektorowa równania falowego dla ośrodka izotropowego baz ładunków i prądów
swobodnych (dielektryk), przy założeniu pola postaci ~ e − iωt :
ΔE + n 2 k 2 E = ∇(∇E )
(10)
gdzie: n – współczynnik załamania ośrodka, k – wektor falowy rozważanej wiązki.
c) Założenie propagacji w jednym kierunku, bez odbić (umownie kierunek osi z), do badania
propagacji pola wystarczą składowe poprzeczne (Ex, Ey). Dodatkowo zakłada się małą
rozbieżność kątową wiązki (założenie prawdziwe w przypadku propagacji wewnątrz
światłowodu), wolnozmienność współczynnika załamania wzdłuż osi propagacji.
Uwzględniając powyższe założenia otrzymuje się równanie postaci:
7
1
∂E
⎡
⎤
∇E + n 2 − n02 k 2 E t − ∇ ⎢∇E − 2 ∇ n 2 E ⎥ = 2in0 k
∂z
n
⎣
⎦
(
)
( )
(11)
gdzie n0 oznacza referencyjny współczynnik załamania.
Równanie (11) jest równaniem pierwszego stopnia względem zmiennej z, ponieważ
występuje w nim tylko pierwsza pochodna tej zmiennej.
Powyższe uproszczenia pozwalają na zwiększenie szybkości obliczeń oraz zmniejszenie
pamięci zajmowanej przez uruchomiony program. To przyspieszenie algorytmu ma jednak
swoją cenę, jest nią brak możliwości uwzględnienia odbić wstecznych, jak również
symulowania wiązek propagujących się pod dużymi kątami (większymi niż około 20 stopni)
względem osi z.
4.2. Implementacja metody w programie napisanym w języku FORTRAN
Obszar obliczeniowy jest ograniczony w przestrzeni i zdyskretyzowany. Prezentowany
algorytm dokonuje dyskretyzacji obszaru obliczeniowego na regularną, prostokątną sieć
punktów. Zakładając odległości między punktami obliczeniowymi Δx w kierunku osi x i Δy w
kierunku osi y, punkt Pi,j będzie opisany parą współrzędnych (i.Δx, j.Δy).
(0, (m-1)Δy)
((n-1)Δx, (m-1)Δy)
(0, 3Δy)
(0, 0)
(Δx, 0) (2Δx, 0)
((n-1)Δx, 0)
Rysunek 4. Dyskretyzacja przy pomocy sieci regularnej punktów.
Rysunek 4 przedstawia obszar zdyskretyzowany przy pomocy regularnej sieci prostokątnej.
W tym przypadku n i m są ustaloną liczbą punktów siatki w kierunkach osi odpowiednio x i y.
Wartości Δx i Δy decydują o dokładności obliczeń – im mniejsze są wartości tych
parametrów, tym dokładniejsze obliczenia. Wartości tych parametrów nie mogą być jednak
dowolnie małe, ze względu na ograniczone możliwości obliczeniowe komputerów – dla
mniejszych wartości parametrów Δx i Δy czas obliczeń wydłuża się znacznie. Dobór ilości
punktów próbkowania musi być odpowiedni dla oczekiwanej dokładności obliczeń, należy
jednak zawrzeć kompromis między precyzją a czasem potrzebnym na obliczenia.
W programie opracowanym w zakładzie Z-14 wykorzystywany jest schemat różnic
skończonych, zgodnie z którym pochodne w równaniach są zamieniane na postać dyskretną
według wzorów:
8
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
⎧ ∂F i , j F i +1, j − F i −1, j
,
=
⎪
2Δx
⎪ ∂x
⎨ i, j
i , j +1
− F i , j −1
⎪ ∂F = F
,
⎪ ∂y
2Δy
⎩
∂ 2 F i , j F i +1, j − 2 F i , j + F i −1, j
=
∂x 2
(Δx )2
(12)
∂ 2 F i , j F i , j +1 − 2 F i , j + F i , j −1
=
∂y 2
(Δy )2
Po podstawieniu wyrażeń (12) do wzoru (11) i po dokonaniu koniecznych przekształceń
otrzymuje się ostatecznie układ równań na dwie składowe wektora elektrycznego. Używany
w równaniach symbol α jest parametrem odpowiadającym za przyjęty schemat obliczeniowy,
jego wartość decyduje o stabilności algorytmu obliczeniowego. Równanie na składową Ex
pola elektrycznego wyraża się wzorem [6]:
αa ix, j , s +1 E xi −1, j , s +1 + αb ix, j , s +1 E xi , j −1, s +1 + [1 + αc ix, j , s +1 ]E xi , j , s +1 +
[
+αb ix, j , s +1 E xi , j +1, s +1 + αg ix, j ,s +1 E xi +1, j , s +1 =
]
= − βa ix, j , s E xi −1, j , s − βb ix, j , s E xi , j −1, s + 1 + βc ix, j ,s E xi , j , s − βb ix, j , s E xi , j +1, s − βg ix, j , s E xi +1, j , s +
(13)
+h ix, j , s E yi −1, j , s − m ix, j , s E yi , j , s − h ix, j , s E yi +1, j , s
gdzie s oznacza numer kroku w kierunku osi z, pozostałe użyte wielkości są zdefiniowane
wzorami:
a ix, j , s =
iΔz ⎡ 1
1 n i +1, j , s − n i −1, j , s ⎤
−
⎥
⎢
2
4n0 k ⎣ (Δx )2 n i , j , s
2(Δx )
⎦
(14)
iΔz 1
4n0 k (Δy )2
(15)
b ix, j , s =
c
i, j ,s
x
iΔz
=
n0 k
⎡ − (n i +1, j , s − n i −1, j , s )2 2(n i +1, j , s − n i , j , s + n i −1, j , s )⎤
+
⎥+
⎢
i +1, j , s i −1, j , s
2
n
n i , j , s (Δx )
⎥⎦
⎢⎣ 2Δxn
⎤
iΔz ⎡ ⎛ 1
1 ⎞
i, j ,s 2
2
2
⎟
n
n
k
(
)
+
−
+
+
⎢− 2⎜⎜
⎥
0
n0 k ⎢⎣ ⎝ (Δx )2 (Δy )2 ⎟⎠
⎥⎦
(
g ix, j , s =
iΔz ⎡ 1
1 n i +1, j , s − n i −1, j , s ⎤
+
⎢
⎥
2
4n0 k ⎣ (Δx )2 n i , j , s
2(Δx )
⎦
(17)
iΔz ⎡ 1 n i , j +1, s − n i , j −1, s ⎤
⎢
⎥
4n 0 k ⎣ n i , j , s
ΔxΔy
⎦
(18)
h ix, j , s =
m ix, j , s =
(
)
(16)
)(
)
iΔz ⎡ n i −1, j , s − n i +1, j , s n i , j +1, s − n i , j −1, s ⎤
⎢
⎥+
4n0 k ⎣
2ΔxΔyn i −1, j , s n i +1, j ,s
⎦
iΔz ⎡ n i +1, j +1, s − n i −1, j +1, s − n i +1, j −1, s + n i −1, j −1, s ⎤
+
⎢
⎥
4n 0 k ⎣
2ΔxΔyn i , j , s
⎦
(
Równanie na składową pola Ey:
9
)
(19)
αa iy, j , s +1 E yi , j −1, s +1 + αb iy, j , s +1 E yi −1, j , s +1 + [1 + αc iy, j , s +1 ]E yi , j , s +1 +
+αb iy, j , s +1 E yi +1, j , s +1 + αg iy, j ,s +1 E yi , j +1, s +1 =
[
]
= − βa iy, j , s E yi , j −1, s − βb iy, j , s E yi −1, j , s + 1 + βc iy, j ,s E yi , j , s − βb iy, j , s E yi +1, j , s − βg iy, j , s E yi , j +1, s +
(20)
+h iy, j , s E xi , j −1, s − m iy, j , s E xi , j , s − h iy, j , s E xi , j +1, s
gdzie:
β = 1−α
a iy, j , s =
i Δz ⎡ 1
1 n i , j +1, s − n i , j −1, s ⎤
−
⎢
⎥
2
4n0 k ⎣ (Δy )2 n i , j , s
2(Δy )
⎦
(22)
iΔz 1
4n0 k (Δx )2
(23)
b iy, j , s =
c
i, j ,s
y
iΔz
=
n0 k
⎡ − (n i , j +1, s − n i , j −1, s )2 2(n i , j +1, s − n i , j , s + n i , j −1, s )⎤
+
⎥+
⎢
2
i , j +1, s i , j −1, s
n
n i , j , s (Δy )
⎦⎥
⎣⎢ 2Δyn
iΔz
+
n0 k
g iy, j , s =
⎡ ⎛ 1
1
+
⎢− 2⎜⎜
2
2
⎢⎣ ⎝ (Δx ) (Δy )
(
)
⎤
⎞
2
⎟ + (n i , j , s ) − n02 k 2 ⎥
⎟
⎥⎦
⎠
1 n i , j +1,s − n i , j −1, s ⎤
i Δz ⎡ 1
+
⎢
⎥
2
4n0 k ⎣ (Δy )2 n i , j , s
2(Δy )
⎦
h iy, j , s =
m iy, j , s =
(21)
(
iΔz
4n 0 k
⎡ 1 n i +1, j , s − n i −1, j , s ⎤
⎢ i, j ,s
⎥
ΔxΔy
⎣n
⎦
)(
)
(25)
(26)
iΔz ⎡ n i , j −1, s − n i , j +1, s n i +1, j , s − n i −1, j , s ⎤
⎢
⎥+
4n0 k ⎣
2ΔxΔyn i , j −1, s n i , j +1, s
⎦
i +1, j +1, s
− n i +1, j −1, s − n i −1, j +1, s + n i −1, j −1, s ⎤
iΔz ⎡ n
+
⎢
⎥
4n0 k ⎣
2ΔxΔyn i , j , s
⎦
(
(24)
)
(27)
W powyższych równaniach pole w punktach wyznaczonych w płaszczyźnie sΔz jest przyjęte
jako znane początkowo, lub policzone w poprzednim kroku. Z tego wynika, że w kroku
propagacji o numerze s obliczane jest pole oznaczone s+1, które będzie polem wejściowym w
następnym kroku obliczeń. Równania przedstawione wzorami od (13) do (27) tworzą układ,
który można zapisać w sposób macierzowy:
([N ]E + [Q ]E )
= [M ] ([N ]E + [Q ]E )
E xs +1 = [M x ]
−1
E ys +1
x
s
x
xy
s
y
(28)
y
s
y
yx
s
x
(29)
−1
y
gdzie Ex i Ey są odpowiednio rozkładami pola w kierunku osi x i y, natomiast macierze M, N i
Q są macierzami trójdiagonalnymi zawierającymi współczynniki dla każdego obliczanego
punktu wynikające z poprzedniego kroku. Algorytm rozwiązania takiego układu został
zaczerpnięty z metod numerycznych dla języka FORTRAN i został zaimplementowany w
wykonanym programie (funkcja tridag) [7].
10
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
4.3. Metoda Split-Step z kryterium błędu lokalnego
W programie została zamieszczona procedura pozwalająca na prowadzenie symulacji
propagacji wiązki świetlnej w światłowodzie fotonicznym z dodatkowymi efektami
nieliniowymi. Do prowadzonych symulacji wprowadzono efekt nieliniowy Kerra, który jest
najczęściej występującym efektem nieliniowym w technice światłowodowej. Całkowity
współczynnik załamania światła w tym przypadku opisywany jest wzorem (7), który opisuje
zależność całkowitego współczynnika załamania od natężenia propagującego się w ośrodku
nieliniowym pola elektrycznego. Oznacza to, ze pole samo modyfikuje własności ośrodka
propagacji, bez udziału dodatkowych efektów zewnętrznych. Najciekawszym, z punktu
widzenia propagacji wiązki światła, jest wywołane efektem nieliniowym typu Kerra
samoogniskowanie wiązki [8]. Jak sama nazwa wskazuje, jest to efekt przeciwny do zjawiska
dyfrakcji światła. Dlatego też, przy w odpowiednich warunkach, kiedy nieliniowe
samoogniskowanie równoważy występujące w światłowodzie dyfrakcyjne poszerzenie
wiązki, w światłowodzie formowany jest tzw. przestrzenny soliton optyczny – wiązka światła,
która przy założeniu zerowego tłumienia, nie zmienia swojego kształtu podczas propagacji.
Wprowadzenie do obliczeń dodatkowych efektów modyfikujących wartość współczynnika
załamania, powoduje pogorszenie przyjętego wcześniej założenia jego wolnozmienności
wzdłuż osi propagacji. Zwiększenie dokładności obliczeń wymaga zatem użycia
dodatkowego algorytmu, pozwalającego na kompensację powstałych niekorzystnych efektów
numerycznych.
Jedną z grup metod zwiększenia dokładności obliczeń są metody typu Split-Step. W każdym
kroku obliczeń numerycznych generowany jest pewien błąd, wynikający z dokonanych
uproszczeń, bądź ze specyfiki danego problemu. Niedokładność taka określana jest nazwą
błędu lokalnego. Ścisłe określenie wartości tego błędu jest niemożliwe, jednak główne
przyczyny jego powstawania można czasem określić z dużą dokładnością. Daje to możliwość
oszacowania kryterium zbieżności ograniczającego powstały błąd, poprzez częściową
eliminację przyczyny jego powstawania. Zasada działania metod Split-Step polega na
sprawdzaniu zadanego kryterium zbieżności w każdym kroku propagacji. Kryterium to jest
następnie wykorzystywane do sterowania długością kroku bezpośrednio w programie, bez
konieczności przerywania symulacji. Metody typu Split-Step klasyfikowane są według
stosowanych kryteriów zbieżności, ponad to każde z kryteriów jest konstruowane w taki
sposób, aby wyeliminować w jak największym stopniu główną przyczynę powstawania błędu
dla danego przypadku. Tego rodzaju kryteria są jednak dokładne tylko podczas badania
stacjonarnych przykładów, bez wariacji poszczególnych parametrów (ponieważ zmiana
parametrów programu może spowodować zmianę głównej przyczyny generowania błędu
obliczeń). Ponadto są właściwe tylko w przypadkach, gdy znana jest główna przyczyna
powstawania błędu obliczeń. W przypadku stworzonego w zakładzie Z-14 oprogramowania,
które pozwala na zmiany zestawu niemal wszystkich jego parametrów, nie jest możliwe
określenie głównej przyczyny powstawania błędu, a zatem niemożliwe jest też wyznaczenie
ścisłego kryterium zbieżności. Należało więc zastosować pewne uogólnione kryterium,
wykorzystujące bezpośredni pomiar wartości błędu lokalnego.
Zaimplementowany schemat metody Split-Step pozwala ograniczyć wartość błędu lokalnego
do zadanego przedziału poprzez użycie podwojonego kroku i ekstrapolację wartości błędu
lokalnego [9]. Przyjmując, że dane jest pole w płaszczyźnie z, można określić jego wartość w
płaszczyźnie z + 2h, gdzie h jest długością pojedynczego kroku w kierunku osi z. W tym celu
dokonuje się propagacji wiązki z płaszczyzny z na odległość 2h za pomocą jednego kroku o
długości 2h. Rozwiązanie otrzymane w wyniku przeprowadzonych obliczeń przyjmuje się za
tzw. rozwiązanie zgrubne – ec. Błąd powstały podczas dokonanych obliczeń jest wielkością
trzeciego rzędu, istnieje zatem stała κ spełniająca warunek:
11
( )
u c = u t + κ (2h ) + O h 4
3
(30)
gdzie ut oznacza rzeczywistą wartość pola w płaszczyźnie z + 2h, O(h4) – oznacza wyrazy
wyższych rzędów. Następnie wraca się do pola w płaszczyźnie z i ponownie dokonuje się
obliczeń pola w płaszczyźnie z + 2h, lecz tym razem z wykorzystaniem dwu kroków o
długości h. Uzyskane w ten sposób rozwiązanie przyjmuje się za tzw. rozwiązanie dokładne ef. Podobnie jak w zależności (30), rozwiązanie dokładne spełnia równanie:
( )
u f = u t + 2κh 3 + O h 4
(31)
Odpowiednia kombinacja liniowa rozwiązań zgrubnego i dokładnego pozwala na obliczenie
przybliżonego rozkładu pola E w płaszczyźnie z + 2h, dla którego niedokładność obliczeń jest
wielkością czwartego rzędu względem długości kroku h. Porównując zależności (30) i (31)
otrzymujemy związek:
E=
( )
4
1
e f − ec = u t + O h 4
3
3
(32)
Otrzymane w ten sposób wartości są wykorzystywane do obliczeń w następnym kroku o
długości 2h.
Wykorzystany schemat pozwala utrzymać wartość generowanego lokalnego błędu w
określonym przez użytkownika przedziale. Jak juz wspomniano, prawdziwa wartość błędu
lokalnego jest niemożliwa do określenia, ponieważ obliczenia nie dają wyniku prawdziwego,
a jedynie jego przybliżoną wartość. Zamiast tego stosuje się wartość względnego błędu
lokalnego pojedynczego kroku, który definiuje się jako wartość lokalnego błędu rozwiązania
zgrubnego względem rozwiązania dokładnego. W przypadku prezentowanego
oprogramowania wartość błędu lokalnego δ zdefiniowane jest wyrażeniem:
∑ [e (i, j ) − e (i, j )]
N ,M
2
f
δ=
c
i , j =0
∑ [e (i, j )]
N ,M
(33)
2
f
i , j =0
gdzie: N = n - 1 oznacza całkowitą ilość punktów próbkowania w kierunku osi x,
M = m - 1 oznacza całkowitą ilość punktów próbkowania w kierunku osi y, ef(i, j) oraz ec(i, j)
są wartościami pola, odpowiednio dokładną i zgrubną, w punktach o współrzędnych (i, j).
Równanie (33) wyraża średnie odchylenie kwadratowe rozwiązania dokładnego i zgrubnego.
Wielkość kroku propagacji dobierana jest w taki sposób, aby zamknąć wartość
zdefiniowanego wzorem (33) względnego błędu lokalnego δ w określonym przedziale
wartości (1/2δG, δG), wyznaczonym przy pomocy parametru δG – żądana wartość,
zdefiniowana w programie. W warunku, gdy δ > 2δG uzyskane rozwiązanie jest odrzucane,
obliczenia wykonywane są od nowa z krokiem h podzielonym przez współczynnik 2. Dla
wartości δ zawartej w przedziale (δG, 2δG), wielkość h jest dzielona przez czynnik 21/3 w
następnym korku propagacji. Jeżeli δ < 1/2δG wielkość h jest mnożona przez czynnik 21/3 w
następnym kroku propagacji. Wartość wprowadzonego czynnika wynosi 21/3, ponieważ
względny błąd lokalny jest proporcjonalny do h3, a zastosowane kryterium dokładności
wymaga, aby wartość błędu lokalnego wzrastała mniej niż dwukrotnie na jeden krok 2h.
Obliczony przy pomocy wzoru (32) rozkład pola jest polem wejściowym dla następnego
kroku obliczeń.
12
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
Główną zaleta tej metody jest możliwość zastosowania jej do ogólnych problemów, bez
poznania dokładnej przyczyny powstawania błędu obliczeń. Dodatkowa, niezwykle istotna
cecha metody Split-Step z kryterium błędu lokalnego z punktu widzenia niniejszej pracy, to
niewrażliwość kryterium zbieżności na zmianę parametrów wykonywanych symulacji.
Wielkość błędu mierzonego zależy tylko od wyliczonych w programie wartości zgrubnej i
dokładnej pola. Mimo swoich zalet, zastosowanie metody powoduje znaczące komplikacje w
algorytmie programu, zwiększa ilość operacji o 50 %, a co za tym idzie – wydłużenie czasu
obliczeń, oraz większe użycie pamięci operacyjnej. Ponadto w przypadkach, dla których
przyczyny powstawania błędu lokalnego można dokładnie zidentyfikować, możliwe jest
opracowanie silniejszego kryterium zbieżności, niż w przypadku prezentowanej metody błędu
lokalnego.
4.4. Obsługa programu
W katalogu, w którym program ma zostać uruchomiony, powinien znajdować się plik
wykonywalny (nielinbpm.exe), pliki konfiguracyjne (config.txt; structure.txt) oraz bibliotekę
kompilatora FTN95 niezbędną do funkcjonowania programu wykonywalnego (salflibc.dll).
Przed uruchomieniem programu, do plików konfiguracyjnych należy wprowadzić
odpowiednie dane, są one opisane szczegółowo w każdym z plików, edycja plików jest
możliwa za pomocą dowolnego prostego edytora tekstowego.
Program po uruchomieniu wykonuje konieczne obliczenia, zapisując sukcesywnie w katalogu
roboczym kolejne pliki wynikowe. Stworzony program generuje grupę trzech plików
wynikowych. Zapis trzech plików wynikowych odbywa się wielokrotnie i następuje w równo
odległych od siebie odcinkach światłowodu, definiowanych w pliku wejściowym. Wynikiem
2
obliczeń są wartości rozkładu pola Ex, Ey oraz modułu tych dwu wartości E , definiowanego
wzorem:
2
E = E x2 + E y2
(34)
Pliki wynikowe zapisywane są w formacie przystosowanym do pracy z oprogramowaniem
GnuPlot, służącym do sporządzania wykresów. Istnieje możliwość zmiany pewnych
parametrów poprzez bezpośrednią ingerencję w kod programu. Pozwala to na dowolne
kształtowanie poprzecznego rozkładu współczynnika załamania, zadawanie dowolnego pola
wejściowego, oraz definiowanie warunków brzegowych. Wymaga to przynajmniej
podstawowej umiejętności programowania w języku FORTRAN, oraz posiadania
odpowiedniego kompilatora.
13
5. Przykładowe wyniki
Przy pomocy opracowanego programu wykonano serię symulacji propagacji światła w
światłowodach fotonicznych. Zbudowany algorytm pozwala na prowadzenie symulacji z
uwzględnieniem zjawisk nieliniowych, jak również bez ich udziału. Pozwala na zmiany
parametrów ośrodka propagacji, takie jak średnica otworów w płaszczu i ich wzajemna
odległość, ilość pierścieni heksagonalnej struktury fotonicznej płaszcza, współczynnik
załamania szkła. Zmiana charakterystyki ośrodka odbywa się poprzez modyfikacje wartości w
pliku wejściowym.
y [μm]
x [μm]
Rysunek 5. Przykładowa konfiguracja otworów wewnątrz symulowanej struktury.
Rysunek 5 przedstawia przykładowy rozkład otworów przekroju płaszczyzny (x, y)
modelowanej struktury światłowodu. Na osiach oznaczono We wszystkich badanych
przypadkach występuje podobny układ heksagonalny ze zmienianymi wartościami średnicy
pojedynczego otworu, ilości pierścieni otaczających rdzeń i odległości między
poszczególnymi otworami. Do światłowodu o przedstawionym na rysunku 4 profilu
współczynnika załamania wprowadzana jest wiązka Gaussa. Zmiana parametrów
wprowadzanej wiązki wymaga modyfikacji algorytmu programu.
y [μm]
x [μm]
Rysunek 6. Wejściowy rozkład natężenia wiązki (wiązka Gaussa).
14
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
Rysunek 6 przedstawia przykładowy rozkład natężenia wprowadzanego do struktury światła.
Pole to jest następnie propagowane za pomocą algorytmu BPM wzdłuż osi z zdefiniowanej w
programie struktury.
y [μm]
y [μm]
x [μm]
x [μm]
z = 20 μm
z = 20 μm
y [μm]
y [μm]
x [μm]
z = 40 μm
x [μm]
z = 40 μm
Rysunek 7. Porównanie ewolucji impulsu podczas propagacji w ośrodku liniowym
(lewa strona) oraz w przypadku propagacji wiązki w ośrodku nieliniowym
(prawa strona).
Rysunek 7 przedstawia propagację wiązki światła o ustalonych parametrach dla przypadku
propagacji bez uwzględniania zjawisk nieliniowych, oraz w światłowodzie nieliniowym.
Różnica w rozkładzie natężenia w obydwu przypadkach jest niedostrzegalna na powyższych
rysunkach, jednak obserwując kształt obwiedniej wiązki (bądź przekrój dla ustalonego y = 15
μm, obserwacja zależności E(x)) można dostrzec wyraźny efekt samoogniskowania wiązki
światła wewnątrz światłowodu nieliniowego. Porównanie takie przedstawiono na rysunku 8.
Symulowana w tym przykładzie struktura światłowodu fotonicznego wykazuje dobre
własności prowadzenia światła. Pole po propagacji na odległość 40 μm jest zlokalizowane w
rdzeniu światłowodu. Dla przypadku z uwzględnieniem efektów nieliniowych obserwuje się
dodatkowy efekt samoogniskowania wiązki – mod prowadzony w światłowodzie
nieliniowym jest zlokalizowany na odrobinę mniejszej powierzchni rdzenia światłowodu (ma
niewiele mniejszą szerokość) i prowadzi więcej energii.
15
1,5
1,4
1,3
1,2
Unormowane natężenie
1,1
1
0,9
0,8
Przypadek nieliniowy
Przypadek liniowy
Wiązka wejściowa
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Przekrój poprzeczny wiązki wzdłuż osi x
Rysunek 8. Porównanie kształtu wiązek propagujących się w ośrodku nieliniowym i liniowym
po propagacji na odległość z = 40 μm. Natężenie wiązki jest unormowane względem pola
wejściowego.
Wiązka Gaussa wprowadzona do światłowodu stopniowo zmienia podczas propagacji swój
kształt, aż do momentu, w którym nastąpi wzbudzenie modu prowadzonego symulowanego
światłowodu. Niestety ze względu na poziom komplikacji problemu nie można w sposób
analityczny określić postaci modu prowadzonego w prezentowanej strukturze, a co za tym
idzie, nie jest możliwe zdefiniowanie w programie odpowiedniego pola. Jako pole wejściowe
stosuje się zatem wiązkę Gaussa, generowaną przez źródła laserowe. W obszarze bliskim
źródła światła, wprowadzona wiązka Gaussa gwałtownie zmienia swój kształt, oddając część
energii do ośrodka, aż do momentu osiągnięcia stanu stabilnego – wzbudzenia modu.
z = 0 [μm] – pole wejściowe
z = 0,5 [μm]
16
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
z = 1,5 [μm]
z = 4 [μm]
z = 7,5 [μm]
z = 15 [μm] – stan stabilny
Rysunek 9. Proces wzbudzania modu prowadzonego w światłowodzie.
Rysunek 9 przedstawia rozkłady pola z obszaru bliskiego źródła światła, widoczne są efekty
opisywane wcześniej. Podstawowe parametry wiązki – jej szerokość i wysokość, są
zachowane wzdłuż całej zasymulowanej drogi propagacji.
W przypadku uwzględnienia zjawisk nieliniowych w dokonywanych obliczeniach, możliwe
jest doprowadzenie do sytuacji, w której efekty dyfrakcyjne zostaną skompensowane
nieliniowym samoogniskowaniem – następuje formacja solitonu przestrzennego.
17
z = 0 [mm] – pole wejściowe
z = 1 [mm]
z = 5 [mm]
z = 10 [mm]
Rysunek 10. Propagacja impulsu w warunkach solitonowych.
Na rysunku 10 przedstawiono propagację pola, które zachowuje swoje własności w obszarze
oddalonym od źródła światła. Można przyjąć, że dla zadanej odległości propagacji pole to
zachowuje się jak soliton przestrzenny, należy jednak pamiętać, że odległość propagacji jest
bardzo mała (10 mm). Nie wiadomo jak pole zachowuje się podczas propagacji na dużo
większe odległości. Odległości propagacji światła uzyskiwane przy pomocy stworzonego
algorytmu są bardzo małe, przyczyną jest konieczność stosowania małej wartości kroku
propagacji h w kierunku osi z, przez wzgląd na dokładność obliczeń. Zastosowanie dużego
kroku h powoduje zniszczenie kryterium zbieżności w zastosowanej do obliczeń metodzie
Split-Step (występuje zależność trzeciego rzędu między błędem obliczeń a wielkością kroku),
w efekcie wyniki obliczeń obarczone są znaczącym błędem. Zatem w przypadku propagacji
wiązki na duże odległości, nie można zastosować zbyt dużego kroku propagacji, jedynym
sposobem na przeprowadzenie symulacji na dużą odległość jest zatem zwiększenie liczby
kroków. W takim przypadku poważne ograniczenie stanowi dostępna moc obliczeniowa.
Wraz ze zwiększaniem liczby kroków, zwiększa się jednocześnie czas potrzebny na
wykonanie obliczeń.
18
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
6. Podsumowanie
6.1. Dotychczasowe osiągnięcia
Przedstawione w niniejszym sprawozdaniu oprogramowanie pozwala na symulację
propagacji światła w światłowodach fotonicznych o hexagonalnym rozkładzie otworów w
płaszczu. Symulacje te mogą przebiegać w warunkach liniowych lub z włączonymi do
obliczeń efektami nieliniowymi. Część projektowa niniejszej pracy nie została jeszcze
zrealizowana. Przyczyną takiego stanu rzeczy jest przede wszystkim nieprzystosowanie
stworzonego algorytmu do rodzaju zadania. Przyjęte na samym początku założenie propagacji
światła bez odbić wewnętrznych wyklucza możliwość zbadania odbić na granicy połączenia
dwóch rodzajów światłowodów. Pole propaguje się wyłącznie w jednym kierunku, wyniki
obliczeń zapisywane są tylko dla pewnych zdefiniowanych płaszczyzn (x, y), reszta wyników
jest wykorzystywana tylko raz w jednym kroku obliczeń, następnie zostaje wykasowana
(przez wzgląd na możliwości komputera – głównie pamięć). Zdjęcie uproszczenia propagacji
bezodbiciowej spowoduje dodatkowe komplikacje algorytmu oraz znaczne wydłużenie czasu
potrzebnego na dokonanie obliczeń. Zbadanie odbić na granicy połączenia dwóch rodzajów
światłowodów wymaga zatem kompletnego przebudowania algorytmu, a nawet zmiana metod
numerycznych stosowanych do obliczeń pola. Dodatkowym czynnikiem spowalniającym
prace nad rozwojem projektu stanowiła konieczność przekazania go innemu zespołowi
badawczemu. Nowy zespół musiał zapoznać się ze stworzonym oprogramowaniem, przed
rozpoczęciem prac rozwojowych.
Prace nad nowym algorytmem będą kontynuowane poza pracą statutową, w ramach projektu
dyplomowego studiów organizowanych przez IŁ wspólnie z Uniwersytetem Nottingham.
6.2. Kontynuacja projektu we współpracy z Uniwersytetem Nottingham
George Green Institute for Electromagnetics Research dysponuje silnym zespołem
specjalizującym się w modelowaniu numerycznym zjawisk elektromagnetycznych. Jednym z
głównych obszarów pracy zespołu są metody symulacji zjawisk optycznych w komponentach
mikrostrukturalnych. Obecnie odpowiedzialny za rozwój projektu pracownik zakładu Z-14,
mgr inż. Mariusz Zdanowicz, planuje wyjazd na misję naukową do Instytutu w Nottingham,
aby podnieść swoje kwalifikacje w dziedzinie symulacji numerycznych zjawisk
elektromagnetycznych, ze szczególnym uwzględnieniem metody TLM (ang. Transmission
Line Method) [10] opracowanej w George Green Institute for Elekctromagnetics Research.
Metoda ta polega na scharakteryzowaniu ośrodka symulowanego przy pomocy elementów
linii transmisyjnej (pojemność, indukcyjność, rezystancja) oraz propagowanego pola za
pomocą wartości napięcia (pole elektryczne) i prądu (pole magnetyczne) w linii. Metoda ta
ma wiele zalet wynikających z prostoty działania – elementy linii transmisyjnej oddziałują ze
sobą w obie strony, w naturalny sposób w takiej linii można wprowadzić odbicia wewnętrzne
w strukturze podczas propagacji światła.
Dyskretyzacja obszaru obliczeniowego w metodzie TLM polega na podstawieniu elementu
linii (obwód RLC) reprezentującego własności danego obszaru w przestrzeni obliczeniowej.
Przykładową elementarną komórkę elementarną (przypadek jednowymiarowy) w metodzie
TLM przedstawiono na rysunku 11. Parametry pokazane na rysunku: Vwe – napięcie
wejściowe, Vwy – napięcie na wyjściu układu, L – indukcyjność, C – pojemność, R –
oporność, i – prąd.
19
L
i
Vwe
C
R
Vwy
Rysunek 11. Podstawowy element dyskretyzacji w metodzie TLM w jednym wymiarze.
Rozważając obwód elektryczny składający się z elementów przedstawionych na rysunku 9
otrzymuje się:
∂ 2i
LC ∂ 2 i
L ∂i
=
+
2
2
2
∂x
(Δx ) ∂t (Δx )2 R ∂t
(35)
Gęstość prądu j wyznaczyć można z teorii elektromagnetyzmu, i opisuje się ją przy pomocy
równania:
∂2 j
∂2 j
∂j
μ
ε
=
+ μ 0σ
0 0
2
2
∂t
∂x
∂t
(36)
gdzie μ0 jest przenikalnością magnetyczną próżni, ε 0 jest przenikalnością elektryczną próżni a
σ jest przewodnością elektryczną materiału. Porównując powyższe równania otrzymuje się
związki:
L
↔ μ0 ;
Δx
C
↔ ε0;
Δx
1
↔σ
R Δx
(37)
Związki (37) stanowią rdzeń metody TLM. Obecnie metoda ta jest dobrze opracowana dla
przypadków jedno-, dwu-, i trójwymiarowych. Obecnie trwają prace nad rozwinięciem
metody, główny nacisk kładziony jest na wykorzystanie nowych możliwości dyskretyzacji
symulowanej struktury.
20
Sprawozdanie z pracy numer 14 30 004 6
Literatura
[1] Agrawal A. P.: Nonlinear Fiber Optics. Academic Press, San Diego, 1995
[2] Fogli F., Saccomandi L., Bassi P.: Full vectorial BPM modeling of Index-Guiding
Photonic Crystal Fibers and Couplers. Optics Express, Vol. 10, No. 1, pp 54-59, 2002
[3] Feit M. D., Fleck J. A.: Computation of mode properties in optical fiber waveguides by a
propagating beam method. Appl. Opt. 19, pp. 1154-1164, 1980
[4] Ferrando A., Silvestre E., Miret J. J., Andrés P., Andrés M. V.: Full-vector analysis of a
realistic photonic crystal fiber modes. Opt. Lett. 24, pp. 276-278, 1999
[5] Marcuse D.: Theory of Dielectric Optical Waveguides. Academic Press, New York, 1974
[6] Adamowicz L., Nguyen Van Q.: Electromagnetic field in a slab of photonic crystal by
BPM. Optics and Lasers in Engineering, No. 35, pp. 67-78, 2001
[7] Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P.: Numerical Recipes in
Fortran 77. The Art of Scientific Computing. Second Edition, Cambridge University
Press, 1997.
[8] Burton C. J.: Nonlinear Optics in Microstructured Fibres. BSc thesis, The University of
Western Australia, 2003
[9] Sinkin O.V., Holzlöhner R., Zweck J., Menyuk C.R.: Optimization of the Split-Step
Fourier Method in Modeling Optical Fiber Communications Systems. Journal of
Lightwave Technology, Vol. 21, No. 1, January 2003
[10] Sewell P., Wykes J. G., Benson T.M., Christopoulos C., Thomas D. W. P., Vukovic A.:
Transmission-Line Modeling Using Unstructured Triangular Meshes. IEEE Transactions
on Microwave Theory and Techniques, Vol. 52, No. 5, 2004
Lista publikacji związanych z tematem projektu
[1] Zdanowicz M., T. Abraham T.: Numerical Analysis and Design of Microstructured
Components for Broadband Optical Communication Networks, COST P11 Training
School Modelling and Simulation Techniques for Linear, Nonlinear and Active Photonic
Crystals, University of Nottingham, UK, June 19-22 2006, in: Proceedings of the 8th
International Conference on Transparent Optical Networks ICTON 2006, IEEE Catalog
Number: 06EX1326, ISBN: 1-4244-0236-0, Library of Congress: 2006921097, vol. 4
pp. 262
[2] Zdanowicz M., Marciniak M., Jaworski M., Goncharenko I. A.: Numerical Algorithm for
the Analysis of Linear and Nonlinear Microstructure Fibres. X Scientific Conference and
School Optical Fibres and Their Applications TAL 2006, October 4 - 7 2006, Krasnobrod
(Poland), conference proceedings, ISBN 83-89868-57-1, vol. 1, pp. 283-288
21