Zestaw 2 1. Niech (X,T ) będzie przestrzenią topologiczną oraz A

Zestaw 2
1. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną oraz A gęstym podzbiorem zbioru X. Wykazać, że dla każdego zbioru U ∈ T zachodzi
równość: cl U = cl(U ∩ A).
2. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną oraz A, B ⊆ X.
Wykazać poniższe własności wnętrza i domknięcia zbioru.
(a) cl A = X \ Int(X \ A)
(b) cl U = cl Int cl U dla każdego U ∈ T
(c) cl Int cl A ∪ cl Int cl B = cl Int cl(A ∪ B)
3. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną, A ⊆ X oraz Ad
zbiorem punktów skupienia zbioru A. Wykazać poniższe własności domknięcia zbioru.
(a) cl(U ∩ cl A) = cl(U ∩ A) dla każdego U ∈ T
(b) Ad ⊆ cl A
(c) cl A = A ∪ Ad
4. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną oraz A ⊆ X. Wykazać poniższe własności zbioru punktów skupienia Ad .
(i) A ⊆ B ⇒ Ad ⊆ B d dla każdej pary A, B ⊆ X
(ii) (A ∪ B)d = Ad ∪ B d dla każdej pary A, B ⊆ X
5. Wykazać, że w dowolnej przestrzeni topologicznej (X, T ) następujące warunki są równoważne:
(a) domknięcie każdego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym
(b) jeżeli U i V są otwartymi i rozłącznymi podzbiorami zbioru X,
to cl U ∩ cl V = ∅
Przestrzenie spełniające warunek (a) nazywa się ekstremalnie niespójnymi.
6. Niech (X, T ) bedzie przestrzenią topologiczną oraz {As : s ∈ S} ⊆
P(X). Wykazać, że jeżeli rodzina {As : s ∈ S} jest dyskretna, to zachodzi równość
[
[
cl {As : s ∈ S} =
{cl As : s ∈ S} .
7. Niech (X, T ) bedzie przestrzenią topologiczną oraz {As : s ∈ S} ⊆
P(X). Wykazać, że jeżeli rodzina {As : s ∈ S} jest dyskretna, to rodzina {cl As : s ∈ S} jest także dyskretna.
8. Niech (X, T ) bedzie przestrzenią topologiczną oraz A, B ⊆ X i
Y = A ∪ B. Wykazać, że jeżeli A, B ∈ TY , to zachodzą równości:
(i) Int(A ∪ B) = Int A ∪ Int B
(ii) cl Int cl(A ∪ B) = cl(Int A ∪ Int B)
1
9. W przestrzeniach topologicznych z zadania 4 z zestawu 1 wyznacznyć domknięcia, wnętrza i zbiór punktów skupienia następujących zbiorów:
(a) {a}
(b) {x}, gdy x 6= a
(c) X \ {a}
(d) X \ {x}, gdy x 6= a
10. Niech (X, T ) bedzie przestrzenią topologiczną, Y ⊆ X oraz A ⊆
Y . Wykazać, że jeśli "clY " oznacza domknięcie w podprzestrzeni (Y, TY )
zaś "clX " domknięcie w przestrzeni (X, T ), to zachodzi równość
clY A = clX A ∩ Y.
2