identyfikacja momentu podporowego w belce częściowo utwierdzonej

identyfikacja momentu podporowego w belce częściowo utwierdzonej

IDENTYFIKACJA MOMENTU PODPOROWEGO
W BELCE CZĘŚCIOWO UTWIERDZONEJ
Jarosław MALESZA∗
Wydział Budownictwa i InŜynierii Środowiska, Politechnika Białostocka, ul. Wiejska 45 A, 15-351 Białystok
Streszczenie: W pracy przedstawiono procedurę identyfikacji momentu podporowego w statycznie niewyznaczalnej,
częściowo utwierdzonej belce Ŝelbetowej. Belka jest ryglem ramy Ŝelbetowej, której stopień zamocowania podlega
zmianom pod wpływem kontynualnie narastającego obciąŜenia. Nadliczbową wielkością w belce jest moment zginający
w utwierdzeniu. Niewiadomą tą wyznaczamy na podstawie identyfikacji ugięć teoretycznych i pomierzonych
doświadczalnie w wybranych punktach elementu. Ugięcia teoretyczne obliczamy całkując numerycznie równanie
krzywizny osi belki przy załoŜeniu, Ŝe w procesie obciąŜania ujawniają się efekty nieliniowości fizycznej Ŝelbetu. Efekty
te ilościowo opisują: teoria zmian sztywności Muraszewa i wytyczne Eurokodu 2. Problem brzegowy, częściowego
utwierdzenia belki, jest rozwiązywany procedurą iteracyjną właściwą problemowi początkowemu, z zastosowaniem
schematu całkowania w przód o podwyŜszonej dokładności.
Słowa kluczowe: sztywność przekroju Ŝelbetowego na zginanie, uogólnione prawo zginania belki Ŝelbetowej,
identyfikacja parametryczna.
1. Wprowadzenie
Podstawowym wymaganiem w procesie projektowania
konstrukcji Ŝelbetowych jest ustalenie najbardziej
niekorzystnej kombinacji obciąŜeń oraz spełnienie
warunków nośności i uŜytkowalności. Wyznaczenie sił
wewnętrznych odbywa się z reguły z wykorzystaniem
metod
analizy
spręŜystej.
Układy
statycznie
niewyznaczalne wymagają określenia rozkładu sztywności
przekrojów poprzecznych. Początkowa sztywność tych
przekrojów jest wyznaczona ich geometrią, modułami
odkształcenia materiałów, betonu i stali zbrojeniowej oraz
rozmieszczeniem i wielkościami przekrojów zbrojenia
głównego. Podczas wzrostu wytęŜenia konstrukcji
Ŝelbetowej początkowy rozkład sztywności podlega
zmianom, które mają wpływ na siły wewnętrzne, w tym na
wielkości nadliczbowe. ZaleŜność sztywności przekrojów
poprzecznych od ich wytęŜenia wyraŜa nieliniowość
fizyczną Ŝelbetu. Czynnikami tej nieliniowości są
niespręŜyste właściwości betonu zarówno rozciąganego,
jak i ściskanego. Zasadniczym czynnikiem są ograniczone
zdolności odkształceniowe przy rozciąganiu, które
wywołując rysy powodują silne, lokalne zmiany geometrii
przekroju. Pomiędzy rysami kształtują się zwarte bloki,
w których stan odkształceń i napręŜeń nie odpowiada
reakcji belkowej. Zarysowanie jest więc przyczyną
nierównomiernych przestrzennie deformacji elementów
Ŝelbetowych. Zmieniająca się geometria przekroju
zarysowanego powoduje degradację jego sztywności
∗
w procesie obciąŜania. Intensywność tej degradacji na
długości elementu róŜnicuje się. W konsekwencji
Ŝelbetowy element konstrukcyjny przekształca się
w element o kontynualnie ewoluującym rozkładzie
sztywności. W stadiach poprzedzających stan graniczny
nośności ujawniają się właściwości nieliniowe betonu
ściskanego, co równieŜ wpływa na zmiany sztywności
elementu. Uplastycznienie stali zbrojeniowej redukuje
sztywność w otoczeniu przekrojów krytycznych do zera.
Tworzą się przeguby plastyczne. Konstrukcja Ŝelbetowa
zmniejsza swój stopień statycznej niewyznaczalności lub
przekształca się w mechanizm.
W przypadku układów statycznie wyznaczalnych te
właściwości Ŝelbetu nie mają wpływu na rozkład sił
wewnętrznych, a tylko decydują o wartościach ugięć
elementów.
Zaniedbanie nieliniowości fizycznej Ŝelbetu w analizie
statycznej jest więc załoŜeniem silnie upraszczającym
problem. Wyznaczone siły wewnętrzne metodami analizy
spręŜystej są wprost proporcjonalne do obciąŜenia
zewnętrznego. Przyjmowanie tego obciąŜenia na poziomie
obliczeniowym nie pozwala określić rozkładu sił
wewnętrznych w stadiach poprzedzających wyczerpanie
nośności konstrukcji. Momenty zginające wyznaczone
w krytycznych przekrojach przęsłowych i przywęzłowych
zachowują stałe proporcje, niezaleŜnie od intensywności
wytęŜenia konstrukcji. Ma to wpływ na poprawność
decyzji projektowych o rozmieszczeniu zbrojenia na
odcinkach krytycznych.
Autor odpowiedzialny za korespondencję. E-mail: [email protected]
155
Civil and Environmental Engineering / Budownictwo i InŜynieria Środowiska 1 (2010) 155-161
Efekty nieliniowego zachowania belek Ŝelbetowych
moŜna uwzględnić poprzez analizy statyczne, w których
uwzględnimy ewolucyjne zmiany sztywności wywołane
narastającym obciąŜaniem. MoŜliwym sposobem ujęcia
tych zmian jest załoŜenie, Ŝe podstawą wyznaczenia ugięć
elementu Ŝelbetowego jest krzywizna odkształconej osi
pręta.
k (x ) = −
d 2 y (x )
dx
2
=
M (x )
B (x )
(1)
Przejęcie B(x) ≡ B(x,M) oznacza, Ŝe we wzorze (1)
uwzględniono zarówno początkową niejednorodność
rozkładu sztywności belki, jak równieŜ zmianę sztywności
przekrojów poprzecznych spowodowaną momentem
zginającym.
W literaturze znajdujemy propozycje będące próbą
teoretycznego ujęcia zjawiska zmian sztywności
w konstrukcjach z betonu. Większość metod zakłada,
iŜ zaleŜność między krzywizną k i momentem zginającym
M moŜna aproksymować pewną funkcją M(k). Funkcja
moŜe mieć charakter kontynualnie krzywoliniowy
(Kuczyński, 1971). Inną funkcją jest zaleŜność
odcinkowo-liniowa (Knauff, 1979). ZaleŜność taka
odzwierciedla silną zmianę sztywności po zarysowaniu
przekroju, bez opisu postępującego defektu sztywności.
Przykładem
koncepcji
zmian
sztywności
z uwzględnieniem osłabienia przekroju na skutek
zarysowania jest teoria Muraszewa (Muraszew, 1950)
zaadaptowana do praktycznego stosowania w polskiej
normie PN-84/B-03264 Konstrukcje betonowe, Ŝelbetowe
i spręŜone. Obliczenia statyczne i projektowanie. W teorii
tej krzywizna odcinka między rysami jest obliczana na
podstawie średnich odkształceń zbrojenia rozciąganego
i skrajnego włókna ściskanego betonu. Odkształcenia te są
uzaleŜnione od odpowiednich wielkości występujących
w przekroju zarysowanym. Sztywność przekrojów
poprzecznych na odcinkach belki z momentami jednego
znaku, ustala się przedziałami stałą, wyznaczaną dla
przekroju ekstremalnie wytęŜonego.
Koncepcję dwufazową prezentuje równieŜ Eurokod 2,
w której przy wystąpieniu zarysowania następuje skokowa
zmiana sztywności.
Propozycję innych nieliniowych praw M-k będących
podstawą wyznaczania ugięć przedstawiono w pracy
(Malesza, 2008).
Związek pomiędzy sztywnością i krzywizną ugiętych
elementów ma decydujące znaczenie w wyznaczaniu
ugięć
elementów.
Ugięcia
belek
Ŝelbetowych
proponowano wyznaczać dla sztywności najbardziej
wytęŜonego przekroju krytycznego belki swobodnie
podpartej.
Celem pracy jest wyznaczenie ewolucji momentu
podporowego na skutek kontynualnego defektu
sztywności w statycznie niewyznaczalnej belce
Ŝelbetowej. Belkę stanowi rygiel ramy częściowo
utwierdzony na podporach i poddany działaniu obciąŜania
narastającego. Sposób częściowego utwierdzenia nie ma
charakteru spręŜystego. Stanowi zamocowanie, którego
moduł sztywności nie jest określony i zaleŜy od poziomu
156
obciąŜenia. Węzeł zamocowania wykazuje efekty
zarysowań, które wpływają na rozkład momentów
zginających w ryglu pod działaniem wzrastającego
obciąŜenia. Uwzględnimy prawo fizykalne przekrojów
zginanych według Muraszewa będące podstawą
wyznaczania ugięć według PN-84/B-03264 i porównamy
z
rozwiązaniami
proponowanymi
w
obecnie
obowiązującej normie PN-EN 1992-1-1:2008 zgodnej
z Eurokodem 2 Projektowanie konstrukcji z betonu. Część
1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. Zadanie
rozwiąŜemy wspomagając się wynikami doświadczenia
przeprowadzonymi przez Bodzaka i Czwianianca
(Bodzak, 2001), którymi są deformacje belki: kąt obrotu
w
przekroju
częściowego
utwierdzenia
oraz
przemieszczenia wybranych punktów usytuowanych
w przęśle.
2. Dane doświadczalne
Identyfikację momentów zginających przeprowadzono
w oparciu o wyniki przemieszczeń rygla oraz kąta obrotu
węzła ramy zamieszczone w pracy (Bodzak, 2001).
Zbadano monolityczną ramę Ŝelbetową w kształcie litery
H przedstawioną na rys. 1a. Do rygla ramy, o długości
l = 276 cm, przyłoŜono dwie siły skupione. ObciąŜenie
wzrastało od wartości 0 do 180 kN ze stałym krokiem
równym około 10 kN. W słupach utrzymywano stałe
obciąŜenie N = 50 kN.
a)
b)
Rys. 1. Badana monolityczna rama Ŝelbetowa: a) Schemat
ramy, b) schemat statyczny rygla, obciąŜenie i początkowy
rozkład sztywności przyjęty w identyfikacji.
Rygiel ramy o przekroju 20 × 30 cm i rozpiętości
2,76 m był zbrojony w sposób właściwy dla rozkładu
momentów z róŜnymi znakami: ujemnymi i dodatnimi.
WyróŜniono w nim po trzy odcinki o zróŜnicowanej
sztywności, rozłoŜone symetrycznie względem środka
belki. Sztywności poszczególnych odcinków oznaczono:
Jarosław MALESZA
B01, B02 i B03 (rys. 1b). Początkowy rozkład sztywności
w
przekrojach
poprzecznych
belki
wynika
z zastosowanego układu zbrojenia. Odcinki podporowe
o długości 0,3 m są zbrojone dołem i górą symetrycznie,
As1 = As2 = 6,16 cm2. Odcinki pośrednie o długościach
0,58 m mają zbrojenie dolne As1 = 8,17 cm2 i górne
As2 = 3,13 cm2. Obejmują one odcinki belki, na których
występuje zmiana znaku momentów. Odcinek przęsłowy
o długości 1,0 m i zbrojeniu As1 = 8,17 cm2,
As2 = 2,26 cm2 obejmuje środkową części belki. Zbrojenie
poprzeczne stanowiły strzemiona o średnicy ∅8 mm
w rozstawie co 8 cm i co 24 cm. Rygiel wykonano
z betonu, który miał wytrzymałość na ściskanie
wyznaczoną z badań na kostkach fc,cube = 41,8 MPa.
Pozostałe parametry betonu to: wytrzymałość średnia na
ściskanie fc = 27,5 MPa, średnia wytrzymałość na
rozciąganie fct = 3,14 MPa oraz średni moduł spręŜystości
podłuŜnej Ecm = 23300 MPa.
W doświadczeniu rejestrowano przemieszczenia
i odkształcenia wybranych punktów konstrukcji. Ugięcia
rygla mierzono dwukrotnie, bezpośrednio po zwiększeniu
obciąŜenia oraz przed kolejnym krokiem obciąŜenia. Ze
względu na symetryczny rozkład zbrojenia w analizie
uwzględniono ugięcia pomierzone w przekrojach: 0, 1, 2
oraz 3 (rys. 1 a i b).
Na wykresach przemieszczeń (rys. 2) zauwaŜamy
charakterystyczne dla Ŝelbetu osobliwości reakcji
deformacyjnej.
Trójodcinkowy
przebieg
zmian
najwyraźniej
uwidacznia linia ilustrująca ugięcie środka belki pod
narastającym obciąŜeniem. Etap spręŜystych odkształceń
fazy przed zarysowaniem występuje do obciąŜenia około
35 kN. W procesie identyfikacji nie sugerowano się
wartością
momentu
rysującego
uzyskaną
w doświadczeniu. Moment ten został ustalony na
podstawie
wytycznych
norm
PN-84/B-03264
i PN-EN 1992-1-1:2008.
Analizę przeprowadza się w zakresie obciąŜeń
eksploatacyjnych, do wartości 0,8Pmax = 145 kN. Wykresy
przebiegów ugięć w tym zakresie są ogólnie
krzywoliniowe,
bez
gwałtownych
przyrostów
przemieszczeń.
W fazie wyczerpywania nośności (P > 145 kN)
uwidaczniają się efekty uplastycznienia zbrojenia. Nie
prowadzą one do zniszczenia elementu poniewaŜ stal
doznaje wzmocnienia plastycznego, a beton nie ulega
zmiaŜdŜeniu. Wzrost obciąŜenia notowano do wartości
180 kN. Badania zakończono, gdy przemieszczenia
w środku rozpiętości przekroczyły 50 mm, a ostatni
odczyt w stosunku do poprzedniego charakteryzował się
15% wzrostem ugięcia. Opis wyczerpania nośności nie
jest tematem niniejszej pracy.
3. Numeryczny algorytm wyznaczania ugięć
W analizowanym przypadku belki obustronnie
częściowo utwierdzonej, obciąŜonej dwiema siłami
skupionymi, poszukuje się ugięć teoretycznych w środku
rozpiętości. Wyznaczenie ugięć sprowadza się do
dwukrotnego całkowania równania (1), przy załoŜeniu
odpowiednich warunków brzegowych.
W klasycznym utwierdzeniu powinniśmy przyjmować
warunki brzegowe, dla których: y(0) = y(l) = 0
i y’(0) = y’(l) = 0. Badania doświadczalne pokazują, Ŝe
w węzłach ramy występują deformacje związane zarówno
z obrotem jak i przemieszczeniami. Utwierdzenie rygla
staje się poprzez to częściowe, z zachowaniem układu sił
wewnętrznych
belki
obustronnie
zamocowanej.
Zmodyfikujemy więc warunki brzegowe przyjmując:
y(0) = f3 i y’(0) = ϕeksp, y(½l) = f0, gdzie f0 i f3 są
pomierzonymi przemieszczeniami rygla w przekroju 0 i 3
(rys. 1), a ϕeksp jest kątem obrotu przekroju utwierdzenia
uzyskanym w doświadczeniu.
Rys. 3. Rozkład momentów zginających na długości rygla
Rys. 2. Przemieszczenia osi rygla zmierzone w badaniach doświadczalnych
157
Civil and Environmental Engineering / Budownictwo i InŜynieria Środowiska 1 (2010) 155-161
Rozkład momentów zginających na długości belki nie
jest znany z uwagi na statyczną niewyznaczalność układu.
Kształt wykresu momentów jest dwuliniowy (rys. 3),
a równania momentów (2) są określone z dokładnością do
wartości nadliczbowej – momentu utwierdzenia MU.
MU − P ⋅ x, jezeli x ∈ 0,a

M (x) = 
l (2)
MU − P ⋅ ( x − a) = M P = const, jezeli x ∈ a,
2

Wyznaczymy nadliczbową wartość MU wykorzystując
w iteracyjnym algorytmie sposób numerycznego
całkowania równania (1). Dokonamy podziały osi belki na
węzły z krokiem ∆x. Krok całkowania ∆x ustalono jako
odpowiedni ułamek długości belki, na przykład ∆x = L/N,
gdzie N = 1000. Poszukiwaną linię ugięcia belki
przedstawimy szeregiem Taylora. Ograniczając się do
czterech początkowych wyrazów rozwinięcia uzyskujemy
wzór całkowy
y ( x + ∆x ) = y (x ) + y ' (x ) ⋅ ∆x
+ y ' ' (x ) ⋅
(∆x )2 + y ' ' ' (x ) ⋅ (∆x )3
2!
(3)
3!
Drugą i trzecią pochodną funkcji ugięcia wyznacza się
na
podstawie
sił
wewnętrznych.
Określamy
y”(x) = M(x)/Bi, gdzie M(x) jest momentem zginającym
w bieŜącym przekroju, a Bi odpowiadającą mu
sztywnością na odcinku 1, 2 lub 3. Uwzględniamy wpływ
sił poprzecznych, których rozkład na długości belki jest
znany z uwagi na symetrię belki i obciąŜenia.
Przyjmujemy, Ŝe y’”(x) = T(x)/Bi.
Całkowanie według (3) będziemy wykonywać
z jednoczesnym wyborem wartości MU odpowiedniej dla
danego poziomu obciąŜenia. O poprawności wyboru MU
decyduje kryterium zgodności wartości ugięcia
teoretycznego y(½l) i wartości pomierzonej f0 z załoŜoną
dokładnością. W procedurze całkowania ustalano
sztywność przekroju poprzecznego w węzłach osi belki
jako zaleŜną od momentu zginającego Mi = M(xi).
Wykorzystywano w tym celu zaleŜność Muraszewa
opisaną w PN-84/B-03264:
gdy M ≤ M cr
 B0 = Ecm ⋅ J 0 ,

z f ⋅ h0

B( x) =  BII =
gdy M > M cr
ψ
0,9
a

+

Ea ⋅ Fa ν ⋅ Eb ⋅ Fbc
(4)
gdzie
n


M cr = 0,292 + 1,5 ⋅
⋅ ( AS1 + 0,1 ⋅ AS 2 ) ⋅ b ⋅ h 2 ⋅ f ct (5)
b⋅h


We wzorze (5) przyjęto, Ŝe fct = fct = 3,14 MPa.
Ponadto analizy numeryczne przeprowadzono dla
sztywności przekroju w fazie zarysowanej BII opisanej
w Eurokodzie 2 i przyjętej w aktualnej obowiązującej
normie
projektowania
konstrukcji
Ŝelbetowych
PN-EN 1992-1-1:2008
158
BII =
Ecm ⋅ J II
σ
1 − β1 ⋅ β 2 ⋅  sr
 σs
2
 
J
 ⋅ 1 − II
J0
 



(6)
W powyŜszym prawie (6) stosunek napręŜeń σsr/σs
zastąpiono ilorazem momentu wywołującego zarysowanie
i poszukiwanej wartości momentu w najbardziej
wytęŜonym
przekroju
przywęzłowym
Mcr/MU
i w przekroju przęsłowym Mcr/MP, gdzie określono
Mcr = W·fct. Wartości współczynników β1 i β2 przyjęto
równe 1,0, uwzględniając, Ŝe belka jest zbrojona prętami
uŜebrowanymi i poddana obciąŜeniu doraźnemu.
4. Wyniki numeryczne
ZaleŜności obciąŜenie P – ugięcie f w punkcie
środkowym: doświadczalne f0 albo teoretyczne y(½l)
wykazują wysoki stopień zgodności (rys. 4). Świadczy to
o poprawności prognozy teoretycznej na sztywność
zginanego przekroju Ŝelbetowego. Podstawowym
parametrem, którym sterowano w celu uzyskania
zgodności przemieszczeń był moment zginający
w przekroju przywęzłowym MU. Wartość ta określa
moment przęsłowy MP = MU – P·(x – a). Przebieg
zmienności obydwu momentów pokazano na rys. 5.
Proporcjonalny, liniowy wzrost momentów obserwujemy
do obciąŜenia około 42 kN. Jest to obciąŜenie, które w
badaniach doświadczalnych wywołało pierwsze rysy na
odcinku środkowym belki. Wartość obciąŜenia rysującego
odpowiada momentowi rysującemu równemu około
23 kNm wyznaczonemu na podstawie zaleŜności (5).
Moment przęsłowy osiąga wartość momentu rysującego
wcześniej niŜ moment w przekroju przywęzłowym, który
jest silniej zbrojony. Pojawienie się zarysowania
wywołuje ubytki sztywności i zaburzenie proporcjonalnej
relacji analizowanych momentów.
W celu analizy ścieŜek zmian momentów w procesie
obciąŜenia przedstawionych na rys. 5 zaznaczono pewne
charakterystyczne punkty 1, 2, … 10. W punktach tych
wyznaczono iloraz wartości momentów podporowego do
przęsłowego. Iloraz ten jest miarą sztywności
częściowego zamocowania rygla w słupach ramy. Jego
charakterystyczne wartości ilustruje rys. 6. Układają się
one w linię łamaną, na której moŜna wyodrębnić ewolucję
częściowego zamocowania rygla. W zakresie do siły
kończącej
liniowo-spręŜyste
wytęŜenie
przekroju
przęsłowego (P = 32 kN = 0,75 Pcr) iloraz jest wartością
stałą. Oznacza to, Ŝe rozdział momentu globalnego dla
rygla Mg = Pa na momenty podporowy i przęsłowy
realizuje się proporcjonalnie. W zakresie obciąŜeń
(P = 32 kN, P = 93 kN) pojawiają się efekty zarysowań
przęsłowych i przypodporowych. Wzajemna relacja
momentów w tych przekrojach jest nieustabilizowana.
Jarosław MALESZA
Rys. 4. Ugięcia teoretyczne i doświadczalne w przekrojach rygla
Rys. 5. Przebieg zmienności momentu przęsłowego MP i przywęzłowego MU,
przy załoŜeniu zmian sztywności przekroju według Muraszewa i EC2:
A – MP, sztywność według Muraszewa, B – MU, sztywność według Muraszewa,
C – MP, sztywność według EC2, D – MU, sztywność według EC2
Rys. 6. Stosunek wartości momentu utwierdzenia do momentu przęsłowego
159
Civil and Environmental Engineering / Budownictwo i InŜynieria Środowiska 1 (2010) 155-161
W przedziale obciąŜenia od 83 kN do 146 kN
kontynualnie zwiększa się efektywność przekroju
utwierdzenia w przenoszeniu momentów zginających.
Końcowa wartość obciąŜenia P = 146 kN odpowiada
w przybliŜeniu wartości momentu MU, przy którym
w przekroju podporowym ramię sił wynosi z = d – a2. Siła
w górnym zbrojeniu rozciąganym jest wówczas równa sile
uplastyczniającej na poziomie charakterystycznym,
Zk = As1 · fyk = 250 kN. Stąd moŜna wnioskować,
Ŝe w dalszym procesie obciąŜania iloraz MU/MP będzie
zmniejszał się – efektywniejszy w przejmowaniu
momentu globalnego staje przekrój przęsłowy. Prognozę
tą potwierdza odcinek 8-10 linii łamanej na rys. 6.
W dalszym procesie obciąŜania następuje faza
wyczerpania nośności, w której pojawiają się najczęściej
zjawiska
towarzyszące
uplastycznieniu
zbrojenia
rozciąganego.
Wyniki analizy numerycznej w aspekcie zmian
sztywności w procesie obciąŜenia są przedstawione na
rys. 7. Z przestrzennego rozkładu tych zmian wynika, Ŝe
koncentrują się one głównie na odcinkach przywęzłowym
i przęsłowym. W doświadczeniu zarysowanie obu
odcinków było bardzo intensywne. Były one rozdzielone
niezarysowanym odcinkiem pośrednim.
a)
b)
Rys. 7. Ewolucja rozkładu sztywności na długości rygla w róŜnych stadiach obciąŜenia:
a) według Muraszewa, b) według EC2
5. Wyniki końcowe
Badania doświadczalne dowodzą, iŜ utwierdzenie rygla
w węźle ramy jest zamocowaniem, którego sztywność
podlega zmianom wynikającym zarówno z obrotu węzła
ramy jak równieŜ jego deformacji. W węźle tworzy się
złoŜony układ napręŜeń. Wyniki analizy wskazują,
iŜ uwzględnienie częściowego utwierdzenia, jest
właściwym załoŜeniem do wyznaczenia rozkładu
160
momentów zginających w oparciu o procedurę
identyfikacyjną. Przyjęte kryterium zgodności ugięć
teoretycznych i doświadczalnych było podstawą do
wyznaczenia nadliczbowej siły wewnętrznej - momentu
zginającego w przekroju utwierdzenia - w analizowanym
układzie statycznie niewyznaczalnym. Moment ten
decyduje o rozkładzie momentów na długości całego
elementu. Odcinek liniowych przyrostów momentów,
świadczący o proporcjonalnej reakcji konstrukcji na
Jarosław MALESZA
zadawane obciąŜenie, stanowi około 20% całego zakresu
obciąŜeń. Cały proces obciąŜania moŜna podzielić na fazy
zróŜnicowanych przyrostów obu sił wewnętrznych.
Rezultaty analiz wskazują, Ŝe pomiędzy przekrojami
przywęzłowymi i przęsłowymi zachodzi proces
redystrybucji momentów zginających ale przedziałami nie
jest on monotoniczny.
Ewolucja przestrzennych zmian sztywności na
długości elementu świadczy o silnym zarysowaniu
przekrojów poprzecznych w obszarze przyległym do
węzła, jak i na odcinku środkowym rygla.
Uzyskana bardzo dobra zgodność przemieszczeń
doświadczalnych i teoretycznych belki świadczy zarówno
o poprawności teorii zginania Ŝelbetu Muraszewa i EC2,
jak równieŜ o poprawności zaproponowanego podejścia
identyfikacyjnego do wyznaczenia sił wewnętrznych
w belce statycznie niewyznaczalnej.
Literatura
Bodzak P., Czkwianianc A. (2001). Doświadczalne badania
monolitycznych ram Ŝelbetowych – strefa skrajnego węzła.
Badania
doświadczalne
elementów
i
konstrukcji
betonowych. Zeszyt nr 11, Politechnika Łódzka.
Knauff M. (1979). O obliczaniu przemieszczeń belek
Ŝelbetowych metodą dwóch prostych. Wyd. Politechniki
Warszawskiej, Zeszyty Naukowe. Budownictwo, z. 65.
Kuczyński W. (1971). Konstrukcje betonowe. Kontynualna
teoria zginania. PWN Warszawa.
Malesza J. (2008). Nieliniowe prawa M-k jako podstawa
wyznaczania ugięć belek Ŝelbetowych. Zeszyty Naukowe
Politechniki Białostockiej. Budownictwo, z. 32, 103-114.
Muraszew W. J. (1950). Treszczinoutoicziwost, Ŝestkost
i procznost Ŝelezobetona. Maszstroizdat, Warszawa.
IDENTYFICATION OF SUPORTING MOMENT
IN SEMI-FIXED BEAM
Abstract: Paper presents procedure of supporting moment
identification in the statically indeterminable, partly fixed
reinforced concrete beam. Examined beam is a part of reinforced
concrete frame, where rate of fixing is subjected variation under
influence of continually increasing loading. Bending moment at
the fixing end remains the unknown internal force in the beam.
This unknown is determined on the basis of identification of
theoretical and experimentally measured deflections in the
selected sections of element. Theoretical deflections are
computed numerically integrated curvature equation of the beam
axis under assumption that effects of physical nonlinearity of
reinforced concrete reveale in the process of loading.
These effects describes quantitatively the Murashev theory
of stiffness changes. Boundary problem of partly fixed beam is
solved applying iterative procedure characteristic the initial
problem applying integration schema ahead with increased
accuracy.
Artykuł powstał w ramach pracy badawczej statutowej
S/WBIŚ/3/08 realizowanej w Politechnice Białostockiej
161