C:\Users\Seven\Documents\Moje d

Ekonomia matematyczna - 1.3
Równowaga w modelu wymiany rynkowej
Na rynku, na którym występuje skończona liczba n towarów 1, 2, . . . , n operuje m agentów
1, . . . , m. Każdy z nich jest scharakteryzowany przez:
n
1) swój koszyk początkowy e i =e i1 , e i2 , . . . , e in  ≠ 0, dający dochód I i p = 〈e i , p〉 = ∑ j=1 e ij p j
przy cenach p = p 1 , . . . , p n ,
2) przestrzeń konsumpcyjną X i = R n+ , w zakresie której, i-ty agent wybiera koszyki, w oparciu
o relację prefencji  i wyznaczoną przez funkcję użyteczności u i : R n+ → R,
(u i x ≥ u i y ⇔ x  i y)
Agenta określa swój popyt przy cenach p, rozwiązując zadanie maksymalizacji uzyteczności:
1 − p, I i p
maxux : x ∈Bp, I i p,
gdzie Bp, I i p = x ∈R n+ : 〈x, p〉 ≤ I i p, p >> 0.
Przy założeniu, że funkcje użyteczności są ściśle quasi-wklęsłe i ciągłe, każde zadanie
maksymalizacji użyteczności ma dokładnie jedno rozwiązanie i rozwiązanie to jest popytem
(Marshalla) zgłaszanym przez i −tego agenta przy cenach p :
p ↦ ϕ i p, Ip = x i p.
Różnica
x i p − e i
jest zamiarem transakcji zgłaszanym przez i −tego agenta przy cenach p.
Układ e 1 , e 2 , . . . e m  koszyków początkowych wszystkich m agentów, jest alokacją
początkową.
Definicja
Globalną podażą jest suma dóbr dostępnych na rynku, czyli suma koszyków początkowych
:
m
e=
∑ ei.
i=1
Układ zgłaszanych popytów x 1 p, x 2 p, . . . x m p jest propozycją nowej alokacji koszyków.
Definicja
Globalnym popytem na rynku jest suma popytów agentów
m
xp =
∑ x i p.
i=1
1
Definicja
Globalną nadwyżką popytu jest różnica
m
zp = xp − e =
∑x i p − e i .
i=1
Aby jakakolwiek propozycja nowej alokacji mogła być zrealizowana, musi ona być alokacją
dopuszczalną.
Definicja
Alokacją dopuszczalną na rynku nazwiemy każdy taki układ koszyków agentów
x 1 , x 2 , . . . x m , który spełnia warunek
m
m
i=1
i=1
∑ xi = ∑ ei.
A zatem układ zgłaszanych popytów x 1 p, x 2 p, . . . x m p może być zrealizowany jeśli
zp =
m
m
i=1
i=1
∑ x i p − ∑ e i = 0.
Definicja
Wektor cen p̃ >> 0 nazwiemy wektorem cen równowagi Walrasa gdy
zp̃  = 0.
Odpowiadającą mu alokację x 1 p̃ , x 2 p̃ , . . . x m p̃  nazwiemy alokacja równowagi
Walrasa.
Podstawowym pytaniem w teorii wymiany rynkowej jest pytanie czy istnieje wektor cen
równowagi Walrasa. Odpowiedź na nie wynika z własności funkcji globalnej nadwyzki popytu
p  zp oraz twierdzenia Brouwera o punktach stałych funkcji ciągłych.
Twierdzenie
Jeśli funkcje użyteczności są ciągłe, ściśle quasi-wklęsłe i ściśle rosnące, to funkcja globalnej
nadwyżki popytu p  zp ma nastepujące własności:
1) jest ciągła w R n++ ,
2) jest dodatnio jednorodna stopnia 0, tzn. zλp = zp dla λ > 0,
2
3) zachodzi prawo Walrasa: 〈zp, p〉 = 0.
W konsekwencji, istnieje wektor cen równowagi Walrasa, tzn wektor p̃ >> 0 taki, że
zp̃  = 0.
Przy cenach równowagi p̃ , jest możliwa dobrowolna zamiana alokacji początkowej na
dopuszczalną alokację
x 1 p̃ , x 2 p̃ , . . . x m p̃ ,
w której każdy ma najlepszy koszyk, dostępny dla niego przy cenach p̃ .
Uwaga
Ze wzgledu na własność zλp = zp, gdy p̃ jest wektorem cen równowagi, to wszystkie
wektory λp̃ , λ > 0, też są wektorami cen równowagi.
Oczywiscie dobrowolna wymiana jest możliwa jeśli nikt na niej nie traci i ma sens gdy
przynajmniej niektórzy agenci korzystają, tzn. nowa alokacja jest nie gorsza dla wszystkich i
lepsza dla przynajmniej jednego agenta.
Definicja
Alokacją optymalną w sensie Pareto nazwiemy taką alokację dopuszczalną
x 1 , x 2 , . . . x m , której nia można istotnie poprawić, tzn. taką, że nie istnieje inna alokacja
y 1 , y 2 , . . . y m , przy której
1) x i  i y i dla i = 1, 2, . . . , m
2) x k ≺ k y k dla przynajmniej jednego agenta k,
Definicja
Alokacją nieblokowaną nazwiemy taką alokację x 1 , x 2 , . . . x m , której nie może
zablokować żadna koalicja agentów, tzn. nie ma takiego podzbioru agentów K ⊂ 1, 2, . . . , m
i nie istnieje taka alokacja y 1 , y 2 , . . . y m , przy której
1) ∑ i∈K y i = ∑ i∈K e i dla i = 1, 2, . . . , m
2) x k  k y k dla każdego k ∈ K i x k ≺ k y k dla przynajmniej jednego k ∈ K.
Zbiór wszystkich alokacji, które są dopuszczalne i nieblokowane nazywamy rdzeniem
modelu wymiany rynkowej.
3
Twierdzenie
Każda alokacja równowagi Walrasa jest dopuszczalna i nieblokowana, tzn. jest w rdzeniu
modelu wymiany rynkowej.
Twierdzenie (pierwsze o dobrobycie)
Każda alokacja równowagi Walrasa jest optymalna w sensie Pareto.
Twierdzenie (drugie o dobrobycie)
Każda alokacja x 1 , x 2 , . . . x m  optymalna w sensie Pareto w modelu wymiany rynkowej
z ciągłymi, ściśle quasi-wklesłymi i ściśle rosnącymi funkcjami użyteczności jest
alokacją równowagi Walrasa przy pewnym wektorze cen równowagi Walrasa.
Co więcej, jest ona alokacją równowagi Walrasa przy pewnym wektorze cen
równowagi Walrasa także jeśli początkową alokację e 1 , e 2 , . . . e m  zamienić na inną
alokację początkową e ∗1 , e ∗2 , . . . e ∗m  spełniającą warunek
〈e ∗i , p〉 = 〈x i , p〉 = 〈e i , p〉 dla i = 1, 2, . . . , m.
.
4