Metody matematyczne w semantyce j˛ezyków programowania

Transkrypt

Metody matematyczne w semantyce
j˛ezyków programowania
Paweł Waszkiewicz
[email protected]
Informatyka Teoretyczna
Uniwersytet Jagielloński
Metody matematyczne w semantyce jezyków
˛
programowania – p. 1/6
Semantyka
Semantyka to po prostu znaczenie.
˛
Semantyka
Gdy mówimy o semantyce (fragmentu) programu, to
mamy na myśli oczekiwany wynik, rezultat wykonania
programu, który stanowi jego znaczenie.
˛
Semantyka
Na przykład, semantyka˛ fragmentu programu
if x = 0 then 1 else x ∗ f (x − 1)
jest funkcja silnia.
˛
Semantyka
Na przykład, semantyka˛ fragmentu programu
if x = 0 then 1 else x ∗ f (x − 1)
jest funkcja silnia.
Semantyka jezyka
˛
programowania jest wiec
˛ niczym
innym, tylko znaczeniem poszczególnych konstrukcji
składniowych definiujacych
˛
jezyk.
˛
˛
Trzy style semantyki
Semantyka aksjomatyczna. Znaczenie programu
definiuje sie˛ aksjomatycznie, podajac
˛ reguły pewnej
logiki własności programu.
˛
˛ reguły pewnej
Semantyka operacyjna. Znaczenie programu definiuje
sie˛ podajac
˛ dozwolone kroki obliczeniowe w trakcie
wykonania tego programu.
˛
˛ reguły pewnej
Semantyka operacyjna. Znaczenie programu definiuje
sie˛ podajac
˛ dozwolone kroki obliczeniowe w trakcie
wykonania tego programu.
Semantyka denotacyjna. Określa matematyczny model
jezyka
˛
programowania. Znaczenie programu definiuje
sie˛ abstrakcyjnie jako element odpowiedniej struktury
matematycznej.
˛
Semantyka operacyjna
dana przez indukcyjnie zdefiniowana˛ relacje˛ ewaluacji
E⇓V
ozn.: program E redukuje sie˛ do wartości V
(wartości to wyniki obliczeń programu).
˛
E⇓V
Na przykład, jeśli E jest wyrażeniem boolowskim , to
E ⇓ V opisuje sytuacje,
˛ gdy E przyjmuje wartość
V ∈ {true, f alse}.
˛
E⇓V
Na przykład, jeśli E jest wyrażeniem boolowskim , to
E ⇓ V opisuje sytuacje,
˛ gdy E przyjmuje wartość
V ∈ {true, f alse}.
Uwaga! Dla programu E może nie istnieć wartość V
taka, że E ⇓ V , gdyż nie każdy program E kończy
obliczenia.
˛
Równość programów
Dwa programy E1 i E2 sa˛ obserwowalnie równe wtedy i
tylko wtedy, gdy
C[E1 ] ⇓ V ⇐⇒ C[E2 ] ⇓ V
dla wszystkich kontekstów C[·] i wszystkich wartości V .
˛
Równość programów
Dwa programy E1 i E2 sa˛ obserwowalnie równe wtedy i
tylko wtedy, gdy
C[E1 ] ⇓ V ⇐⇒ C[E2 ] ⇓ V
dla wszystkich kontekstów C[·] i wszystkich wartości V .
obserwowalna równość jest trudna do sprawdzenia,
gdyż definicja wymaga kwantyfikacji po wszystkich
kontekstach
˛
Semantyka denotacyjna
Tu każdemu fragmentowi programu E jest przypisana
jego denotacja [[E]], czyli matematyczny obiekt
reprezentujacy
˛ jego znaczenie
˛
reprezentujacy
˛ jego znaczenie
Przykład
[[if x = 0 then 1 else x ∗ f (x − 1)]] = ! (silnia).
˛
reprezentujacy
˛ jego znaczenie
Przykład
Obiekt [[E]] ∈ D jest nazywany również znaczeniem,
semantyka,
˛ obiektem semantycznym i jest elementem
pewnego zbioru D zwanego dziedzina˛ semantyczna˛ lub
dziedzina.
˛
˛
reprezentujacy
˛ jego znaczenie
Przykład
Obiekt [[E]] ∈ D jest nazywany również znaczeniem,
semantyka,
˛ obiektem semantycznym i jest elementem
pewnego zbioru D zwanego dziedzina˛ semantyczna˛ lub
dziedzina.
˛
Cecha˛ charakterystyczna˛ semantyki denotacyjnej jest
to, że znaczenie fragmentu programu zależy wyłacznie
˛
od znaczenia jego podfragmentów. Ta cecha semantyki
denotacyjnej jest nazywana kompozycyjnościa.
˛
˛
Przykład kompozycyjności
Majac
˛ dwie funkcje cz˛eściowe
[[C]], [[D]] : Stan → Stan
oraz funkcje˛
[[B]] : Stan → {true, f alse},
definiujemy:
[[if B then C else D ]] = λs ∈ Stan.if ([[B]](s), [[C]](s), [[D]](s)),
gdzie

x
if (b, x, y) := 
y
jeśli b = true,
jeśli b = f alse,
˛
Denotacja złożenia instrukcji
Denotacja dwóch nastepuj
˛ acych
˛
po sobie instrukcji
(komend, rozkazów)
[[C; C ′ ]] := [[C ′ ]] ◦ [[C]] = λs ∈ Stan.[[C ′ ]]([[C]](s))
jest złożeniem dwóch funkcji cz˛eściowych
[[C]], [[C ′ ]] : Stan → Stan,
które sa˛ denotacjami instrukcji C, C ′ .
˛
Prosty j˛ezyk imperatywny IMP
SKŁADNIA:
W yr zbiór wyrażeń boolowskich (ozn. b)
Akc zbiór prymitywnych akcji
(ozn. a)
Zd
zbiór zdań
(ozn. z)
dany przez gramatyk˛e:
z ::= a | skip | z;z | (if b then z else z)
˛
SKŁADNIA:
W yr zbiór wyrażeń boolowskich (ozn. b)
Akc zbiór prymitywnych akcji
(ozn. a)
Zd
zbiór zdań
(ozn. z)
dany przez gramatyk˛e:
z ::= a | skip | z;z | (if b then z else z)
OBIEKTY SEMANTYCZNE (DZIEDZINY):
Bool = {true, f alse}
zbiór wart. logicznych
(ozn. t)
Stan
zbiór stanów programu (ozn. s)
Roz ⊆ (Stan → Stan) zbiór rozkazów
(ozn. θ)
˛
DENOTACJA
˛
DENOTACJA
[[·]] : W yr → (Stan → Bool) jest zadana z góry
˛
DENOTACJA
[[·]] : Akc → Roz jest zadana z góry
˛
DENOTACJA
[[·]] : Zd → Roz jest zdefiniowana za pomoca˛ dwóch
poprzednich funkcji zgodnie z wymogiem
kompozycyjności:
˛
DENOTACJA
kompozycyjności:
[[skip]](s) = s
˛
DENOTACJA
kompozycyjności:
[[skip]](s) = s
[[z1 ; z2 ]](s) = [[z2 ]]([[z1 ]](s))
˛
DENOTACJA
kompozycyjności:
[[skip]](s) = s
[[z1 ; z2 ]](s) = [[z2 ]]([[z1 ]](s))
[[if b then z1 else z2 ]](s) = if ([[b]](s), [[z1 ]](s), [[z2 ]](s))
˛
Wymagania dla dziedzin
„Zwykłe” zbiory nie nadaja˛ sie˛ na dziedziny:
przypuśćmy, że rozszerzyliśmy IMP o dodatkowe
zdanie z ::= while b do z. Oczekujemy, że:
[[while b do z]] = [[if b then z; while b do z else skip]]
˛
Oznaczajac
˛ θ = [[while b do z]], mamy:
θ(s) = if ([[b]](s), θ([[z]](s)), s).
˛
Oznaczajac
θ(s) = if ([[b]](s), θ([[z]](s)), s).
W szczególnym przypadku jeśli [[b]] = true i z = skip, to
θ(s) = θ(s), czyli θ może być dowolna; tymczasem
powinna być niezdefiniowana!
˛
Oznaczajac
θ(s) = if ([[b]](s), θ([[z]](s)), s).
W szczególnym przypadku jeśli [[b]] = true i z = skip, to
θ(s) = θ(s), czyli θ może być dowolna; tymczasem
powinna być niezdefiniowana!
Wniosek: Funkcja θ powinna być funkcja˛ cz˛eściowa.
˛
˛
Każda funkcja cz˛eściowa p : A → B jest równoważna
U
funkcji totalnej p : A → B⊥ , gdzie B⊥ = B {⊥}.
˛
U
Zdanie p(x) = ⊥ jest interpretowane jako: p przyjmuje
dla argumentu x wartość niezdefiniowana.
˛
˛
U
˛
w tej interpretacji fragment programu majacy
˛
niezdefiniowane znaczenie może być zawarty w
programie wiekszym,
˛
posiadajacym
˛
nietrywialna˛
semantyk˛e.
˛
U
˛
w tej interpretacji fragment programu majacy
˛
niezdefiniowane znaczenie może być zawarty w
programie wiekszym,
˛
posiadajacym
˛
nietrywialna˛
semantyk˛e.
Wniosek: dziedziny semantyczne powinny być
wyposażone w element ⊥. Interpretacja ⊥ sugeruje, że
dowolna funkcja p pomiedzy
˛
dziedzinami powinna
spełniać p(⊥) = ⊥.
˛
Przykład dziedziny: płaskie liczby naturalne N⊥ .
x ⊑ y ⇐⇒ (x = ⊥) ∨ (x = y)
˛
x ⊑ y ⇐⇒ (x = ⊥) ∨ (x = y)
Warunek p(⊥) = ⊥ jest równoważny stwierdzeniu, że
funkcja p : N⊥ → N⊥ jest monotoniczna.
˛
x ⊑ y ⇐⇒ (x = ⊥) ∨ (x = y)
Warunek p(⊥) = ⊥ jest równoważny stwierdzeniu, że
funkcja p : N⊥ → N⊥ jest monotoniczna.
Podobnie funkcja if : Bool⊥ × Stan⊥ × Stan⊥ → Stan⊥
definiowana jako:



s
jeśli b = true,
if (b, s, s′ ) := s′ jeśli b = f alse,


⊥ jeśli b = ⊥
jest monotoniczna.
˛
Wróćmy do semantyki while: pamietaj
˛ ac,
˛ że
θ = [[while b do z]], równość:
θ(s) = if ([[b]](s), θ([[z]](s)), s)
jest w istocie wymaganiem istnienia punktu stałego:
θ = F (θ)
dla funkcji F = λg.if ([[b]], g ◦ [[z]], 1Stan⊥ ).
˛
˛ ac,
˛ że
θ(s) = if ([[b]](s), θ([[z]](s)), s)
θ = F (θ)
A zatem denotacja petli
˛ while jest niczym innym, tylko
punktem stałym funkcji F typu
(Stan⊥ → Stan⊥ ) → (Stan⊥ → Stan⊥ ).
˛
˛ ac,
˛ że
θ(s) = if ([[b]](s), θ([[z]](s)), s)
θ = F (θ)
A zatem denotacja petli
˛ while jest niczym innym, tylko
punktem stałym funkcji F typu
(Stan⊥ → Stan⊥ ) → (Stan⊥ → Stan⊥ ).
Wniosek: Każda funkcja miedzy
˛
dziedzinami powinna
posiadać (najmniejszy) punkt stały.
˛
Kategoria Dcpo
Podzbiór D ⊆ P posetu P jest skierowany jeśli jest
niepusty i dla każdej pary x, y ∈ D istnieje z ∈ D taki,
że x, y ⊑ z.
˛
Kategoria Dcpo
że x, y ⊑ z.
Poset nazywamy zupełnym, jeśli każdy jego podzbiór
skierowany posiada supremum.
˛
Kategoria Dcpo
że x, y ⊑ z.
Funkcje˛ f : P → Q nazywamy ciagł
˛ a,
˛ jeśli zachowuje
suprema zbiorów skierowanych:
_
f(
D) =
_
f (d).
d∈D
˛
Kategoria Dcpo
że x, y ⊑ z.
Funkcje˛ f : P → Q nazywamy ciagł
˛ a,
˛ jeśli zachowuje
suprema zbiorów skierowanych:
_
f(
D) =
_
f (d).
d∈D
Posety zupełne z elementami najmniejszymi plus
tworza˛ kategorie˛ idealnie nadajac
˛ a˛ sie˛ na
funkcje ciagłe
˛
uniwersum dziedzin semantycznych.
˛
Prof. Dana S. Scott
fot. Andrej Bauer
Ur. 1932 – informatyk, logik, filozof.
W latach 1972-1981 pracował na
Uniwersytecie Oxfordzkim jako profesor logiki matematycznej. Tu razem z Ch. Stracheyem stworzył teorie˛ dziedzin i podstawy semantyki
denotacyjnej. W 1976 roku został
uhonorowany nagroda˛ Turinga, fundowana˛ przez Towarzystwo ACM.
Kariere˛ profesorska˛ Scott zakończył
w 2003 na Uniwersytecie Carnegie
Mellon w Pittsburgu, choć wykłada i
bierze udział w konferencjach informatycznych do dziś.
˛
Twierdzenie o punkcie stałym
TWIERDZENIE (Scott): Każda funkcja ciagła
˛
f: P →P
na posecie zupełnym z elementem najmniejszym
⊥ ∈ P posiada najmniejszy punkt stały
f ix(f ) =
{f n (⊥) | n ∈ ω}.
_
Co wiecej,
˛
operator f ix : [P, P ] → P , f 7→ f ix(f ) jest
ciagły.
˛
˛
˛
f: P →P
f ix(f ) =
{f n (⊥) | n ∈ ω}.
_
Co wiecej,
˛
ciagły.
˛
Dowód: ⊥ ⊑ f (⊥).
˛
˛
f: P →P
f ix(f ) =
{f n (⊥) | n ∈ ω}.
_
Co wiecej,
˛
ciagły.
˛
Dowód: ⊥ ⊑ f (⊥).
Z monotoniczności:
f (⊥) ⊑ f 2 (⊥) ⊑ f 3 (⊥) ⊑ ... ⊑ f n (⊥) ⊑ ...
˛
˛
f: P →P
f ix(f ) =
{f n (⊥) | n ∈ ω}.
_
Co wiecej,
˛
ciagły.
˛
Dowód: ⊥ ⊑ f (⊥).
Z monotoniczności:
f (⊥) ⊑ f 2 (⊥) ⊑ f 3 (⊥) ⊑ ... ⊑ f n (⊥) ⊑ ...
Z ciagłości:
˛
W
W
W
n
n
f ( n∈ω f (⊥)) = n∈ω f (f (⊥)) = n∈ω f n (⊥).
˛
Jeśli x ∈ D jest innym punktem stałym f , to ⊥ ⊑ x oraz
f (⊥) ⊑ f (x) = x, ..., f n (⊥) ⊑ f n (x) = x.
Prosta indukcja pokazuje wiec,
˛ że
f ix(f ) =
_
f n (⊥) ⊑ x.
n∈ω
Dowiedliśmy zatem, że f ix(f ) jest najmniejszym
punktem stałym funkcji f .
˛
Pokażemy teraz, że operator f ix jest ciagły.
˛
Rozważmy
dla każdego n ∈ ω funkcje˛ itn : [P, P ] → P
itn (f ) = f n (⊥).
˛
˛
Rozważmy
itn (f ) = f n (⊥).
Funkcja it0 , przyporzadkowuj
˛
aca
˛ każdej funkcji f
element najmniejszy ⊥, jest funkcja˛ ciagł
˛ a.
˛
˛
˛
Rozważmy
itn (f ) = f n (⊥).
˛
aca
˛ a.
˛
Indukcyjnie: itn jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ dla każdego n ∈ ω.
˛
˛
Rozważmy
itn (f ) = f n (⊥).
˛
aca
˛ a.
˛
Indukcyjnie: itn jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ dla każdego n ∈ ω.
Funkcje {itn | n ∈ ω} tworza˛ łańcuch, którego
supremum jest f ix.
˛
while X > 0 do (Y := X ∗ X; X := X − 1),
(Andy Pitts) Przedyskutujmy semantyk˛e powyższej
petli,
˛ gdy zbiór stanów programu jest posetem Stan⊥ ,
gdzie Stan = N × N (z porzadkiem
˛
po współrz˛ednych):
˛
while X > 0 do (Y := X ∗ X; X := X − 1),
petli,
˛
[[X > 0]] jest funkcja,
˛ która parze (x, y) ∈ Stan⊥
przypisze wartość true, jeśli x > 0, przypisze wartość
false, jeśli x ¬ 0 oraz przypisze wartość ⊥ jeśli x = ⊥.
˛
while X > 0 do (Y := X ∗ X; X := X − 1),
petli,
˛
[[X > 0]] jest funkcja,
˛ która parze (x, y) ∈ Stan⊥
przypisze wartość true, jeśli x > 0, przypisze wartość
false, jeśli x ¬ 0 oraz przypisze wartość ⊥ jeśli x = ⊥.
Załóżmy też, że [[Y := X ∗ Y ]] jest funkcja˛ dana˛ z góry
jako
[[Y := X ∗ Y ]](x, y) = (x, xy)
oraz [[X := X − 1]] jest funkcja˛ dana˛ z góry jako
[[X := X − 1]](x, y) = (x − 1, y).
˛
θ = [[while X > 0 do (Y := X ∗ X; X := X − 1)]],
Zgodnie z wymogiem kompozycyjności
[[Y := X ∗ Y ; X = X − 1]](x, y) =
[[X = X − 1]](x, xy) = (x − 1, xy).
˛
θ = [[while X > 0 do (Y := X ∗ X; X := X − 1)]],
Zgodnie z wymogiem kompozycyjności
[[Y := X ∗ Y ; X = X − 1]](x, y) =
[[X = X − 1]](x, xy) = (x − 1, xy).
Pamietaj
˛ ac
˛ że
F (θ) = θ = if ([[X > 0]], θ[[Y := X ∗Y ; X = X −1]], 1Stan⊥ )
dostaniemy



(x, y)
jeśli x = 0
F (θ)(x, y) = θ(x − 1, xy) jeśli x > 0


⊥
w przeciwnym przypadku.
˛
F (θ)(x, y) = (x, y), jeśli x = 0; θ(x − 1, xy), jeśli x > 0; ⊥ wpp
Aby znaleźć funkcje˛ θ : Stan⊥ → Stan⊥ zastosujemy
metode˛ kolejnych przybliżeń z dowodu tw. Scotta.
˛
Pierwsze przybliżenie θ0 (x, y) = ⊥ ∈ Stan⊥ . Nastepnie
˛
budujemy ciag
˛ dalszych przybliżeń jako θn+1 = F (θn )
dla n ∈ ω.
˛
˛
budujemy ciag
dla n ∈ ω.

(x, y)
θ1 (x, y) = F (θ0 )(x, y) = 
⊥
jeśli x = 0
jeśli x 1 ∨ (x, y) = ⊥.
˛
˛
budujemy ciag
dla n ∈ ω.

(x, y)
jeśli x = 0
jeśli x 1 ∨ (x, y) = ⊥.



(x, y)
jeśli x = 0
jeśli x = 1
jeśli x 2 ∨ (x, y) = ⊥.
θ1 (x, y) = F (θ0 )(x, y) = 
⊥
θ2 (x, y) = F (θ1 )(x, y) = (0, y)


⊥
˛
θ3 (x, y) = F (θ2 )(x, y) =


(x, y) jeśli x = 0




(0, y)
jeśli x = 1

(0, 2y) jeśli x = 2




⊥
jeśli x 3 ∨ (x, y) = ⊥,
˛
θ3 (x, y) = F (θ2 )(x, y) =






(0, y)
jeśli x = 1

(0, 2y) jeśli x = 2




⊥
jeśli x 3 ∨ (x, y) = ⊥,
θ4 (x, y) = F (θ3 )(x, y) =







jeśli x = 1

(0, y)
(0, 2y) jeśli x = 2




(0, 6y) jeśli x = 3




⊥
jeśli x 4 ∨ (x, y) = ⊥,
˛
θ∞ = [[while X > 0 do (Y := X ∗ X; X := X − 1)]],
i w ogólności



(x, y)
jeśli x = 0
θn (x, y) = (0, (x!)y) jeśli 0 < x < n


⊥
jeśli x 4 ∨ (x, y) = ⊥.
˛
θ∞ = [[while X > 0 do (Y := X ∗ X; X := X − 1)]],
i w ogólności



(x, y)
jeśli x = 0
θn (x, y) = (0, (x!)y) jeśli 0 < x < n


⊥
jeśli x 4 ∨ (x, y) = ⊥.
Widzimy, że wartości funkcji θ0 , θ1 , θ2 , ... zgadzaja˛ sie˛ na
wspólnych argumentach, a wiec
˛ ich suma
mnogościowa jest dobrze zdefiniowana˛ funkcja;
˛
nazwijmy ja˛ θ∞ . Jak łatwo sprawdzić, θ∞ jest dana jako

(x, y)
θ∞ (x, y) = 
(0, (x!)y)
jeśli x = 0
jeśli x > 0.
˛
θ∞ = [[while X > 0 do (Y := X ∗ X; X := X − 1)]],
Czy θ∞ = F (θ∞ )? Tak, ponieważ:

(x, y)
jeśli x = 0
F (θ∞ )(x, y) = 
θ∞ (x − 1, xy) jeśli x > 0



(x, y)
jeśli x = 0
= (0, y)
jeśli x = 1


(0, (x − 1)!xy) jeśli x > 1
= θ∞ (x, y).
Zgodnie z twierdzeniem Scotta θ∞ jest najmniejszym
˛ spełnia wszystkie warunki,
punktem stałym funkcji F , a wiec
aby móc pretendować do roli semantyki petli
˛ while.
˛
Liczby naturalne
Poset ω nie jest zupełny, ponieważ
łańcuch ω nie ma supremum.
Funkcja nastepnik
˛
jest ciagła,
˛
ale nie
posiada żadnego punktu stałego.
˛
Odcinek
Odcinek [0,1] z naturalnym porzad˛
kiem jest krata˛ zupełna,
˛ a wiec
˛ w
szczególności posetem zupełnym.
˛
Dziedzina pododcinków [0, 1]
Niech I[0, 1] oznacza zbiór wszystkich podprzedziałów domknietych,
˛
niepustych przedziału [0,1] uporzad˛
kowany wzgledem
˛
odwrotnej inkluzji, to znaczy:
[a, b] ⊑ [c, d] ⇐⇒ [a, b] ⊇ [c, d].
Jest to poset zupełny.
˛
Zbiór pot˛egowy
Niech X bedzie
˛
dowolnym zbiorem.
Zbiór potegowy
˛
P(X) jest krata˛ zupełna˛ iSdla każdego
Y ⊆ X mamy
W
V
T
Y = Y i Y = Y.
P(X) jest wiec
˛ w szczególności posetem zupełnym. Najmniejszym elementem P(X) jest ∅, a najwiekszym
˛
X.
˛
Model zbioru Cantora
Zbiór wszystkich skończonych i nieskończonych ciagów
˛
zerojedynkowych {0, 1}∞ w porzadku
˛
prefiksowym jest
posetem zupełnym. Każdy zbiór skierowany jest
łańcuchem. Elementem najmniejszym jest ciag
˛ pusty ε.
Zbiór elementów maksymalnych pokrywa sie˛ ze zbiorem
wszystkich ciagów
˛
nieskończonych, który posiada strukture˛
zbioru Cantora.
˛
Własności posetów zupełnych
TWIERDZENIE (produkt)
Niech D, E bed
˛ a˛ posetami zupełnymi. Wówczas:
˛
Niech D, E bed
Zbiór D × E = {(d, e) | d ∈ D, e ∈ E} z porzadkiem
˛
po
współrz˛ednych:
(x1 , y1 ) ⊑ (x2 , y2 ) ⇐⇒ (x1 ⊑ x2 ∧ y1 ⊑ y2 )
jest zupełny.
˛
Niech D, E bed
Zbiór D × E = {(d, e) | d ∈ D, e ∈ E} z porzadkiem
˛
po
współrz˛ednych:
(x1 , y1 ) ⊑ (x2 , y2 ) ⇐⇒ (x1 ⊑ x2 ∧ y1 ⊑ y2 )
jest zupełny.
Jeśli D i E posiadaja˛ elementy najmniejsze, to D × E
ma element najmniejszy (⊥D , ⊥E ).
˛
Własności - produkt
Projekcje πD : D × E → D i πE : D × E → E dane
odpowiednio przez πD (x, y) = x, πE (x, y) = y sa˛
funkcjami ciagłymi.
˛
˛
Własności - produkt
Projekcje πD : D × E → D i πE : D × E → E dane
odpowiednio przez πD (x, y) = x, πE (x, y) = y sa˛
funkcjami ciagłymi.
˛
Jeśli Z jest dowolnym posetem zupełnym, a funkcje
f : Z → D oraz g : Z → E sa˛ ciagłe,
˛
to funkcja
hf, gi : Z → D × E definiowana jako:
∀z ∈ Z hf, gi(z) = (f (z), g(z))
jest ciagła.
˛
˛
Własności - eksponent
TWIERDZENIE (eksponent)
Niech D, E bed
˛ a˛ zupełne. Wówczas:
˛
Niech D, E bed
Zbiór funkcji ciagłych
˛
[D, E] wraz z relacja˛
f ⊑ g ⇐⇒ ∀x ∈ D f (x) ⊑ g(x)
jest posetem zupełnym,
˛
Niech D, E bed
Zbiór funkcji ciagłych
˛
[D, E] wraz z relacja˛
f ⊑ g ⇐⇒ ∀x ∈ D f (x) ⊑ g(x)
jest posetem zupełnym,
Funkcja ewaluacji ev : [D, E] × D → E definiowana jako:
ev(f, x) = f (x)
dla każdej f ∈ [D, E] oraz x ∈ D, jest funkcja˛ ciagł
˛ a.
˛
˛
Ponieważ relacja ⊑ w zbiorze funkcji jest zdefiniowana
poprzez odwołanie do cz˛eściowego porzadku
˛
w E,
[D, E] jest również cz˛eściowym porzadkiem.
˛
˛
Ponieważ relacja ⊑ w zbiorze funkcji jest zdefiniowana
poprzez odwołanie do cz˛eściowego porzadku
˛
w E,
[D, E] jest również cz˛eściowym porzadkiem.
˛
Załóżmy, że F jest skierowanym podzbiorem funkcji
ciagłych
˛
z D do E. Pokażemy, że funkcja g : D → E
zdefiniowana jako:
g(x) :=
_
f (x)
f ∈F
jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ (oczywiście g jest supremum F ).
˛
Niech A ⊆ D bedzie
˛
skierowany. Mamy:
_
g(
A) =
_
f ∈F
_
f(
A)
˛
˛
skierowany. Mamy:
_
g(
A) =
=
_
f ∈F
_ _
_
f(
A)
f (a)
f ∈F a∈A
˛
˛
skierowany. Mamy:
_
g(
A) =
=
_
f ∈F
_
f(
_ _
f (a)
_ _
f (a)
A)
f ∈F a∈A
=
a∈A f ∈F
˛
˛
skierowany. Mamy:
_
g(
A) =
_
_
f(
f ∈F
=
_ _
f (a)
_ _
f (a)
A)
f ∈F a∈A
=
a∈A f ∈F
=
_
g(a).
a∈A
˛
Ewaluacja funkcja˛ ciagł
˛ a˛
Dla ev(f, x) := f (x) wystarczy pokazać ciagłość
˛
oddzielnie ze wzgledu
˛ na pierwszy i na drugi argument.
˛
˛ a˛
˛
Jeśli G ⊆ [D → E] i x ∈ D, mamy:
˛
˛ a˛
˛
ev( G, x) = ( G)(x) =
W
W
W
g∈G g(x)
=
W
g∈G
ev(g, x).
˛
˛ a˛
˛
ev( G, x) = ( G)(x) =
W
W
W
g∈G g(x)
=
W
g∈G
ev(g, x).
Jeśli A ⊆ D oraz f ∈ [D → E] mamy:
˛
˛ a˛
˛
ev( G, x) = ( G)(x) =
W
W
W
g∈G g(x)
=
W
g∈G
ev(g, x).
ev(f, A) = f ( A) = a∈A f (a) =
kończy dowód twierdzenia.
W
W
W
W
a∈A
ev(f, a). To
˛
˛ a˛
˛
ev( G, x) = ( G)(x) =
W
W
W
g∈G g(x)
=
W
g∈G
ev(g, x).
ev(f, A) = f ( A) = a∈A f (a) =
W
W
W
W
a∈A
ev(f, a). To
Oczywiście elementem najmniejszym każdego
eksponentu jest funkcja stała o wartości ⊥.
˛
˛ a˛
˛
ev( G, x) = ( G)(x) =
W
W
W
g∈G g(x)
=
W
g∈G
ev(g, x).
ev(f, A) = f ( A) = a∈A f (a) =
W
W
W
W
a∈A
ev(f, a). To
Produkt i eksponent posiadaja˛ własności uniwersalne.
˛
˛ a˛
˛
ev( G, x) = ( G)(x) =
W
W
W
g∈G g(x)
=
W
g∈G
ev(g, x).
ev(f, A) = f ( A) = a∈A f (a) =
W
W
W
W
a∈A
ev(f, a). To
Produkt i eksponent posiadaja˛ własności uniwersalne.
TWIERDZENIE. Kategoria Dcpo jest kartezjańsko
zamknieta.
˛
˛
Inne potrzeby semantyki denotacyjnej
Nietypowany rachunek λ:
M ::= x | λx.M | (M M )
˛
M ::= x | λx.M | (M M )
Semantyka: rozważamy obiekty D, E, ... takie, że:
termy λ-rachunku sa˛ interpretowane jako elementy
D
aplikacja funkcji do argumentu jest rozumiana jako
aplikacja strzałki f : D → E do argumentu typu D
˛
M ::= x | λx.M | (M M )
D
Dla termu λx.xx pierwsze wolne wystapienie
˛
x musi być
typu [D, D], zaś drugie typu D
˛
M ::= x | λx.M | (M M )
D
˛
x musi być
Wniosek: Musimy wymagać, by D ∼
= [D, D]...
˛
Definicja kategorii
DEFINICJA: Kategoria C składa sie˛ z nastepuj
˛ acych
˛
danych:
obiektów: A, B, C, ...,
˛
Definicja kategorii
˛ acych
˛
danych:
morfizmów: f, g, h, ...,
˛
Definicja kategorii
˛ acych
˛
danych:
dwóch operacji dom, cod przypisujacej
˛ każdemu
morfizmowi f obiekty dom(f ) i cod(f ),
˛
Definicja kategorii
˛ acych
˛
danych:
˛ każdemu
operacji 1 przypisujacej
˛ każdemu obiektowi A morfizm
1A nazywany identycznościa,
˛
˛
Definicja kategorii
˛ acych
˛
danych:
˛ każdemu
operacji 1 przypisujacej
˛ każdemu obiektowi A morfizm
1A nazywany identycznościa,
˛
operacji ◦ przypisujacej
˛ każdej parze morfizmów f, g
takich, że cod(g) = dom(f ) morfizm f ◦ g nazywany
złożeniem,
˛
Definicja kategorii
spełniajacych
˛
nastepuj
˛ ace
˛ aksjomaty:
dom(1A ) = A = cod(1A ); dom(f ◦ g) = dom(g);
cod(f ◦ g) = cod(f ),
˛
Definicja kategorii
spełniajacych
˛
nastepuj
˛ ace
˛ aksjomaty:
f ◦ 1A = f = 1B ◦ f , gdzie A = dom(f ) oraz B = cod(f ),
˛
Definicja kategorii
spełniajacych
˛
nastepuj
˛ ace
˛ aksjomaty:
f ◦ 1A = f = 1B ◦ f , gdzie A = dom(f ) oraz B = cod(f ),
jeśli f, g sa˛ składalne oraz g, h sa˛ składalne, to
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).
˛
Przykłady kategorii
Set: zbiory i funkcje
˛
Dcpo: cz˛eściowe porzadki
˛ i funkcje ciagłe
˛
˛
˛
obiekty: elementy posetu P ; morfizmy: a ¬ b
˛
˛
monoid
˛
˛
monoid
itd...
˛
Funktory
Funktor F : C → D z kategorii C do kategorii D jest dany
poprzez:
operacje˛ przypisujac
˛ a˛ jednoznacznie każdemu
obiektowi X z C obiekt F (X) w D
˛
Funktory
poprzez:
morfizmowi f z C morfizm F (f ) w D
˛
Funktory
poprzez:
morfizmowi f z C morfizm F (f ) w D
w ten sposób, że:
jeśli f : X → Y w C, to F (f ) : F (X) → F (Y ) w D
F (1X ) = 1F (X)
F (f ◦ g) = F (f ) ◦ F (g)
˛
Przykłady funktorów
Produkt (− × −) jest funktorem:
A, B 7→ A × B
f, g 7→ f × g
˛
A, B 7→ A × B
f, g 7→ f × g
Eksponent [−, −] jest funktorem:
A, B 7→ [A, B]
f, g 7→ [f, g] := curry(g ◦ ev ◦ (1 × f )),
gdzie curry(h : X × Y → Z) := λx.h(x) : X → (Y → Z).
˛
A, B 7→ A × B
f, g 7→ f × g
A, B 7→ [A, B]
f, g 7→ [f, g] := curry(g ◦ ev ◦ (1 × f )),
przekatna
˛
∆; A 7→ (A, A), f 7→ (f, f ) jest funktorem.
˛
A, B 7→ A × B
f, g 7→ f × g
A, B 7→ [A, B]
f, g 7→ [f, g] := curry(g ◦ ev ◦ (1 × f )),
przekatna
˛
∆; A 7→ (A, A), f 7→ (f, f ) jest funktorem.
złożenie funktorów jest funktorem.
˛
M ::= x | λx.M | (M M )
D
˛
x musi być
Wniosek: Musimy wymagać, by D ∼
= [D, D]...
˛
Rekursywne równania na dziedzinach
Zauważmy, że [D, D] = [−, −] ◦ ∆(D).
˛
Zauważmy, że [D, D] = [−, −] ◦ ∆(D).
A zatem rozwiazaniem
˛
równania D ∼
= [D, D] jest punkt
stały funktora [−, −] ◦ ∆ : Dcpo → Dcpo.
˛
Zauważmy, że [D, D] = [−, −] ◦ ∆(D).
˛
równania D ∼
= [D, D] jest punkt
Dana Scott pokazał, że nietrywialne rozwiazania
˛
istnieja˛ w kategorii Dcpo.
˛
Zauważmy, że [D, D] = [−, −] ◦ ∆(D).
˛
równania D ∼
= [D, D] jest punkt
˛
To znaczy, że istnieje poset zupełny nieskończony
izomorficzny z posetem swoich endofunkcji ciagłych!!!
˛
˛
Zauważmy, że [D, D] = [−, −] ◦ ∆(D).
˛
równania D ∼
= [D, D] jest punkt
˛
˛
Przykłady: P(ω) ∼
= [P(ω), P(ω)].
˛
Zauważmy, że [D, D] = [−, −] ◦ ∆(D).
˛
równania D ∼
= [D, D] jest punkt
˛
˛
Przykłady: P(ω) ∼
= [P(ω), P(ω)].
Idea Scotta opiera sie˛ na odpowiednim uogólnieniu
twierdzenia o istnieniu punktu stałego endofunkcji
ciagłej
˛
f : P → P na posecie zupełnym P na
twierdzenie o istnieniu punktu stałego endofunktora
ciagłego
˛
F : Dcpo → Dcpo na kategorii posetów
zupełnych.
˛
Kogranice ω-diagramów w Dcpo
DEFINICJA: Kogranica˛ ω-diagramu
f0
f1
f2
f3
f4
D0 → D1 → D2 → D3 → D4 → ...
nazywamy poset zupełny D∞ i funkcje ciagłe
˛
ιi : D i → D ∞
tak, że: ιi+i ◦ fi = ιi oraz dla dowolnego E wraz z kolekcja˛
g : Di → E z gi+i ◦ fi = gi istnieje dokładnie jedna funkcja
ciagła
˛
h : D∞ → E z gi = h ◦ ιi .
˛
Granice ω-diagramów w Dcpo
DEFINICJA: Granica˛ ω-diagramu
f0
f1
f2
f3
f4
D0 ← D1 ← D2 ← D3 ← D4 ← ...
nazywamy poset zupełny D∞ i funkcje ciagłe
˛
πi : D∞ → Di
tak, że: fi ◦ πi+i = πi oraz dla dowolnego E wraz z kolekcja˛
g : E → Di z fi ◦ gi+i = gi istnieje dokładnie jedna funkcja
ciagła
˛
h : E → D∞ z gi = πi ◦ h.
˛
(Ko)granice ω-diagramów w Dcpo
TWIERDZENIE: Granica dowolnego ω-diagramu
f0
f1
f2
f3
f4
D0 ← D1 ← D2 ← D3 ← D4 ← ...
istnieje i jest dana przez:
D∞ = {(x0 , x1 , ...) | (∀n ∈ ω)(fn (xn+1 ) = xn )}
wraz z projekcjami πi : D∞ → Di , πi (x0 , x1 , ...) := xi .
TWIERDZENIE: Kogranica dowolnego ω-diagramu
f0
f1
f2
f3
f4
D0 → D1 → D2 → D3 → D4 → ...
istnieje.
˛
Fuktory ciagłe
˛
DEFINICJA: Funktor F nazywamy ciagłym,
˛
jeśli
zachowuje kogranice tj.: jeśli D∞ jest kogranica˛
diagramu
f0
f1
f2
f4
f3
D0 → D1 → D2 → D3 → D4 → ...,
to F (D∞ ) jest kogranica˛ diagramu:
F f0
F f1
F f2
F f3
F f4
F D0 → F D1 → F D2 → F D3 → F D4 → ...,
˛
Fuktory ciagłe
˛
DEFINICJA: Funktor F nazywamy ciagłym,
˛
jeśli
zachowuje kogranice tj.: jeśli D∞ jest kogranica˛
diagramu
f0
f1
f2
f4
f3
D0 → D1 → D2 → D3 → D4 → ...,
to F (D∞ ) jest kogranica˛ diagramu:
F f0
F f1
F f2
F f3
F f4
F D0 → F D1 → F D2 → F D3 → F D4 → ...,
Funktor [−, −] ◦ ∆ : Dcpo → Dcpo jest ciagły.
˛
˛
Własność funktorów ciagłych
˛
LEMAT. Niech F : Dcpo → Dcpo bedzie
˛
funktorem ciagłym
˛
i niech f : D → F (D) bedzie
˛
funkcja˛ ciagł
˛ a˛ oraz niech
diagram
f
F (f )
F 2 (f )
F 3 (f )
F 4 (f )
D → F (D) → F 2 (D) → F 3 (D) → F 4 (D) → ...,
posiada kogranice˛ D∞ . Wówczas
D∞ ∼
= F (D∞ ).
˛
Pary e-p
DEFINICJA: Para˛ e-p nazywamy pare˛ funkcji ciagłych
˛
miedzy
˛
posetami zupełnymi
e: D ⇆ E : p
takie, że: p ◦ e = 1D oraz e ◦ p ⊑ 1E .
˛
Pary e-p
˛
miedzy
˛
posetami zupełnymi
e: D ⇆ E : p
PRZYKŁAD: Dla dowolnego posetu zupełnego (P, ⊑)
zanurzamy go w poset zupełny ideałów (I(P ), ⊆),
e(x) := ↓x = {y ∈ P | y ⊑ x}. Projekcje definiujemy
W
przypisujac
˛ ideałowi jego supremum: p(I) := I.
˛
Pary e-p
˛
miedzy
˛
posetami zupełnymi
e: D ⇆ E : p
W
przypisujac
Dla pary e-p zupełność D wynika z zupełności E.
˛
Pary e-p
˛
miedzy
˛
posetami zupełnymi
e: D ⇆ E : p
W
przypisujac
Dla pary e-p zupełność D wynika z zupełności E.
PRZYKŁAD: Jako e : P → [P, P ] bierzemy λy.λx.y, zaś
jako p : [P, P ] → P funkcje˛ λf.f (⊥).
˛
Twierdzenie Scotta
Niech P bedzie
˛
posetem zupełnym z ⊥. Rozważmy:
D0 = P, D1 = [P, P ], ..., Dn+1 = [Dn , Dn ],
e0 : P → [P, P ] jest funkcja˛ λy.λx.y.
p0 : [P, P ] → P jest funkcja˛ λf.f (⊥).
en+1 : [Dn , Dn ] = Dn+1 → [Dn+1 , Dn+1 ] jest funkcja˛
λf.en ◦ f ◦ pn .
pn+1 : [Dn+1 , Dn+1 ] → [Dn , Dn ] jest funkcja˛ λg.pn ◦ g ◦ en .
p0
p1
Niech D∞ bedzie
˛
granica˛ diagramu D0 ← D1 ← D2 ← ...
Wówczas D∞ ∼
= [D∞ , D∞ ].
˛
Przykład: Punkt stały funktora F : Dcpo⊥ → Dcpo⊥ ,
który dodaje element najmniejszy: dla obiektu D,
F (D) := D⊥ . Dla morfizmu f : P → Q,
F (f ) := f⊥ : P⊥ → Q⊥ , f⊥ (p ∈ P ) := p, f⊥ (⊥) := ⊥.
˛
Przykład: Punkt stały funktora F : Dcpo⊥ → Dcpo⊥ ,
który dodaje element najmniejszy: dla obiektu D,
F (D) := D⊥ . Dla morfizmu f : P → Q,
F (f ) := f⊥ : P⊥ → Q⊥ , f⊥ (p ∈ P ) := p, f⊥ (⊥) := ⊥.
Zaczynajac
˛ od posetu jednoelementowego 1, mamy
1⊥ = 2, itd.
˛
˛
PRZYKŁAD: Szukamy rozwiazania
˛
równania
X = 1⊥ + X,
gdzie + jest koproduktem w kategorii Dcpo⊥ .
Koproduktem jest suma rozłaczna,
˛
w którym dwa elementy
najmniejsze identyfikujemy ze soba:
˛
˛
Rozwiazaniem
˛
równania
X = 1⊥ + X,
sa˛ płaskie liczby naturalne N⊥ .
˛
PRZYKŁAD: Szukamy rozwiazanie
˛
równania
X∼
= X ⊕ X,
gdzie F (P, Q) := P ⊕ Q jest suma˛ rozłaczna
˛
P i Q, do której
dodany jest nowy element najmniejszy.
˛
Rozwiazaniem
˛
równania
X∼
= X ⊕X
jest nieskończone drzewo binarne (model zbioru Cantora).
˛
Poszukujemy rozwiazania
˛
równania
X∼
= 1⊥ + (N⊥ ⊗ X)
gdzie: N⊥ to płaskie liczby naturalne, zaś
F (P, Q) := P ⊗ Q jest funktorem przypisujacym
˛
posetom zupełnym P ,Q ich produkt zredukowany.
˛
˛
równania
X∼
= 1⊥ + (N⊥ ⊗ X)
˛
Produkt zredukowany jest ilorazem produktu P × Q
przez relacje˛ równoważności ≡, która identyfikuje ze
soba˛ wszystkie elementy produktu, w których na
choćby jednej współrz˛ednej znajduje sie˛ ⊥.
˛
˛
równania
X∼
= 1⊥ + (N⊥ ⊗ X)
˛
Produkt zredukowany jest ilorazem produktu P × Q
przez relacje˛ równoważności ≡, która identyfikuje ze
soba˛ wszystkie elementy produktu, w których na
choćby jednej współrz˛ednej znajduje sie˛ ⊥.
Rozwiazaniem
˛
tego równania jest dziedzina
skończonych i nieskończonych listy liczb naturalnych.
˛
Podsumowanie
Omówiliśmy semantyk˛e petli
˛ while prostego jezyka
˛
IMP oraz wyprowadziliśmy podstawowe wymagania dla
dziedzin semantycznych.
˛
Podsumowanie
˛
Udowodniliśmy twierdzenie Scotta o punkcie stałym
endofunkcji ciagłych
˛
na cz˛eściowych porzadkach
˛
zupełnych.
˛
Podsumowanie
˛
˛
˛
zupełnych.
Udowodniliśmy, że kategoria Dcpo jest kartezjańsko
zamknieta
˛ i zupełna.
˛
Podsumowanie
˛
˛
˛
zupełnych.
zamknieta
˛ i zupełna.
Naszkicowaliśmy dowód twierdzenia Scotta o istnieniu
nietrywialnych rozwiaza
˛ ń równania D ∼
= [D, D] w
kategorii Dcpo.
˛
Podsumowanie
˛
˛
˛
zupełnych.
zamknieta
˛ i zupełna.
Naszkicowaliśmy dowód twierdzenia Scotta o istnieniu
nietrywialnych rozwiaza
˛ ń równania D ∼
= [D, D] w
kategorii Dcpo.
Pokazaliśmy przykłady rozwiaza
˛ ń innych równań
rekursywncyh na dziedzinach typu D ∼
= F (D).
˛
Literatura
Abramsky, S., Jung, A., (1994) Domain Theory. Chapter
3 of Handbook of Logic in Computer Science, pp. 1–168,
Oxford University Press.
˛
Literatura
Gierz, G., Hofmann, J.H., Keimel, K., Lawson, J.D.,
Mislove, M. and Scott, D.S. (2003) Continuous Lattices
and Domains, Vol. 93 of Encyclopedia of Mathematics
and Its Applications, Cambridge University Press.
˛
Literatura
Gierz, G., Hofmann, J.H., Keimel, K., Lawson, J.D.,
Mislove, M. and Scott, D.S. (2003) Continuous Lattices
and Domains, Vol. 93 of Encyclopedia of Mathematics
and Its Applications, Cambridge University Press.
skrypty on-line: Steve Awodey, Andy Pitts, Gordon
Plotkin, Thomas Streicher, etc.
˛

Metody matematyczne w semantyce j˛ezyków programowania

Transkrypt

Podobne dokumenty

EduROM gry edukacyjne to seria niezwykłych przygód

Słowa transparentne

Senior Programmer .Net

Młodzie owe Uniwersytety Matematyczne

MATEMATYKA W BUDOWIE

Otwarcie na jezyki i kultury swiata