Reakcje i siły wewnętrzne

Obciążenie ciągłe
równomierne
Miara wypadkowej obciążenia rozłożonego
liniowo równa jest polu figury opisującej
obciążenie i powinna zostać przyłożona w
środku ciężkości tej figury.
n
Mechanika teoretyczna
q
HA
Wykład nr 2
Wyznaczanie reakcji.
Belki przegubowe.
Ramy.
Siły wewnętrzne.
A
VA
RB
A
l
q
Obciążenie ciągłe
trójkątne
∑M
ql
l/2
1
B
: RB ⋅ l − q ⋅ l ⋅
A
l
=0
2
2
l/2
Obciążenie ciągłe
dowolne
q
l
W = ∫ q(x ) dx
q(x)
∑ X : HA = 0
HA
∑X :H =0
∑Y : V + R − q ⋅ l = 0
HA
0
l
VA
1
∑ Y : V A + RB − 2 q ⋅ l = 0
RB
l
ql /2
2l/ 3
q
VA
RB
l
1
2
∑ M A : RB ⋅ l − 2 q ⋅ l ⋅ 3 l = 0
∫ q(x )⋅ x dx
x0 =
0
W
∑X :H =0
∑Y :V + R −W = 0
∑ M : R ⋅ l −W ⋅ x = 0
W
A
l/3
A
x0
l-x0
A
B
B
0
3
4
Obciążenie ciągłe
momentem
Przegub
m
VA
∑X :H
RB
∑Y :V
l
∑M
ml
m
Połączenie elementów prętowych w taki
sposób, że mogą się one swobodnie obracać
(nie powstaje moment mogący
przeciwdziałać obrotowi).
Uzyskuje się dodatkowy punkt, w którym
moment wewnętrzny jest równy zero.
Moment w przegubie od sił zewnętrznych
znajdujących się po jednej ze stron
przegubu równy jest 0.
n
HA
A
A
A
=0
+ RB = 0
n
: RB ⋅ l − m ⋅ l = 0
n
l
5
6
Dodatkowe równanie
dla przegubu
Podział ramy w przegubie
P
∑X :H
RC
P
P
C
h
RC
HA
HB
h
P
A
B
l
VA
RB=RC
RA
RC
VB
l
RA
l
RB
l
VC
P
HA
∑M
A
∑M
: VB ⋅ 2l − P ⋅ h = 0
VA
A
+ VB = 0
Czwarte równanie:
HC
VC
: VA ⋅ l − H A ⋅ h = 0
albo
7
+ HB + P = 0
∑Y :V
HC
l
C
A
∑ M Cp : VB ⋅ l + H B ⋅ h = 0
HB
8
VB
Belki przegubowe –
rozkład na belki proste
Belki proste – równania
równowagi
∑X :H =0
∑Y :V + R − q ⋅ l = 0
l
∑ M : R ⋅l − q ⋅l ⋅ 2 = 0
q
P
D
B
l
C
l
C
l
l
HC
D
C
P
B
l
VA
C
A
l
9
RB
l
RB
A
C
l
l
C
∑X :H −H =0
∑Y :V + R −V − P − q ⋅ l = 0
∑ M : R ⋅ 2l − P ⋅ l − q ⋅ l ⋅ 2,5l − V
HC
A
A
Reakcje – belki
przegubowe
RD
HC
l
VA
RD
l
VC
A
l
VC
q
VC
q
P
HA
D
C
D
B
VC
HC
D
C
q
HA
q
C
A
B
C
B
C
⋅ 3l = 0
10
Rozwiązanie
(1)
HA
∑X :H
q
P
A
D
B
l
VA
l
∑M
C
l
l
RB
∑M
RD
⇒
A
A
∑M
p
C
B
B
D
l
=0
2
l
=0 ⇒
2
RD = q ⋅
l
2
p
C
: RD ⋅ l − q ⋅ l ⋅
A
: RB ⋅ 2l + RD ⋅ 4l − P ⋅ l − q ⋅ 2l ⋅ 3l = 0 ⇒
RB =
⇒ VA = P + q ⋅ 2l − RB − RD = P + q ⋅ 2l −
D
: RD ⋅ l − q ⋅ l ⋅
=0
P
P
− RD ⋅ 4l + P ⋅ l + q ⋅ 2l ⋅ 3l
= −2 RD + + q ⋅ 3l = + q ⋅ 2l
2l
2
2
Y
:
V
+
R
+
R
−
P
−
q
⋅
2
l
=
0
⇒
∑ A B D
∑X :H =0
∑ Y : V + R + R − P − q ⋅ 2l = 0
∑ M : R ⋅ 2l + R ⋅ 4l − P ⋅ l − q ⋅ 2l ⋅ 3l = 0
A
A
P
l P
l
− q ⋅ 2l − q = − q
2
2 2
2
11
12
Reakcje – belki
przegubowe
Podstawienie danych
(2)
q = 5kN / m
q
P = 10kN
MA
l = 2m
HA
HA = 0
RD = q ⋅
RB =
l
2m
= 5kN / m ⋅
= 5kN
2
2
VA
P
10kN
+ q ⋅ 2l =
+ 5kN / m ⋅ 2 ⋅ 2m = 25kN
2
2
l
l
∑X :H
A
RB
l
=0
10kN
2m
VA =
− 5kN / m ⋅
=0
2
2
13
14
Wypadkowa obciążenia
trójkątnego
Suma momentów
względem przegubu
q
q′ q
=
l 3l
½q ·3l
q’
=
q
MA
⇒ q′ =
q
3
q’·2 l
½(q -q ’)·2l
½(q -q ’)·2 l
q
q-q’
HA
q’
MA
l
l
q’·2 l
l
1
∑ Y : VA + RB − 2 q ⋅ 3l = 0
1
∑ M A : RB ⋅ 2l − M A − 2 q ⋅ 3l ⋅ 2l = 0
HA
+
VA
RB
q’
C
q’
2·2l/ 3
VA
15
∑M
p
C
l
: RB ⋅ l − q′ ⋅ 2l ⋅ l −
l
2l/ 3
RB
l
1
(q − q′)⋅ 2l ⋅ 2 2l = 0
2
3
16
Rozwiązanie
∑X :H
A
Podstawienie danych
q 2 1 2q 8l 2
⋅ 2l −
⋅
=0
3
2 3 3
2
8
14
RB = ⋅ ql + ⋅ ql = ⋅ ql
3
9
9
∑M
=0
p
C
: RB ⋅ l −
q = 10kN / m
l = 1,5m
⇒
1
∑ Y : VA + RB − 2 q ⋅ 3l = 0
3
14
1
⇒ VA = ⋅ ql − ⋅ ql = − ⋅ ql
2
9
18
VA = −
1
: RB ⋅ 2l − M A − q ⋅ 3l ⋅ 2l = 0
2
14
1
⇒ M A = ⋅ 2ql 2 − 3ql 2 = ⋅ ql 2
9
9
∑M
B
l
l
l
m
HA
A
B
l
VA
l
RB
l
D
l
l
l
19
2q
q
A
B
l
VA
l
RB
P
α
q
C
E
D
l
l
l
RE
l
RF
A
A
∑M
l
C
B
B
E
F
E
F
: VA ⋅ 3l + RB ⋅ l + m ⋅ 2l = 0
1
 2 
∑ M : RE ⋅ l + RF ⋅ 2l − q ⋅ 3l ⋅1,5l − 2 q ⋅ 2l ⋅  l + 3 2l  − P sin α ⋅ 3l = 0
p
D
21
l = 1m
l
l
2q
VD q
C
l
E
l
=0
F
l
RE
A
α
HD
D
RB
P
q
l
RF
∑ X = 0 ∑Y = 0 ∑ M
D
=0
20
n
Równania względem sąsiadujących
przegubów lepiej zapisać z tej samej
strony.
∑ X : H − P cosα = 0
1
∑ Y : V + R + R + R − q ⋅ 4l − 2 q ⋅ 2l − P sin α = 0
1
2 

∑ M : R ⋅ 2l + R ⋅ 5l + R ⋅ 6l − m ⋅ 2l − q ⋅ 4l ⋅ 5l − 2 q ⋅ 2l ⋅  5l + 3 2l  − P sin α ⋅ 7l = 0
A
A
A
∑M
l
C
B
B
E
E
F
F
: VA ⋅ 3l + RB ⋅ l + m ⋅ 2l = 0
1
 2 
: RE ⋅ l + RF ⋅ 2l − q ⋅ 3l ⋅1,5l − q ⋅ 2l ⋅  l + 2l  − P sin α ⋅ 3l = 0
2
 3 
1
∑ M Dl : VA ⋅ 4l + RB ⋅ 2l + m ⋅ 2l − q ⋅ l ⋅ 2 l = 0
p
D
22
Zasady pisania dodatkowych
równań dla przegubów
(1)
P = 10kN
m = 5kNm / m
B
VA
∑M
Rozwiązanie
q = 5kN / m
A
F
l
∑ X : H − P cosα = 0
1
∑ Y : V + R + R + R − q ⋅ 4l − 2 q ⋅ 2l − P sin α = 0
1
2 

∑ M : R ⋅ 2l + R ⋅ 5l + R ⋅ 6l − m ⋅ 2l − q ⋅ 4l ⋅ 5l − 2 q ⋅ 2l ⋅  5l + 3 2l  − P sin α ⋅ 7l = 0
A
VD
Sąsiadujące przeguby –
łatwość rozwiązania
(3)
HA
l
HC
∑ X = 0 ∑Y = 0 ∑ M
l
RF
Reakcje – belki
przegubowe
m
VC
D
VC
F
RE
HD
C
m
HA
P
α
E
q
HC
C
q
C
l
∑X =0
∑Y = 0
∑M = 0
F
l
2q
q
9 niewiadomych – 9 równań
n
P
α
E
D
l
18
Belki proste – równania
równowagi
q
C
l
17
2q
q
A
14
14
⋅ ql = ⋅10kN / m ⋅1,5m = 23,333kN
9
9
1
1
2
M A = ⋅ ql 2 = ⋅10kN / m ⋅ (1,5m ) = 2,5kNm
9
9
(3)
Sąsiadujące przeguby
m
RB =
1
1
⋅ ql = − ⋅10kN / m ⋅1,5m = −0,833kN
18
18
A
Belki przegubowe
n
HA = 0
n
H A = 5kN
V A = −6,25kN
RB = 8,75kN
RE = 2,173kN
RF = 28,987 kN
23
Dodatkowe równanie względem
przegubu musi wykorzystywać
własność przegubu, tj. że moment w
przegubie równy jest 0, a więc
dodatkowe równanie nie może być
zwykłą sumą momentów względem
przegubu, a musi być sumą
momentów od sił z jednej strony
przegubu.
24
Zasady pisania dodatkowych
równań dla przegubów
Inne rodzaje obciążeń
(2)
n
n
Każdy przegub musi zostać
wykorzystany co najmniej jeden raz.
Jeżeli chcemy zapisać równanie dla
przegubu z drugiej strony, to
zastępuje ono jedno z równań
podstawowych (sumę momentów
względem dowolnego punktu).
Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta.
Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym:
n
n
– intensywność na jednostkę rzutu;
– intensywność na jednostkę długości pręta.
l
2q ⋅
2q
2
q ⋅ l 2 + h2
q
h
q
⋅ 2h
2
h
q/2
h
25
26
l/2
Reakcje – rama
trójprzegubowa
l
Reakcje – rama
trójprzegubowa
(1)
(2)
q
q
∑X :H
C
h
h
∑Y : V
M
M
∑M
h
P
h
P
∑M
h
HA
A
h
l
VA
l
l
HB
B
l
 1 
: VA ⋅ 2l + P ⋅ h − q ⋅ l ⋅  l + l  + M = 0
 2 
p
C
: VB ⋅ l − H B ⋅ 3h − M = 0
VB
(2)
∑X :H
2q
C
∑Y :V
h
h
M
M
P
q
α
h
MA
HA
A
A
+ P cos α = 0
+ RB − P sin α +
− 2 q ⋅ l 2 + h 2 − q ⋅ 2h = 0
P
h
q
A
∑M
l
VA
RB
l
∑M
29
p
C
A
: M A + P ⋅ cos α ⋅ h + M +
l
+ 2q ⋅ l 2 + h 2 ⋅ +
2
+ q ⋅ 2h ⋅ l − RB ⋅ l = 0
B
h
: RB ⋅ l − q ⋅ 2 h ⋅ l − 2q ⋅ l 2 + h 2 ⋅
q
30
∑X :H +H +P =0
∑Y : R + V + V + R +
q
B
G
h
A
P
h
P
M
q
h
M
q
E
q
RA
h
∑M
F
l
31
l
VB
HC
B
l
l
VC
C
D
l RD
B
C
A
D
: VB ⋅ l + VC ⋅ 3l + RD ⋅ 4l +
l
− P ⋅ 2h − M − q ⋅ l ⋅ +
2
− q ⋅ 2l ⋅ 2l − q ⋅ l ⋅ 3,5l = 0
l
: VC ⋅ l + H C ⋅ 3h + RD ⋅ 2l − q ⋅ l ⋅ − M − q ⋅ l ⋅1,5l = 0
2
l
l
∑ M Fp : RD ⋅ l − q ⋅ l ⋅ 2 = 0
∑ M El : R A ⋅ l − q ⋅ l ⋅ 2 = 0
∑M
l
HB
A
C
− q ⋅ l − q ⋅ 2l − q ⋅ l = 0
h
q
l
l
=0
2
Rama nawowa –
równania równowagi
Rama nawowa
l
B
Reakcje – rama
przegubowa
2q
h
+ VB − q ⋅ l = 0
A
28
(1)
α
− HB + P = 0
27
Reakcje – rama
przegubowa
h
A
p
G
32
Siły w ściągu – cztery
dodatkowe równania
Rama ze ściągiem – reakcje
podporowe (3 niewiadome)
2q
2q
2q
M
M
M
C
q
h
C
q
h
h
D
E
A
B
l
l
HD
P
HE
l
VA
l
VE
VD
h
A
∑M
A
l
VA
l
∑X :H −H =0
∑Y :V + V − q ⋅ l = 0
l
∑ M : V ⋅ 2l − q ⋅ l ⋅ 2 = 0
RB
D
B
∑M
33
Rama ze ściągiem – 7
niewiadomych
n
M
C
VD
HD
P
HE
VE
E
D
q
HD
VD
h
HE
E
D
l
HA
A
B
l
VA
l
D
∑X :H −H +H +P =0
∑ Y : V + R − V − V − 2q ⋅ 2l = 0
∑ M : R ⋅ 2l − P ⋅ h − M − 2q ⋅ 2l ⋅ l − V ⋅ 2l − H
l
∑ M : V ⋅ l − H ⋅ h − R ⋅ l + M + 2q ⋅ l ⋅ 2 = 0
A
A
D
B
A
B
p
C
E
E
D
n
VE
l
∑X :H −H =0
∑ Y : V + V − q ⋅ l = l0
∑ M : V ⋅ 2l − q ⋅ l ⋅ 2 = 0
RB
E
D
D
E
E
n
l
=0
2
34
Przeguby, w których jeden pręt łączy
się z drugim ze swobodą obrotu.
Pozwala na zapisanie jednego
dodatkowego równania (sumy
momentów względem przegubu od sił
na jednej części konstrukcji
oddzielonej przegubem).
E
E
E
E
⋅h + HD ⋅h = 0
B
35
36
Rama z przegubem
dwukrotnym
Przeguby wielokrotne
n
: V E ⋅ l − H E ⋅ h − R B ⋅ l + M + 2q ⋅ l ⋅
p
C
E
E
Przeguby pojedyncze
2q
h
E
D
D
l
: RB ⋅ 2l − P ⋅ h − M − q ⋅ l ⋅ − 2q ⋅ 2l ⋅ l = 0
2
VE
l
B
RB
A
A
HE
E
D
l
HA
∑X :H +P=0
∑ Y : V + R − q ⋅ l − 2q ⋅ 2l = 0
q
HD
E
D
h
HA
VD
h
P
P
q
Przeguby, w których łączą się ze sobą
więcej niż dwa pręty ze swobodą obrotu
względem pozostałych prętów.
Pozwalają na zapisanie więcej niż jednego
dodatkowego równania równowagi.
q
M
M
h
D
h
P
RC
P
h
h
l
RA
l
MB
HB
l
l
VB
∑X :H +P =0
∑ Y : R + V + R − q ⋅ 2l = 0
l
l
∑ M : R ⋅l + M − R ⋅l + M − q ⋅l ⋅ 2 + q ⋅l ⋅ 2 + P ⋅ h = 0
l
l
∑ M : R ⋅l − q ⋅l ⋅ 2 = 0 ∑ M : R ⋅l − q ⋅l ⋅ 2 + M = 0
B
A
37
Stopień statycznej
wyznaczalności
n
n
n
Belka: n=r-g-rs;
Rama: n=r+3o-g-rs;
Kratownica: n=r-rs lub n=p-2w.
r – liczba reakcji;
g – liczba przegubów pojedynczych;
o – liczba pól zamkniętych;
rs=3 – liczba równań statyki;
p – liczba prętów;
w – liczba węzłów.
A
p
D
C
B
C
l
D
A
38
Określenie stopnia statycznej
wyznaczalności odnośnie do reakcji:
– Układ jest statycznie wyznaczalny,
jeżeli współczynnik n = 0;
– Układ jest statycznie niewyznaczalny,
jeżeli współczynnik n > 0;
– Układ jest geometrycznie zmienny,
jeżeli współczynnik n < 0.
Oznaczenia:
–
–
–
–
–
–
B
C
Stopień statycznej
wyznaczalności
Stopień zewnętrznej statycznej
wyznaczalności n:
–
–
–
B
39
40
Sposób podparcia a
statyczna wyznaczalność
n
n
Układy geometrycznie
zmienne (przykłady)
(1)
Nie zawsze stopień statycznej
wyznaczalności n=0 gwarantuje statyczną
wyznaczalność.
Niewłaściwe rozmieszczenie podpór może
powodować, że układ będzie geometrycznie
zmienny (np. reakcje równoległe –
płaszczyzna przesuwu) lub chwilowo
geometrycznie zmienny (reakcje
przecinające się w jednym punkcie –
chwilowy środek obrotu).
n
n
n
Niedostateczna liczba podpór.
Belka na trzech podporach
przesuwnych.
Trzy niepodparte przeguby obok siebie.
41
Układy geometrycznie
zmienne (przykłady)
42
Siły wewnętrzne
(1)
(2)
n
n
Belka z niepodpartym przęsłem
przegubowym.
n
Trzy reakcje kratownicy przecinające się
w jednym punkcie.
Mamy bryłę materialną
obciążoną układem sił
(siły zewnętrzne,
reakcje), będących w
równowadze.
Rozetniemy myślowo
tę bryłę na dwie części
przekrojem α-α .
α
q
P
P
P
α
43
Siły wewnętrzne
n
Siły wewnętrzne
(2)
Aby fragment bryły był w równowadze
musimy zastąpić wzajemne oddziaływanie
fragmentów brył przez przyłożenie w sposób
ciągły do płaszczyzny α-α układu sił.
q
P
44
n
P
(3)
Siły te można zastąpić przez ich wypadkowe W
i M , przyłożone w dowolnym punkcie
przekroju α-α. W przypadku naszych rozważań
punktem tym będzie środek przekroju.
q
q
P
P
q
M
W
W
P
P
45
Siły przekrojowe
n
Wypadkową siłę W i moment
wyrazić przez ich składowe:
W = N + Ty + Tz
Tz
N
46
Nazwy sił przekrojowych
M można
n
M = Mx + My + Mz
W.
Ty
M
Mx My
Mz
M
47
Wielkości te nazwano:
– N – siła podłużna (normalne) – wywołuje
rozciąganie lub ściskanie;
– Ty , Tz (lub Qy , Qz) – siły poprzeczne
(tnące) – wywołują ścinanie;
– Mx – moment skręcający – wywołuje
skręcanie;
– My , Mz – momenty zginające – wywołują
zginanie.
48
Siły wewnętrzne w układach
płaskich – definicje
Przykład
(1)
α
α
l/2
n
l/2
α
MA
P
α
HA
P
VA
Siła normalna (osiowa, podłużna) –
wzajemne oddziaływanie części
konstrukcji przeciwdziałające ich
przesunięciu się wzdłuż osi pręta w
rozważanym punkcie.
MA
α
HA
MA
Mα
α
HA
Mα
Nα
Nα
α
Tα
P
Mα
Nα
Nα
α
Tα
α
Tα
P
Nα = P cos α
VA
α
Tα
Mα
49
50
Siły wewnętrzne w układach
płaskich – definicje
Siły wewnętrzne w układach
płaskich – definicje
VA
(2)
n
(3)
Siła poprzeczna (tnąca) – wzajemne
oddziaływanie części konstrukcji
przeciwdziałające ich przesunięciu się
poprzecznie do osi pręta w
rozważanym punkcie.
MA
HA
α
Mα
Mα
Nα
Nα
α
Tα
Moment zginający – wzajemne
oddziaływanie części konstrukcji
przeciwdziałające ich wzajemnemu
obrotowi w rozważanym punkcie.
MA
α
HA
P
Mα
Mα
Nα
Nα
l/2
l/2
l
M α = − P sin α
2
51
Siły wewnętrzne –
konwencja znaków
n
n
n
Siła normalna rozciągająca
pręt jest dodatnia.
Siła poprzeczna
powodowana przez
obciążenie działające po
lewej stronie przekroju do
góry lub po prawej stronie
do dołu jest dodatnia.
Moment rozciągający
włókna dolne jest dodatni.
(1)
Nα
Nα
n
Tα
α
Tα
n
Mα
Mα
Kreskowanie (rzędne wykresu) należy
zaznaczać prostopadle do osi pręta.
Rzędne dodatnie wykresów sił
normalnych i tnących odkłada się
zazwyczaj u góry.
Wykresy sił podłużnych i poprzecznych
rysujemy ze znakiem.
α
53
54
Wykresy sił
wewnętrznych
(2)
n
n
α
Siły wewnętrzne –
wykresy
n
52
Siły wewnętrzne –
wykresy
spody (włókna dolne)
n
P
α
Tα = P sin α
VA
α
Tα
Tα
VA
α
Tα
n
α
Wykresy momentów nie muszą być
znakowane, ale należy zwracać uwagę, aby
rzędne momentu odkładać po stronie
włókien rozciąganych.
Rzędne dodatnie wykresu momentów
zginających odkłada się u dołu (moment
dodatni, gdy rozciągane są włókna dolne).
Wykres momentu wskazuje jak odkształci
się pręt i gdzie, w poszczególnych
elementach, włókna są rozciągane.
α
P
l
Pcosα
Nα [kN]
+
Psinα
+
Tα [kN]
Plsinα
55
-
Mα [kNm]
56
Punkty charakterystyczne,
przekroje
Przegub
Ze względu na konieczność
modyfikacji równań sił wewnętrznych:
n
n
– w belkach i ramach – końce prętów,
punkty przyłożenia sił:
– czynnych: siła skupiona, moment skupiony,
początek lub koniec obciążenia ciągłego;
– biernych: punkty podporowe;
Przegub jest jedynie punktem
kontrolnym (moment równy jest 0).
Nie powoduje on konieczności
wprowadzenia dodatkowego
przekroju.
– w ramach – dodatkowo węzły (połączenia
prętów o różnej krzywiźnie).
57
Moment skupiony
Siła skupiona
α
VA = RB =
P
x
l/2
α1
α2
VA
RB
Nα [kN]
0
P/2
+
P
2
α1
HA = 0
HA
Nα 1 = 0 Nα 2 = 0
P
P
Tα 1 = VA =
Tα 2 = VA − P = −
2
2
P
x = 0 Mα1 = 0
M α 1 = VA ⋅ x = ⋅ x
2
l
Pl
x=
M α1 =
2
4
l

M α 2 = V A ⋅ x − P x −  =
2

P
l

 l x
= ⋅ x − P x −  = P − 
2
2

 2 2
l
Pl
x=
Mα 2 =
2
4
x = l M α 2 = 059
l/2
P
HA
Tα [kN]
P/2
Mα [kNm]
+
Pl/4
Obciążenie ciągłe
równomierne
x
α
Nα = 0
HA
ql
2
ql/2
+
-
Tα [kN]
ql/2
l/2
M/2
ql/6
l
RB
ql
6
Nα = 0
RB =
ql
3
HA = 0
q
⋅x
l
1
ql 1 qx 2
Tα = VA − q( x) ⋅ x = −
2
6 2 l
Nα [kN]
+
Tα [kN]
ql
6
ql
x = l Tα =
3
x = 0 Tα =
1
x
M α = V A ⋅ x − q( x ) ⋅ x ⋅ =
2
3
ql
1 qx
x ql
1q 3
Mα [kNm] = ⋅ x −
⋅ x⋅ = ⋅ x−
x
6
2 l
3 6
6l
ql/3
x=l
n
M α = VA ⋅ x + m ⋅ x = − mx + mx = 0
Nα [kN]
0
M
2
 x
M α 2 = V A ⋅ x + M = M ⋅ 1 − 
 l
l
M
x=
Mα 2 =
2
2
x = l Mα 2 = 0
60
VA =
RB
-
n
Tα = VA = − m
VA
Mα1 = −
Mα = 0
Warunki różniczkowe
Nα = 0
HA
l
2
x = 0 Mα = 0
VA = −m VB = m H A = 0
m
+
q
+
Obciążenie ciągłe
momentem
α
Mα [kNm]
0
61
x
x=
M/2
q
l
l
q ⋅l2
Mα =
2
8
x = l Mα = 0
ql /8
Tα [kN]
α
VA
x=
2
M
l
q ( x) =
ql
− qx
2
x = 0 Mα = 0
Mα [kNm]
Tα 2 = −
M
⋅x
l
x = 0 Mα1 = 0
M/l
-
M
l
HA = 0
M α 1 = VA ⋅ x = −
Nα [kN]
-
 l ⋅ x x2 
x
M α = VA ⋅ x − q ⋅ x ⋅ = q ⋅ 
− 
2
2
 2
+
Tα 1 = VA = −
RB
l/2
0
x
x = 0 Tα =
Nα [kN]
0
VA
HA = 0
ql
2
l
x=
Tα = 0
2
ql
x = l Tα = −
2
RB
M
M
RB =
l
l
Nα 1 = 0 Nα 2 = 0
VA = −
HA
Tα = VA − qx =
l
α2
M
x
Obciążenie ciągłe liniowo
zmienne
VA = RB =
q
VA
58
62
(1)
Zależności różniczkowe między Mα, Tα,
Nα i pz(x), px(x), m(x).
Aby wyznaczyć te zależności rozważymy
belkę swobodnie podpartą, obciążoną
obciążeniami ciągłymi i ciągłym momentem
na fragmencie belki.
Tα [kN]
m
0
Mα [kNm]
63
64
Warunki różniczkowe
Warunki różniczkowe
(2)
Z tej belki wycinamy fragment przedstawiony na
rysunku.
(3)
Suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą x :
n
∑X = 0
− N α + p x ( x)dx + ( N α + dN α ) = 0
Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową z :
n
∑Z = 0
− Tα + p z ( x)dx + (Tα + dTα ) = 0
Suma momentów wszystkich sił względem punktu O :
n
∑ Mo = 0
M α + Tα dx + m x ( x)dx − p z ( x)dx
65
Warunki różniczkowe
dx
− ( M α + dM α ) = 0
2
66
Zależności między
Mα , Tα oraz q
(4)
(1)
n
Po odrzuceniu wielkości małej w
dx
porównaniu z pozostałymi p z (x)dx ,
2
otrzymujemy:
dN α
= − p x ( x)
dx
n
dTα
= − p z ( x)
dx
n
dM α
= Tα + m( x)
dx
Z powyższych równań wynika, że:
Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia
ciągłego poprzecznego to wykres sił
tnących jest stały, równoległy do osi
pręta.
dTα
= − p( x) = 0
dx
P
Tα (x ) = C1 = const
P/2
+
2
d M α dTα
=
= − p z ( x)
dx 2
dx
Tα [kN]
P/2
67
Zależności między
Mα , Tα oraz q
Zależności między
Mα , Tα oraz q
(2)
n
(3)
Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia
ciągłego poprzecznego i nie występuje
obciążenie ciągłe momentem to
wykres momentu jest linią prostą
nachyloną do pręta.
dM α
= Tα (x ) = C1
P
dx
Mα [kNm]
M α (x ) = C1 ⋅ x + C2
n
Jeżeli w przedziale działa stałe
obciążenie ciągłe to wykres sił
tnących jest nachylony do pręta,
rzędne maleją wraz ze wzrostem x.
q
dTα
= −q
dx
ql/2
+
-
+
Tα [kN]
Tα = − qx + C1
ql/2
69
Pl/4
Zależności między
Mα , Tα oraz q
70
Zależności między
Mα , Tα oraz q
(4)
n
68
(5)
Jeżeli w przedziale działa stałe
obciążenie ciągłe i nie ma
obciążenia ciągłego momentem, to
wykres momentów zginających
jest parabolą (krzywą drugiego
stopnia).
n
Jeżeli w przedziale zeruje się
równanie siły tnącej to wykres
momentów osiąga ekstremum w
tym punkcie. q
à
ql/2
+
-
à
Tα [kN]
ql/2
Mα [kNm]
+
71
2
ql /8
72
Zależności między
Mα , Tα oraz q
Zależności między
Mα , Tα oraz q
(6)
n
(7)
Jeżeli obciążenie ciągłe jest
skierowane do dołu, to wypukłość
wykresu jest skierowana w dół i
odwrotnie.
q
Mα [kN m]
+
2
ql /8
Jeżeli w przedziale działa obciążenie ciągłe
liniowo zmienne i nie ma obciążenia ciągłego
momentem to wykres sił poprzecznych jest
parabolą. W punkcie, gdzie obciążenie ciągłe
się zeruje parabola jest styczna do osi do
pręta.
n
d 2Mα
= − p( x ) = −q
dx 2
dM α
= −qx + C1
dx
1
M (x ) = − qx 2 + C1 x + C2
2
1
T ( x ) = − C1 x 2 − C2 x + C3
2
ql/6
+
Tα [kN]
-
ql/3
73
Zależności między
Mα , Tα oraz q
74
Zależności między
Mα , Tα oraz q
(8)
n
p ( x ) = C1 x + C2
q
(9)
Jeżeli w przedziale działa obciążenie
ciągłe liniowe to wykres momentów
zginających jest krzywą trzeciego
stopnia.
à
n
Jeżeli równanie sił tnących zeruje się
w przedziale, to wykres momentów
osiąga ekstremum w tym punkcie. à
q
ql/6
+
-
Tα [kN]
ql/3
Mα [kNm]
+
75
Zależności między
Mα , Tα oraz q
Zależności między
Mα , Tα oraz q
(11)
(10)
n
Jeżeli obciążenie ciągłe jest
skierowane do dołu, to wypukłość
wykresu jest skierowana w dół i
odwrotnie.
p(x ) = C x + C
1
q
76
Jeżeli na pręcie występuje siła skupiona,
to na wykresie sił poprzecznych wystąpi
„skok” o tą wartość, a na wykresie
momentów zginających wystąpi
„załamanie” wykresu.
n
2
P
2
d Mα
= − p(x ) = −C1 x − C2
dx 2
dM α
1
M [kN m]
= − C1 x 2 − C2 x + C3
dx
2
1
1
M (x ) = − C1 x 3 − C2 x 2 + C3 x + C4
6
2
P/2
+
Tα [kN]
α
+
P/2
Mα [kNm]
+
77
Zależności między
Mα , Tα oraz q
Zależności między
Mα , Tα oraz q i m
(12)
n
Jeżeli na pręcie występuje moment
skupiony, to na wykresie momentów
zginających wystąpi „skok” o wartość
tego momentu.
n
M
M/2
(13)
Jeżeli w przedziale działa obciążenie
ciągłe momentem to wykres
momentów zginających jest liniowy
(liniowo zmienny lub w szczególnym
przypadku stały, gdy Tα=-m).
m
-
78
Pl/4
m
M/2
Mα [kNm]
ml
0
-
+
79
dM α
= Tα + m( x)
dx
M α [kN m]
80
Zależności między
Mα , Tα oraz q
(14)
Obciążenie
Wykres T
Wykres M
Brak obc. ciągłego
stały
prosta
Obc. ciągłe stałe
prosta
parabola 2o
parabola 2o
krzywa 3o
skok
załamanie
Moment skupiony
–
skok
Obc. ciągłe momentem
–
prosta
Obc. ciągłe trójkątne
Siła skupiona
81