Mechanika płynów

MECHANIKA PŁYNÓW
Materiały pomocnicze do wykładów
opracował: prof. nzw. dr hab. inż. Wiesław Grzesikiewicz
Warszawa, październik 2011
Mechanika płynów
dział mechaniki materialnych ośrodków ciągłych
-
odkształcalne ciało stałe
ciecze
-
płyny
gazy
mechanika zajmuje się badaniem ruchu ośrodka oraz działających na niego sil.
Badanie ruchu odbywa się w czasoprzestrzeni Galileusza.
W mechanice posługujemy się modelami (idealizacją) rzeczywistych ciał materialnych.
Podstawowa zasad tej idealizacji polega na pominięciu cząsteczkowej struktury materii
i przyjęciu ciągłego rozkładu materii w przestrzeni fizycznej (ciągłe wypełnienie przestrzeni –
kontinuum).
Metody mechaniki płynów
- modelowanie: fizyczne, matematyczne, komputerowe.
Modelowanie matematyczne: ustalanie matematycznych formuł, za pomocą których
odwzorowuje się (opisuje) związki miedzy wielkościami fizycznymi określającymi
rozpatrywany aspekt rzeczywistości;
w mechanice płynów są to wielkości fizyczne, za pomocą których określa się procesy
akumulowania i rozpraszania energii płynu.
Zasady matematycznego opisu ośrodków ciągłych
x 3 (z )
t
Czasoprzestrzeń Galileusza
/układ inercjalny, czas absolutny/
układ współrzędnych prawoskrętny
/zwykle prostokątny
x 2 (x )
x 1 (y )
 x1   x 
r ≡ x : =  x 2  ≡  y  ∈ R 3 opis współrzędnych przestrzennych
 x 3   z 
znak definicji
(t, x ) - opis punktu czasoprzestrzeni (zdarzenia) określa chwilę i miejsce.
2
Wielkości fizyczne
Właściwości ośrodka ciągłego są określane w każdym punkcie rozważanego obszaru
czasoprzestrzeni, za pomocą funkcji
w (t , x )
w – funkcja określająca obserwowaną wielkość fizyczną np.; temperatura, gęstość, prędkość
itp.
Do opisu wielkości fizycznych używa się różnych funkcji
-
skalarnej w : R 1 × R 3 → R 1 , w (t , x ) ∈ R 1
-
wektorowej w : R 1 × R 3 → R 3 , w (t , x ) ∈ R 3
 w 1 (t , x ) 
w (t , x ) : =  w 2 (t , x )
 w 3 (t , x )
-
trzy funkcje skalarne w i (t , x ) i = 1,2,3
macierzowej w : R 1 × R 3 → R 3× 3 , w (t , x ) ∈ R 3× 3
 w11 (t , x ) , w12 (t , x ) , w13 (t , x )
w (t , x ) : =  w 21 (x, t ) , w 22 (t , x ) , w 23 (t , x ) .
 w 31 (x, t ) , w 32 (t , x ) , w 33 (t , x )
Podstawowe obiekty geometryczne w przestrzeni R 3
x3
x3
punkt
koniec
linia zorientowana
B
A
l
orientacja linii
początek
A
x2
x2
x1
x1
A,B punkty brzegowe
l długość linii
powierzchnia zorientowana /płat powierzchni/
x3
orientacja powierzchni
n – wektor (wersor) prostopadły do
powierzchni w rozważanym punkcie
dS – powierzchnia elementarna
+
druga strona powierzchni
∂S – brzeg
orientacja brzegu
x1
x2
S - powierzchnia
3
pole powierzchni – wielkość skalarna
charakteryzuje powierzchnię
x3
Ω
∂Ω
obszar
powierzchnia
zamknięta
x2
V – objętość obszaru
x1
Gęstość masy płynu w punkcie A
t
x3
∆Ω - otoczenie punktu A
∆m – masa płynu w obszarze ∆Ω
A
∆V – objętość obszaru ∆Ω
x2
x1
∆m
∆V → 0 ∆V
ρ(t , x ) : = lim
 kg 
ρ

 m3 
ρ = olej 833, benzyna 740, woda 1000, alkohol 790, mleko 1300;
ciężar właściwy - γ : = ρg
g - przyspieszenie ziemskie
objętość właściwa -
v=
1
ρ
 m3 


 kg 
Dane pole gęstości płynu, tzn. jest dana funkcja (t , x ) określająca wielkość fizyczną
ρ (t , x )
Ω - obszar
4
obliczyć masę płynu m Ω wypełniającego obszar Ω w chwili t
x3
m Ω (t ) = ∫ ρ (t , x ) dV
Ω
Ω
całka objętościowa z funkcji skalarnej
x2
x1
Pola sił
siły:
- wewnętrzne; określają oddziaływanie między częściami ośrodka materialnego
- zewnętrzne; określają oddziaływania otoczenia na ośrodek
siły:
-
- powierzchniowe (kontaktowe) odnosi się do powierzchni skierowanej
objętościowe (lub masowe) odnosi się do obszaru (lub masy płynu wypełniającego
obszar)
Gęstość siły
 N 
Powierzchniowa f p 

m2 
t
x3
(
A t, x p
)
∆S
∆Fs – wypadkowa siła działająca
na powierzchnię ∆S
x2
x1
gęstość siły w punkcie A
∆Fs
f p (t , x A ) : = lim
∆S → 0 ∆S
5
Objętościowa (masowa) gęstość siły f v
t
x3
∆Ω, ∆ V
∆Fs – wypadkowa siła działająca na powierzchnię ∆S
A
objętościowa gęstość siły
∆Fv
 N 
f v (t , x A ) : = lim
, fv 

∆V → 0 ∆V
 m3 
x2
x1
masowa gęstość siły
f
fm : = v
ρ
N m
 kg  =  2 
  s 
Sily wewnętrzne
Powierzchniowa gęstość siły
NAPRĘŻENIE
wektor i tensor naprężenia
Powierzchniowa gęstość siły lub wektor naprężenia zależy od punktu czasoprzestrzeni oraz
kierunku powierzchni
x3
n1
f1
n2
f2
n – wyznacza kierunek
prostopadły do powierzchni
f – siła (gęstość) powierzchniowa
(wektor naprężeń)
n 2 = 1 - wersor
x2
x1
wektor naprężeń opisuje się za pomocą tensora naprężeń
σ ∈ R 3× 3
według zależności
f A(n ) : = σ T n
n wersor określający kierunek prostopadły do powierzchni.
Tensor naprężeń w punkcie A
6
kierunek osi prostopadłej
do ścianki
t
σ ij
x3
kierunek wektora naprężeń
σ33
otoczenie A
x2
σ31
σ11
x1
σ 32
σ 23
σ13
σ12
σ 21
σ 22
tensor naprężeń jest symetryczny, tzn. σ = σ T , σ ij = σ ji
indeks wiersza
 σ11 σ12 σ13 
σ : = σ 21 σ 22 σ 23  σ ij
σ 31 σ 32 σ 33 
indeks kolumny
σ ∈ R 3× 3
Dane pole naprężeń wyznaczyć wektor naprężeń działający w punkcie A na powierzchni
określonej wersorem n.
n
x3
f (n )
f A(n ) = σ T n
A,σ
x2
x1
Dane pole naprężeń σ i gęstość sił objętościowych f v . Wyznaczyć siłę wypadkową działającą
na płyn (ośrodek materialny) wypełniający obszar Ω.
7
x3
B ∈ Fr Ω - leży na brzegu Ω
A ∈ Int Ω - leży wewnątrz obszaru Ω
n
∂Ω
r
 N 
f v - siła objętościowa (gęstość) 

 m3 
 N 
f p - siła powierzchniowa 

 m2 
FΩ - siła wypadkowa [N]
σ - tensor naprężeń
f n = σT n
B
Ω
ds
dV
A
x2
fv
FΩ
x1
FΩ (t ): =
T
σ
∫ n dS + ∫ f vdV
∂Ω
Ω
Obliczyć moment wypadkowy sił względem środka układu współrzędnych (M Ω )
 x1 
r – promień określający punkt obszaru Ω
r =  x 2 
 x 3 
M Ω (t ): =
∫ (r × σ
∂Ω
T
)
n dS + ∫ (r × f v ) dV
Ω
Rozkład tensora naprężeń
 σ11 , σ12 , σ13  σo , 0 , 0  σ11 − σo , σ12 , σ13 
σ = σ 21 , σ 22 , σ 23  =  0 , σo , 0  +  σ21 , σ 22 − σo , σ 23 
σ31 , σ32 , σ33   0 , 0 , σo   σ31 , σ32 , σ33 − σo 
1

σo : = 3 (σ11 + σ22 + σ33 )
skalar 
1
σo = tr σ
3

,
tr σ: = σ11 + σ22 + σ33 (suma w przekątnej)
8
1 , 0 , 0
I : = 0 , 1 , 0
0 , 0 , 1
σ = σ o I + σS
σ11 − σ o , σ12 , σ13 
σ S : =  σ 21 , σ 22 − σ o , σ 23 
 σ 31 , σ 32 , σ 33 − σ o 
składowa tensora naprężeń
nazywana dewiatorem naprężeń
σo I - składowa nazywana tensorem kulistym
dewiator naprężeń
określa naprężenia ścinające, które w
ośrodkach ciągłych wywołują zmianę
kształtu.
W płynach w stanie statycznym (hipoteza
Pascala) dewiator naprężeń jest równy zero.
tensor kulisty
określa wszechstronne (izotropowe)
rozciąganie lub ściskanie.
W płynach w stanie statycznym może
powstawać tylko ściskanie, czyli
σo < 0
(hipoteza Pascala) wobec tego przyjęto
nazywać ciśnieniem p
σS = 0
σ = − pI
p : = −σ o
Statyczny stan naprężenia w płynach
(według hipotezy Pascala)
− p , 0 , 0 
σ = pI =  0 , − p , 0 
 0 , 0 , − p 
p
x3
p
p
p – ciśnienie; p > 0 ;
p – skalar
wektory
naprężeń
ściskających o
wartości p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
x2
p
x1
wektor naprężenia (ciśnienia)
f p = σ T n = − pIn = − pn
f p = − pn
9
p
p
p>0
wektor ciśnienia w każdym kierunku ma wartość –pn czyli działa prostopadle do każdej
powierzchni a znak minus oznacza, że są to naprężenia ściskające.
Równowaga ośrodka materialnego w polu sił
A ∈ Fr Ω - leży na brzegu Ω
B ∈ Int Ω - leży wewnątrz obszaru Ω
f v - pole gęstości sił objętościowych
σ - tensor naprężeń
x3
t
n
∂Ω
(brzeg
)
Ω
(obszar)
σT n
A
ds
x2
σ
B
fv
x1
Wypadkowa siła działająca na ośrodek materialny (płyn) wypełniający obszar Ω w chwili t
FΩ (t ): =
∫σ
∂Ω
T
n dS + ∫ f v dV .
Ω
Twierdzenie Gaussa-Ostrogrodskiego
∫σ
∂Ω
FΩ (t ) =
T
n dS = ∫ Div σdV
Ω
∫ (Div σ + f v )dV = 0 ,
∀Ω ⊂ R 3
Ω
Stąd równanie Eulera
Div σ + f v = 0
równanie równowagi płynu, które powinno być spełnione dla każdego x oraz t
10
Równanie momentów sił
x3
n
∂Ω
σT n
A
Ω
ds
r
x2
fv
B
x1
Wypadkowy moment sił względem początku układu współrzędnych
M Ω (t ) =
∫ (r × σ
∂Ω
Twierdzenie Gaussa-Ostrogrodskiego
∫ (r × σ
∂Ω
Wzór na wypadkowy moment
T
)
T
)
n dS + ∫ (r × f v ) dV
n dS =
Ω
∫ (r × Div σ)dV
Ω
M Ω (t ) = ∫ r × (Div σ + f v )dV
Ω
Jeżeli jest spełnione równanie równowagi sił (równanie Eulera)
Div σ + f v = 0 ,
to wtedy wypadkowy moment sił jest równy zero.
Warunki równowagi płynu
W stanie spoczynku zgodnie z hipotezą Pascala
σ = − pI p > 0 - ciśnienie skalar
stąd
Div σ = − grad p
Równanie równowagi płynu
− grad p + f v = 0
lub
grad p = f v .
11
Zadanie statyki płynu
(hydrostatyka)
Dane jest pole objętościowej gęstości siły f v . Wyznaczyć pole ciśnienia p w obszarze Ω
uwzględniając zadane warunki brzegowe.
Równanie względem funkcji skalarnej p(x )
grad p = f v
a po rozpisaniu mamy trzy równania
∂p
= f v1 (x )
∂x1
∂p
= f v 2 (x )
∂x 2
∂p
= f v 3 (x )
∂x 3
[f v ] = N3
m
 x1 
x =  x 2 
 x 3 
Powyższy zestaw trzech równań względem jednej funkcji (p) posiada rozwiązanie tylko
wtedy, gdy f v jest potencjalna, czyli gdy istnieje funkcja skalarna U(x ) taka, że
f v (x ) = grad U(x )
czyli f v nie może być dowolna.
Rozwiązanie zadania statyki ma wtedy postać
p (x ) = U (x ) + C
Stałą C wyznacza się z warunków brzegowych.
Podstawowe przykłady funkcji f v
* stała
f v = const
U = f vT x
stąd mamy
czyli
p = f vT x + C
p(x ) = f v1 (x ) + f v 2 (x ) + f v 3 (x ) + C
* liniowa
f v = Ax , A – macierz symetryczna
U=
1 T
x Ax
2
1 T
x Ax + C
2
1
f v = Ax + f v
p = x T Ax + f vT x + C
2
Zwykle w zadaniach statyki płynów wyznacza się opis pola sił za pomocą pola gęstości sił
 N m
masowych f m   ≡  
 kg   s 2 
wtedy
 kg 
f v = ρf m ρ - gęstość płynu  3 
m 
p=
12
równanie równowagi płynu ma wtedy postać
grad p = ρf m .
Rodzaje płynów ze względu na funkcję gęstości ρ
* płyn jednorodny nieściśliwy
ρ = const (ciecz)
* płyn niejednorodny nieściśliwy
ρ(x ) - dana (ciecz)
* płyn barotropowy ściśliwy (gęstość płynu zależy od ciśnienia; nie zależy od temperatury)
ρ = ϕ(p ) ϕ - funkcja opisująca zależność gęstości płynu od ciśnienia.
Opis cech płynu barotropowego
ρ = ϕ(p )
zwykle
1
γ
 p
ρ = ρo  
 po 
ρo, p o - stan odniesienia
 1 ÷ 1,4 − gaz
γ=
.
400 ÷ 2000 − ciecz
Wskaźniki charakteryzujące ściśliwość płynu
 m2 
d
ϕ (p ) ϕ′ (p )
* β : = ln
=
- współczynnik ściśliwości 

dp ϕ (p o ) ϕ (p )
 N 
1
ale
 s2 
 2
 m 
1  p γ
ϕ′ (p ) = ρo  
γp  p o 
czyli
 m2 


 N 
* moduł sprężystości objętościowej
1
 N
B: = = γ p  2 
β
m 
* kwadrat prędkości dźwięku
β=
1
γp
d −1
c :=
ϕ (ρ )
dρ
2
c2 =
γp
ρ
c2 =
B
ρ
 m2 
 2
 s 
 ρ 
p = ϕ (ρ) , ϕ (ρ ) = p o  
 ρo 
−1
 m2 
 2 .
 s 
13
−1
γ
ZADANIE STATYKI PŁYNU BAROTROPOWEGO
N m
 kg 
fm   =  
ρ  3
2
m 
 kg   s 
zadanie: wyznaczyć funkcje p oraz ρ; dane f m - spełniające równania
f v = ρf m
grad p = ρf m
ρ = ϕ (p )
⇐ równanie wektorowe
nowa postać równania
grad p
= fm
ϕ (p )
wyrażenie
grad p
= grad P (p(x ))
ϕ (p )
grad P =
dP
grad x p(x )
dp
jeśli
P (p ) : =
p
1
 J 
 kg 
 
~
∫ ϕ (~p ) dp
p
o
wtedy równanie statyki ma postać
grad P (p ) = f m
rozwiązanie istnieje gdy f m = grad U m (x )
rozwiązanie
P (p ) = U m (x ) + C nieliniowe równanie algebraiczne względem p
p = P −1 (U m (x ) + C ) .
Przykłady płynów barotropowych
* nieściśliwy ρ = const.
P (p ) : =
p
∫
po
d~
p p − po
=
ρ
ρ
* izotermiczny (gaz γ = 1 )
P (p ) : =
ρ = ρo
p
po
po
p
ln
ρo po
 ρ 
* adiabatyczny p = po  
 ρo 
κ
14
κ −1 

 p  κ 

 1 −  
.
p
 o




Przykład wyznaczania funkcji p opisującej ciśnienie
Założenie: ciecz (woda) jednorodna, nieściśliwa ρ = const
p a - ciśnienie atmosferyczne na powierzchni
κ po
P (p ) : = −
κ − 1 ρo
pa
jezioro
x
g = fm
ρg
z
symbol działania pola grawitacyjnego
pionowa składowa wektora siły objętościowej
fv
0
f v =  0  , U = ρgz
ρg 
równanie statyki
grad ρ = f v
czyli
∂p
=0
∂x
∂p
=0
∂y
∂p
= ρg
∂z
warunek brzegowy p(0,0,0 ) = p a
w tym szczególnym przypadku ciśnienie zależy tylko od z
p(z ) = ρgz + C
stałą całkowania C wyznaczamy z warunku brzegowego
p(0 ) = pa
p a = ρg 0 + C stąd C = p a
p(z ) = ρgz + p a
Funkcja ciśnienia w polu przyspieszeń
Rozważamy cysternę kolejową, która porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z
przyspieszeniem a
powietrze o ciśnieniu atmosferycznym
(pęcherzyk) - (stan początkowy)
z
v
a = const
x
O
15
płyn wypełniający cysternę jest nieściśliwy jednorodny
ρ = const .
Układ współrzędnych związanych ze zbiornikiem cysterny; jest to układ nieinercjalny, w tym
układzie na płyn działa pole grawitacyjne oraz pole inercyjne o wartości b = ρa przeciwnie
skierowane do przyspieszenia a.
z
b
g – pole grawitacyjne
ρg
O
fv
x
wektor gęstości sił objętościowych
 − ρa 
f v =  0  , U = −ρ(ax + gz )
− ρg 
równanie statyki
grad ρ = f v
czyli
∂p
= −ρa
∂x
∂p
=0
∂y
∂p
= −ρg
∂z
wektor f v jest stały
funkcja opisująca ciśnienie nie zależy od y czyli p(x, z )
z równań otrzymujemy
p(x, z ) = −ρax − ρgz + C
z
po 2
p o1
pęcherzyk
po 2 > po1
O
fv
x
a) wyznaczamy składowe wektora f v
16
b) rysujemy linie stałego ciśnienia (izobary)
c) kierunek f v wskazuje kierunek wzrostu ciśnienia
d) stąd wnioskujemy gdzie znajduje się pęcherzyk powietrza o ciśnieniu pa
e) ustalamy współrzędne pęcherzyka x p , z p
(
)
Warunek brzegowy
p x p , z p = pa
wyznaczamy stałą C
p x p , z p = −ρax p − ρgz p + C = pa
(
)
(
)
czyli
C = pa + ρax p + ρgz p
ostatecznie funkcja opisująca zmianę ciśnienia ma postać
p (x, z ) = −ρax − ρgz + p a + ρax p + ρgz p .
(
)
Obracający się zbiornik z płynem (stan ustalony) ρ = const , ω = const
Układ współrzędnych jest związany ze zbiornikiem
ω
g – pole grawitacyjne
z
y
x
z
H
y
y
x
a y = −ω y
r
y
a x = −ω 2 x
ω2 r
x
 ω2 x 


f m = ω2 y
 − g


2
potencjał
U = ρU m
Um =
1 2 2 1 2 2
ω x + ω y − gz
2
2
ρ = const
17
ω 2 x 
b x 


f v = ρ  b y  = ρω 2 y 
 −g 
− g 


zatem ciśnienie opisuje funkcja
p = ρU m + C
p 1 2 2 1 2 2
= ω x + ω y − gz + C o
ρ 2
2
1
1

p(x , y, z ) = ρ  ω 2 x 2 + ω 2 y 2 − gz  + C o
2
2

p(0,0, H ) = p a
stąd
Co = p a + ρgH .
Lepkość
M
ω=const
wałek
rozkład prędkości
naczynie z lepką cieczą
siła
T
z
Vo = const
Vo
t
h
t+∆t
opis pola prędkości cieczy
 vo 
 h z
v= 0 


 0 



0 , 0 ,
 ∂v 
L = 
= 0 , 0 ,


 ∂x 
0 , 0 ,

vo 
h 
0 

0 

1 
s 
 
18
x
tensor prędkości odkształcania
0 , 0 , γ& 
1
D = L + LT = 0 , 0 , 0
2
 γ& , 0 , 0
(
)
γ& =
1 vo
2 h
Vo
h
prędkość zmiany kąta
τ
γ&
τ
prędkość kątowa przekątnej
τ
τ
dewiator tensora prędkości odkształcania
0 , 0 , γ& 
1
D S = D − tr DI = 0 , 0 , 0
3
 γ& , 0 , 0
Hipoteza Newtona
τ = µγ&
µ - lepkość dynamiczna
ν:=
ν
µ
- lepkość kinematyczna
ρ
 m2 
4
6

 = 10 St (Stokes ) = 10 cSt (centistokes )
 s 
µ [Pa ⋅ s ] = 10 P (poise ) = 1000 cP (centipoise )
τ
płyn Newtona
(hipoteza Newtona)
płyny nienewtonoskie
(
γ&
19
przykładowe wartości µ:
17o C
20o C
0o C
20o C
alkohol etylowy
gliceryna
woda
1,288
1490
12110
1,000
mPa·s ( 10 −3 Pa·s)
mPa·s
mPa·s
mPa·s
przykładowe wartości ν dla 20o C
woda
1,00
alkohol etylowy
1,58
benzyna
0,830
gliceryna
1200
10– 6 m2/s
10– 6 m2/s
10– 6 m2/s
10– 6 m2/s
macierzowy zapis hipotezy Newtona
σ l = 2µD S
naprężenia związane z lepkością (tarciem wiskotycznym lepkim) są proporcjonalne do
dewiatora prędkości odkształcenia
1
D V = tr D I - tensor prędkości odkształcenia objętościowego
3
ale
tr D ≡ div v (z definicji D) czyli
1
D S = D − div v I
3
1


σ l = 2µ D − div vI 
3


hipoteza Naviera
σ l = σ (lV ) + σ (lS)
σ l = 2µD −
σ (lS) = 2µD S
1
σ (lV ) = 2µ ′ div vI
3
2
(µ − µ′)div vI
3
Równanie dynamiki płynu
Dv
= f v + div σ
Dt
dla płynu doskonałego
ρ
σ = − pI w/g hipotezy Pascala naprężenia wynikają ze wszechstronnego ściskania
σ = −pI + σl
σl - naprężenia spowodowane lepkością
20
w/g hipotezy Newtona
σ l = 2µD S
D S - dewiator tensora prędkości odkształcania
div σ = − grad p + div σl
1

div 2µD S = µ grad div vI + ∇ 2 v 
3

dla wektora v
2
2
 ∂2v

1 ∂ v1 ∂ v1 

+
+
2
 ∂x 2
∂
x
∂x 32 
1
2
 2

2
2
∂ v2 ∂ v2 ∂ v2 
2
∇ v(x ) : = 
+
+

2
2
∂
x
∂
x
∂x 32 
 1
2
2
2
 ∂2v

3 ∂ v3 ∂ v3 

+
+
 ∂x 12
∂x 22
∂x 32 
Równania dynamiki cieczy lepkiej Naviera-Stokesa
Dv
1

= f v − grad p + µ grad div v + ∇ 2 v 
Dt
3

Dρ
+ ρdiv v = 0
Dt
ρ = ϕ(p )
ρ
dla płynu nieściśliwego ρ = const
Dv
ρ
= f v − grad p + µ∇ 2 v
Dt
div v = 0
przepływ płaski (t , x1, x 2 )
  2   ∂ 2v
1
 ∂ v1
 2



∂x
ρ  2∂t  +  2 1

  ∂ v2   ∂ v2
  ∂t   ∂x 2
 1


 ∂ 2 v1 ∂ 2 v1 
∂ 2 v1 
 ∂p 

 2 +


∂x 22   v1    f v1   ∂x1 
∂x1
∂x 22 

+µ 2
  =   − 
 ∂ v2 ∂ 2v2 
∂ 2 v 2   v 2   f v 2   ∂p 
,

 2 +

 ∂x 2 

∂x 22 
∂x 22 
 ∂x1

,
∂v1 ∂v 2
+
=0
∂x1 ∂x 2
21
Równanie Bernoulliego dla płynu lepkiego
2
V2
γ = ρg
P2
2
1
Bi =
V1
z2
1
ρV 2 + p i + γz i
2 i
P1
z1
1
przepływ ustalony, bez wirów, płyn nieściśliwy, potencjał grawitacyjny
dla cieczy lepkiej B1 > B 2
B1 = B 2 + ∆B12
∆B12 > 0 - ilość energii rozproszonej w czasie przepływu między przekrojami 1-2
Zwykle wartość ta jest ustalana doświadczalnie
h str
kryza
V
V
1
zwykle ∆B12 określa się jako stratę ciśnienia w postaci ∆B12 = ζ ρV 2
2
ustalamy doświadczalnie ζ - bezwymiarowy współczynnik strat (opór przepływu).
Symboliczne oznaczenie oporów przepływu
V
1
2
1
∆p sw = ζ ρV 2
2
∆p
22
 J 
 3
m 
gdy w instalacji hydraulicznej znajduje się maszyna hydrauliczna
pompa
P
moc
charakterystyka idealna
pompy wyporowej
lub silnik hydrauliczny
charakterystyka
rzeczywista
Q
 m3 
Q

 s 
 m3 
Q

 s 
∆p p
∆p s
Równanie Bernoulliego z oporami przepływu i z pompą
B1
B1 + ∆p p = B 2 + ∆p str
B2
23