Współczynniki pojemności

napisał Michał Wierzbicki
Współczynniki pojemności
Rozważmy układ N przewodników. Powierzchnia każdego z nich jest powierzchnią ekwipotencjalną: ϕi = const, i = 1, 2, . . . , N. W obszarze między przewodnikami obowiązuje
równanie Laplace’a ∆ϕ = 0.
q2,ϕ 2
q1,ϕ1
ϕ=0
q3,ϕ3
Ładunek qi zgromadzony na każdym z przewodników można obliczyć stosując prawo
Gaussa:
I
qi
=
E~i · d S~i
(1)
0
Si
gdzie Si jest powierzchnią przewodnika. Pole elektryczne na powierzchni i-tego przewodnika jest równe gradientowi potencjału:
E~i = −∇ϕ|Si
(2)
Równanie Laplace’a jest równaniem liniowym, to znaczy suma rozwiązań też jest rozwiązaniem. Rozwiązanie równania Laplace’a w obszarze między przewodnikami jest
liniową funkcją warunków brzegowych, czyli wartości zadanych potencjałów ϕi na powierzchniach przewodników. Aby to uzasadnić, załóżmy, że tylko jeden z przewodników
ma potencjał różny od zera: ϕ1 6= 0. Jeśli zwiększymy wartość potencjału ϕ1 dwa razy
to rozwiązanie równania Laplace’a także trzeba pomnożyć przez 2. Potencjał elektrostatyczny między przewodnikami jest więc liniową funkcją warunku brzegowego ϕ1 .
Rozwiązanie równania Laplace’a dla przypadku, gdy wszystkie potencjały na przewodnikach są różne od zera jest sumą rozwiązań dla ϕ1 6= 0, ϕ2 6= 0, itd.
Na podstawie równań (1) i (2) wnioskujemy, że wartości ładunków qi zgromadzonych na przewodnikach są liniowymi funkcjami potencjałów ϕi na tych przewodnikach,
przy czym na ładunek i-ty mają wpływ wartości potencjałów na wszystkich przewodnikach. Zapisujemy to w postaci układu równań liniowych:
1
qi =
N
X
ci j ϕ j ,
i = 1, 2, . . . , N
(3)
j=1
gdzie ci j są współczynnikami pojemności układu N przewodników. Dla trzech przewodników układ równań (3) zapisany w formie macierzowej ma postać:
  
  
q1  c11 c12 c13  ϕ1 
q2  = c21 c22 c23  · ϕ2 
(4)
  
  
q3
c31 c32 c33 ϕ3
Macierz współczyników pojemności ci j jest macierzą symetryczną, to znaczy:
ci j = c ji
(5)
podobnie jak współczynniki indukcyjności wzajemnej obwodów z prądem w magnetyzmie. Zazwyczaj ścisły dowód tego faktu jest pomijany w podręcznikach. Wymaga on
zastosowania tak zwanej funkcji Greena dla równania Laplace’a1 .
Energia elektrostatyczna zgromadzona w układzie N naładowanych przewodników
wynosi
1X
qi ϕ i > 0
W=
2 i=1
N
(6)
Jest ona zawsze większa od zera. Aby rozseparować ładunki i rozmieścić je na powierzchniach przewodników trzeba wykonać pracę nad układem. Korzystając z równania
(3) możemy zapisać wzór na W w postaci zwanej w algebrze formą kwadratową:
N
1X
W=
ci j ϕi ϕ j > 0
2 i, j=1
(7)
Dla przykładu N = 3, uwzględniając symetrię współczynników pojemności, mamy
1
c11 ϕ21 + c22 ϕ22 + c33 ϕ23 + c12 ϕ1 ϕ2 + c23 ϕ2 ϕ3 + c31 ϕ3 ϕ1
(8)
2
Dla każdego ϕi : W > 0. W algebrze mówimy, że forma W jest dodatnio określona. Zakładając, że tylko jeden z potencjałów przewodników ϕi jest różny od zera, na podstawie
równania (7) otrzymujemy wniosek:
W=
cii > 0 ,
i = 1, 2, . . . , N
(9)
Elementy diagonalne macierzy współczynników pojemności są większe od zera.
1
M. Uehara, ”Green’s functions and coefficients of capacitance”, Am. J. Phys. 54 (1986) 184.
V. Lorentzo and B. Carrascal, ”Green’s functions and symmetry of the coefficients of a capacitance
matrix”, Am. J. Phys. 56 (1988) 565.
2
---
1 ++ +
+
+
++ +
-
2
- --
Aby znaleźć związek między współczynnikami pojemności, a wzorem na pojemność
kondensatora z elektrotechniki załóżmy, że mamy dwa przewodniki N = 2 (dwie okładki kondensatora) oraz że wszystkie linie sił pola elektrycznego wychodzące z pierwszego
przewodnika kończą się na drugim. Fizycznie oznacza to, że pole elektryczne nie ucieka
na zewnątrz kondensatora. Linie pola elektrycznego wychodzą z ładunków zgromadzonych na okładce nr 1 i kończą się na okładce nr 2. Stąd: q1 = −q2 = q, gdzie q jest
ładunkiem na okładce kondensatora. Ponieważ potencjał elektrostatyczny jest określony
z dokładnością do stałej, przyjmijmy ϕ2 = 0 (przewodnik nr 2 jest uziemiony). Układ
równań (3) dla N = 2 wynosi:



q1 = c11 ϕ1 + c12 ϕ2
(10)


q2 = c21 ϕ1 + c22 ϕ2
Podstawiając q1 = −q2 = q oraz ϕ1 = ϕ otrzymujemy
q = C11 ϕ ,
−q = C21 ϕ
(11)
Jak widać C11 = −C21 = C, gdzie C = q/ϕ jest pojemnością kondensatora. W ogólnym
przypadku, układowi więcej niż dwóch przewodników na ogół nie da się przypisać jednego parametru C. Można natomiast próbować przedstawić go jako sieć kondensatorów
o pojemnościach Ci j łączących pary przewodników i i j, gdzie i 6= j. Jest to możliwe,
jeśli nałoży się na układ N dodatkowych warunków 2 . W elektrotechnice pojemności Ci j
nazywa się „pojemnościami pasożytniczymi”. Oznaczają one nieporządane sprzężenia
pojemnościowe między różnymi częsciami układu. Dla skomplikowanych geometrycznie układów przewodników macierz pojemności ci j można obliczyć numerycznie za pomocą darmowego programu3 FastCap, napisanego w Research Laboratory Electronics
na amerykańskiej politechnice MIT (Massachusetts Institute of Technology).
Liczba niezależnych współczynników pojemności ci j wynosi N(N +1)/2. Natomiast liczba możliwych
połączeń między przewodnikami wynosi N(N − 1)/2. Dla przykładu z N = 2 mieliśmy dwa warunki:
ϕ2 = 0 i q2 = −q1 .
3
http://www.rle.mit.edu/cpg/research codes.htm
2
3
Pojemność linii dwuprzewodowej z uwzględnieniem uziemienia
Dwa przewody o promieniu a i odległości wzajemnej d znajdują się na wysokości h nad
przewodzącą płaszczyzną (uziemieniem). Przewody są naładowane liniową gęstością ładunku λ1 i λ2 .
λ1
d
λ2
h
h
h
h
-λ2
-λ1
Jak wynika z elementarnego zastosowania prawa Gaussa potencjał pojedynczego przewodu wynosi
λ
ln r
(12)
2π 0
gdzie r jest odległością od osi przewodu, λ gęstością liniową ładunku. Z elementarnej
elektrostatyki wiadomo, że pole elektrostatyczne pochodzące od rozkładu ładunku indukowanego na przewodzącej płaszczyznie można zastąpić polem elektrostatycznym
dwóch fikcyjnych obrazów ładunków o przeciwnych znakach −λ1 i −λ2 leżących poniżej płaszczyzny w odległości −h. Potencjał elektrostatyczny na powierzchni przewodu
nr 1 jest więc sumą potencjałów od czterech ładunków ±λ1 , ±λ2 :
ϕ=−
λ1
(−λ1 )
λ2
(−λ2 ) √ 2
ln a −
ln 2h −
ln d −
ln d + 4h2
(13)
2π 0
2π 0
2π 0
2π 0
przy założeniu, że promień przewodu a jest bardzo mały w porównaniu z d i h. Podobnie,
potencjał na powierzchni przewodu nr 2 wynosi
ϕ1 = −
λ2
(−λ2 )
λ1
(−λ1 ) √ 2
ln a −
ln 2h −
ln d −
ln d + 4h2
2π 0
2π 0
2π 0
2π 0
Równania (13) i (14) można zapisać w postaci układu równań:



ϕ1 = α11 λ1 + α12 λ2


ϕ2 = α21 λ1 + α22 λ2
ϕ2 = −
(14)
(15)
gdzie
2h
1
ln
,
α11 = α22 = A =
2π 0
a
√
1
d 2 + 4h2
α12 = α21 = B =
ln
2π 0
d
4
(16)
Współczynniki pojemności układu otrzymamy odwracając układ równań (15)



λ1 = c11 ϕ1 + c12 ϕ2


λ2 = c21 ϕ1 + c22 ϕ2
(17)
gdzie
A
−B
, c12 = c21 = 2
(18)
2
−B
A − B2
Niech promień przewodów wynosi a = 0,5 mm, odległość między nimi d = 2 cm,
odległość od uziemienia h = 5 cm. W układzie SI za jednostkę√pojemności możemy
przyjąć: C0 = 2π 0 = 56 pF/m. Ponieważ: ln(2h/a) = ln 100, ln( d 2 + 4h2 /d) = ln 51,
więc: c11 = 0,8011 C0 , c12 = −0,6840 C0 .
c11 = c22 =
A2
C12
1
C13
2
C23
3
3
Z punktu widzenia elektrotechniki linię dwuprzewodową z przewodzącą płaszczyzną
można potraktować jako połączenie trzech kondensatorów o pojemności: C12 , C13 i C23 ,
gdzie indeks 3 odnosi się do uziemionej płaszczyzny4 . Stosując definicję pojemności
kondensatora z elektrotechniki, układ równań (17) można zapisać jako



λ1 = C13 (ϕ1 − 0) + C12 (ϕ1 − ϕ2 )
(19)


λ2 = C23 (ϕ2 − 0) + C12 (ϕ2 − ϕ1 )
gdzie C12 = −c12 = 0,6840 C0 , C13 = C23 = c11 + c12 = 0,1171 C0 . Zgodnie ze wzorami
z elektrotechniki na pojemność układu kondensatorów, pojemność danej linii dwuprzewodowej z uwzględnieniem uziemienia wynosi:
C = C12 +
C13 C23
= 0,6872 C0 = 38,5 pF/m
C13 + C23
(20)
Wymagane trzy warunki to: ϕ3 = 0 (uziemienie), λ2 = −λ1 (linia obojętna elektrycznie), λ3 =
−(λ1 + λ2 ) (suma ładunków obrazów).
4
5