labwm08 - Politechnika Białostocka

Politechnika Białostocka
Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska
INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Temat ćwiczenia:
Doświadczalne sprawdzenie zasady „superpozycji”
Numer ćwiczenia:
8
Laboratorium z przedmiotu: wytrzymałość materiałów
Opracowanie:
dr inż. Jarosław Malesza
Katedra Mechaniki Konstrukcji
2011
1 Wprowadzenie
Zasada superpozycji, tzn zasada niezależności działania obciążeń mówi, iż skutek
jednoczesnego działania wielu obciążeń na układ (konstrukcję) jest prostą sumą skutków
działania każdego z obciążeń z osobna.
Przykładem obowiązywania zasady superpozycji jest ugięcie pręta konstrukcji pod
wpływem przyłożenia różnych obciążeń, dla którego ugięcie całkowite jest sumą ugięć od
poszczególnych obciążeń przyłożonych osobno.
Ugięciem belki w danym przekroju nazywamy przesunięcie środka ciężkości tego
przekroju w kierunku prostopadłym do osi belki. Największe ugięcie nazywamy strzałką
ugięcia i oznaczamy przez f .
Jeśli założymy układ współrzędnych xy jak na rysunku wówczas równanie y = f (x)
będziemy nazywali równaniem linii ugięcia.
Rys.1. Schemat ugięcia belki
Każdemu ugięciu towarzyszy powstanie krzywizny wygiętej belki, która jest opisana
równaniem różniczkowym:
M (x )
d2y
=± 2
E⋅J
dx
lub
d2 y
E⋅J⋅ 2 =M (x )
dx
Na podstawie powyższego równania możemy wyznaczyć ugięcie w dowolnym punkcie
belki. Po jednokrotnym scałkowaniu otrzymujemy:
L
dy
E⋅J⋅ =∫ M ( x )dx +C
dx
Z powyższego równania można ustalić kąt nachylenia stycznej do ugiętej osi belki:
Θ=
dy
dx
Po powtórnym scałkowaniu otrzymamy równanie linii ugięcia:
L
E⋅J⋅y (x )=∫
L
∫
M (x ) dxdx + Cx +D
Występujące we wzorach stałe całkowania C i D należy ustalać z warunków
brzegowych lub warunków ciągłości linii ugięcia. Często obciążenie występujące na belce
dzieli ją na odcinki w ten sposób, że moment zginający jest opisany innym równaniem na
każdym odcinku. Z rozwiązania równań różniczkowych otrzymujemy wówczas dwa razy
więcej stałych niż jest przedziałów całkowania. Obliczenie stałych wymaga rozwiązania
szeregu równań liniowych.
W metodzie Clebscha uproszczono sposób wyznaczania stałych całkowania oraz
zmniejszono ich liczbę do dwóch niezależnie od ilości przedziałów całkowania. Są one
ustalane jedynie z warunków brzegowych, tzn założenia nieodkształcalności podpór, czyli
np. dla belki swobodnie podpartej o rozpiętości l mamy w miejscu x = 0 oraz x = L ugięcie
y = 0.
Chcąc wyznaczać ugięcia metodą Clebscha musimy spełnić następujące założenia:
1. układ osi współrzędnych ma początek w jednym z końców belki, tzn że równania
momentów zginających są pisane względem jednego punktu oraz w równaniu
kolejnego odcinka belki znajdują się wszystkie składniki równania poprzednich
odcinków,
2. jeśli obciążeniem są siły skupione to całkowanie wyrażenia (x−ai) daje rozwiązanie
w postaci:
n
∫ (x −a i ) dx =
(x −a i )n+1
n +1
+C
3. gdy w przekroju określonym współrzędną ai działa moment M należy wprowadzić
w równaniu momentów wyrażenie M · (x − ai)0 i całkować jak wyżej
4. w przypadku obciążenia ciągłego rozłożonego tylko na pewnym fragmencie belki
należy je doprowadzić do końca, dodając na tym odcinku równoważne obciążenie
o zwrocie przeciwnym:
Rys.2. Zastępczy schemat obciążenia ciągłego w metodzie Clebscha
2 Cel ćwiczenia laboratoryjnego
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ugięcia belki wspornikowej w różnych
wariantach obciążenia oraz jego doświadczalna weryfikacja.
3 Przebieg ćwiczenia
3.1 Ustalenie ugięcia belki
Belkę wspornikową o przekroju poprzecznym b × h i rozpiętości L obciążamy siłą skupioną
P zgodnie z rysunkiem.
Rys.3. Schemat obciążenia belki wspornikowej
Jeśli a > 0 to w przedziale od 0 do L − a moment zginający jest opisany równaniem:
M (x )=−P⋅(L−a−x )=P⋅(x + a−L)
Zatem równanie krzywizny ugiętej belki ma postać:
d2 y
E⋅J⋅ 2 =M (x )=P⋅( x +a−L )
dx
Pierwsza pochodna ma postać:
d2 y P
E⋅J⋅ 2 = ⋅( x +a−L )2 +C
2
dx
a ugięcie w dowolnym przekroju belki policzymy z zależności:
P
E⋅J⋅y ( x )= ⋅(x +a−L)3 +C⋅x +D
6
Stałe całkowania C i D należy ustalić z warunków brzegowych:
1. kąt obrotu w miejscu utwierdzenia jest równy zero: x = 0,
dy
=0 stąd uzyskamy:
dx
P
C=− ⋅(a −L)2
2
2. ugięcie w miejscu utwierdzenia jest równe zero: x = 0, y(x) = 0, stąd uzyskamy:
P
D=− ⋅(a−L )3
6
Ostatecznie równanie ugięcia przyjmuje postać:
y (x )=
[
1 P
P
P
⋅ ⋅(x +a−L)3 − ⋅x⋅( a−L)2 − ⋅(a−L)3
E⋅J 6
2
6
]
Sprawdzenia formuły możemy dokonać przyjmując obciążenie na końcu wspornika
i wyznaczając ugięcie w przekroju pod siłą.
W tym przypadku a = 0, a przekrój jest oddalony od zamocowania o x = L, a więc:
y (x =L)=
[
]
1
P
P
P⋅L 3
⋅ 0 − ⋅L3 − ⋅L3 =−
E⋅J
2
6
3⋅E⋅J
Jeśli a > 0 to w przedziale od L − a do L moment zginający pozostaje równy 0.
Stosując powyższą zależność możemy wyznaczyć ugięcie w dowolnym przekroju belki
przy dowolnym ustawieniu obciążenia.
Drugim obciążeniem jest ciężar własny belki. Przyjmując schemat obciążenia
równomiernie rozłożonego na długości belki wyprowadzamy zależność na jej ugięcie.
Całkowite ugięcie belki jest równe sumie ugięć od ciężaru własnego i obciążenia
skupionego.
3.2 Pomiar ugięcia
Przed pomiarem należy:
1. zmierzyć długość belki L ,
2. zmierzyć wymiary przekroju poprzecznego b × h,
3. ustawić czujniki do pomiaru ugięć yi w dwóch różnych przekrojach belki
4. ustalić obciążenie belki P ,
5. ustalić miejsce przyłożenia obciążenia a,
Podczas badania należy:
1. podeprzeć belkę w taki sposób, aby na całej długości pozostawała poziomo do
podstawy stanowiska
2. wyzerować czujniki
3. zwolnić podparcie belki i zmierzyć ugięcie od ciężaru własnego w dwóch
przekrojach
4. ustawić ciężarek imitujący obciążenie skupione,
5. odczytać ugięcia belki we wcześniej założonych przekrojach,
6. zmienić miejsce ustawienia ciężarka i ponownie odczytać ugięcia w tych samych
przekrojach
4 Wymagania BHP
Stanowisko do badań nie jest podłączone do prądu elektrycznego i nie posiada
elementów niebezpiecznych. Może być w całości obsługiwane przez studentów pod
nadzorem osoby prowadzącej zajęcia lub pracownika laboratorium.
Politechnika Białostocka
Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska
SPRAWOZDANIE Z ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Temat ćwiczenia:
Doświadczalne sprawdzenie zasady „superpozycji”
Numer ćwiczenia:
8
imię i nazwisko studenta: …...............................................................
rodzaj studiów: …...............................................................................
kierunek: …........................................................................................
specjalność: …...................................................................................
semestr: …....................................
grupa: ….......................................
prowadzący ćwiczenia: dr inż. Jarosław Malesza
...........................................
(data wykonania ćwiczenia)
1. Wymiary i obciążenie belki
- długość:
L=
[mm]
- wymiary przekroju poprzecznego:
bxh=
[mm]
- moment bezwładności:
[mm4]
J=
- obciążenie belki:
P=
[N]
2. Wyznaczenie ugięcia belki
2.1. schemat 1a – obciążenie skupione w miejscu x1
•
miejsce przyłożenia obciążenia: a = 0 [mm]
•
ugięcie w przekroju 1:
x1 =
y(x1) =
[mm]
•
ugięcie w przekroju 2:
x2 =
y(x2) =
[mm]
2.2. schemat 1b – obciążenie ciężarem własnym
•
ugięcie w przekroju 1:
x1 =
y(x1) =
[mm]
•
ugięcie w przekroju 2:
x2 =
y(x2) =
[mm]
Całkowite ugięcie belki (schemat 1):
w miejscu x1 : y1 =
w miejscu x2 : y2 =
2.3. schemat 2a – obciążenie skupione w miejscu x2
•
miejsce przyłożenia obciążenia: a=
•
ugięcie w przekroju 1:
[mm]
x1 =
y(x1) =
[mm]
•
ugięcie w przekroju 2:
x2 =
y(x2) =
[mm]
2.4. schemat 2b – obciążenie ciężarem własnym (jak wyżej)
•
ugięcie w przekroju 1:
y(x1) =
•
ugięcie w przekroju 2:
y(x2) =
x1 =
[mm]
x2 =
[mm]
Całkowite ugięcie belki (schemat 2):
w miejscu x1 : y1 =
w miejscu x2 : y2 =
3. Pomiar ugięcia belki
Schemat 1a:
y(x1)=
[mm]
y(x2) =
[mm]
Schemat 2a:
y(x1) =
[mm]
y(x2) =
[mm]
Schemat 1b (2b):
y(x1)=
[mm]
y(x2) =
[mm]
Całkowite ugięcie belki (schemat 1):
w miejscu x1 : y1 =
w miejscu x2 : y2 =
Całkowite ugięcie belki (schemat 2):
w miejscu x1 : y1 =
w miejscu x2 : y2 =