Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Wykªad 3
Elementy geometrii analitycznej w
przestrzeni
W wykªadzie tym wi¦kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj¦¢, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad nie posiada, przynajmniej na pocz¡tku, charakteru formalnego wykªadu matematycznego. Zakªadamy, »e
Czytelnik zna, a przynajmniej rozumie intuicyjnie, takie poj¦cia geometryczne jak: punkt,
odcinek, wektor, prosta i pªaszczyzna w trójwymiarowej przestrzeni.
3.1. Wektory
Denicja 1. Przestrzeni¡ euklidesow¡ R3 nazywamy zbiór wszystkich uporz¡dkowa-
nych trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych
R3 := {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} .
W przestrzeni R3 rozwa»amy trzy rodzaje obiektów:
• Punkty . Do oznaczania punktów u»ywamy wielkich liter alfabetu: A, B, C, P, Q.
Zapis A = (x, y, z) oznacza, »e punkt A ma wspóªrz¦dne x, y, z .
• Wektory zaczepione . Je±li dane s¡ punkty A = (xa , ya , za ) oraz B = (xb , yb , zb ),
~ jest wektorem zaczepionym w punkcie A (tzn. o pocz¡tku w punkcie
to wektor AB
~ liczymy wedªug wzoru
A) i o ko«cu w punkcie B . Wspóªrz¦dne wektora AB
~ := [xb − xa , yb − ya , zb − za ] .
AB
Wektorem zaczepionym jest wi¦c uporz¡dkowana para punktów, z których jeden jest
pocz¡tkiem a drugi ko«cem tego wektora. Nale»y jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e dowolny
~ , czyli o pocz¡tku i ko«cu w tym samym punkcie nazywamy
wektor postaci AA
wektorem zerowym i oznaczamy ~0. Oczywi±cie
~0 := [0, 0, 0] .
• Wektory swobodne . Ich okre±lenie podamy nieco pó¹niej.
1
Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Denicja 2. Niech dane b¦d¡ dwa punkty A = (xa , ya , za ) oraz B = (xb , yb , zb ). Dªu~ nazywamy dªugo±¢ odcinka AB
¯ . Dªugo±¢ wektora AB
~ oznaczamy
go±ci¡ wektora AB
~ . Mamy wi¦c, »e
symbolem ||AB||
q
~
||AB|| := (xb − xa )2 + (yb − ya )2 + (zb − za )2 .
~ i P~Q maj¡ ten sam kierunek
Denicja 3. Mówimy, »e dwa wektory niezerowe AB
~ nazywamy ten z dwu zwrotów
je±li proste AB i P Q s¡ równolegªe. Zwrotem wektora AB
prostej AB w którym punkt A poprzedza punkt B .
Mo»emy teraz poda¢ wzgl¦dnie ±cisªe okre±lenie wektora swobodnego.
Denicja 4. Wektorem swobodnym, dokªadniej wektorem swobodnym wyznaczonym
~ , nazywamy zbiór wszystkich wektorów zaczepionych,
przez pewien wektor zaczepiony AB
~ . Je±li rozwa»amy jaki± wektor swobodktóre maj¡ ten sam zwrot, kierunek i dªugo±¢ co AB
ny, to na ogóª uto»samiamy go, na zasadzie abstrakcji, z konkretnym, dowolnie wybranym
reprezentantem tego zbioru. Wektory swobodne oznaczamy symbolami ~a, ~u, ~v itd.
Denicja 5. Mówimy, »e punkty A, B, C s¡ wspóªliniowe, gdy istnieje prosta k , »e
A, B, C ∈ k . Mówimy, »e punkty K, L, M, N s¡ wspóªpªaszczyznowe, je±li istnieje pªaszczyzna π , »e K, L, M, N ∈ π .
Denicja 6. Mówimy, »e wektory niezerowe ~u, ~v s¡ równolegªe, co zapisujemy ~u k ~v ,
gdy maj¡ te same kierunki. Przyjmujemy dodatkowo, »e wektor zerowy jest równolegªy do
ka»dego innego wektora.
Wªasno±¢ 1. Niech dane b¦d¡ wektory ~u, ~v . Wówczas ~u k ~v wtedy i tylko wtedy, gdy
istniej¡ takie liczby rzeczywiste α, β , »e α~u + β~v = ~0.
Denicja 7. Niech dane b¦d¡ wektory ~u1 = [x1 , y1 , z1 ] , ~u2 = [x2 , y2 , z2 ] oraz liczba rzeczywista α.
Sum¡ wektorów ~u1 i ~u2 nazywamy wektor ~u1 + ~u2 okre±lony jako:
~u1 + ~u2 := [x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ].
Ró»nic¡ wektorów ~u1 i ~u2 nazywamy wektor ~u1 − ~u2 okre±lony jako:
~u1 − ~u2 := [x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ].
Iloczynem wektora ~u przez liczb¦ α nazywamy wektor α · ~u1 okre±lony jako:
α · ~u1 := [α · x1 , α · y1 , α · z1 ].
Twierdzenie 1 (Wªasno±ci dziaªa« na wektorach). Niech dane b¦d¡ wektory ~u, ~v , w
~
oraz liczby α, β . Wtedy:
1. ~u + ~v = ~v + ~u (dodawanie wektorów jest przemienne),
2. ~u + (~v + w)
~ = (~v + ~u) + w
~ (dodawanie wektorów jest ª¡czne),
3. ~u + ~0 = ~u (wektor zerowy ~0 jest elementem neutralnym dodawania),
Aktualizacja: 17 listopada 2008
2
Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
4. ~u + −~u = ~0 (wektor przeciwny −~u jest elementem przeciwnym do elementu ~u),
5. 1 · ~u = ~u,
6. (αβ) · ~u = α · (β · ~u),
7. (α + β) · ~u = α · ~u + β · ~u,
8. α · (~u + ~v ) = α · ~u + α · ~v .
Wªasno±¢ 2. Dªugo±¢ wektora ~u = [x, y, z] wynosi
||~u|| =
p
x2 + y 2 + z 2 .
Twierdzenie 2 (Wªasno±ci dªugo±ci wektorów). Niech dane b¦d¡ wektory ~u, ~v oraz
liczba α. Wtedy:
1. ||~u|| ≥ 0 oraz ||~u|| = 0 ⇔ ~u = ~0,
2. ||α~u|| = |α| · ||~u||,
3. ||~u + ~v || ≤ ||~u|| + ||~v ||,
4. |||~u|| − ||~v ||| ≤ ||~u − ~v ||.
Denicja 8. Ukªadem wspóªrz¦dnych nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinaj¡ce si¦ w jednym punkcie O = (0, 0, 0), które s¡ wzajemnie prostopadªe. Taki ukªad
wspóªrz¦dnych oznaczamy przez Oxyz . Proste Ox, Oy , Oz nazywamy osiami ukªadu. W
zale»no±ci od wzajemnego poªo»enia osi Ox, Oy , Oz wyró»niamy dwie jego orientacje:
ukªad prawoskr¦tny (rys. 3.1) i ukªad lewoskr¦tny (rys. 3.2).
z
k
i
j
y
x
Rysunek 3.1 Ukªad prawoskr¦tny.
Denicja 9. Wektory ~i = [1, 0, 0], ~j = [0, 1, 0], ~k = [0, 0, 1] nazywamy wersorami odpowiednio osi Ox, Oy , Oz .
Aktualizacja: 17 listopada 2008
3
Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
z
k
j
i
x
y
Rysunek 3.2 Ukªad lewoskr¦tny.
Denicja 10. Niech dane b¦d¡ wektory ~u, ~v . Iloczynem skalarnym wektorów ~u i ~v
nazywamy liczb¦ ~u ◦ ~v okre±lon¡ wzorem:
~u ◦ ~v = ||~u|| · ||~v || · cos φ,
gdzie φ jest k¡tem mi¦dzy wektorami ~u i ~v (rys. 3.3).
z
u
Á
v
y
x
Rysunek 3.3 K¡t mi¦dzy dwoma wektorami.
Wªasno±¢ 3 (Wzór na obliczanie iloczynu skalarnego). Niech ~u1 = [x1 , y1 , z1 ] oraz
~u2 = [x2 , y2 , z2 ]. Wtedy
~u1 ◦ ~u2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
Twierdzenie 3 (Wªasno±ci iloczynu skalarnego). Niech dane b¦d¡ wektory ~u, ~v , w
~
oraz liczba α. Wtedy:
1. ~u ◦ ~v = ~v ◦ ~u,
Aktualizacja: 17 listopada 2008
4
Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
2. (α~u) ◦ ~v = α (~u ◦ ~v ),
3. ~u ◦ ~u = ||~u||2 ,
4. (~u + ~v ) ◦ w
~ = ~u ◦ w
~ + ~v ◦ w
~,
5. |~u ◦ ~v | ≤ ||~u|| · ||~v ||, przy czym równo±¢ zachodzi ⇔ ~u k ~v ,
6. ~u ⊥ ~v ⇔ ~u ◦ ~v = 0.
Denicja 11. Niech ~u = [x1 , y1 , z1 ], ~v = [x2 , y2 , z2 ] oraz w
~ = [x3 , y3 , z3 ]. Mówimy, »e
trójka wektorów (~u, ~v , w)
~ tworzy ukªad o orientacji zgodnej z orientacj¡ ukªadu
wspóªrz¦dnych, je»eli
¯
¯
¯ x1 y 1 z 1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ x2 y2 z2 ¯ > 0.
¯
¯
¯ x3 y 2 z 3 ¯
W przypadku, gdy powy»szy wyznacznik jest ujemny, to mówimy, »e wektory ~u, ~v , w
~ tworz¡
ukªad o orientacji przeciwnej do orientacji ukªadu wspóªrz¦dnych.
Denicja 12. Niech ~u i ~v b¦d¡ wektorami nierównolegªymi. Iloczynem wektorowym
uporz¡dkowanej pary wektorów ~u i ~v w ukªadzie wspóªrz¦dnych Oxyz nazywamy wektor
w
~ = ~u × ~v speªniaj¡cy warunki
1. w
~ jest prostopadªy do ka»dego z wektorów ~u i ~v (czyli jest prostopadªy do pªaszczyzny
rozpi¦tej na tych wektorach),
2.
||w||
~ = ||~u|| · ||~v || · sin φ,
gdzie φ jest k¡tem mi¦dzy wektorami ~u i ~v ,
3. orientacja trójki wektorów ~u, ~v , w
~ jest zgodna z orientacj¡ ukªadu Oxyz .
Je±li ~u k ~v (w szczególno±ci, je±li jeden z nich jest wektorem zerowym), to przyjmujemy,
»e ~u × ~v = ~0.
Uwaga 1. W ukªadzie prawoskr¦tnym zwrot iloczynu wektorowego ~u × ~v okre±la si¦ za
pomoc¡ tzw. reguªy prawej dªoni. Je±li w ukªadzie wspóªrz¦dnych umie±cimy praw¡ dªo«
tak, aby zgi¦te palce wskazywaªy kierunek obrotu od wektora ~u do wektora ~v , to wyprostowany kciuk b¦dzie nam wskazywaª zwrot wektora ~u × ~v . W ukªadzie lewoskr¦tnym obowi¡zuje
analogiczna reguªa lewej dªoni.
Wªasno±¢ 4 (Wzór na obliczanie iloczynu wektorowego). Je±li ~u = [x1 , y1 , z1 ], oraz
~v = [x2 , y2 , z2 ], to
¯
¯
¯
¯
~u × ~v = ¯
¯
¯
~i
~j
x1 y 1
x2 y 2
¯
~k ¯
¯
¯
z1 ¯ ,
¯
z2 ¯
przy czym przy obliczaniu powy»szego wyznacznika wersory ~i,~j, ~k nale»y traktowa¢ jak
liczby.
Aktualizacja: 17 listopada 2008
5
Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Twierdzenie 4 (Wªasno±ci iloczynu wektorowego). Niech dane b¦d¡ wektory ~u, ~v ,
w
~ oraz liczba α. Wtedy:
1. ~u × ~v = −(~v × ~u),
2. (α~u) × ~v = ~u × (α~v ) = α(~u × ~v ),
3. (~u + ~v ) × w
~ = ~u × w
~ + ~v × w
~,
4. ~u × (~v + w)
~ = ~u × ~v + ~u × w
~,
5. ||~u × ~v || ≤ ||~u|| · ||~v ||, przy czym równo±¢ zachodzi ⇔ ~u ⊥ ~v ,
6. ~u k ~v ⇔ ~u × ~v = 0.
Wªasno±¢ 5. Dªugo±¢ iloczynu wektorowego ~u × ~v równa jest polu równolegªoboku rozpi¦tego na wektorach ~u i ~v (rys. 3.4).
z
w
v
Á
y
u
x
Rysunek 3.4 Iloczyn wektorowy w
~ = ~u × ~v .
Denicja 13. Iloczynem mieszanym uporz¡dkowanej trójki wektorów ~u, ~v , w
~ nazywamy liczb¦
(~u, ~v , w)
~ := (~u × ~v ) ◦ w.
~
Wªasno±¢ 6 (Wzór na obliczanie iloczynu
(x2 , y2 , z2 ) oraz w
~ = (x3 , y3 , z3 ), to
¯
¯ x1
¯
¯
(~u, ~v , w)
~ = ¯ x2
¯
¯ x3
mieszanego). Je±li ~u = (x1 , y1 , z1 ), ~v =
¯
y1 z1 ¯¯
¯
y2 z2 ¯ .
¯
y3 z3 ¯
Twierdzenie 5 (Wªasno±ci iloczynu mieszanego). Niech dane b¦d¡ wektory ~u, ~v , w
~,
~r oraz liczba α. Wtedy:
Aktualizacja: 17 listopada 2008
6
Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
1. (~u, ~v , w)
~ = (~v , w,
~ ~u) = (w,
~ ~u, ~v ),
2. (~u, ~v , w)
~ = −(~v , ~u, w)
~ ,
3. (~u + ~r, ~v , w)
~ = (~u, ~v , w)
~ + (~r, ~v , w)
~ ,
4. (α~u, ~v , w)
~ = α(~u, ~v , w)
~ ,
5. wektory ~u, ~v , w
~ le»¡ w jednej pªaszczy¹nie ⇔ (~u, ~v , w)
~ =0
6. |(~u, ~v , w)|
~ ≤ ||~u||·||~v ||·||w||
~ , przy czym równo±¢ zachodzi ⇔ wektory te s¡ wzajemnie
prostopadªe.
Wªasno±¢ 7. Warto±¢ bezwzgl¦dna iloczynu mieszanego trójki wektorów ~u, ~v , w
~ jest równa
obj¦to±ci równolegªo±cianu rozpi¦tego na tych wektorach.
z
w
v
y
u
x
Rysunek 3.5 Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów = ~u, ~v , w
~.
3.2. Równania pªaszczyzny
Twierdzenie 6. Niech dany b¦dzie pewien niezerowy wektor ~n = [A, B, C] oraz punkt
P0 = (x0 , y0 , z0 ). Wówczas równanie pªaszczyzny π przechodz¡cej przez punkt P0 i prostopadªej do wektora ~n jest postaci:
π : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.
(3.1)
Dowolny punkt P nale»y do pªaszczyzny π wtedy i tylko wtedy, gdy jego wspóªrz¦dne speªniaj¡ równanie (3.1).
Równanie (3.1) nazywa si¦ równaniem normalnym pªaszczyzny π , za± wektor ~n wektorem normalnym tej pªaszczyzny.
Aktualizacja: 17 listopada 2008
7
Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wªasno±¢ 8. Ka»de równanie postaci
Ax + By + Cz + D = 0,
gdzie A2 + B 2 + C 2 > 0 tzn. A, B, C nie s¡ jednocze±nie zerami przedstawia pªaszczyzn¦.
Twierdzenie 7. Niech dany b¦dzie pewien punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) oraz wektory ~u =
[a1 , b1 , c1 ], ~v = [a2 , b2 , c2 ] nierównolegªe. Wówczas pªaszczyzna π równolegªa do wektorów
~u, ~v i przechodz¡ca przez punkt P0 mo»e by¢ opisana za pomoc¡ zale»no±ci


 x = x0 + sa1 + ta2 ,
π=
(3.2)
y = y0 + sb1 + tb2 ,
s, t ∈ R.


z = z0 + sc1 + tc2
Równanie (3.2) nazywa si¦ równaniem parametrycznym pªaszczyzny .
Wªasno±¢ 9. Równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez trzy niewspóªliniowe punkty P1 =
(x1 , y1 , z1 ), P2 = (x2 , y2 , z2 ), P3 = (x3 , y3 , z3 ), ma posta¢:
¯
¯
¯ x y z 1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ x1 y1 z1 1 ¯
¯
¯ = 0.
π:¯
¯
x
y
z
1
¯ 2 2 2
¯
¯
¯
¯ x3 y3 z3 1 ¯
Denicja 14. Niech l b¦dzie kraw¦dzi¡ (czyli prost¡ b¦d¡c¡ cz¦±ci¡ wspóln¡) dwu nierównolegªych pªaszczyzn π1 i π2 . Wówczas p¦kiem pªaszczyzn wyznaczonym przez te dwie
pªaszczyzny nazywamy zbiór wszystkich pªaszczyzn zawieraj¡cych kraw¦d¹ l.
Twierdzenie 8. Niech dane b¦d¡ dwie nierównolegªe pªaszczyzny π1 i π2 o równaniach
π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Wówczas, dowolna pªaszczyzna π nale»y do p¦ku pªaszczyzn wyznaczonego przez te pªaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy ma równanie
π : λ1 (A1 x + B1 y + C1 z + D1 )) + λ2 (A2 x + B2 y + C2 z + D1 ) = 0,
gdzie λ1 , λ2 s¡ pewnymi liczba rzeczywistymi nierównymi jednocze±nie zero.
3.3. Równania prostej
Twierdzenie 9. Równanie prostej l przechodz¡cej przez punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) równolegªej do wektora ~v = [a, b, c] jest postaci
l : (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + t[a, b, c],
lub równowa»nie
Aktualizacja: 17 listopada 2008


 x = x0 + at
l:
y = y0 + bt


z = z0 + ct
t∈R
t ∈ R,
(3.3)
8
Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Równanie (3.3) nazywa si¦ równaniem parametrycznym prostej.
Twierdzenie 10. Równanie prostej l przechodz¡cej przez punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) równolegªej do wektora ~v = [a, b, c], a, b, c 6= 0 jest postaci:
l:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
a
b
c
(3.4)
Równanie (3.4) nazywa si¦ kierunkowym równaniem prostej , wektor ~v wektorem
kierunkowym prostej , natomiast wspóªczynniki a, b, c wspóªczynnikami kierunkowymi prostej .
Niech dane b¦d¡ dwie nierównolegªe pªaszczyzny π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Wówczas cz¦±¢ wspólna obu pªaszczyzn jest oczywi±cie
prost¡, zatem jest ona opisana za pomoc¡ ukªadu
(
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
l:
(3.5)
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Równanie (3.5) nazywa si¦ równaniem kraw¦dziowym prostej l.
Wªasno±¢ 10. Wektor ~v kierunkowy prostej l (czyli wektor równolegªy do prostej l) o
równaniu kraw¦dziowym
(
l:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
jest postaci:
~v = [A1 , B1 , C1 ] × [A2 , B2 , C2 ].
3.4. Wzajemne poªo»enie punktów, prostych i pªaszczyzn
Denicja 15. Rzutem prostok¡tnym punktu P na pªaszczyzn¦ π nazywamy taki punkt
p0 tej pªaszczyzny, »e
PP0 ⊥ π
Wªasno±¢ 11 (Wzór na odlegªo±¢ punktu od pªaszczyzny). Odlegªo±¢ punktu P0 =
(x0 , y0 , z0 ) od pªaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyra»a si¦ wzorem
d(P0 , π) =
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
A2 + B 2 + C 2
Wªasno±¢ 12. Niech dane b¦d¡ dwie pªaszczyzny π1 , π2 o równaniach:
π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Wówczas:
(a)
π1 ⊥ π2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0,
Aktualizacja: 17 listopada 2008
9
Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
(b) π1 k π2 ⇔ wspóªczynniki A1 , B1 , C1 s¡ proporcjonalne do wspóªczynników A2 , B2 , C2 .
W szczególno±ci, gdy A2 , B2 , C2 6= 0, to
π1 k π2 ⇔
(c)
A1
B1
C1
=
=
,
A2
B2
C2
|A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 |
p
cos ](π1 , π2 ) = p 2
A1 + B12 + C12 · A22 + B22 + C22
o ile A21 + B12 + C12 > 0 i A22 + B22 + C22 > 0.
Wªasno±¢ 13 (Wzór na odlegªo±¢ mi¦dzy dwiema pªaszczyznami). Odlegªo±¢ mi¦-
dzy dwiema równolegªymi pªaszczyznami π1 , π2 o równaniach
π1 : Ax + By + C + D1 = 0,
wyra»a si¦ wzorem:
d(π1 , π2 ) = √
Aktualizacja: 17 listopada 2008
π2 : Ax + By + Cz + D2 = 0
|D1 − D2 |
.
A2 + B 2 + C 2
10
Skorowidz
dªugo±¢ wektora, 2
iloczyn
- mieszany trójki wektorów, 6
- skalarny pary wektorów, 4
- wektora przez liczb¦, 2
- wektorowy pary wektorów, 5
p¦k pªaszczyzn, 8
przestrze« euklidesowa, 1
punkt, 1
punkty
- wspóªpªaszczyznowe, 2
- wspóliniowe, 2
ró»nica
- wektorów, 2
równanie
- pªaszczyzny
normalne, 7
parametryczne, 8
- prostej
kierunkowe, 9
kraw¦dziowe, 9
parametryczne, 9
reguªa prawej dªoni, 5
rzut prostok¡tny, 9
- iloczynu wektorowego, 6
wektor
- kierunkowy prostej, 9
- swobodny, 1, 2
- zaczepiony, 1
- zerowy, 1
wektory
- maj¡ce ten sam kierunek, 2
- równolegªe, 2
wersory osi, 3
wspóªczynniki kierunkowe prostej, 9
wzór na obliczanie
- iloczynu mieszanego, 6
- iloczynu skalarnego, 4
- iloczynu wektorowego, 5
wzór na odlegªo±¢
- mi¦dzy dwiema pªaszczyznami, 10
- punktu od pªaszczyzny, 9
zwrot wektora, 2
suma
- wektorów, 2
ukªad wektorów o orientacji
- przeciwnej, 5
- zgodnej, 5
ukªad wspóªrz¦dnych, 3
- lewoskr¦tny, 3
- prawoskr¦tny, 3
wªasno±ci
- dªugo±ci wektorów, 3
- dziaªa« na wektorach, 2
- iloczynu skalarnego, 4
11