W4: Kręt a poziomy energetyczne

W4: Kręt a poziomy energetyczne
• cząstki naładowane mają momenty magnetyczne związane z krętem
⇒ stan atomu/ poz. energetyczne określone nie tylko przez oddz. El-stat,
ale teŜ magnetyczne związane z momentem pędu
→ częściowe zniesienie degeneracji pozostałej po oddz. El-stat.
• Kręt (operator→
σ ) charakteryzowany przez 2 obserwable:
r
σ =
j ( j + 1) h ,
σ z = m h,
− j ≤m≤ j
• Jakie kręty?
W atomie wiele momentów pędu podlegających regułom składania krętów
Np. dla pojedynczego elektronu:
kręt orbitalny l (⇐ z rozwiązania części kątowej r. Schr. (l=0, 1, ... n-1))
spin s=½ (efekt relatywistyczny – konsekwencja r. Diraca)
r r r
kręt wypadkowy j = l + s ,
j=l±s
l − s ≤ j ≤ l + s , j zmienia się co 1
− j ≤ mj ≤ j
(= 12 , 32 , 52 , 72 ,K)
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
1/16
wiele elektronów:
r
L =
r
J =
∑
∑
r
li
r
ji =
r
r
S = ∑ si
r
r r
r
l
+
s
=
L
+S
∑ i ∑ i
mL = ∑ml
i
mS = ∑ms
i
mJ = ∑mj
i
• całkowity kręt zamkniętych podpowłok = 0
r
r
bo: σ J = h J
mli przyjmuje wszystkie moŜliwe wart. od –l do l,
jest tyle samo elektronów z ms=-1/2 co z ms=+1/2,
σ z = h∑ ml + h∑ ms = 0
→
oś kwantyzacji jest dowolna ⇒ σ = 0
⇒ całkowity kręt określony wyłącznie przez niezamknięte podpowłoki
→
Np. 11Na: 1s22s22p63s ⇔ σ = ½ ħ
80Hg: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f145s25p65d106s2 ⇔5d106s2
( – ) 6s2
64
10
7
2
6
2
14
10
lantanowce, Gd: ...4d 4f 5s 5p 5d6s
[pełne: (4f )......(5d )]
⇒σ=0
• stany, którym do wypełnienia brakuje pewnej l. elektronów, są równowaŜne stanom
zawierającym tę właśnie liczbę (stany dla elektronów – takie same, jak dla dziur)
dla wypełnionej podpowłoki:
0


h ∑ ml + h ∑ ms = 
⇒ ∑e = − ∑d σ ze = −σ zd

i
i
∑ e + ∑ d 
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
r
r
σe = σd
2/16
Oddziaływanie spin-orbita:
• elektron w polu el.-statycznym o potencjale
• pola w układach:
V(r)
Vele(r) =
q
{R’} - związ. z porusz. się elektronem
{R} - lab.
r
r
E → E'
r r
B → B'
r
E = − grad V
r
B=0
r 1 r r

 transf Lorentza⇒ B' = 2 E ×υ
c

• z kaŜdym krętem związany moment magnetyczny w szczególności:
→
µl =
µB
h
→
→
L = µB l
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
r
e r
eh
µS = − hS = −2µB S µB =
m
2m
r
3/16
Oddziaływanie spin-orbita – c.d.
• oddz. µ z polem: ∆ E R '
r
= −µS ⋅ B'
r
ale przy przejściu {R} → {R’} precesja Thomasa:
{R}
(np. J.D. Jackson)
r
r
r
ωR ' = ωR + ωT
r
E
= − grad
r
1 r
v
1 dV
B ' = 2 E× m υ =
= −
c m
q dr
{R’}
s
→
1r r
= ωT = − ωR = ωR − ωR ⇒ ∆ER = − µS ⋅ B'
2
r
1
2
r
r
V ele
r
r
1 1 dV r
r
=
×
r
m
υ
m e c 2 r dr
r
h2
dV r r
∆E =
l⋅s
2 2
2 m c r dr
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
1
2
r
r
1 1 dV r
B' =
hl
2
mec r dr
r
r
v
σ l = r × mυ = hl
r
4/16
• wiele elektronów:
∆ E = V LS =
H0
∑
i
dV i r r
h2
li ⋅ s i
2 2
2 m c ri dri
H = H0+VES+VLS VES = Vc+Vnc
HES = H0 + VES
+ VLS
VES >> VLS
sprzęŜenie L-S
HLS = H0 + VLS
+ VES
VES << VLS
sprzęŜenie j-j
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
(są teŜ przypadki pośrednie)
5/16
SprzęŜenie L-S
st. własne H0 E= ΣEnl
st. własne HES zaleŜą od L i S (oddział. el.-stat. elektronów zaleŜy od
orientacji orbit, które określają li i si ⇒ od L i S)
∑
i> k
1
∝ ∑ ck ∑ Ykq (1)Ykq* ( 2) ∝ l1• l2
[Ykq – f. własne krętów (k, q ≡ l, m)]
r12
k
q
+ analogiczna część wymienna związana z s1• s2
rr
r r
e2
= ∑ fk J k ± qk K q
≡ a1 l1⋅ l2 + a 2 s1⋅ s2 ⇒ energie zaleŜne od par (L, S)
r12
Np. He:
k
(
)
1s2p
1s2s
3P
1S
3S
1S
1s2s,1s2p
1s2
1P
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
• dla pierwiastków alkalicznych uwzględnione przez pot. modelowy
• reguła Hundta: w danej konfig.
najniŜej najwyŜsze krotności (a dalej
najwyŜsze L) (tryplet – odpychanie
el., słabsze ekran. – silniejsze oddz. z
jądrem – niŜsze energie.
• nie wszystkie kombinacje L, S
dozwolone przez zasadę Pauliego
• zostaje degeneracja na J (nie określ.
wzajemne orient. li si – nie określ. ji6/16
)
SprzęŜenie L-S – c.d.
VLS zaleŜy od wzgl. orient. li si czyli od wzgl. orient. L i S, która określa J=L+S
→ ∀ J inne VLS – inna energia = struktura subtelna
# moŜliwych wartości J = min [2S+1, 2L+1], na ogół S<L ⇒ 2S+1 poz. energet.
= multiplet
S=0
2S+1=1 singlet
krotność termu (L,S)
S=1/2 2S+1=2 dublet
(nawet gdy L= 0 i L• S = 0, np. 1s2s 3S1)
S=1
2S+1=3 tryplet
1s2p
1s2s
L=1 S=0 1
P
L=1 S=1 3
P
L=0 S=0 1
S
L=0 S=1 3
S
J=1
J=2
J=1
J=0
J=0
J=1
1P
1
3P
2
3P
1
3P
01
3P
0,1,2
S0
2S+1
2S+1L
LJJ
3S
1
nie wszystkie kombinacje 2S+1L będą realizowane:
dla elektronów równowaŜnych (ta sama podpowłoka (n, l)) – zakaz Pauliego
eliminuje więcej kombinacji niŜ dla el. nierównowaŜnych (n’, l’)
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
7/16
SprzęŜenie j-j
H LS
r r h 2 1 ∂V (r ) 
 − h2
i
∆i + V (ri ) + li⋅ si
= H 0 + VLS = ∑ 

2 2
2
2
m
m
c
r
r
∂
i 
i
i

∀ izolowanego elektronu stany podstawowe określone przez
a poziomy energet. przez Σ indywidualnych energii.
ji = li ± ½ ,
określone (ni, li, ji) mogą odpowiadać róŜnym J - degeneracja
H
LS
+ V ES
∝
→
← ma wartości określone przez J - poziom określony przez (ji J)
j1 • j2
L, S nieistotne → symbole termów:
nni illi i(j(ji)i)J
J
róŜne pierwiastki – róŜne wiązania – np. grupa IVB: C, Si, Ge, Sn, Pb:
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
8/16
IV B group sequence: C (Z=6)
Ge (Z=32)
Pb (Z=82)
np
np (n+1)s
(n+1)s
nni lil(j(ji)J)
i i i J
2S+1L
2S+1L
J
J
np
np22
L-S coupling
intermediate c.
j-j coupling
[H.A.
[H.A. Wenge,
Wenge, M.R.
M.R. Wehr,
Wehr, J.A.
J.A. Richardson,
Richardson,
„Wstęp
„Wstęp do
do fizyki
fizyki atomowej”,
atomowej”, PWN
PWN 1983
1983
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
9/16
Struktura subtelna – rzędy wielkości
∆ELS
rr
h 2 e2
h2 1 r r
h 2 ∂V (r ) r r
− e2
=
=
l⋅s = l⋅s ≈ 2 ≈ 2 2 3
l⋅s = V =
2 2
2 2
2m c r ∂r
r
2m c r
mc r
e2
H0 ≈
r
∆ELS
H0
r ≈ a0
4
h
e
2
1 2
≈ 2 2 2=
h 2 = 2 2 = α = (137 ) (str. subtelna)
mcr
= 2 hc
me
2
Str. subtelna atomów jedno-elektronowych:
kadłub + 1 el. walencyjny ⇒ cały kręt od 1 el. walencyjnego L=l, S=s,J=j
∀ l≠
≠0
j=l±½ ⇒ wszystkie poz. met. alkal.(oprócz S) są dubletami 0− 12 ≤ j ≤ 0+ 12
poz. energet. +
dośw. dowód ∃ spinu elektronu !!!
(HES): E n ,l =
− Rhc

n − b 1

a0 l +

1
2




2
rr
h2 dV (r ) r r
∆E = 2 2
l ⋅ s ≡ a l ⋅s
2m c r d r
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
anl
10/16
r r
obliczenie l ⋅ s :
rr
l⋅s =
1
2
(
r2 r2 r2
j −l − s
)
⇔
r r r
j =l +s
1
2
r r
r2 r2 r2
j = l + s + 2l ⋅ s
[ j ( j + 1) − l (l + 1) − s(s + 1)]
Gdy s=1/2, dla danego l ∃ 2 wartości j ⇒ 2 wart. l • s ⇒ ∆En ,l =
Przykład:
l=0
l=1
l=2
an,l gdy n, l bo ∆Ε ∝
2D
1/r dV(r)/dr
2P
2S
1/2
3/2
2P
½
-1
5/2
2D
x an1
1/2
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
2
[ j ( j + 1) − l (l + 1) − s( s + 1)]
l=3
2F
7/2
1
-3/2
3/2
an ,l
2F
5/2
x an2
3/2
-2
x an3
reguły wyboru:
∆n – dowolne,
∆l=l2-l1=±1 zm. parzystości,
∆j=j2-j1=0, ±1
⇒
wszystkie linie z S – dublety,
wszystkie inne - tryplety
11/16
Podsumowanie W4
Oddziaływanie spin-orbita ⇒ ∆ E R ' = − µ S ⋅ B '
r
r
r
e r
– pochodzi od magnet. mom. dipolowego, µ S = − h S = −2µ B S
m
r
związanego ze
spinem elektronu r
1 1 dV r
i polem magnet., B' =
h l związanym z orbitującymi elektronami
2
mec r dr
⇒ poprawka energetyczna zal. od l•s (czyli j)
h2
dV r r
∆E =
l⋅s
2 2
2 m c r dr
– schematy sprzęŜeń w atomie wielo-elektronowym:
H0
HES = H0 + VES
+ VLS
VES >> VLS
HLS = H0 + VLS
+ VES
VES << VLS
‫ﴀ‬Oparte o: Prof.W. Gawlik – Wstęp do Fizyki Atomowej, 2004/05
(Russell– Saunders)
sprzęŜenie L-S
sprzęŜenie j-j
2S+1
2S+1L
LJJ
nni lil (j(ji))J
i i i J
12/16