docTeoria potencjaªu α-stabilnego ruchu Lévy`ego na fraktalach
download 
Reklamacja Transkrypt
Teoria potencjaªu α-stabilnego ruchu Lévy`ego na fraktalach
Politechnika Wrocªawska
Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki
Matematyka
Specjalno±¢: Matematyka teoretyczna
Kierunek:
PRACA DYPLOMOWA
Teoria potencjaªu α-stabilnego ruchu
Lévy'ego na fraktalach
Kamil Kaleta
PROWADZCY PRAC DYPLOMOW:
dr Mateusz Kwa±nicki
Wrocªaw 2008
Spis tre±ci
Wst¦p
2
1 Wprowadzenie
5
d-miary i d-zbioru.
1.1
Poj¦cia
1.2
Fraktalna dyfuzja i
Miara i wymiar Hausdora
. . . . . . . .
5
ruch Lévy'ego . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Proces zabity i funkcja Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Miara
1.5
Funkcje
α-stabilny
α-harmoniczna
i j¡dro Poissona
α-harmoniczne
. . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2 Trójk¡t Sierpi«skiego
2.1
Konstrukcja
i
14
wªasno±ci
nieograniczonego
trójk¡ta
Sierpi«skiego.
Miara Hausdora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Analiza na trójk¡cie.
14
Laplasjan Kigamiego, pochodna normalna i
forma Dirichleta. Funkcje harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3
Funkcje sklejane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4
Ruch Browna i proces
2.5
Konstrukcja i wªasno±ci pewnej kluczowej funkcji
α-stabilny
na trójk¡cie
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3 Teoria funkcji α-harmonicznych
31
35
3.1
Klasyczna brzegowa nierówno±¢ Harnacka - rys historyczny . . . . . .
3.2
Jednostajna brzegowa zasada Harnacka dla funkcji
na trójk¡cie Sierpi«skiego
29
35
α-harmonicznych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4 Uwagi ko«cowe
43
Bibliograa
44
1
Wst¦p
Obserwujemy obecnie bardzo du»e zainteresowanie tematyk¡ fraktali,
w
kontek±cie
zyki,
jak
i
z
punktu
widzenia
matematyki.
zarówno
Zapocz¡tkowane
ponad dwadzie±cia lat temu poszukiwania w dziedzinie analizy czy teorii prawdopodobie«stwa i procesów stochastycznych na przestrzeniach fraktalnych doprowadziªy do niezwykle ciekawych i wa»nych wyników, które nawi¡zuj¡ do teorii
klasycznej, ale cz¦sto zaskakuj¡ dodatkowymi trudno±ciami.
Du»y wkªad w rozwój analizy na fraktalach wniósª J. Kigami. W pracach [32][35] badaª on tzw. operatory ró»nicowe na harmonicznych strukturach kratowych.
Przez odpowiednie przej±cie graniczne Kigami skonstruowaª m.in.
odpowiednik
laplasjanu i pochodnej normalnej na fraktalach typu PCF, w szczególno±ci na trójk¡cie Sierpi«skiego. Wyniki te zostaªy zebrane w ksi¡»ce [36]. Prace [18, 27, 43, 44, 45]
stanowiªy kontynuacj¦ bada« Kigamiego, wprowadzaªy odpowiedniki klasycznych
poj¦¢ i zagadnie« takich jak równania ró»niczkowe, szeregi Taylora, funkcje sklejane
(ang.
spline ) czy teoria spektralna.
Pod koniec lat 80. ubiegªego wieku skonstruowano proces dyfuzji na trójk¡cie
i dywanie Sierpi«skiego (np.
[5, 6]).
Daªo to pocz¡tek badaniom nad teori¡ pro-
cesów stochastycznych na fraktalach. Tak jak w przypadku klasycznym, od samego
pocz¡tku widoczne byªy silne zwi¡zki pomi¦dzy analiz¡, a procesami stochastycznymi. Najlepiej wida¢ to w pracach [2, 3], które stosuj¡ techniki probabilistyczne
w teorii potencjaªu dla operatorów b¦d¡cych generatorami procesów dyfuzyjnych na
trójk¡cie i dywanie Sierpi«skiego.
W przypadku fraktali o strukturze tzw.
d-zbioru
(zob.
def.
1) proces
α-
stabilny zostaª wprowadzony po raz pierwszy poprzez podporz¡dkowanie fraktalnej
dyfuzji (zob. def. 2) w pracy [41]. Wiele wa»nych zagadnie« z zakresu jego teorii
2
WSTP
3
potencjaªu omówionych zostaªo w pracy [14], która b¦dzie stanowiªa punkt wyj±cia
dla naszych dalszych rozwa»a«.
Celem tej pracy jest udowodnienie brzegowej nierówno±ci Harnacka (z ang.
BHP) dla funkcji
Sierpi«skiego dla
ularnie
α-harmonicznych
α ∈ (0, 1).
α-harmonicznymi
na dowolnych otwartych podzbiorach trójk¡ta
Twierdzenie to orzeka, »e je±li
na dowolnym podzbiorze otwartym
trójk¡ta Sierpi«skiego, zeruj¡cymi si¦ na
x, y ∈ D ∩ B(v,
f
B(v, r)\D,
(x)
r
) zachodzi nierówno±¢ fg(x)
16
≤C
Siªa powy»szej nierówno±ci zale»y od staªej
ze staª¡ zale»n¡ wyª¡cznie od indeksu stabilnosci
i
g
s¡ funkcjami reg-
D
nieograniczonego
to dla dowolnych punktów
f (y)
.
g(y)
C.
W tej pracy otrzymujmy BHP
α ∈ (0, 1).
Nie zale»y ona oczywi±-
cie od rozpatrywanych funkcji. Co wi¦cej brak te» zale»no±ci od geometrii i spójno±ci
zbioru
D.
Dla rozpatrywanego przedziaªu parametru
α
jest to istotne uogólnienie
jedynego wcze±niejszego wyniku dotycz¡cego BHP dla funkcji
trójk¡cie Sierpi«skiego z pracy [14], gdzie rozwa»a si¦ zbiory
D
α-harmonicznych
na
b¦d¡ce sko«czonymi
sumami komórek dowolnego rozmiaru.
Prezentowana tu BHP jest odpowiednikiem równie ogólnego twierdzenia z
brzegowej teorii potencjaªu ruchu stabilnego w
RN
z pracy [13]. Mimo pewnych do-
datkowych trudno±ci natury analitycznej, których omini¦cie wymaga zastosowania
m.in. teorii funkcji sklejanych [45], schemat dowodu z pracy [13] mo»na zaadaptowa¢
do przypadku trójk¡ta Sierpi«skiego. Ten pomysª zostaª wykorzystany w niniejszej
pracy.
W pierwszym rozdziale wprowadzamy podstawowe poj¦cia teorii potencjaªu
ruchu stabilnego, które wykorzystane b¦d¡ w dalszej cz¦±ci pracy.
Rozdziaª drugi zawiera dokªadn¡ konstrukcj¦ i dyskusj¦ wªasno±ci nieograniczonego trójk¡ta Sierpi«skiego, a tak»e zarys analizy i teorii funkcji sklejanych. Przedstawiona jest konstrukcja pewnej kluczowej funkcji pomocniczej i dowody jej wªasno±ci, które potrzebne s¡ do dowodu BHP.
Gªówny wynik tej pracy wraz z rysem historycznym oraz dowodami pozostaªych bardziej probabilistycznych lematów sformuªowany zostaª w rozdziale
trzecim.
Ostatni rozdziaª, czwarty, nakre±la pewne mo»liwe drogi kontynuacji bada«
WSTP
4
zwi¡zane z tematyk¡ pracy.
Pragn¦ bardzo serdecznie podzi¦kowa¢ dr.
Mateuszowi Kwa±nickiemu, pod
kierunkiem którego zostaªa zrealizowana ta praca.
Przede wszystkim za ogromn¡
»yczliwo±¢, cierpliwo±¢ i wyrozumiaªo±¢, których do±wiadczyªem z Jego strony podczas naszej ponad dwuletniej wspóªpracy, a tak»e za tak du»e po±wi¦cenie i zaanga»owanie w opiek¦ naukow¡ nade mn¡.
Dzi¦kuj¦ za caª¡ przekazan¡ wiedz¦,
za wszystkie wskazówki, nieocenione pomysªy i inspiracj¦, bez których nie byªby
mo»liwy mój udziaª w uzyskaniu prezentowanych wyników, a tak»e za dobre sªowo
i wsparcie w trudniejszych momentach.
Dzi¦kuj¦ serdecznie prof.
Tomaszowi Byczkowskiemu za wielk¡ »yczliwo±¢ i
otwarto±¢, a tak»e za wszelk¡ pomoc okazan¡ w okresie studiów.
Równie gor¡co chciaªbym podzi¦kowa¢ dr.
Andrzejowi Stósowi, za liczne
wskazówki, cenne uwagi merytoryczne i konsultacje z zakresu teorii potencjaªu na
fraktalach, które pomogªy nada¢ pracy bardziej profesjonalny ksztaªt.
Rozdziaª 1
Wprowadzenie
W niniejszym rozdziale deniujemy
α-stabilny
ruch Lévy'ego na przestrzeni frak-
talnej oraz omawiamy podstawowe poj¦cia jego teorii potencjaªu. Cz¦sto odwoªujemy si¦ do monograi R. Blumenthala i R. Getoora [8] dotyczacej ogólnej teorii
potencjaªu procesów Markowa.
Przypadek procesów stabilnych w przestrzeniach
euklidesowych badany byª szczegolnie intensywnie przez ostatnich kilkana±cie lat
(m.in. [9]-[13] oraz [40]). Badania nad teori¡ potencjaªu ruchu stabilnego na fraktalach byªy zapocz¡tkowane i rozwijane przez A. Stósa w pracach [41, 42], a tak»e
[14]. Ponadto T. Kumagai wprowadziª niezale»nie procesy stabilne na fraktalach i
wniósª istotny wkªad w ich teori¦ potencjaªu [15, 37]. W nawi¡zaniu do pracy [14]
wprowadzamy w tym rozdziale teori¦ dla tzw.
d-zbiorów,
do których w naturalny
sposób zaliczaj¡ si¦ takie fraktale jak trójk¡t i dywan Sierpi«skiego.
1.1 Poj¦cia d-miary i d-zbioru. Miara i wymiar
Hausdora
Niech
F
oznacza niepusty domkni¦ty podzbiór
naczmy kul¦ w
zbioru
F.
R
N
Ustalmy
o ±rodku w punkcie
x
d ∈ (0, N ].
5
RN , N ≥ 1.
i promieniu
r,
Przez
a przez
BRN (x, r)
diam F
oz-
±rednic¦
ROZDZIA 1.
WPROWADZENIE
6
Denicja 1 Dodatni¡ miar¦ borelowsk¡ µ na zbiorze F nazywamy d-miar¡ je±li
istniej¡ staªe c1 , c2 > 0, dla których
c1 rd ≤ µ(BRN (x, r)) ≤ c2 rd
(1.1)
dla ka»dego x ∈ F i 0 < r < diam F . Zbiór F nazywamy d-zbiorem, je±li jest on
no±nikiem pewnej d-miary µ.
Ka»da
d-miara
d-zbiorze F
samym
A
Niech
oznacza dowolny niepusty podzbiór borelowski
= inf
(∞
X
diam(Ui )β : A ⊂
i=1
δ > 0.
na tym
s¡ równowa»ne.
Hδβ (A)
gdzie
d-miary
jest regularn¡ miar¡ borelowsk¡, a dwie ró»ne
∞
[
RN .
Deniujemy
)
Ui , diam(Ui ) ≤ δ
,
i=1
Niech ponadto
H β (A) = lim Hδβ (A).
(1.2)
δ↓0
Powy»sza granica istnieje, bowiem gdy
H β (·)
nazywamy
β -wymiarow¡
wymiar Hausdora zbioru
δ
maleje do zera,
Hδβ (A)
miar¡ Hausdora [22, 23, 24].
ro±nie.
Funkcj¦
Okre±lamy tak»e
A
dimH (A) = inf β : H β (A) = 0 = sup β : H β (A) = +∞ .
Mo»na pokaza¢, »e
równie»
d-miar¡
d-wymiarowa
miara Hausdora obci¦ta do
Dla
d-zbioru F
jest
[29].
Do ko«ca tego rozdziaªu zakªadamy, »e zbiór
d-zbiorem
(1.3)
dla pewnego
x, y ∈ F
d ∈ (0, N ],
a
µ
F ⊂ RN
jest odpowiadaj¡c¡ mu
jest ªukowo spójnym
d-miar¡.
deniujemy
ρF (x, y) = inf {L(γ) : γ : [0, 1] → F, γ(0) = x, γ(1) = y} ,
L(γ)
gdzie
zwan¡
[2]).
oznacza dªugo±¢ ªuku
geodezyjn¡
(ang.
γ.
Funkcja
geodesic metric
lub
ρF (·, ·)
jest metryk¡ na zbiorze
intrinsic shortest path metric,
F
zob.
Do ko«ca tego rozdziaªu zakªadamy, »e jest ona lipschitzowsko równowa»na
standardowej metryce euklidesowej, któr¡ oznaczamy przez
|x − y|,
dla
x, y ∈ F .
ROZDZIA 1.
Dla
x∈F
WPROWADZENIE
oznaczmy
7
B(x, r) = BRN (x, r) ∩ F .
Niech
Dc = F \D
Ustalmy nast¦puj¡c¡ konwencj¦ dotycz¡c¡ staªych. Zapis
dodatni¡ staª¡ o numerze
ko«ca pracy. Przez
i,
ci
dla
D ⊂ F.
oznaczaª b¦dzie
której warto±¢ raz ustalona jest ju» niezmienna do
C, C 0 , ..., C (n)
oznacza¢ b¦dziemy staªe pomocnicze wyst¦puj¡ce
w dowodach, których warto±ci mog¡ si¦ zmienia¢ w kolejnych rozumowaniach.
1.2 Fraktalna dyfuzja i α-stabilny ruch Lévy'ego
Denicja 2 Proces Markowa Z = (Zt )t≥0 nazywamy fraktaln¡ dyfuzj¡ (ang. fractional diusion) na d-zbiorze F je±li
(a) Z jest dyfuzj¡ fellerowsk¡ z przestrzeni¡ stanów F (zob.
[8]
),
(b) Z ma symetryczn¡ g¦sto±¢ przejscia q(t, x, y) = q(t, y, x), t > 0, x, y ∈ F
wzgl¦dem d-miary µ, która jest ci¡gª¡ funkcj¡ dwóch zmiennych dla ka»dego
t > 0 i speªnia
−ds /2
c3 t
γ γ ρF (x, y)
ρF (x, y)
−ds /2
exp −c4
≤ q(t, x, y) ≤ c5 t
exp −c6
t1/dw
t1/dw
(1.4)
dla pewnych staªych c3 , ..., c6 > 0, dw > 1, ds = 2d/dw , γ = dw /(dw − 1) oraz dla
wszystkich x, y ∈ F i t ∈ (0, T ), gdzie T = (diam F )dw .
Gdy
diam F = ∞,
kªadziemy
zale»y wyª¡cznie od geometrii
T = ∞.
d-zbioru F ,
spektralnym. Je±li na ustalonym
a staªa
ds
dw
(z ang.
walk dimension )
jest nazywana jego wymiarem
d-zbiorze istnieje wi¦cej ni» jedna fraktalna dyfuzja,
to ka»dej z nich odpowiada ta sama staªa
Dla przykªadu, gdy przyjmiemy
dw = 2
Staªa
dw
F =R
[39].
N
(wtedy
ρF (x, y) = |x − y|),
to staªa
i ªatwo sprawdzi¢, »e g¦sto±¢ przej±cia klasycznego ruchu Browna speªnia
warunek (1.4).
Dzi¦ki zaªo»eniu o lipschitzowskiej równowa»no±ci metryk, w nierówno±ci (1.4)
zamiast
ρF
mo»emy wpisa¢ odlegªo±¢ euklidesow¡ i zmodykowa¢ staªe.
Od tego
miejsca, dla uproszczenia, posªugujemy si¦ ju» tylko metryk¡ euklidesow¡. Ponadto
w dalszej cz¦±ci pracy zakªadamy, »e
F
jest nieograniczony.
diam F = ∞, co oznacza, »e rozwa»any d-zbiór
ROZDZIA 1.
Niech
dyfuzja
Z
WPROWADZENIE
α ∈ (0, dw ).
Zaªó»my, »e na
istnieje zdeniowana powy»ej fraktalna
Niech
Y = (Yt )t≥0
oz-
α/dw -stabilny proces Lévy'ego na dodatniej póªprostej
nacza startujacy z zera ±ci±le
rzeczywistej, niezale»ny od
F
q(u, x, y) wzgl¦dem d-miary µ.
z g¦sto±ci¡ przejscia
transformat¦ Laplace'a
8
Z
(tzw.
subordynator ).
Proces ten zadany jest przez
α/dw
Jego niezmiennicz¡ na prze-
E exp(−uYt ) = exp(−tu
suni¦cia g¦sto±¢ przej±cia oznaczmy przez
).
η(t, u), t, u > 0
(wi¦cej szczegóªów na ten
temat mo»na znale¹¢ w [7, rozdziaª 3] lub w [8, strona 219].
Denicja 3 Procesem α-stabilnym lub α-stabilnym ruchem Levy'ego na zbiorze F
nazywamy proces X = (Xt )t≥0 zdeniowany przez Xt = ZYt .
Proces
X
nazywany jest
subordynowanym.
Dzi¦ki niezale»no±ci
Z
i
Y
jego
g¦sto±¢ przej±cia wyra»a si¦ wzorem
Z
∞
q(u, x, y)η(t, u)du, t > 0, x, y ∈ F.
p(t, x, y) =
(1.5)
0
Dla ka»dego
t>0
jest to symetryczna funkcja ci¡gªa dwóch zmiennych na zbiorze
F × F.
Przez
Ex
startuj¡cego z
Proces
X
oznaczamy warto±¢ oczekiwan¡ wzgl¦dem rozkªadu
x ∈ F;
w szczególno±ci
Px
procesu
X
x
P {X0 = x} = 1.
posiada mocn¡ wªasno±¢ Markowa. Jego trajektorie s¡ prawostronnie
ci¡gªe i maj¡ lewostronne granice w ka»dym punkcie. Bardziej szczegóªowe informacje o wªasno±ciach procesu subordynowanego w
RN ,
z których wi¦kszo±¢ przenosi
si¦ na nasz przypadek znale¹¢ mo»na w [8, strona 18] lub w [25, rozdziaª 10].
p(t, x, y)
t
−d/α
p(t, x, y) min
,t
,
|x − y|d+α
Zachodz¡ nast¦puj¡ce oszacowania dla funkcji
dla
t > 0, x, y ∈ F , x 6= y .
[14, Twierdzenie 3.1]:
(1.6)
W szczególno±ci
p(t, x, x) t−d/α .
Zapis
F
f (x) g(x)
oznacza, »e istnieje staªa
oraz parametru stabilno±ci
x ∈ F.
α
taka, »e
C
C>0
−1
zale»na co najwy»ej od
g(x) ≤ f (x) ≤ Cg(x)
d-zbioru
dla wszystkich
ROZDZIA 1.
Uwaga.
WPROWADZENIE
9
W niniejszej pracy, przyjmujemy konwencj¦, »e
0 < α < dw .
W pracy [14],
do której bardzo cz¦sto b¦dziemy si¦ odwoªywa¢, jako zakres parametru stabilno±ci
ustalono przedziaª
α = (2/dw )α
0
(0, 2).
Zatem, je±li
α
0
oznacza indeks stabilno±ci z pracy [14], to
jest parametrem z naszego zakresu.
Dla funkcji
f ∈ C0 (F )
póªgrup¦ operatorów przej±cia
deniujemy
Z
Pt f (x) =
f (y)p(t, x, y)dµ(y).
(1.7)
F
Dzi¦ki (1.6) nietrudno sprawdzi¢, »e
Pt (C0 (F )) ⊂ C0 (F )
póªgrupa operatorów markowskich na
C0 (F ).
i jest to mocno ci¡gªa
Denicja 4 Generatorem innitezymalnym póªgrupy operatorów przej±cia Pt nazywamy operator zdeniowany wzorem
∆α/dw f (x) = lim
t↓0
Pt f (x) − f (x)
t
(1.8)
dla wszystkich funkcji f ∈ C0 (F ), dla których granica istnieje w normie supremum.
Zbiór wszystkich takich funkcji nazywamy dziedzin¡ generatora ∆α/dw i oznaczamy
przez D(∆α/dw ).
1.3 Proces zabity i funkcja Greena
Niech
D
b¦dzie ograniczonym podzbiorem otwartym
wyj±cia procesu
τD
X
ze zbioru
D
wzorem
F.
Okre±lamy czas pierwszego
τD = inf {t > 0 : Xt ∈ Dc }.
Zmienna losowa
jest prawie na pewno sko«czonym momentem Markowa.
Przez
X D = (XtD )t>0
oznaczmy proces
X
zabity w chwili wyj±cia ze zbioru
D
(zob. [8]), tj.
XtD =
∂
X t
dla
0 < t < τD
∂
dla
t ≥ τD .
oznacza dodatkowy stan procesu, cz¦sto nazywany cmentarzem. Od chwili
proces
X
D
pozostaje na zawsze w
Istnieje g¦sto±¢ przej±cia
x
∂.
pD (t, x, y)
procesu
Z
E [f (Xt ) : t < τD ] =
D
XD
(por. [16]), tzn.
f (y)pD (t, x, y)dµ(y)
τD
ROZDZIA 1.
WPROWADZENIE
10
dla ka»dej nieujemnej lub ograniczonej funkcji borelowskiej
D
p (t, x, y)
f
na
F.
Funkcja
posiada nast¦pujace wªasno±ci (zob. [14, Proposition 5.1]):
(a)
pD (t, x, y)
(b)
pD (t, x, y) = pD (t, y, x), x, y ∈ D, t > 0,
(c)
pD (t, x, y) = p(t, x, y) − E x [p(t − τD , XτD , y); t > τD ], x, y ∈ F , t > 0,
(d)
pD (t, x, y) > 0, x, y ∈ D, t > 0,
(e)
pD (t, x, y) = 0, x ∈ Int(Dc )
(f )
pD (t, x, y) =
(x, y) ∈ D × D,
jest ci¡gªa wzgl¦dem
R
F
dla ka»dego
t > 0,
y ∈ Int(Dc ), t > 0,
lub
pD (s, x, z)pD (t − s, z, y)dµ(z), x, y ∈ F , t > s > 0.
Denicja 5 Funkcj¦ Greena zbioru D deniujemy wzorem
∞
Z
pD (t, x, y)dt, x, y ∈ F.
GD (x, y) =
0
Z wªasno±ci
GD (y, x))
pD (t, x, y)
GD (x, y)
wynika, »e
funkcj¡ ci¡gª¡ na
D×D
jest symetryczn¡ (tzn.
przyjmuj¡c¡ warto±ci z przedziaªu
jac¡ si¦ w przypadku, gdy cho¢ jeden z argumentów nale»y do
α≤d
oraz
x ∈ D, GD (x, x) = ∞
oraz
GD (x, y) < ∞
dla
Dc
GD (x, y) =
[0, ∞],
zeru-
[14]. Ponadto dla
x 6= y .
Denicja 6 Dla α < d deniujemy j¡dro potencjaªu procesu X
Z
∞
p(t, x, y)dt, x, y ∈ F.
Kα (x, y) =
0
Konsekwencj¡ oszacowa« (1.6) jest zale»no±¢ asymptotyczna
Kα (x, y) |x − y|−d+α .
Caªkuj¡c to»samo±¢ (c), z twierdzenia Fubiniego natychmiast dostajemy, »e dla
d
poza zbiorem
c
{(x, y) : x = y ∈ D }
α<
zachodzi równo±¢
GD (x, y) = Kα (x, y) − E x Kα (XτD , y).
Mo»na pokaza¢, »e
ograniczonej funkcji
Rτ
GD (x, y)f (y)dµ(y) = E x 0 D f (Xt )dt
R
f . St¡d GD (x, y)dµ(y) = E x τD .
R
dla ka»dej mierzalnej i
ROZDZIA 1.
WPROWADZENIE
Istnieje staªa
c7 = c7 (α, F )
11
taka, »e dla ka»dego
x ∈ F, r > 0
zachodzi [14,
Proposition 4.4]
sup E y τB(x,r) ≤ c7 rα .
(1.9)
y∈B(x,r)
Je±li
U ⊂ D,
X
to z mocnej wªasno±ci Markowa procesu
wynika, »e
E x τD = E x τU − E x (E XτU τD ), x ∈ F.
Dla
f ∈ D(∆α/dw ) i x ∈ D
(1.10)
zachodzi
x
E f (XτD ) − f (x) = E
x
Z
τD
∆α/dw (Xt )dt.
(1.11)
0
Jest to tzw. wzór Dynkina [20, wzór 5.8].
1.4 Miara α-harmoniczna i j¡dro Poissona
Denicja 7 Dla dowolnego otwartego i ograniczonego zbioru D ⊆ F i borelowskiego
zbioru E ⊆ F oraz dla dowolnego x ∈ F deniujemy miar¦ α-harmoniczn¡ ωDx zbioru
E (ang. α-harmonic measure of the set E relative to D and x) wzorem
x
ωD
(E) = P x {XτD ∈ E} .
Tak zdeniowana miara jest oczywi±cie miar¡ probabilistyczn¡ na
Dc .
Klasyczne poj¦cie miary harmonicznej odnosi si¦ do ruchu Browna. Ci¡gªo±¢
jego trajektorii powoduje, »e miara harmoniczna zbioru
∂D.
W przypadku procesu skokowego
X,
D
skupiona jest na brzegu
dla dowolnego
x ∈ D
miara
α-
x
harmoniczna ωD nie jest niesiona przez brzeg i jest dodatnia na ka»dym otwartym
c
podzbiorze D .
c
x
x
Dla ka»dego x ∈ D zachodzi P {XτD = x} = 1 gdy» P {τD = 0} = 1. Oznacza to, »e
x
ωD
jest miar¡ atomow¡ skupion¡ w caªo±ci w pukcie
by¢ jednak dla wszystkich punktów z brzegu zbioru
x ∈ ∂D,
to miara
x
ωD
nie jest skupiona w
x
i punkt
x
D.
Je±li
x.
Nie musi tak
P x {τD > 0} > 0
dla
nazywamy nieregularnym dla
D.
Je±li
D
jest otwartym niepustym podzbiorem ograniczonym
nym podzbiorem borelowskim
F
speªniaj¡cym warunek
F, a E
jest dowol-
dist(E, D) > 0,
to (zob.
ROZDZIA 1.
WPROWADZENIE
12
[14, Wniosek 6.2])
Z Z
x
P {XτD ∈ E} D
X τD
Wobec powy»szego rozkªad
Int (Dc ).
przez
G¦sto±¢ miary
PD (x, y).
PD (x, y)
Dla
x
ωD
y∈D
jest ci¡gªa na
wzgl¦dem
okre±lamy
D × Int(Dc )
=0
µ
nazywamy
PD (x, y) = 0.
j¡drem Poisssona
Wiadomo, »e dla
[14, Proposition 6.3]. Zaªo»enie
x
α-harmoniczna ωD
(wtedy mówimy, »e proces
w momencie wyj±cia ze zbioru
F
d-miary µ
na
i oznaczamy
α 6= d
funkcja
dist(E, D) > 0
mo»e zawiera¢ skªadow¡
µ.
x
Je±li ωD (∂D)
na
(1.12)
jest absolutnie ci¡gªy wzgl¦dem
jest tutaj istotne, gdy» ogólnie miara
singularn¡ do
E
GD (x, y)
dµ(z)dµ(y).
|y − z|d+α
D),
X
nie uderza w brzeg zbioru
∂D
to dla ka»dej nieujemnej funkcji borelowskiej
f
zachodzi równo±¢
Z
x
PD (x, y)f (y)dµ(y).
E f (XτD ) =
Dc
W teorii potencjaªu procesów stabilnych w przestrzeniach euklidesowych znane
s¡ jawne wzory na
PD (x, y)
w przypadku gdy
W ogólnym przypadku przestrzeni o strukturze
D
jest kul¡ lub póªprzestrzeni¡.
d-zbioru
takie wzory nie istniej¡.
Znane s¡ jednak cz¦±ciowe wyniki dotycz¡ce uderzania w brzeg pewnych specjalnie
wybranych kul w przypadku tranzytywnym, tzn. gdy
Ustalmy
v∈F
r > 0. Niech z ∈ BRN (v, r/2) i s ∈ (r, 2r).
z(s − r) + v(2r − s) s + r
K(z, s) = BRN
,
∩ F.
r
2
Zauwa»my, »e dla
oraz
Oznaczmy
y ∈ B(v, r)
|y −
oraz dla
α ∈ (0, d).
z(s − r) + v(2r − s)
s−r
| ≤ |y − v| + |z − v| ·
r
r
s−r
s+r
≤r+
=
2
2
y ∈ K(z, s)
z(s − r) v(2r − s)
z(s − r) (2r − s)
+
− v| + |
+
− y|
2
r
2
r
s−r s+r
+
= s.
≤
2
2
|y − v| ≤ |
St¡d
B(v, r) ⊆ K(z, s) ⊆ B(v, s).
(1.13)
ROZDZIA 1.
WPROWADZENIE
13
Fakt 1 ([14, Lemat 7.5]) Niech α < 1. Istnieje z0 ∈ BRN (v, r/2) (niekoniecznie ze
zbioru F ) taki, »e dla dla prawie wszystkich s ∈ (r, 2r) proces X nie uderza w brzeg
K(z0 , s).
W szczególno±ci dla
α < 1
proces
X
nie uderza w brzeg zbioru
K(z0 , s)
wyj±cia z niego. Zatem w tym przypadku dla dowolnego borelowskiego
n
o R
x
mamy P
XτK(z0 ,s) ∈ E = E PK(z0 ,s) (x, y)dµ(y).
w chwili
E ∈ K(z0 , s)c
B¦dziemy korzystali z tego faktu
w dalszej cz¦±ci pracy.
1.5 Funkcje α-harmoniczne
Denicja 8 Mówimy, »e nieujemna i µ-prawie wsz¦dzie sko«czona funkcja
borelowska f na F jest α-harmoniczna na otwartym i ograniczonym zbiorze D ⊆ F ,
je±li
f (x) = E x f (XτE ), x ∈ E,
dla ka»dego zbioru otwartego E takiego, »e E ⊂ D. Je±li dodatkowo f (x) = 0 dla
x ∈ Dc , to f jest funkcj¡ singularnie α-harmoniczn¡. Je»eli
f (x) = E x f (XτD ), x ∈ D,
funkcj¦ f nazywamy regularnie α-harmoniczn¡ na D.
Mocna wªasno±¢ Markowa procesu
α-harmoniczna
wzorem
f0
powoduje, »e ka»da funkcja regularnie
α-harmoniczna.
jest równie»
Zauwa»my, »e je±li
X
jest funkcj¡ nieujemn¡ okre±lon¡ na
E x f0 (Xτ )
D
f (x) =
f (x)
0
o ile nie jest stale niesko«czona na
Tym, co odró»nia funkcje
dla
x∈D
dla
x ∈ Dc
Dc ,
to funkcja dana
D, jest na tym zbiorze regularnie α-harmoniczna.
α-harmoniczne
od klasycznych funkcji harmonicznych
zwi¡zanych z ruchem Browna jest fakt, »e musz¡ one by¢ okre±lone na caªej
przestrzeni, w naszej sytuacji na caªym
Przykªadem funkcji
jest
a nie tylko na zbiorze
α-harmonicznej jest funkcja Greena zbioru D.
otwartym i ograniczonym podzbiorem
GD (·, y)
d-zbiorze F ,
α-harmoniczna
na
F,
D\ {y}
to dla
α 6= d
i dla ka»dego
[14, Proposition 5.7].
D.
Je±li
y∈D
D
jest
funkcja
Rozdziaª 2
Trójk¡t Sierpi«skiego
2.1 Konstrukcja i wªasno±ci nieograniczonego
trójk¡ta Sierpi«skiego. Miara Hausdora
W tym podrozdziale, wzoruj¡c si¦ na konstrukcjach przeprowadzonych w pracach
[6, 27], skonstruujemy najpierw ograniczony (standardowy) trójk¡t Sierpi«skiego, a
nast¦pnie jego wersj¦ nieograniczon¡ i omówimy niektóre jego wªasno±ci.
Niech
(0, 0), (1, 0)
cie z
K0
kraw¦dzi
K0
R2
oznacza domkni¦ty trójk¡t w
√
oraz
(1/2, 3/2).
Oznaczmy przez
K1
o wierzchoªkach w punktach
zbiór powstaªy przez usuni¦-
wn¦trza trójk¡ta, którego wierzchoªki stanowi¡ punkty le»¡ce na ±rodkach
K0 .
Zbiór
K1
skªada si¦ z trzech trójk¡tów o kraw¦dziach dªugo±ci 1/2.
Poprzez ponowne zastosowanie powy»szej procedury do ka»dego z nich otrzymujemy zbiór
K2 ,
skªadaj¡cy si¦ z dziewi¦ciu trójk¡tów o kraw¦dziach dªugo±ci 1/4.
Kontynuuj¡c t¦ procedur¦, otrzymujemy ci¡g zbiorów
domkni¦tych trójk¡tów o kraw¦dziach dªugo±ci
1/2n ,
Kn ,
skªadaj¡cych si¦ z
3n
które maj¡ co najwy»ej jeden
punkt wspólny.
Denicja 9 Ograniczonym (standardowym) trójk¡tem Sierpi«skiego nazywamy
T
+
zbiór ∞
n=0 Kn . Oznaczamy go przez F .
Oznaczmy przez
Sn+
tami o kraw¦dzi dªugo±ci
rodzin¦
n
1/2
3n
komórek powstaªych z przekroju
F+
z trójk¡-
+
, tworz¡cymi Kn , a przez Vn zbiór wszystkich wierz-
14
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
15
choªków tych trójk¡tów. Oczywi±cie
n
o
√
V0+ = (0, 0), (1, 0), (1/2, 3/2)
+
Vn+ ⊂ Vn+1
oraz
Przedstawiona powy»ej konstrukcja ma charakter topologiczny.
otrzymanie zbioru
F+
w inny sposób.
n ≥ 0.
dla
Mo»liwe jest te»
¡cz¡c kraw¦dziami wierzchoªki ze zbioru
+
Vn+ odlegªe o 21n , otrzymujemy graf G+
(ang.
n przybli»aj¡cy trójk¡t Sierpi«skiego F
+
+
+
+
). Zbiór Vn+1 jest sum¡ Vn i ±rodków kraw¦dzi grafu Gn . Ponadto F
=
S∞
+
n=0 Vn .
pre-gasket
Przeprowadzaj¡c analogiczn¡ konstrukcj¦ dla trójk¡ta
√
K0
(0, 0), (−1, 0) oraz (−1/2, 3/2), otrzymujemy zbiór F
punktach
o wierzchoªkach w
−
, b¦d¡cy obrazem
ograniczonego trójk¡ta Sierpi«skiego przez symetri¦ wzgl¦dem prostej o równaniu
x = 0.
Podobnie jak dla zbioru
F+
Sn−
oznaczmy przez
komórek i wierzchoªków zwi¡zanych ze zbiorem
F 0 = F + ∪ F − , Sn0 = Sn+ ∪ Sn−
Poprzez odpowiednie skalowanie zbioru
F0
F
−
Vn−
i
odpowiednio rodziny
. Niech
Vn0 = Vn+ ∪ Vn− .
oraz
ªatwo dostajemy trójk¡t nieograniczony.
Niech
F n = 2n F 0 , n = 0, 1, 2, ....
Denicja 10 Nieograniczonym trójk¡tem Sierpi«skiego nazywamy zbiór
Oznaczamy go przez F .
Dla
m∈Z
oraz
n ≥ −m
n
0
Sm
= 2n Sm+n
S ∈ Sm
oraz
Vm =
S∞
n
Vm
Sm =
S∞
n
Sm
.
n=−m
n=−m
jest komórk¡ o wierzchoªkach brzegowych
S = S(v1 , v2 , v3 ).
n=0
F n.
okre±lamy
0
n
= 2n Vm+n
Vm
Je±li
S∞
Komórki z rodziny
Sm
v1 , v2 , v3 ∈ Vm ,
nazywamy komórkami rozmiaru
to piszemy
2−m .
Dwie
komórki jednakowego rozmiaru nazywane s¡ s¡siednimi, je±li ich przekrój skªada si¦
dokªadnie z jednego punktu.
Je±li
K
jest
{S ∈ Sm : S ⊂ K}
dowoln¡
K
oraz Vm
komórk¡
= Vm ∩ K .
zbiór wierzchoªków nale»¡cych do
K
z
Dla
rodziny
x∈
K
Vm
,
s¡siednich do
x
S0 ,
to
m∈Z
w
okre±lamy
K
Sm
=
K
przez Vm,x oznaczamy
m-tym
kroku konstrukcji.
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
Trójk¡t Sierpi«skiego
F
dowolnego podzbioru zbioru
rodziny
Sm
dziedziczy topologi¦ z
F
R
.
Przez
r > 0.
B(v, r)
oznaczamy kul¦ w
v ∈ Vm
w
R
F
F
jest domkni¦ty i ªukowo spójny w
o ±rodku w punkcie
v ∈ F
jest punktem ª¡cz¡cym dwie s¡siednie komórki
to stosujemy oznaczenie
N
Domkni¦cie, wn¦trze i brzeg
s¡ zbiorami domkni¦tymi, a ka»de dwie s¡siednie komórki tworz¡ zbiór
Je±li
Bm (v)
R2 .
rozpatrujemy w tej topologii. Wszystkie komórki z
spójny (a nawet ªukowo spójny). Sam zbiór
2
16
Bm (v) = Int(S1 ∪ S2 ).
i promieniu
S1 , S2 ∈ Sm ,
W sensie geometrycznym zbiór
peªni w przypadku trójk¡ta Sierpi«skiego podobn¡ rol¦ jak kula euklidesowa
B(v, 2−n )
. Zauwa»my, »e
B(v, 2−k ) = Bk (v).
zawiera zbiór
Bn (v),
za± dla ka»dego
Int(F n ) = B(0, 2−n ) = Bn (0)
W szczególno±ci
k>n
mamy
dla ka»dego
n ∈ N.
Trójk¡t Sierpi«skiego jest zbiorem samopodobnym o wymiarze Hausdora
(1.3) równym
d = log 3/ log 2.
Samopodobie«stwo oznacza, »e ka»de dwie komórki
(dowolnego rozmiaru) s¡ gurami podobnymi.
podzbioru
(zbiór
F+
D⊂F
takiego, »e
diam D < 1/2, istnieje zbiór D̃ ⊂ F + izometryczny z D
mo»na zast¡pi¢ dowoln¡ inn¡ komórk¡ z
na jednokªadno±¢ o ±rodku w punkcie
2.
Ponadto dla ka»dego otwartego
(0, 0)
S0 ).
Zbiór
F
jest niezmienniczy
w skali b¦d¡cej caªkowit¡ pot¦g¡ liczby
Dzi¦ki tym wªasno±ciom, cz¦sto wystarczy bada¢ tylko podzbiory ograniczonego
trójk¡ta
F +.
Oznaczmy przez
µ d-wymiarow¡
miar¦ Hausdora na
sposób, aby miara dowolnej komórki rozmiaru
+
µ(F ) = 1.
Tak¡ miar¦ mo»na wprowadzi¢ na
1
F
F
byªa równa
unormowan¡ w taki
1.
W szczególno±ci
w sposób mniej abstrakcyjny ni»
(1.2), poprzez granic¦ ci¡gu pewnych miar w sensie zbie»no±ci caªek z funkcji z
wzgledem tych miar (ang.
vague limit ).
Cc (F )
Jeden taki ci¡g, który nie b¦dzie przez nas
wykorzystywany, okre±la si¦ przez obci¦cie dwuwymiarowej miary Lebesgue'a do
zbioru powstaªego w
n-tym
kroku konstrukcji i odpowiednie skalowanie (por. [2]).
Drugim, bardziej u»ytecznym z punktu widzenia naszej analizy na trójk¡cie, jest
ci¡g miar dyskretnych na zbiorze wierzchoªków. Oznaczmy
µm =
gdzie
δp
2
3m+1
X
p.
oznacza delt¦ Diraca w punkcie
Z
Miar¦
µ
deniujemy jako [27]
Z
f (x)µm (x), f ∈ Cc (F ).
f (x)dµ(x) = lim
F
δp , m = 0, 1, ...
p∈Vm
m→∞
F
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
L1 (E), E ⊆ F
Przez
na zbiorze
zbiorze
E
E
17
oznaczamy przestrze« funkcji, których moduª caªkowalny jest
wzgl¦dem miary
wzgl¦dem miary
µ
µ,
a przez
L2 (E)
przestrze« funkcji caªkowalnych na
w drugiej pot¦dze.
Fakt 2 (Wªasno±ci miary µ)
(a) Miara µ jest d-miar¡ na zbiorze F .
(b) Dla ka»dej komórki K ∈ S0 zachodzi µ(K) = 1.
Dowód:
z
Vm
Zauwa»my najpierw, »e miary
µm
rozªo»one s¡ punktowo w wierzchoªkach
i nietrudno sprawdzi¢ indukcyjnie, »e liczno±¢ zbioru wszystkich wierzchoªków
3m+1 +3
. Zatem miara
2
m+1
2
µm dowolnej komórki z rodziny S0 w m-tym kroku konstrukcji wynosi 3m+1
· 3 2 +3 ,
2
3m+1 −3
a miara wn¦trza takiej komórku to m+1 ·
.
3
2
pozostaj¡cych w obr¦bie dowolnej komórki z rodziny
S0 wynosi
Dla dowodu punktu (a) nale»y pokaza¢, »e istniej¡ staªe
µ speªnia nierówno±ci (1.1).
n
n+1
2 < r ≤ 2
.
Niech
x ∈ F.
atwo wida¢, »e kula
Je±li
r > 0, to dla pewnego n ∈ Z zachodzi
B(x, r)
S−n−1 .
z sze±cioma komórkami z rodziny
c1 i c2 , z którymi miara
ma punkty wspólne co najwy»ej
Wybierzmy ci¡g funkcji
no±nikach zawartych w sumie tych sze±ciu komórek takich, »e
i
gi ∈ Cc (F )
gi → χB(x,r)
w
L1 (F )
kgi k∞ ≤ 1 dla ka»dego i ∈ N. Wówczas
Z
2
3m+1 + 3
3m+1 + 3
gi (y)dµm (y) ≤ kgi k∞ 6 · 3n+1 · m+1 ·
≤ 18 · 3n ·
3
2
3m+1
F
m+1
3m+1 + 3
+3
d 3
= 18 · (2n )d ·
≤
18
·
r
·
,
m+1
m+1
3
3
gdzie
m = 0, 1, 2, ....
Zauwa»my równie», »e skoro
zawiera¢ przynajmniej jedn¡ komórk¦ z rodziny
Cc (F )
aproksymujacych
ka»dego
χB(x,r)
w
L1 (F )
S−n .
r > 2n
to kula
B(x, r)
Niech teraz ci¡g funkcji
speªnia warunek, »e
o
(2.1)
musi
gi ∈
gi (y) ≥ χB(x,r) (y)
dla
i ∈ N i y ∈ F . Mamy
Z
Z
gi (y)dµm (y) ≥
χB(x,r) (y)dµm (y) = µm (B(x, r))
F
F
m+1
3m+1 − 3
−3
−1
n+1 3
≥ 3 · m+1 ·
=3 ·3
·
m+1
3
2
3
m+1
m+1
3
−
3
3
−3
= 3−1 · (2n+1 )d ·
≥ 3−1 · rd ·
,
m+1
m+1
3
3
n
2
(2.2)
ROZDZIA 2.
m = 0, 1, 2, ....
1.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
Je±li
18
n > 0, to komórka rozmiaru 2n skªada si¦ z 3n komórek rozmiaru
Mog¡ one posiada¢ parami wspólne punkty brzegowe.
µm wn¦trz tych komórek.
powy»szym wzorze rozpatrujemy tylko miary
do granicy przy
Uwzgl¦dniaj¡c to, w
Przechodz¡c
m → ∞, a nast¦pnie przy i → ∞ w (2.1) i (2.2) otrzymujemy »¡dane
nierówno±ci dla miary
µ.
Dla uzasadnienia punktu (b) podobnie jak w punkcie (a) wystarczy wybra¢
odpowiedni ci¡g funkcji z
Je±li
K
Cc (F )
aproksymuj¡cy funkcj¦
jest dowoln¡ komórk¡ z rodziny
z obci¦cia standardowej miary
µ
F
w
L1 (F ).
S0 , to miar¦ probabilistyczn¡ powstaª¡
do komórki
Struktura geometryczna zbioru
χK
K
oznaczamy przez
niesie ze sob¡ tzw.
Zdeniujmy operatory dylatacji funkcji. Dla funkcji
f
i
µK .
wªasno±ci skalowania.
n = 0, 1, 2, ...
niech
(σn f )(x) = f (2n x).
Fakt 3 Niech E ⊂ F k dla pewnego k ∈ N i niech f ∈ L1 (E). Wówczas zachodzi
nast¦pujaca wªasno±¢ skalowania
Z
f (x)dµ(x) = 3
Dla
Z
(σn f )(x)dµ(x), n ∈ N.
(2.3)
2−n E
E
Dowód:
n
m = 0, 1, 2, ...
i dla funkcji
g ∈ Cc (F k )
wprost z denicji miary
µ
otrzymujemy
2
3m+1
X
g(y) =
k
y∈Vm
=
2
3m+1
mujemy (2.3) dla funkcji
X
3m+1
(σn g)(x)
k
x∈2−n Vm
2
X
3m+n+1
m→∞
(σn g)(x).
max(0,k−n)
x∈Vm+n
po obu stronach powy»szej równo±ci otrzy-
g i E ⊇ supp(g).
wystarczy wybra¢ ci¡g funkcji
g(2n x)
k
2n x∈Vm
2
= 3n ·
Przechodz¡c do granicy przy
X
gi ∈ Cc (F k )
Dla dowodu (2.3) w ogólnym przypadku
zbie»ny do
f χE
w
L1 (F ).
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
19
2.2 Analiza na trójk¡cie. Laplasjan Kigamiego,
pochodna normalna i forma Dirichleta. Funkcje
harmoniczne
Jun Kigami wprowadziª i rozwin¡ª teori¦ laplasjanu i funkcji harmonicznych na
ograniczonej wersji trójk¡ta (zob.
[32]-[36]).
We wspóªczesnych pracach analiza
rozwijana jest te» gªównie dla wersji ograniczonej trójk¡ta. Na przykªad, kluczowa
z naszego punktu widzenia teoria funkcji sklejanych [45], wprowadzona zostaªa dla
zbioru ograniczonego. Dla wygody, w pierwszej cz¦±ci tego podrozdziaªu, równie»
omawiamy analiz¦ dla wersji ograniczonej trójk¡ta Sierpi«skiego.
dowoln¡ komórk¦
K ∈ S0 ;
jak ju» zauwa»yli±my,
K
Rozwa»amyy
jest izometryczna z
F +.
Zwró¢my uwag¦ na to, »e obiekty, które za moment wprowadzimy, czyli laplasjan Kigamiego, pochodna normalna oraz forma Dirichleta, maj¡ charakter lokalny
i dzi¦ki temu ªatwo je rozszerzy¢ na caªy zbiór
F.
W drugiej cz¦±ci podrozdziaªu
omawiamy to rozszerzenie.
Funkcje harmoniczne w teorii laplasjanu Kigamiego charakteryzowane s¡ przez
tzw.
wªasno±¢ ±redniej:
0, 1, 2, ...,
warto±¢ funkcji w ka»dym wierzchoªku
K
, m =
x ∈ Vm
który nie jest punktem brzegowym, jest równa ±redniej warto±ci funkcji w
czterech s¡siednich do
x
wierzchoªkach z
K
Vm+1
.
Denicja 11 [36, Denicja 3.7.1] Niech ∆K,m g(x) = 5m
K
x ∈ Vm
. Deniujemy
P
K
y∈Vm,x
(g(y) − g(x)) dla
3
max ∆K,m g(x) − f (x) = 0
K \V K 2
m→∞ x∈Vm
0
D(∆K ) = g ∈ C(K) : ∃f ∈ C(K) taka, »e lim
Dla g ∈ D(∆K ) piszemy ∆K g = f , gdzie f jest funkcj¡ wyst¦puj¡c¡ w denicji
D(∆K ) odpowiadaj¡c¡ funkcji g . Operator ∆K nazywamy (standardowym) Laplasjanem Kigamiego, a zbiór D(∆K ) jego dziedzin¡.
Gdy
∆K g = 0,
to dla ka»dego
m∈N
mamy
∆K,m g = 0
na
K
Vm
\V0K
[36].
Innym niezwykle u»ytecznym narz¦dziem w teorii laplasjanu Kigamiego na
trójk¡cie Sierpi«skiego jest tzw. zewn¦trzna pochodna normalna funkcji
x∈
VkK wzgl¦dem komórki
S∈
SkK ,
k ∈ N.
f
w punkcie
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
20
Denicja 12 Dla funkcji f ∈ C(K) i punktu x ∈ VkK ∩S , gdzie S ∈ SkK deniujemy
(∂nS f )(x)
m
5
= lim
m→∞
3
X
(f (x) − f (y)) .
(2.4)
K ∩S
y∈Vm,x
Je±li komórka S b¦dzie ustalona lub b¦dziemy rozwa»a¢ ogólne wªasno±ci pochodnej
normalnej to czasem dla uproszczenia b¦dziemy pisa¢ po prostu ∂n .
Zwró¢my uwag¦ na fakt, »e dowolny wierzchoªek z
ª¡czy dwie komórki z
SkK
VkK \V0K , gdzie k = 1, 2, 3, ...,
i w zwi¡zku z tym mo»emy policzy¢ w tym punkcie dwie
niezale»ne zewn¦trzne pochodne normalne, w kierunkach przeciwnych do siebie,
wzgl¦dem ka»dej z tych dwóch komórek. Pochodna normalna jest dobrze okre±lona
dla wszystkich funkcji z dziedziny laplasjanu Kigamiego [36]; dla takich funkcji suma
pochodnych normalnych w przeciwnych kierunkach wynosi
Dla funkcji
0
[45].
f ∈ C(K) i m = 0, 1, 2, ... okre±lamy formy kwadratowe
m X X
5
EK,m (f, f ) =
(f (p) − f (q))2 .
3
K
K
T ∈Sm p,q∈T ∩Vm
Denicja 13 Dla f ∈ C(K) deniujemy
EK (f, f ) = lim EK,m (f, f ).
(2.5)
m→∞
Zbiór wszystkich funkcji, dla których powy»sza granica jest sko«czona, nazwiemy
dziedzin¡ formy EK i oznaczymy za pomoc¡ D(EK ).
W powy»szej denicji nie musimy zakªada¢ istnienia granicy,
EK,m (f, f )
jest niemalej¡cy [27]. Poniewa» miara komórki
C(K) ⊂ L2 (K).
fn → f
w
L2 (K)
Forma
oraz
E
f, g ∈ D(EK )
to
tzn.
jest sko«czona, wi¦c
je±li
fn ∈ D(EK ),
f ∈ D(EK ) ⊂ C(K)
i
[27].
okre±lamy
EK (f, g) =
Forma
L2 (K),
EK (fn − fm , fn − fm ) → 0,
EK (f, f ) = limn→∞ EK (fn , fn )
Dla
jest domkni¦ta na
K
gdy» ci¡g
EK (f, g)
za pomoc¡ wzoru polaryzacyjnego
1
(EK (f + g, f + g) − EK (f − g, f − g)) .
4
(EK , D(EK )) jest lokaln¡ regularn¡ form¡ Dirichleta na L2 (K) [27,
Twierdze-
nie 4.1].
Pomi¦dzy wprowadzonymi powy»ej obiektami zachodzi nast¦puj¡cy zwi¡zek
[36, Lemat 3.7.7., Twierdzenie 3.7.8.].
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
21
Twierdzenie 1 (wzór Gaussa-Greena) D(∆K ) ⊆ D(EK ). Ponadto dla ka»dych
funkcji g ∈ D(EK ) i f ∈ D(∆K ) prawdziwa jest równo±¢
EK (g, f ) =
X
g(x)∂nK f (x)
Z
−
g(y)∆K f (y)dµ(y).
(2.6)
K
x∈V0K
Wzór Gaussa-Greena mo»e posªu»y¢ jako równowa»na denicja laplasjanu
Kigamiego na
funkcje
K.
W pracy [45] deniuje si¦ laplasjan przy jego pomocy rozwa»aj¡c
g ∈ D(EK ) ∩ C0 (K).
Wtedy w sposób oczywisty pierwsza suma w (2.6)
znika.
Przez
Hj (K), j ∈ N
- harmonicznych, tzn.
oznaczamy przestrze« liniow¡ wszystkich funkcji
takich, »e
(∆j+1
K f )(x) = 0
(j + 1)
[45] udowodniono, »e funkcja
k
przez warto±ci (∆K f )(x) oraz
0
mujemy konwencj¦, »e ∆K f =
- harmoniczna
∂nK (∆kK f )(x),
f ).
dla ka»dego
x ∈
f
V0K ,
x ∈ K.
(j + 1)
W pracy
jest jednoznacznie opisana
0 ≤ k ≤ (j − 1)/2
(przyj-
Warto±ci w wierzchoªkach wewn¡trz komórki
K
mo»na wylicza¢ za pomoc¡ wzorów indukcyjnych o charakterze lokalnym [45, wzór
(5.8)](por.
lemat 1 poni»ej).
Dla
j = 1,
a tylko t¦ warto±¢ dalej rozpatrujemy,
omawiany wzór przyjmuje nast¦puj¡c¡ posta¢.
Fakt 4 [45] Niech x0 , x1 , x2 oznaczaj¡ wierzchoªki brzegowe pewnej komórki z SmK ,
K
m = 0, 1, 2, ..., a x wierzchoªek z Vm+1
le»¡cy na ±rodku kraw¦dzi x0 x1 . Wówczas
∆f (x) =
2
1
(∆f (x0 ) + ∆f (x1 )) + ∆f (x2 )
5
5
(2.7)
oraz
2
1
f (x) = (f (x0 ) + f (x1 )) + f (x2 )
5
5
1
3
7
(∆f (x0 ) + ∆f (x1 )) + ∆f (x2 ) .
− m+1
5
25
75
(2.8)
Podobne równo±ci zachodz¡ dla ±rodków kraw¦dzi x1 x2 oraz x2 x0 .
W dalszej cz¦±ci pracy b¦dzie interesowaª nas tylko przypadek tzw. funkcji biharmonicznych, tzn. gdy
H1 (K)
j = 1.
Wypiszemy elementy dwóch ró»nych baz przestrzeni
zdeniowanych w [45]. Pierwsza baza skªada si¦ z sze±ciu funkcji
f1k , k = 1, 2, 3,
f0k
oraz
speªniaj¡cych nast¦puj¡ce warunki brzegowe
f0k (vm ) = δk,m
∆f0k (vm ) = 0
oraz
f1k (vm ) = 0
∆f1k (vm ) = δk,m
,
(2.9)
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
Rysunek 2.1: Ilustracja dziaªania rodziny kontrakcji
gdzie punkty
v1 , v2 , v3
δk,m = 1,
k = m, δk,m = 0
gdy
s¡ wierzchoªkami z
22
Tl , l = 1, 2, 3,
V0K ,
tzn.
w przypadku komórki
punktami brzegowymi
K
K,
a
w przeciwnym wypadku.
Druga baza (w terminologii pracy [45]
lepsza baza )
skªada si¦ z funkcji
(1)
f0k
i
(1)
g0k , dla których zachodzi
(1)
f0k (vm ) = δk,m
(1)
∂n f0k (vm ) = 0
(1)
oraz
g0k (vm ) = 0
(1)
∂n g0k (vm ) = δk,m
.
(2.10)
Oczywi±cie ka»da funkcja z drugiej bazy jest kombinacj¡ liniow¡ funkcji z pierwszej
bazy.
Warunki brzegowe (2.9) oraz (2.10) wymuszaj¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci [45,
wzór (3.5)]
(1)
f0k
= f0k +
3
X
l=1
bkl f1l
oraz
(1)
g0k
=
3
X
dkl f1l ,
(2.11)
l=1
bkl i dkl s¡ odpowiednio postaci
−30 15 15
11 −4 −4
15 −30 15 i −4 11 −4
15 15 −30
−4 −4 11.
gdzie macierze wspóªczynników
[45, wzór (5.9)]
Niech
Tl , l = 1, 2, 3,
oznacza jednokªadno±¢ w skali
1
o ±rodku
2
(2.12)
vl
(zob. rys.
2.1).
Denicja 14 (system funkcji iterowanych, ang. iterated function system) Powiemy,
»e w jest sªowem dªugo±ci m ∈ N je±li w = (w1 , ..., wm ), gdzie wi = 1, 2, 3, 1 ≤ i ≤
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
23
m. Dla sªowa w deniujemy
Tw = Tw1 ◦ Tw2 ◦ ... ◦ Twm
Zauwa»my, »e dla ka»dego
na komórki
Tw K
z rodziny
m∈N
K
Sm
,
mo»liwy jest rozkªad komórki
K=
S
|w|=m
Tw K
których przekroje s¡ co najwy»ej jednopunktowe.
Fakt 5 (wªasno±ci skalowania) Niech w oznacza sªowo o dªugo±ci m. Zachodz¡
nast¦puj¡ce wªasno±ci skalowania
(a) ∆K (f ◦ Tw ) =
(b) ∂n (f ◦ Tw ) =
(c) EK (f, g) =
1 m
5
3 m
5
P
|w|=m
∆K f ◦ Tw ,
∂n f ◦ Tw ,
5 m
3
EK (f ◦ Tw , g ◦ Tw ).
Powy»sze wªasno±ci s¡ konsekwencj¡ struktury geometrycznej i harmonicznej standardowego trójk¡ta Sierpi«skiego. Ich uzasadnienie mo»na znale¹¢ w [45].
Udowodnimy teraz dwa lematy charakteryzuj¡ce funkcje z przestrzeni
H1 (K).
Lemat 1 Niech funkcja f ∈ H1 (K). Zaªó»my, »e punkty v1 , v2 , v3 ∈ VmK , m ∈ N
s¡ wierzchoªkami brzegowymi dowolnej komórki z SmK . Niech punkty v20 i v30 le»¡ na
±rodku kraw¦dzi v1 v2 i v1 v3 odpowiednio. Wówczas zachodzi nast¦puj¡ce równanie
macierzowe:
Dowód:
f (v1 )
f (v20 )
0
f (v3 )
m+1
3
∂n f (v1 )
5
3 m+1
0
∂n f (v2 )
5
3 m+1
∂n f (v30 )
5
1 0 0 0
0
0
12 12 1 − 7 − 7 − 1
25 25 25 75 75 75
12 1 12 7
1
7
25 25 25 − 75 − 75
− 75
=
3
0
0
0 0 0 5
6 6
1
1
−
0
−
0
5
5
5
5
− 65 0 56 15
0 − 15
f (v1 )
f (v3 )
.
m
3
∂n f (v1 )
5
3 m
∂n f (v2 )
5
3 m
∂
f
(v
)
n
3
5
f (v2 )
Dzi¦ki zale»no±ciom (2.7) oraz (2.8), przy pomocy macierzy wymiaru
6×6
mo»emy zapisa¢ przeksztaªcenie liniowe umo»liwiaj¡ce wyznaczenie warto±ci funkcji
oraz warto±ci jej laplasjanu Kigamiego w kolejnym kroku konstrukcji w punktach
v20
ROZDZIA 2.
i
v30 .
TRÓJKT SIERPISKIEGO
24
Istotnie, otrzymujemy
f (v1 )
100
0
0
0
f (v1 )
2 2 1 − 3 − 3 − 7
5 5 5 125 125 375
2 1 2
3
7
3
0
5 5 5 − 125
f (v3 )
− 375
− 125
= 0 0 0 1
1 m+1
∆f
(v
)
0
0
1
5
5
1 m+1
2
2
1
0
∆f
(v
)
0
0
0
2
5
25
25
25
1 m+1
1
2
2
0
∆f (v3 )
0 0 0 25
5
25
25
f (v3 )
.
1 m
∆f
(v
)
1
5
1 m
∆f
(v
)
2
5
1 m
∆f (v3 )
5
f (v20 )
f (v2 )
Nast¦pnie, na mocy (2.11) i (2.12), oraz wªasno±ci skalowania, macierz przej±cia
macierz przej±cia z drugiej bazy przestrzeni
f (v1 )
1
0
0
f (v3 )
=
m
−30
1
∆f
(v
)
1
5
1 m
∆f (v2 )
5
15
1 m
15
∆f (v3 )
5
f (v2 )
H1 (K)
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
15
15 11 −4
−30 15 −4 11
15 −30 −4 −4
do pierwszej jest postaci
0
0
0
−4
−4
11
f (v1 )
f (v3 )
.
m
3
∂
f
(v
)
n
1
5
3 m
∂
f
(v
)
n
2
5
3 m
∂n f (v3 )
5
f (v2 )
Podobnie
f (v1 )
1
0
0
0
f (v3 )
=
−30
1 m+1
∆f
(v
)
1
5
1 m+1
0
∆f (v2 )
5
15
m+1
1
15
∆f (v20 )
5
f (v20 )
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
15
15 11 −4
−30 15 −4 11
15 −30 −4 −4
0
0
0
−4
−4
11
f (v1 )
0
f (v3 )
.
3 m+1
∂
f
(v
)
n
1
5
3 m+1
∂n f (v20 )
5
3 m+1
0
∂n f (v3 )
5
f (v20 )
Porównuj¡c stronami powy»sze macierze i wykonuj¡c proste obliczenia macierzowe,
otrzymujemy »¡dan¡ zale»no±¢.
Lemat 2 Niech εi ∈ {0, 1}, i = 0, 1, 2. Funkcja ψ(x) = ε0 f00(1) (x) + ε1 f01(1) (x) +
(1)
ε2 f02 (x) speªnia nierównosci 0 ≤ ψ(x) ≤ 1 dla wszystkich x ∈ K .
Dowód:
Wystarczy dowie±¢, »e
0 ≤ ψ(x) ≤ 1
dla
K
x ∈ Vm
, m = 0, 1, 2, ....
Udowodnimy lemat za pomoc¡ indukcji matematycznej.
Zaªó»my, »e
v1 , v2 , v3
s¡
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
25
wierzchoªkami brzegowymi pewnej komórki z rodziny
K
.
Sm
Rozwa»my nast¦puj¡cy
warunek indukcyjny
0 ≤ ψ(v)
m
3
|∂n ψ(v)| ≤ 3ψ(v) ,
5
and
Z denicji bazy (2.10) wynika, »e funkcja
z
V0K .
ψ
v ∈ {v1 , v2 , v3 } .
(2.13)
speªnia powy»szy warunek w punktach
Przypu±¢my, »e zaªo»enie indukcyjne speªnione jest dla wierzchoªków z
0
0
Niech punkty
v2 i v3
wi±cie funkcja
ψ(x)
z
K
Vm+1
le»¡ odpowiednio na ±rodku kraw¦dzi
jest elementem przestrzeni
H1 (K).
v1 v2 i v1 v3 .
K
.
Vm
Oczy-
Dlatego na mocy lematu 1
otrzymujemy
ψ(v20 )
m
12
7 3
=
ψ(v1 ) −
∂n ψ(v1 )
25
75 5
m
12
7 3
+
ψ(v2 ) −
∂n ψ(v2 )
25
75 5
m
1
1 3
+
∂n ψ(v3 ) ≥ 0
ψ(v3 ) −
25
75 5
oraz
3ψ(v20 )
m+1
m
3
66
12 3
0
∂n ψ(v2 ) =
ψ(v1 ) −
∂n ψ(v1 )
−
5
25
25 5
m
6
2 3
+
ψ(v2 ) −
∂n ψ(v2 )
25
25 5
m
3
1 3
+
ψ(v3 ) −
∂n ψ(v3 ) ≥ 0 .
25
25 5
Podobny rachunek pokazuje, »e równie»
3ψ(v20 ) +
3 m+1
5
∂n ψ(v20 ) ≥ 0.
Z powodu
0
symetrii mo»emy zamieni¢ w powy»szym rozumowaniu punkty v2 i v2 na punkty v3
0
i v3 . Otrzymujemy st¡d, »e (2.13) zachodzi równie» dla komórki o wierzchoªkach
K
v1 , v20 oraz v30 z Vm+1
. Na mocy zasady indukcji matematycznej funkcja ψ(x) jest
nieujemna.
Aby pokaza¢ oczacowanie z góry
rozumowanie dla funkcji
1 − ψ.
ψ(x) ≤ 1,
wystarczy zastosowa¢ powy»sze
Zwró¢my uwag¦, i» zarówno laplasjan Kigamiego jak i zewn¦trzna pochodna
normalna s¡ operatorami lokalnymi. Z denicji tych obiektów natychmiast wynika,
i» ich warto±ci na funkcji
f
w dowolnym punkcie, zale»¡ tylko od warto±ci tej funkcji
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
na dowolnie maªym otoczeniu tego punktu.
26
Dzi¦ki temu mo»emy rozpatrywa¢ te
pojecia na nieograniczonym trójk¡cie Sierpi«skiego
F.
Równie» forma Dirichleta
(EK , D(EK )) posiada charakter lokalny i mo»emy j¡ deniowa¢ nie tylko na dowolnej
komórce z
ale tak»e na ka»dym zbiorze
Fn
i przez przej±cie graniczne równie»
F.
na caªym
n ∈ N i funkcji f ∈ C(K) tworzymy nast¦pujace dyskretne formy kwadra-
Dla
towe
S0 ,
m X
5
EF n ,m (f, f ) =
3
T ∈S n
m
Nast¦pnie deniujemy
n-t¡
X
(f (p) − f (q))2 , m = 0, 1, 2, ...
n
p,q∈T ∩Vm
form¦ kwadratow¡
EF n (f, f ) = lim EF n ,m (f, f )
(2.14)
m→∞
Ponownie wyra»enia
EFmn (f, f )
tworz¡ ci¡g niemalej¡cy ze wzgl¦du na
m,
wi¦c
granica ta zawsze istnieje. Ostatecznie oke±lamy
E(f, f ) = lim EF n (f, f )
(2.15)
n→∞
Ci¡g
EF n (f, f )
jest niemalej¡cy.
nazywamy dziedzin¡ formy
E
Zbiór funkcji
{f ∈ C(K) : E(f, f ) < ∞} ∩ L2 (F )
i oznaczamy przez
D(E).
przez (2.15) jest regularn¡ lokaln¡ form¡ Dirichleta na
Dla funkcji
(E, D(E))
f ∈ L2 (F )
Forma
(E, D(E))
zadana
2
L (F ) [27, Twierdzenie 4.3]).
deniujemy samosprz¦»ony operator zwi¡zany z form¡
wzorem
Z
E(f, g) = −
g(x)(∆L2 (F ) f )(x)dµ(x),
(2.16)
F
dla wszystkich
operatora
g ∈ D(E).
∆L2 (F )
istnieje funkcja
Dokªadniej, mówimy, »e funkcja
(co zapisujemy w postaci
∆L2 (F ) f
f
f ∈ D(∆L2 (F ) )),
nale»y do dziedziny
je±li
f ∈ D(E)
oraz
speªniajaca (2.16).
2.3 Funkcje sklejane
Na pocz¡tku tego podrozdziaªu przedstawimy krótki zarys teorii funkcji sklejanych (ang.
[45].
spline )
na ograniczonym trójk¡cie Sierpi«skiego, rozwini¦tej w pracy
Przestrze« funkcji sklejanych
m-tego
rz¦du na
K,
któr¡ oznaczamy przez
K
S(Hj (K), Vm ), skªada si¦ z funkcji, które po obci¦ciu do ka»dej komórki z
K
Sm
s¡
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
(j + 1)-harmoniczne
27
i speªniaj¡ odpowiednie warunki w punktach w¦zªowych z
K
.
Vm
Szczegóªowo warunki te okre±la denicja 4.3 w pracy [45]. W rozwa»anym przez nas
przypadku
j=1
przyjmuje ona nast¦puj¡c¡ posta¢.
Denicja 15 Mówimy, »e funkcja f nale»y do przestrzeni S(H1 (K), VmK ), je±li dla
ka»dego sªowa |w| = m zachodzi f ◦ Tw ∈ H1 (K) i dla ka»dego wierzchoªka z VmK \V0K
suma obydwu pochodnych normalnych funkcji f tym punkcie jest równa zero.
Przypomnijmy, »e dla ka»dego punktu, który nie jest wierzchoªkiem brzegowym mo»na policzy¢ dwie zewn¦trzne pochodne normalne, wzgl¦dem dwóch
komórek zawieraj¡cych ten punkt.
Twierdzenie 2 (por. [45, Twierdzenie 4.4]) Niech f ∈ S(H1 (K), VmK ). Wówczas
f ∈ D(EK ) oraz istnieje funkcja g ∈ L∞ (K) ci¡gªa wewn¡trz ka»dej komórki Tw (K),
|w| = m, speªniaj¡ca zale»no±¢ (2.6), tzn. dla ka»dej funkcji h ∈ D(EK ) zachodzi
równo±¢
Z
X
h(x)∂nK f (x) −
EK (h, f ) =
h(y)g(y)dµ(y).
K
x∈V0K
W pracy [45] teoria funkcji sklejanych wprowadzona zostaªa dla ograniczonej
wersji trójk¡ta Sierpi«skiego. W dalszej cz¦±ci pracy b¦dziemy potrzebowa¢ funkcji
sklejanych na trójk¡cie nieograniczonym.
formy
Zacznijmy od nast¦puj¡cej wªasno±ci
E.
Fakt 6 Niech f ∈ C(F ) b¦dzie funkcj¡ o no±niku w zbiorze ni=1 Ki dla pewnych
komórek Ki ∈ S0 , i = 1, ..., n, n ∈ N. Wówczas f ∈ D(E) wtedy i tylko wtedy, gdy
f|Ki ∈ D(EKi ), i = 1, ..., n. Ponadto zachodzi równo±¢
S
E(f, f ) =
n
X
i=1
EKi (f|Ki , f|Ki ).
ROZDZIA 2.
Dowód:
TRÓJKT SIERPISKIEGO
Istnieje
k0 ∈ N
28
takie, »e dla ka»dego
k = k0 , k0 + 1, k0 + 2, ...
zachodz¡
równo±ci
m X X
5
(f (p) − f (q))2
EF k ,m (f, f ) =
3
k p,q∈S
S∈Sm
m X
n
X X
5
=
(f|Ki (p) − f|Ki (q))2
3
K p,q∈S
i=1
S∈Sm
=
n
X
(2.17)
i
EKi ,m (f|Ki , f|Ki ),
i=1
dla
m = 0, 1, 2, ....
Przechodz¡c do niesko«czono±ci z
m,
a nast¦pnie z
k
w (2.17)
natychmiast otrzymujemy równo±¢ z tezy. Ze sko«czono±ci form po prawej stronie
wynika sko«czono±¢
E(f, f ).
E(f, f )
I na odwrót, ze sko«czono±ci
i z faktu, »e
wszystkie formy po prawej stronie s¡ nieujemne, wynika sko«czono±¢ ka»dej z nich.
Twierdzenie 3 Niech f ∈ C(F ) b¦dzie funkcj¡ o no±niku w zbiorze
pewnych komórek Ki ∈ S0 , i = 1, ..., n. Zaªó»my, »e:
Sn
i=1
Ki dla
(a) f |Ki ∈ S(H1 (Ki ), VmKi ),
(b) ∂nKi f (x) istnieje dla ka»dego x ∈ V0Ki , i = 1, ..., n,
(c) dla ka»dego x ∈ V0Ki ∩ V0Kj , i, j = 1, ..., n, i 6= j ,
∂nKi f (x) + ∂nKj f (x) = 0,
(c) dla ka»dego x ∈ V0Ki \
S
V0 j , i = 1, ..., n,
K
{1≤j≤n, j6=i}
∂nKi f (x) = 0.
Wówczas f ∈ D(∆L2 (F ) ) i ∆L2 (F ) f ∈ L∞ (F ).
Dowód:
Na mocy faktu 2 funkcja
speªniaj¡ce zale»no±¢ 2.6 wraz z
f |Ki ∈ D(EKi ), i = 1, ..., n oraz istniej¡ funkcje gi
f |Ki .
Na mocy równo±ci analogicznej do (2.17) oraz
zale»no±ci z twierdzenia 2 dla dowolnej funkcji
E(h, f ) =
n
X
i=1
EKi (h|Ki , f|Ki ) =
n
X
X
i=1 x∈V Ki
0
h ∈ D(E)
h(x)∂nKi f (x)
−
natychmiast dostajemy
n Z
X
i=1
Ki
h(y)gi (y)dµKi (y).
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
Zaªo»enie (b) powoduje, »e z (c) i (d) wynika, i»
29
Pn P
i=1
Ki
x∈V0
h(x)∂nKi f (x) = 0,
co
daje równo±¢
E(h, f ) = −
n Z
X
Z
h(y)gi (y)dµKi (y) = −
h(y)g(y)dµ(y),
Ki
i=1
F
gdzie
g=
na
0
na
g ∈ L∞ (F ),
Z faktu 2 wynika, »e
mamy, »e
gi
Int(Ki )
S
F \ ni=1 Int(Ki ).
a zatem
f ∈ D(∆L2 (F ) ) i g = ∆L2 (F ) f .
g ∈ L2 (F ).
Ostatecznie z denicji (2.16)
2.4 Ruch Browna i proces α-stabilny na trójk¡cie
Forma dwuliniowa
Dirichleta na
(E, D(E))
L2 (F ).
zdeniowana przez (2.15) jest regularn¡ lokaln¡ form¡
W my±l ogólnej teorii procesów Markowa ka»dej regularnej
formie Dirichleta odpowiada tzw.
przestrzeni¡ stanów
F
µ-symetryczny
proces Hunta
(Zt ; t ≥ 0)
zwi¡zany z t¡ form¡ poprzez póªgrup¦ przej±cia.
z
Je±li do-
datkowo rozwa»ana forma jest lokalna, to proces ten musi by¢ dyfuzj¡ [26, Twierdzenie 7.2.1.]. Tak wi¦c forma
F,
którego generatorem na
(E, D(E))
L2 (F )
zwi¡zana jest z procesem dyfuzji na zbiorze
jest operator zdeniowany przez (2.16) [26, s. 18
i 23].
Po
raz
pierwszy
poprawn¡
matematycznie
konstrukcj¦
tego
procesu
na
nieograniczonym trójk¡cie Sierpi«skiego podali niezale»nie S. Goldstein i S. Kusuoka
w roku 1987 [21, 38].
zbiorze
F
Otrzymali oni proces Markowa o ci¡gªych trajektoriach na
jako granic¦ symetrycznego bª¡dzenia losowego po grafach aproksymuja-
cych zbiór w
n-tym kroku konstrukcji (ang. pre-gasket ).
Wynik ten zostaª znacz¡co
rozszerzony przez M. Barlowa i E. Perkinsa w 1989 roku [6], którzy nie tylko w
podobny sposób skonstruowali dyfuzj¦ na zbiorze
F,
ale ponadto udowodnili ist-
nienie jej g¦sto±ci przej±cia absolutnie ciagªej wzgl¦dem
dora.
d-wymiarowej
miary Haus-
Za pomoc¡ bardziej subtelnych metod pokazali, »e speªnia ona oszacowa-
nia (1.4) i jest rozwi¡zaniem analogonu równania ciepªa dla generatora dyfuzji. Z
powodu analogii do przypadku klasycznego nazwali oni otrzymany proces ruchem
Browna na trójk¡cie Sierpi«skiego.
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
G¦sto±¢ przej±cia dyfuzjii wzgl¦dem
naczamy przez
q(t, x, y).
3n q(2ndw t, 2n x, 2n y)
operator
2
∆L2 (F ) .
f ∈ L (F )
n ∈ Z
d-miary µ
tak jak w rozdziale 1.1 oz-
zachodzi wªasno±¢ skalowania
q(t, x, y) =
(zob. [6, Twierdzenie 7.8]).
Qu , u > 0,
Przez
Dla
30
oznaczamy póªgrup¦ operatorów na
L2 (F ) generowan¡ przez
Jest to równocze±nie póªgrupa póªgrupa przej±cia procesu
Z;
dla
zachodzi
Z
Qu f (x) =
f (y)q(u, x, y)dµ(y), u > 0.
(2.18)
F
Konsekwencj¡ istnienia fraktalnej dyfuzji na zbiorze
F
jest istnienie
α-
stabilnego ruchu Levy'ego (zob. def. 3). Zauwa»my, »e na mocy (1.5) i twierdzenia
Fubiniego mamy
Z
Pt ϕ(x) − ϕ(x)
1
=
ϕ(y)p(t, x, y)dµ(y) − ϕ(x)
t
t
Z
Z ∞
1
=
ϕ(y)
q(u, x, y)ηt (u)dudµ(y) − ϕ(x)
t
0
Z Z
1 ∞
=
ϕ(y)q(u, x, y)dµ(y) − ϕ(x) ηt (u)du
t 0
Z ∞
ηt (u)
(Qu ϕ(x) − ϕ(x))
=
du,
t
0
dla wszystkich funkcji
wystarczy rozwa»a¢
ϕ,
dla których powy»sze caªki podwójne s¡ zbie»ne.
αn
q(u, x, y)
n
n
p(t, x, y) = 3 p(2 t, 2 x, 2 y).
rozkªad, co
tzn.
X2αn t .
daj¡ równo±¢
oraz z reprezentacji
Oznacza to, »e dla
Podobnie rozkªad
P x {XτD ∈ E} = P
przypadku miary
2n x
X τ2n D
{Xτ2n D ∈ 2n E}.
α-harmonicznej
2
D.
f
jest
proces
2n Xt
ma ten sam
jest przeskalowaniem rozkªadu
X τD ,
Ta niezmienniczo±¢ na skalowanie w
oraz skalowanie g¦sto±ci procesu i wªasno±¢ (2.3)
G2n D (2n x, 2n y) = 2(α−d)n GD (x, y)
równie», »e je±li funkcja
(1.5) wynika, »e równie»
n∈Z
oraz
α-harmoniczna
w
D,
n
E 2 x τ2n D = 2αn E x τD ,
jest dowolnym otwartym i ograniczonym podzbiorem
−n
Nam
ϕ ∈ Cc (F ).
Z wªasno±ci funkcji
n
(2.19)
F.
to
gdzie
D
Wprost z denicji wynika
σn f
jest
α-harmoniczna
w
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
31
2.5 Konstrukcja i wªasno±ci pewnej kluczowej
funkcji
W klasycznej analizie bardzo wa»n¡ rol¦ odgrywaj¡ radialnie malej¡ce funkcje gªadkie przybli»aj¡ce indykator.
Równie» metoda, któr¡ chcemy udowodni¢ gªówne
twierdzenie wymaga istnienia odpowiednika takiej funkcji dla laplasjanu na trójk¡cie
v ∈ V0
Sierpi«skiego. Dla
α/dw
∆
ruchu Levy'ego
oraz
0 ≤ ϕ(x) ≤ 1
potrzebujemy funkcji
takiej, »e
ϕ(x) = 1
x ∈ F.
dla wszystkich
dla
ϕ
z dziedziny generatora stabilnego
x ∈ B1 (v), ϕ(x) = 0
W klasycznej teorii na
ªatwo opisa¢ jawnym wzorem dla dowolnych kul
BRN (v, r),
dla
RN
x∈
/ B0 (v)
tak¡ funkcj¦
ale specyka analizy
na trójkacie Sierpi«skiego powoduje pewne trudno±ci, których omini¦cie wymaga
dodatkowych narz¦dzi, takich jak funkcje sklejane. Poni»ej przedstawiona jest konstrukcja funkcji o tych wªasno±ciach, która nie jest gªadka, ale nale»y do dziedziny
operatora
∆L2 (F ) ,
oka»e, »e nale»y ona tak»e do
Niech
v ∈ V0
K1 , K2 ∈ S0 .
∆L2 (F ) f ∈ L∞ (F ).
i co wi¦cej
α/dw
D(∆
).
b¦dzie wierzchoªkiem wspólnym dwóch s¡siednich komórek
Przypomnijmy, »e
B0 (v) = Int(K1 ∪ K2 ).
b¦d¡ pozostaªymi punktami brzegowymi
taki sposób, »e
v1i
i
v2i , i = 1, 2
Dla wygody oznaczmy tak»e
oraz
u13
v11 v12 .
St¡d wynika, jak si¦ za chwil¦
K1
i
K2
Niech
v12 , v13
S(u13 , v11 , u12 ), S(u11 , u12 , v13 )
s¡ rozmiaru
Niech
1/2
maj¡ jednakow¡ drug¡ wspóªrz¦dn¡ kartezja«sk¡.
v11 = v21 = v .
u21 , u22 , u23
oraz
i nale»¡ do rodziny
Tl , l = 1, 2, 3,
Dodatkowo, niech punkty
3
K1
S(H1 (K1 ), V1 ) (w istocie
tej przestrzeni, por.
S(v12 , u13 , u11 ),
S1 .
(1)
(1)
(1)
(f01 + f02 + f03 ) ◦ T1−1
(1)
ϕ1 = f01
◦ T2−1
f (1) ◦ T −1
ϕ1 ∈
oraz
S(v21 , u23 , u22 ), S(u23 , v22 , u21 ), S(u22 , u21 , v23 )
(1)
Przez f0,k oznaczmy funkcje zadane przez (2.10) na
Wówczas
u11 , u12
v12 v13 , v11 v13
(zob. rys. 2.2). Komórki
oznacza jednokªadno±¢ w skali
01
v22 , v23
odpowiednio, zlokalizowanymi w
b¦d¡ zlokalizowane odpowiednio na ±rodkach kraw¦dzi
Analogicznie okre±lmy
oraz
ϕ1
K1 .
1
o ±rodku
2
v1l
(rys. 2.2).
Okre±lamy
na
T1 (K1 )
na
T2 (K1 )
na
T3 (K1 )
(2.20)
jest sum¡ trzech funkcji bazowych
[45, wzory (5.13) i (5.15)]).
Analogicznie okre±lamy funkcj¦
ROZDZIA 2.
Rysunek 2.2:
kontrakcji
ϕ2
na
TRÓJKT SIERPISKIEGO
Ilustracja oznacze« przyj¦tych przy konstrukcji funkcji
Tl , l = 1, 2, 3,
K2 .
32
na zbiorze
ϕ
oraz dziaªania rodziny
B0 (v)
Ostatecznie deniujemy funkcj¦
ϕ
na caªym nieograniczonym trójk¡cie
Sierpi«skiego,
ϕ
1
ϕ = ϕ2
0
na
K1
na
K2
na
F \(K1 ∪ K2 ).
(2.21)
Lemat 3 Funkcja ϕ zdeniowana przez (2.21) posiada nast¦puj¡ce wªasno±ci:
ϕ(x) = 1 dla x ∈ B1 (v), ϕ(x) = 0 dla x ∈
/ B0 (v) oraz 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1 dla wszystkich
x ∈ F.
Dowód:
Wprost z denicji wynika, »e
dla wszystkich
funkcj¦
ϕ1 .
x∈
/ B0 (v).
ϕ(x) = 0
a wi¦c
K1
i
Zauwa»my, »e
01
(1)
K1 ∪ K 2 ,
Dla dowodu pozostaªych wªasno±ci rozwa»my zbiór
1
(1)
ϕ1 = f01
(T2−1 (x))
f (1) (T −1 (x))
W istocie
poza zbiorem
(1)
(1)
(1)
f01 + f02 + f03 = 1
(1)
(1)
(1)
3
na
f03 = 1, ∂nK1 (f01 + f02 + f03 ) = 0
podrozdziale 2.2, ka»da funkcja z
K1 ,
dla
x ∈ T1 (K1 )
dla
x ∈ T2 (K1 )
dla
x ∈ T3 (K1 )
poniewa» z (2.10) wynika, »e
na brzegu zbioru
K1 .
(2.22)
(1)
(1)
f01 + f02 +
Jak ju» zauwa»yli±my w
H1 (K) wyznaczona jest jednoznacznie przez swoje
warto±ci oraz warto±ci pochodnej normalnej w punktach brzegowych.
ROZDZIA 2.
TRÓJKT SIERPISKIEGO
Ponadto na mocy lematu 2 funkcje
ograniczone przez
1.
(1)
33
(1)
(1)
f01 + f02 + f03
To daje tez¦ lematu dla funkcji
ϕ.
oraz
(1)
f01
sa nieujemne i
Poni»sza wªasno±¢ jest kluczowa dla dowodu gªownego twierdzenia.
Lemat 4 Funkcja ϕ ∈ Cc (F ) zdeniowana przez
atora stabilnego ruchu Levy'ego ∆α/dw .
Dowód:
(2.21)
nale»y do dziedziny gener-
Z twierdzenia 37.1 w pracy [19] mamy
lim η1 (u)u1+α/dw = α/(2Γ(1 − α/dw )).
u→∞
Oznaczmy
Aα = α/(2Γ(1 − α/dw )).
Wªasno±¢ skalowania
ηt (u) = t−dw /α η1 (t−dw /α u), t, u > 0
oraz ograniczno±¢ funkcji
η1 (u)
daje oszacowanie
ηt (u) ≤ Ctu−1−α/dw , t, u > 0
(2.23)
oraz istnienie nast¦puj¡cej granicy
lim t−1 ηt (u) = lim t−1−dw /α η1 (ut−dw /α )
t→0
t→0
= u−1−α/dw lim s1+α/dw η1 (s)
(2.24)
s→∞
= Aα u−1−α/dw , u > 0.
Udowodnimy, »e
Pt ϕ(x) − ϕ(x)
→ Aα
t
∞
Z
(Qu ϕ(x) − ϕ(x)) u−1−α/dw du
(2.25)
0
w normie supremum.
Dzi¦ki (2.10) funkcja
dziedziny
ϕ
speªnia zaªo»enia twierdzenia 3, wi¦c
∆L2 (F ) i (∆L2 (F ) ϕ)(x)
jest istotnie ograniczona. St¡d
Z u
d
|Qu ϕ(x) − ϕ(x)| = Qs ϕ(x)ds
ds
Z0 u
=
Qs ∆L2 (F ) ϕ(x)ds
0
≤ uk∆F ϕ(x)k∞
ϕ
nale»y do
ROZDZIA 2.
dla ka»dego
TRÓJKT SIERPISKIEGO
t > 0.
34
Ponadto, mamy
|Qu ϕ(x) − ϕ(x)| ≤ 2kϕ(x)k∞ .
Wobec powy»szego oraz wzoru (2.19),
Z ∞
Pt ϕ(x) − ϕ(x)
−1−α/d
w
−
A
(Q
ϕ(x)
−
ϕ(x))u
du
α
u
t
0
Z ∞
ηt (u)
− Aα u−1−α/dw du
|Qu ϕ(x) − ϕ(x)| ≤
t
0
Z ∞
η
(u)
t
≤ C0
min(u, 1) − Aα u−1−α/dw du .
t
0
Dzi¦ki
(2.23) i
(2.24) oraz na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci zmajo-
ryzowanej, powy»sza caªka zbiega do zera przy
t → 0.
Lemat zostaª udowodniony.
Rozdziaª 3
Teoria funkcji α-harmonicznych
3.1 Klasyczna brzegowa nierówno±¢ Harnacka - rys
historyczny
Powró¢my na chwil¦ do klasycznej analizy w
okre±lona na pewnym zbiorze
D⊂R
N
RN , N ≥ 1.
Mówimy, »e funkcja
f ∈ C (D) oraz ∆f =
P
∂2
∆= N
i=1 ∂x2 . Motywacje
jest harmoniczna, gdy
0 na D, gdzie ∆ oznacza klasyczny operator Laplace'a, tj.
f
2
i
do badania funkcji harmonicznych pochodz¡ wprost z zyki.
Równanie
∆f = 0,
zwane równaniem Laplace'a, opisuje wiele procesów zachodz¡cych w przyrodzie,
takich jak chocia»by potencjaª grawitacyjny czy stacjonarny rozkªad temperatury
wewn¡trz danego o±rodka.
Pod koniec pierwszej poªowy XX wieku S. Kakutani [30, 31] dostrzegª sªynny
zwi¡zek pomi¦dzy funkcjami harmonicznymi i ruchem Browna, który zastosowaª do
rozwi¡zania problemu Dirichleta. Mamy nast¦pujac¡ probabilistyczn¡ charakteryzacj¦ funkcji harmonicznych. Funkcja
f
jest harmoniczna w
nego otwartego i ograniczonego zbioru
±redniej
f (x) = E x f (BτU ),
gdzie
U
(Bt )t>0
takiego, »e
oznacza
D ⊂ RN ,
U ⊂D
je±li dla dowol-
speªnia tzw. warunek
N -wymiarowy
ruch Browna.
Twierdzenie 4 udowodnione w nast¦pnym podrozdziale jest odpowiednikiem
tzw. brzegowej nierówno±ci Harnacka z klasycznej teorii funkcji harmonicznych w
RN .
W przypadku gªadkich podzbiorów
R2
byªa ona ju» znana na pocz¡tku drugiej
poªowy XX wieku. Jej dowód nie rozszerzaª si¦ jednak na wy»sze wymiary z powodu
braku mo»liwo±ci zastosowania narz¦dzi analizy zespolonej. Kilkana±cie lat po¹niej
35
ROZDZIA 3.
TEORIA FUNKCJI
α-HARMONICZNYCH
36
A. Ancona i B. Dahlberg udowodnili Brzegow¡ nierówno±¢ Harnacka (skr.
ang.
Boundary Harnack Principle ) dla tzw.
podzbiorów
RN
BHP,
zbiorów Lipschitza, tzn. ograniczonych
o odpowiednio regularnym brzegu (zob. [1, 17]). Wspomnijmy, »e
praca [1] zawiera dowód BHP nawet w szerszym kontek±cie funkcji harmonicznych
wzgl¦dem pewnej klasy operatorów eliptycznych, do której nale»y klasyczny laplasjan. D. Jerison i C. Kenig uogólnili twierdzenie na tzw. zbiory o brzegu dost¦pnym
niestycznie (ang.
nontangentially accessible domains ) [28].
Inn¡ drog¡ mo»liwych uogólnie« byªo rozpatrywanie funkcji harmonicznych
wzgl¦dem nielokalnych operatorów pseudoró»niczkowych.
Najprostszym i na-
jlepiej zbadanym przedstawicielem tej grupy operatorów jest uªamkowy laplasjan
−(−∆)α/2 , 0 < α < 2,
procesu
α-stabilnego
w
który jest generatorem izotropowego (symetrycznego)
N
R
.
f
Mówimy, »e funkcja
jest harmoniczna wzgl¦dem
−(−∆)α/2 (lub inaczej α-harmoniczna) w otwartym i ograniczonym zbiorze D ⊂ RN
je±li
f
jest ci¡gªa w
D
oraz
(−(−∆)α/2 )f = 0
na
D.
Ta denicja równowa»na jest
warunkowi warto±ci ±redniej (por. podrozdz. 1.5) wzgl¦dem rozkªadu izotropowego
procesu
α-stabilnego
w chwili wyj±cia ze zbioru
D
[12].
BHP dla uªamkowego laplasjanu zostaªa udowodniona po raz pierwszy w 1997
roku przez K. Bogdana dla zbiorów Lipschitza [9].
Staªa w tym twierdzeniu za-
le»aªa w sposób istotny od dziedziny harmoniczno±ci. Inny, bardziej probabilistyczny, dowód tego twierdzenia zawiera praca [11].
Powy»szy wynik zostaª uogólniony przez R. Songa i J.-M. Wu w pracy [40].
Pokazano tam, »e brzegowa nierówno±¢ Harnacka dla funkcji
RN
zachodzi dla dowolnego zbioru otwartego
D
w
ze staª¡ zale»n¡ od promienia na-
jwi¦kszej kuli, jak¡ mo»na wpisa¢ w przekrój zbioru
punkcie
α-harmonicznych
D
z kul¡ o ±rodku w ustalonym
v.
W 2006 roku K. Bogdan, T. Kulczycki i M. Kwa±nicki uogólnili BHP na
dowolne ograniczone zbiory otwarte ze staª¡, która w »aden sposób nie zale»y od
dziedziny
α-harmoniczno±ci
[13].
Niezwykle pomysªowa metoda wykorzystana w
dowodzie twierdzenia w »aden sposób nie zale»y od geometrii zbioru
D.
ROZDZIA 3.
TEORIA FUNKCJI
α-HARMONICZNYCH
37
3.2 Jednostajna brzegowa zasada Harnacka dla
funkcji α-harmonicznych na trójk¡cie Sierpi«skiego
Na przeªomie lat 80. i 90. ubiegªego wieku pojawiªy si¦ pierwsze prace J. Kigamiego
(zob. [32]-[36]) dotycz¡ce analizy na pewnej klasie fraktali przypominajacych struktur¡ trójk¡t Sierpi«skiego.
S¡ to zbiory które mo»na konstruowa¢ w sposób iter-
acyjny i przybli»a¢ odpowiednimi grafami w kolejnych krokach konstrukcji (fraktale PCF, z ang.
post-critically nite fractals ).
Na fraktalach typu PCF wi¦kszo±¢
wªasno±ci funkcji harmonicznych badana byªa w uj¦ciu analitycznym (np.
[36]).
Wªasnosci takie jak nierówno±¢ Harnacka dowodzone byªy bardziej probabilistycznie
dla trójk¡ta Sierpi«skiego. Wynik ten uzyskaª M. Barlow w [2]. Dywan Sierpi«skiego
(który nie jest fraktalem PCF) badany byª przez M. Barlowa i R. Bassa w pracach
[3, 4]. Co ciekawe, sama BHP w odniesieniu do dyfuzji na fraktalach nie byªa jeszcze
badana.
W przypadku funkcji
α-harmonicznych brzegowa zasada Harnacka na trójk¡cie
Sierpi«skiego zostaªa udowodniona po raz pierwszy przez K. Bogdana, A. Stósa i P.
Sztonyka w roku 2000 dla zbioru
D
b¦d¡cego wn¦trzem sko«czonej sumy komórek,
o by¢ mo»e ró»nych rozmiarach, i dla
α ∈ (0, 1) ∪ (d, dw )
[14].
zaprezentowaª A. Stós w pracy [42] dla dywanu Sierpi«skiego.
Podobny wynik
Ograniczenie na
parametr stabilno±ci wynika tu z braku wiedzy o uderzaniu w brzeg przez proces
przy wychodzeniu z kuli dla pozostaªych
α.
Zaprezentowane poni»ej twierdzenie jest istotnym uogólnieniem dotychczasowych wyników dla trójk¡ta Sierpi«skiego w przypadku
α < 1.
Wzoruj¡c si¦ na
metodzie pochodz¡cej z pracy [13], uwzgl¦dniaj¡c konieczne modykacje wynikajace
ze struktury geometrycznej trójkata oraz te spowodowane komplikacjami natury
analitycznej, udowodniona zostaªa brzegowa nierówno±¢ Harnacka dla funkcji
α-
harmonicznych i dla dowolnego podzbioru otwartego nieograniczonego trójk¡ta Sierpi«skiego
F,
ze staª¡ niezale»n¡ od rozwa»anego zbioru.
Twierdzenie 4 Niech α ∈ (0, 1). Dla n ∈ Z ustalmy v ∈ Vn−1 . Niech D b¦dzie
dowolnym otwartym podzbiorem B(v, 2−(n−4) ). Niech f oraz g b¦d¡ nieujemnymi
ROZDZIA 3.
TEORIA FUNKCJI
α-HARMONICZNYCH
38
funkcjami regularnie α-harmonicznymi na D takimi, »e f (x) = g(x) = 0 dla x ∈
B(v, 2−(n−4) )\D. Wówczas istnieje staªa c8 zale»na wyª¡cznie od α taka, »e
f (x)
f (y)
≤ c8
g(x)
g(y)
dla wszystkich x, y ∈ D ∩ Bn (v).
Zaczniemy od dowodu lematu posiadaj¡cego ciekaw¡ interpretacj¦ probabilistyczn¡. Je±li proces startuje z punktu wewn¦trznego zbioru
nio bliskiego punktowi
v,
Bn−1 (v)
odpowied-
to prawdopodobie«stwo, »e wyskoczy do dopeªnienia tego
zbioru szacuje si¦ przez warto±¢ oczekiwan¡ czasu pierwszego wyj±cia procesu z
rozwa»anego podzbioru
D ⊆ Bn−1 (v).
W dowodzie poni»szego lematu wykorzys-
tane b¦d¡ argumenty analityczne przygotowane w poprzednim rozdziale.
Lemat 5 Niech v ∈ Vn−1 dla pewnego n ∈ Z. Niech D ⊂ Bn−1 (v) b¦dzie dowolnym
zbiorem otwartym. Wtedy istnieje staªa c9 = c9 (α) taka, »e
P x (XτD ∈
/ Bn−1 (v)) ≤ c9 2−nα E x τD , x ∈ D ∩ Bn (v).
Dowód:
Ze wzgl¦du na niezmienniczo±¢ miary
α-harmonicznej
na skalowanie i
D,
oraz ze wzgl¦du
wªasno±¢ skalowania ±redniego czasu wyj±cia procesu ze zbioru
na to, »e ka»dy wierzchoªek
v 0 ∈ V0
(3.1)
v ∈ Vn−1 , n ∈ Z mo»na otrzyma¢ z pewnego wierzchoªka
poprzez skalowanie, wystarczy przeprowadzi¢ dowód nierówno±ci
(3.1) dla
n = 1.
Niech
lematów
ϕ ∈ Cc (F )
3, 4 dla
b¦dzie funkcj¡ zdeniowan¡ przez (2.21). Na mocy (1.11) i
x ∈ D ∩ B1 (v)
zachodzi
P x (XτD ∈
/ B0 (v)) = E x [ϕ(x) − ϕ(XτD ); XτD ∈ B0 (v)c ]
≤ E x [ϕ(x) − ϕ(XτD ); XτD ∈ Dc ]
Z
= − GD (x, y)∆α/dw ϕ(y)dy
Z
≤ C GD (x, y)dy,
gdzie
C = k((−∆)α/dw )ϕ(x)k∞ .
Poniewa»
R
GD (x, y)dy = E x τD ,
to ko«czy dowód.
ROZDZIA 3.
TEORIA FUNKCJI
α-HARMONICZNYCH
39
Teraz zdeniujemy funkcjonaª, który b¦dzie peªniª bardzo wa»n¡ rol¦ w dalszej
cz¦±ci pracy. Dla
v ∈ F, r > 0
i nieujemnej funkcji
Z
f
niech
|y − v|−d−α f (y)dµ(y).
Λv,r (f ) =
B(v,r)c
Zwró¢my uwag¦ na fakt, »e powy»szy funkcjonaª posiada wªasno±¢ skalowania,
Λv,r (f ) = 2−αn Λ2−n v,2−n r (σn f ).
Lemat 6 Zaªó»my, »e α ∈ (0, 1) oraz v ∈ Vn−1 dla n ∈ Z. Wtedy istnieje staªa
c10 zale»¡ca tylko od α taka, »e dla ka»dej funkcji f ≥ 0 regularnie α-harmonicznej
na pewnym otwartm D ⊂ B(v, 2−(n−4) ) i takiej, »e f (x) = 0 na Dc ∩ B(v, 2−(n−4) )
zachodzi nierówno±¢
f (x) ≤ c10 2−nα Λv,2−(n−2) (f ), x ∈ D ∩ B(v, 2−(n−2) ).
Dowód:
Ze wzgl¦du na wªasno±ci skalowania wystarczy przeprowadzi¢ dowód w
przypadku, gdy
harmoniczn¡ na
n = 1.
Niech
D ⊂ B(v, 8).
Dla
f ≥ 0
x∈D
b¦dzie nieujemn¡ funkcj¡ regularnie
α-
niech
f1 (x) = E x [f (XτD ); XτD ∈ B(v, 12)],
f2 (x) = E x [f (XτD ); XτD ∈ B(v, 12)c ].
Jest jasne, »e
funkcje
f = f1 + f2
f1 i f2
Dla
na
s¡ regularnie
z ∈ B(v, 2)
(1.13). Oznaczmy:
oraz
F , supp f1 ⊆ B(v, 12), supp f2 ⊆ B(v, 12)c ∪ D
α-harmoniczne
s ∈ (4, 8)
niech
na
D.
K(z, s)
R = B(v, 12) ∩ B(v, 4)c .
oraz »e
Dla
oznacza kul¦ zdeniowan¡ przez
x ∈ B(v, 2)
i
y ∈R
zdeniujmy
nowe j¡dro wzorem
Z
P (x, y) =
8
PK(z0 ,s) (x, y)ds,
4
gdzie
z0
jest punktem wybranym jak w fakcie 1. Wynika st¡d, »e
brzeg kuli
miary
K(z0 , s)
w
α-harmonicznej
F
dla prawie ka»dego
s ∈ (4, 8).
wzgl¦dem dziedziny dla
nie uderza w
St¡d i z monotoniczno±ci
x ∈ D ∩ B(v, 2)
mo»emy napisa¢
f1 (x) = E x [f1 (XτD∩K(z0 ,s) ); XτD∩K(z0 ,s) ∈ B(v, 12)]
Z
≤
PK(z0 ,s) (x, y)f1 (y)dµ(y)
K(z0 ,s)c ∩B(v,12)
Z
≤
PK(z0 ,s) (x, y)f1 (y)dµ(y).
B(v,4)c ∩B(v,12)
Xt
ROZDZIA 3.
TEORIA FUNKCJI
α-HARMONICZNYCH
40
Na mocy twierdzenia Fubiniego
1
f1 (x) ≤
4
8
Z
Z
f1 (y)
4
R
1
PK(z0 ,s) (x, y)dsdµ(y) =
4
W [14, Rozdziaª 7] udowodniono, »e
f1 (x) ≤ C
0
Z
f1 (y)P (x, y)dµ(y).
R
P (x, y) ≤ C(α) dla x ∈ B(v, 2) i y ∈ R.
Zatem
Z
f1 (y)dµ(y), x ∈ D ∩ B(v, 2).
R
Ponadto,
|v−y| ≤ 12, zatem |v−y|−d−α ≥ (12)−d−α .
St¡d otrzymujemy odpowiednie
oszacowanie dla pierwszej funkcji
f1 (x) ≤ C
00
Z
−d−α
|v − y|
f1 (y)dµ(y) ≤ C
00
x ∈ D ∩ B(v, 2)
|v − y|−d−α f (y)dµ(y)
B(v,2)c
R
dla
Z
ze staª¡
00
00
C = C (α).
Nast¦pnie poka»emy podobne oszacowanie dla funkcji
z ∈ B(v, 4)
dla
oraz
y ∈ B(v, 12)c
x ∈ D ∩ B(v, 2)
mamy
f2 .
Zauwa»my, »e dla
|y − z|−d−α ≤ C (3) |v − y|−d−α .
Dzi¦ki temu,
dostajemy
f2 (x) = E x [f (XτD ); XτD ∈ B(v, 12)c ]
Z
≤
PB(v,4) (x, y)f2 (y)dµ(y)
B(v,12)c
Z
Z
(4)
−d−α
≤C
GB(v,4) (x, z)|z − y|
dµ(z) f2 (y)dµ(y)
B(v,12)c
B(v,4)
Z
Z
(5)
≤C
GB(v,4) (x, z)dµ(z) f2 (y)|v − y|−d−α dµ(y)
c
B(v,12)
Z B(v,4)
= C (6) E x τB(v,4)
f2 (y)|v − y|−d−α dµ(y)
B(v,12)c
Z
≤ C (7)
f (y)|v − y|−d−α dµ(y)
B(v,2)c
gdzie staªe
C (3) , ..., C (7)
zale»¡ wyª¡cznie od
α.
Ostatecznie dla
x ∈ D ∩ B(v, 2)
otrzymujemy
f (x) = f1 (x) + f2 (x) ≤ C
(8)
Z
(α)
B(v,2)c
To ko«czy dowód lematu.
|v − y|−d−α f (y)dµ(y) = C (8) (α)Λv,2 (f ).
ROZDZIA 3.
TEORIA FUNKCJI
α-HARMONICZNYCH
41
Lemat 7 Niech α ∈ (0, 1). Ponadto niech v ∈ Vn−1 dla pewnego n ∈ Z.
Wówczas istnieje staªa c11 = c11 (α) taka, »e dla ka»dej funkcji f ≥ 0 regularnie
α-harmonicznej na D ⊂ B(v, 2−(n−4) ) i takiej, »e f (x) = 0 na B(v, 2−(n−4) )\D
zachodz¡ oszacowania
c11 −1 Λv,2−n (f )E x τD ≤ f (x) ≤ c11 Λv,2−n (f )E x τD , x ∈ D ∩ Bn (v).
Dowód:
Zauwa»my,
»e ze wzgl¦du na wªasno±ci skalowania rozpatrywanego
funkcjonaªu i ±redniego czasu wyjscia ze zbioru
D wzór z tezy lematu nie zale»y od n.
Przeprowadzamy wi¦c dowód lematu w przypadku, gdy
n = 1.
Niech
x ∈ D ∩B1 (v).
Wtedy
f (x) = E x [f (XτD∩B0 (v) ); XτD∩B0 (v) ∈ B(v, 2)c ]
+ E x [f (XτD∩B0 (v) ); XτD∩B0 (v) ∈ B(v, 2)\B0 (v)].
Pierwszy skªadnik powy»szej sumy jest postaci
E x [f (XτD∩B0 (v) ); XτD∩B0 (v) ∈ B(v, 2)c ]
Z
Z
=
GD∩B0 (v) (x, y) |y − z|−d−α f (z)dµ(y)dµ(z)
B(v,2)c D∩B0 (v)
Z
x
E τD∩B0 (v)
|v − z|−d−α f (z)dµ(z)
B(v,2)c
Zajmiemy si¦ drugim skªadnikiem sumy. Z lematu 2 i lematu 3 otrzymujemy
E x [f (XτD∩B0 (v) ); XτD∩B0 (v) ∈ B(v, 2)\B0 (v)]
≤ P x (XτD∩B0 (v) ∈
/ B0 (v))
sup
f (z)
B(v,2)\B0 (v)
Z
x
|v − z|−d−α f (z)dµ(z)
≤ CE τD∩B0 (v)
B(v,2)c
ze staª¡
C = C(α).
Mamy zatem
f (x) Λv,2 (f )E x τD∩B0 (v) .
Mamy
E x τD∩B0 (v) ≤ E x τD .
Ponadto ze wzoru (1.10) dostajemy
E x τD = E x τD∩B0 (v) + E x [E
XτD∩B
0 (v)
τD ; XτD∩B0 (v) ∈ B0 (v)c ]
≤ E x τD∩B0 (v) + Px (XτD∩B0 (v) ∈
/ B0 (v)) sup E y τD
y∈D
x
≤ E τD∩B0 (v) (1 + C
0
y
sup E τB(v,8) )
y∈B(v,8)
00
= C E x τD∩B0 (v)
ROZDZIA 3.
ze staª¡
0
TEORIA FUNKCJI
0
C = C (α)
i
00
00
C = C (α).
α-HARMONICZNYCH
Oczywi±cie
42
Λv,2 (f ) ≤ Λv,1/2 (f )
i z lematu 3
otrzymujemy
Λv,1/2 (f ) ≤ Λv,2 (f ) + C (3) µ(D ∩ B(v, 2))(1/2)−d−α
sup f (x) ≤ C (4) Λv,2 (f ),
D∩B(v,2)
ze staªymi
C (3) i C (4)
zale»nymi tylko od
Dowód Twierdzenia 4:
α.
To ko«czy dowód lematu.
Na mocy lematu 7 dla
x, y ∈ D ∩ Bn (v)
otrzymujemy
f (x)g(y) ≤ (CΛv,2−n (f )E x τD )(CΛv,2−n (g)E y τD )
= C 4 (C −1 Λv,2−n (f )E y τD )(C −1 Λv,2−n (g)E x τD ) ≤ C 4 f (y)g(x),
gdzie
C = c11 (α).
Rozdziaª 4
Uwagi ko«cowe
Integralnym elementem naszych rozwa»a« byªa analiza harmoniczna J. Kigamiego i
teoria funkcji sklejanych. Poj¦cia te faktycznie zostaªy rozwini¦te dla wi¦kszej klasy
fraktali, tzw.
PCF (zob.
[36, 45]), zawieraj¡cej mi¦dzy innymi wielowymiarowe
odpowiedniki trójk¡ta Sierpi«skiego.
Przy zaªo»eniu istnienia dyfuzji na takich
zbiorach (konstrukcja dyfuzji na fraktalach typu PCF, podobnie jak na trójk¡cie
Sierpi«skiego, wydaje si¦ osi¡galna), daje to mo»liwo±¢ otrzymania analogicznych
wyników jak w naszej pracy dla szerszej klasy fraktali.
Interesuj¡ce byªoby zast¡pienie poj¦cia funkcji sklejanych ogólniejsz¡ teori¡.
Wymagaªoby to jednak konstrukcji funkcji z dziedziny generatora ruchu stabilnego
speªniaj¡cej pewne dodatkowe warunki (zob. lematy 3, 4) za pomoc¡ bardziej abstrakcyjnych metod. Pozwoliªoby to otrzyma¢ tak ogólny wynik np. w przypadku
dywanu Sierpi«skiego. Obecnie wydaje si¦ to jednak bardzo trudne.
Innym kierunkiem dalszych bada« mo»e by¢ próba rozszerzenia wyników na pozostaªy zakres parametru stabilno±ci
α > d)
α
(w szczególno±ci na przypadek rekurencyjny
dla trójk¡ta Sierpi«skiego. Zauwa»my, »e wystarczyªaby wiedza o tym, »e
proces stabilny nie uderza w brzeg kuli
B(x, r) w chwili wyj±cia z niej.
Poniewa» jed-
nak brzeg kuli na trójk¡cie Sierpi«skiego mo»e by¢ bardzo nieregularny, nie mo»na
stosowa¢ metod znanych z przestrzeni euklidesowych.
Przedstawiona w tej pracy brzegowa nierówno±¢ Harnacka jest pierwszym elementem dowodu twierdzenia o istnieniu granic ilorazów funkcji
na brzegu i reprezentacji Martina funkcji singularnie
α-harmonicznych
α-harmonicznych.
Wydaje si¦,
»e mo»liwe jest uzyskanie przynajmniej cze±ciowych wyników w tym kierunku.
43
Bibliograa
Principle de Harnack à la frontiere et theoreme de Fatou pour
un operateur elliptique dans un domaine lipschitizien, Ann. Inst. Fourier 28, 4
[1] A. Ancona,
(1978), s. 169213.
[2] M. T. Barlow,
Diusions on fractals, Lectures on Probability Theory and Statis-
tics: Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour XXV, Springer, Berlin Heidelberg New York 1998.
[3] M. T. Barlow, R. F. Bass,
Coupling and Harnack inequalities for Sierpi«ski
[4] M. T. Barlow, R. F. Bass,
Brownian motion and harmonic analysis on Sier-
[5] M. T. Barlow, R. F. Bass,
The construction of Brownian motion on the Sier-
carpets, Bull. AMS 29 (1993), s. 208212.
pi«ski carpets, Canadian J. Math. 54 (1999), s. 673744.
pi«ski carpet, Ann. Inst. Henri Poincaré 25 (1989), s. 225257.
[6] M. T. Barlow, E. A. Perkins,
Brownian motion on the Sierpi«ski gasket, Prob.
Theory Related Fields 79 (1988), s. 543623.
[7] J. Bertoin,
Levy Processes, Cambridge University Press, Cambridge 1996.
[8] R. M. Blumenthal, R. K. Getoor,
Markov Processes and Potential Theory, Pure
Appl. Math., Academic Press, New York 1968.
[9] K. Bogdan,
The boundary Harnack principle for the fractional Laplacian, Studia
Math. 123 (1997), s. 4380.
[10] K. Bogdan,
Representation of α-harmonic functions in Lipschitz domains, Hi-
roshima Math. J. 29, 2 (1999), s. 227243.
[11] K. Bogdan, T. Byczkowski,
Probabilistic proof of boundary Harnack principle
for α-harmonic functions, Potential Anal. 11, 2 (1999), s. 135156.
44
BIBLIOGRAFIA
45
Potential theory for the α-stable Schrödinger operator on bounded Lipschitz domains, Studia Math. 133, 1 (1999), s. 5392.
[12] K. Bogdan, T. Byczkowski,
Estimates and structure of α-harmonic
[13] K. Bogdan, T. Kulczycki, M. Kwa±nicki,
functions, Prob. Theory Rel. Fields 140, 34 (2008), s. 345-381.
[14] K. Bogdan, A. Stós, P. Sztonyk,
Harnack inequality for stable processes on
d-sets, Studia Math. 158, 2 (2003), s. 163198.
[15] Z. -Q. Chen, T. Kumagai,
d-sets,
Heat kernel estimates for stable-like processes on
Stoch. Proc. Their Appl., 108 (1) (2003), pp. 27-62.
[16] K. L. Chung, Z. Zhao,
From Brownian motion to Schroedinger's equation,
Springer-Verlag, New York, 1995.
[17] B. Dahlberg
Estimates of harmonic measure, Arch. Rat. Mech. Anal. 65 (1977),
s. 275288.
[18] K. Darlymple, R. Strichartz, J. P. Vinson,
Fractal dierential equations on the
Sierpinski Gasket, J. Fourier Anal. Appl. 5 (1999), s. 203284.
[19] G. Doetsch
Introduction to the theory and aplications of the Laplace Transfor-
mation, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1974.
[20] E. B. Dynkin,
Markov processes I, Die Grundlehren der Math. Wissenschaften
121-122, Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg 1965 (tªumaczenie z j¦z.
rosyjskiego).
Random walks and diusions on fractals, w Percolation theory
and ergodic theory of innite particle systems, IMA vol. Math Appl. 8, 121-128,
[21] S. Goldstein,
Springer, New York-Berlin-Heidelberg 1987.
[22] K. J. Falconer,
Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press, 1985.
[23] K. J. Falconer,
Fractal geometry, Wiley, 1990.
[24] H. Federer,
[25] W. Feller,
Geometric measure theory, Springer, New York, 1969.
An introduction to probability theory and its applications,
vol. 2,
second edition, Willey, New York, 1971.
[26] M. Fukushima, Y. Oshima, M. Takeda,
Dirichlet forms and symmetric Markov
processes, deGruyter Studies in Math. 19, 1994.
BIBLIOGRAFIA
46
[27] M. Fukushima, T. Shima,
On a Spectral Analysis for the Sierpinski Gasket,
Potential Analysis 1 (1992), s. 135.
Boundary bahavior of harmonic functions in nontangentially accessible domains, Adv. in Math. 46 (1982), s. 171194.
[28] D. S. Jerison, C. E. Kenig,
[29] A. Jonsson, H. Wallin,
Functions spaces on subsets of RN , Math. Rep. t. 2, cz.
I, Harwood Acad. Publ., Londyn 1984.
[30] S. Kakutani,
Two-dimensional Brownian motion and harmonic functions, Proc.
Imp. Acad. Tokyo 20 (1944), s. 706714.
[31] S. Kakutani,
On Brownian motions in n-space,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 20
(1944), s. 648-652.
[32] J. Kigami,
A harmonic calculus on the Sierpinski spaces, Japan. J. Appl. Math.
8 (1989), s. 259290.
[33] J. Kigami,
Harmonic calculus on p.c.f. self-similar sets,
Trans. Amer. Math.
Soc. 335 (1993), s. 721755.
Harmonic metric and Dirichlet form on the Sierpinski gasket,
Asymptotic Problems in Probability Theory, ed. K. D. Elworthy, N. Ikeda,
[34] J. Kigami,
w
s.
201218, Longman Scientic, Harlow UK 1990.
[35] J. Kigami,
Laplacians on self-similar sets and their spectral distributions, Frac-
tal Geometry and stochastics (Firstenbergen, 1994), s. 221238, Progr. Probab.,
37, Birkhauser, Basel, 1995.
[36] J. Kigami,
Analysis on Fractals, Cambridge University Press, Cambridge 2001.
[37] T. Kumagai,
Some remarks for stable-like processes on fractals,
W: Proc. of
Conference held in Graz 2001, pp. 185-196, Birkhäuser 2002.
A diusion process on a fractal, w Probabilistic methods in mathematical physics, Proceedings Taniguchi Symposium, Katata 1985, Amsterdam,
[38] S. Kusuoka,
Kino Kuniya-North Holland, 1987, s. 251274 .
[39] K. Pietruska-Paªuba,
On functions spaces related to the fractional diusions on
[40] R. Song, J.-M. Wu,
Boundary Harnack Principle for Symmetric Stable Pro-
d-sets, Stoch. Rep. 70 (2000), s. 153164.
cesses, J. Funct. Anal. 168 (1999), s. 403427.
BIBLIOGRAFIA
[41] A. Stós,
47
Symmetric α-stable processes on d-sets, Bull. Polish Acad. Sci. Math.
48, 3 (2000), s. 237245.
Boundary Harnack Principle for fractional power of Laplacian on the
Sierpi«ski carpet, Bull. Sci. Math. 130, 7 (2006), s. 580594.
[42] A. Stós,
[43] R. S. Strichartz,
Taylor approximations on Sierpinski gasket type fractals,
J.
Fourier Anal 174 (2000), s. 76127
[44] R. S. Strichartz,
Analysis on fractals, Notices AMS 46 (1999), s. 11991208,
[45] R. S. Strichartz, M. Uscher,
Splines on fractals, Math. Proc. Cambridge Philos.
Soc. 129, 2 (2000), s. 331360.
