Układ sterowania adaptacyjnego z modelem odniesienia (MRAS

Układ sterowania adaptacyjnego z modelem odniesienia (MRAS

Układ sterowania adaptacyjnego z modelem odniesienia (MRAS, MRAC)
1. WSTĘP
Metoda sterowania adaptacyjnego z modelem odniesienia ukształtowała się w latach 70-ych ubiegłego wieku i
metoda ta została po raz pierwszy zastosowana w układach kontroli lotu. MRAS jest to metoda sterowania
systemem o zmiennej w czasie dynamice. Zalicza się do metod sterowania adaptacyjnego.
2. STRUKTURA UKŁADU STEROWANIA ADAPTACYJNEGO Z MODELEM ODNIESIENIA
Na rysunku 1 pokazano strukturę układu typu MRAS..
Rys.1. struktura układu typu MRAS
Model odniesienia określa pożądaną dynamikę obiektu sterowania wraz z regulatorem. Struktura regulatora jest
ustalona a dynamika obiektu znana co do struktury, z niepewnością co do wartości parametrów. Projektant
układu o ww. strukturze określa też, które parametry regulatora będą podlegać adaptacji. Celem sterowania jest
doprowadzenie dynamiki obiektu z regulatorem do dynamiki modelu odniesienia. Cel ten osiągany jest przez
zmianę nastaw regulatora. Różnica pomiędzy wyjściem modelu i obiektu, jest miarą błędu adaptacji.
Najważniejszą częścią struktury jest mechanizm adaptacji parametrów przetwarzający błąd na sygnał zmiany
wartości parametrów regulatora. Na podstawie określonego a priori kryterium jakości wyznacza się algorytm
adaptacji parametrów regulatora. Mechanizm ten nie jest trywialny i ma swoją dynamikę. Fundamentalne jest
aby proces był stabilny i zbieżny do wartości oczekiwanej. Jeżeli obiekt jest liniowy lub stacjonarny to struktura
taka nie ma uzasadnienia, ponieważ cel sterowania można osiągnąć metodami klasycznymi.
Struktura jest złożona z trzech procesów o różnych dynamikach: obiektu z regulatorem, który ma zmienne
parametry, modelu odniesienia i algorytmu adaptacji, który też jest procesem dynamicznym. Niewłaściwie
zaprojektowany model odniesienia lub mechanizm adaptacji mogą prowadzić do niestabilności albo braku
zbieżności procesu.
3. MECHANIZM ADAPTACJI
Są trzy główne metody adaptacji parametrów w układzie typu MRAS:
a. metoda gradientowa, zaproponowana przez Whitaker’a (1958) z MIT (MIT Rule)
b. znormalizowana metoda MIT
c. metoda oparta o metodę Lapunowa bezpośrednią
a. metoda gradientowa, zaproponowana przez Whitaker’a (1958) z MIT (MIT Rule)
Definiuje się funkcję kosztów:
J ( ) 
gdzie e jest błędem:
1 2
e ( )
2
e  yobiekt  ymodel
a  parametrem podlegającym adaptacji. Parametr  powinien być zmieniany w taki sposób (stronę), aby
prowadzić do zmniejszania J. Wynika z tego formuła adaptacji MIT, że zmiana  jest proporcjonalna do
gradientu J, z przeciwnym znakiem.
d
J
 
dt

gdzie  jest współczynnikiem określającym szybkość adaptacji.
Z postaci funkcji kosztów i reguły MIT wynika algorytm adaptacji parametru :
d
e
 e
dt

gdzie
J J e
e

e
 e 

e
określa wrażliwość błędu na zmiany .

Funkcja kosztów J może mieć różne postacie, np.: moduł błędu. Reguła MIT jest wprawdzie przejrzysta ale ma
kilka wad: nie gwarantuje stabilności ani zbieżności. Stabilność układu może zależeć od amplitudy wymuszenia.
Współczynnik  ma na ogół małą wartość i ma wpływ na szybkość adaptacji i stabilność struktury.
b. Znormalizowana metoda MIT
Znormalizowana metoda MIT pozwala chroni układ sterowania przed zależnością od amplitudy wymuszenia.
Definiując:

e
d
 e
, można regułę MIT zapisać jako:

dt
Znormalizowana reguła MIT jest określona przez równanie:
d
e
 2
dt
   T
c. metoda oparta o metodę Lapunowa bezpośrednią
Do zapewnienia stabilności procesu adaptacji formułuje się funkcję Lapunowa V(e, ), będącą funkcją błędu
adaptacji oraz parametrów podlegających adaptacji. Z pochodnej funkcji Lapunowa wyznacza się reguły
adaptacji parametrów zapewniające stabilność procesu adaptacji. Zbieżność do wartości oczekiwanej nie jest
zagwarantowana. Projektowanie algorytmu adaptacji wg tej metody jest prostsze niż w metodzie MIT.
Procedura składa się z następujących czynności: określenie struktury regulatora, wyznaczenie równania błędu i
jego pochodną, znalezienie funkcji Lapunowa, wyznaczenie prawa adaptacji, które spełnia warunki Lapunowa.
4. OBIEKT BADAŃ
Celem ćwiczenia jest zaprojektowanie dla zadanego obiektu układu sterowania z modelem odniesienia.
Dane są obiekt i model odniesienia opisane równaniami pierwszego rzędu:
dy
 ay  bu
dt
dym
 am ym  bmuc
dt
Transmitancja obiektu i modelu to:
Go ( s) 
b
,
sa
Gm ( s) 
bm
s  am
oraz regulator zerowego rzędu o dwóch nastrajanych parametrach:
u  1uc   2 y0
Zgodnie z rysunkiem 1:
y(s)  Go (s)u(s)
ym (s)  Gm (s)uc (s)
Po podstawieniu równania regulatora i porównaniu współczynników otrzymuje się następujące wartości
oczekiwane parametrów 1,2:
1 
bm
b
2 
am  a
b
Równanie błędu jest: e  y  ym .
a)Stosując do tego obiektu opisaną powyżej regułę MIT:
d
e
 e
dt

otrzymuje się następujące równania adaptacji parametrów:
d1
1
 
uc e
dt
s  am
d 2
1

ye
dt
s  am
c) dla funkcji Lapunowa o postaci:
V (e,1 , 2 ) 
1 2 1
1
(e  (b 2  a  am ) 2  (b1  bm ) 2 )
2
b
b
Obliczając pochodną funkcji Lapunowa:
dV de 1
d
1
d

 (b 2  a  am ) 2  (b1  bm ) 1
dt
dt 
dt 
dt
i po uwzględnieniu równania na pochodną błędu:
de
 ame  (b 2  a  am ) y  (b1  bm )uc
dt
otrzymuje się wyrażenia dla adaptacji parametrów
d1
 uc e
dt
d 2
 ye
dt
5. PROGRAM ĆWICZENIA
Zakres ćwiczenia:
1. Zamodelować strukturę z rysunku 1 dla podanych parametrów obiektu i modelu odniesienia wraz z
regulatorem i mechanizmem adaptacji (MIT, Lapunow) opisanym powyższymi równaniami.
2. Dla wymuszenia sinusoidalnego o amplitudzie 1 i okresie dłuższym niż stałe czasowe oraz dla współczynnika
adaptacji równego 1 zbadać działanie układu: przebieg sygnału wyjściowego z modelu i obiektu, sygnał
sterujący, przebieg parametrów 1,2 oraz ich wzajemne relacje,
3. Sprawdzić działanie układu przy wymuszeniu prostokątnym
4. Zbadać wpływ współczynnika adaptacji na działanie układu
5. Zbadać wpływ amplitudy wymuszenia na działanie układu
6. Porównać obie metody adaptacji
6. BIBLOGRAFIA
[1].
Åström, Wittenmark , H. Butler, ”Model-Reference Adaptive Control-From Theory to Practice”,
Prentice-Hall, 1992,
[2].
Franklin G., Powell J. D., Emami-Naeini A.: Feedback Control of Dynamic Systems, Prentice Hall, 4
edition, 2002