Pole równoległoboku, objetość równoległościanu (kontynuacja listy

Pole równoległoboku, objetość równoległościanu (kontynuacja
listy 0 z algbery liniowej II)
Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v wyrażony za pomocą współrzędnych tych wektorów.
Rozwiązanie. Przez równoległobok rozpięty na wektorach u, v rozumiemy
podzbiór R płaszczyzny powstały w następujący sposób. Obieramy na płaszczyźnie jakikolwiek punkt P . Do zbioru R zaliczamy te wszystkie punkty
X, które spełniają związek
−→
PX= su + tv
gdzie s i t są liczbami z przedziału [0, 1] (patrz: rysunek 1). Umieśćmy układ
R
X
v
tv
P
su
u
Rysunek 1: Równoległobok R rozpięty na wektorach u, v.
współrzędnych w ten sposób, że początek układu znajdzie się w P . Niech
(u1 , u2 ) oznaczają współrzędne wektora u. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, długość |u| wektora u wchodzi w równości
|u|2 = u21 + u22 ,
|u| =
q
u21 + u22 .
(1)
Niech γ oznacza kąt między wektorami u, v. Wektory te wraz z u−v tworzą
boki trójkąta (patrz: rysunek 2).
Na podstawie twierdzenia cosinusów mamy
|u||u| cos γ =
|u|2 + |v|2 − |u − v|2
.
2
1
x2
u-v
v
u2
γ
u
x1
u1
Rysunek 2: Twierdzenie cosinusów.
Po zastosowaniu (1) do wszystkich trzech wektorów ostatni związek możemy
przepisać tak:
u • v := |u||u| cos γ = u1 v1 + u2 v2 .
Określona właśnie wielkość u • v jest nazywana iloczynem skalarnym wektorów u, v. Niech
u v 1
1 |u, v| := .
u2 v2 Określmy wielkość
u
gram(u, v) := |[u, v] | · |u, v| = 1
v1
T
u2
v2
u
1
u2
v1
v2
.
Stąd, że wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi wyznaczników otrzymujemy
u•u u•v
gram(u, v) = v•u v•v
.
Bardziej geometrycznie,
|u|2
gram(u, v) = |u||v| cos γ
|u||v| cos γ
|v|2
.
Obliczmy otrzymany wyznacznik:
gram(u, v) = |u|2 |v|2 − |u|2 |v|2 cos2 γ = (|u||v| sin γ)2 .
2
p
W takim razie, w zgodzie ze szkolnym wzorem, gram(u, v) wyraża pole
|R| równoległoboku R. Ponieważ wyznacznik macierzy jest taki sam jak jej
transponowanej, więc na podstawie definicji gram(u, v). Otrzymamy
|R| =
q
gram(u, v) = abs(|u, v|).
(abs(x) oznacza tutaj wartość bezwzględną liczby x.) Nasuwa się pytanie:
Jak znak wyznacznika |u, v| zależy od wzajemnego położenia wektorów u,
v?
Zadanie 2. Niech A(x1 , x2 ), B(y1 , y2 ), C(z1 , z2 ) będą trzema punktami płaszczyzny z zadanym układem współrzędnych kartezjańskich. Niech 4 będzie
trójkątem o wierzchołkach w tych trzech punktach. Wykaż prawdziwość następujących wzorów;
y −x
1
|4| = abs 1
y2 − x 2

!
1
z1 − x 1 
= abs  x1
z2 − x 2 x2

1 1 
y1 z1  .
y2 z2 Zadanie 3. (do pracy w grupach) Równoległościanem (w przestrzeni R3 )
nazywamy zbiór punktów R, że istnieje punkt P i trzy liniowo niezależne
wektory u, v, w o tej właności, że
X ∈ R ⇐⇒
−→
_
PX= su + tv + rw.
s,t,r∈[0,1]
(patrz rysunek 3). Na podobieństwo wzoru na pole równoległoboku, wyznaczyć wzór na objętość równoległościanu. A jak będzie wyglądał wzór na
objętość czworościanu jeśli przyjąć, że znamy współrzędne jego wierzchołków?
Wyznaczmy najpierw wektor jednostkowy n prostopadły do u i v oraz
taki, że w • n > 0. Geometrycznie, n jest prostopadły do płaszczyzny równoległoboku P wyznaczonego przez P oraz wektory u, v oraz wskazuje
w kierunku tej samej półprzestrzeni co w. (Chodzi o półprzestrzenie, na
które płaszczyzna równoległoboku rozbija przestrzeń R3 . Algebraicznie, do
wektorów u, v, w możemy zastosować procedurę ortogonalizacyjną Grama–
Schmidta. Otrzymamy pewną bazę ortonormalną g 1 , g 2 , g 3 . Pierwsze dwa
wektory wyznaczają tę samą podprzestrzeń, co u, v, zatem g 3 jest prostopadły do płaszczyzny równoległoboku. Ponadto w • g 3 > 0. W takim razie n,
to po prostu g 3 . Oznaczmy przez h wysokość równoległościanu R liczoną do
3
R
X
w
rw
v
tv
P
su
u
Rysunek 3: Równoległościan.
podstawy wyznaczonej przez równoległobok P. Niech γ – kąt między wektoh
rami w i n. Nietrudno zauważyć (patrz rysunek 4), że
= cos γ. Z drugiej
|w|
strony, wobec tego, że |n| = 1 otrzymamy na podstawie geometrycznej definicji iloczynu skalarnego w • n = |w| cos γ. Łacząc oba związki otrzymujemy
h = w • n. Utwórzmy teraz macierz A, której kolumny stanowią wektory u,
v, w. (Zapisujemy je w zwykłych współrzędnych kartezjańskich). To znaczy,


u1 v1 w1


A = [u, v, w] =  u2 v2 w2  .
u3 v3 w3
Ponieważ wektory u, v, n stanowią bazę przestrzeni R3 , w takim razie w
możemy rozwinąć względem tej bazy: w = αu + βv + χn. Jeśli pamietać, że
iloczyn skalarny jest liniowy ze względu na czynniki oraz że n jest jednostkowy i prostopadły do u i v, to mnożąc skalarnie w przez n Otrzymamy
w • n = χ. W rezultacie h = χ. Korzystając z liniowości wyznacznika ze
względu na każdą kolumnę oraz z faktu, że wyznacznik macierzy o dwu
identycznych kolumnach jest 0 otrzymamy
|A| = |u, v, w| = α|u, v, u| + β|u, v, v| + h|u, v, n| = |u, v, hn|
4
h
w
n
γ
Rysunek 4: Wysokość równoległościanu.
Niech B = [u, v, hn]. Obliczmy wyznacznik macierzy B T B:
u•u u•v
T
|B B| = v • u v • v
0
0
0
0
h2
= gram(u, v)h2 .
Ponieważ gram(u, v) wyraża kwadrat pola podstawy rownoległościanu R,
a h jego wysokość opuszczoną na tę podstawę, więc |B T B| jest równe kwadratowi objetości równoległościanu R. Ponieważ także
|B T B| = |B|2 = |A|2 = |AT A|,
więc otrzymamy dwa wzory na objętość równoległoscianu R:
|R| = | det(u, v, w)|
|R| =
v
u
u u • u u • v
u
u v • u v • v
t
w•u w•v
(2)
u • w v•w w•w Wyrażenie pod pierwiastkiem nazywamy wyznacznikiem Grama wektorów u, v, w i oznaczamy podobnie jak w przypadku dwu wektorów gram(u, v, w).
Dlaczego warto znać dwa wzory. Przypuśćmy, że punkt P oraz wektory u,
v, w leżą w przestrzeni Rn , gdzie n > 3. Nadal możemy mówić o równoległościanie R wyznaczonym przez P i wspomniane wektory i zapytywać o
jego objętość. Ponieważ każdy z wektorów ma teraz n współrzędnych, więc
pierwszy ze wzorów z pewnością nie ma sensu (wyznacznik określiliśmy jedynie dla macierzy kwadratowych!). Natomiast drugi sens ma. I to właśnie
5
w oparciu o ten wzór wyznaczamy (a także definiujemy) w takim przypadku
objętość |R|. Czy pierwszy wzór jest w opisanej sytuacji całkowicie bezużyteczny? Nie. Można postąpić tak: Wyznaczyć jakąkolwiek bazę ortonormalną
przestrzeni lin{u, v, w} i utworzyć macierz A wypisując współczynniki rozwinięć wektorów u, v, w względem tej bazy; np. jeśli wyznaczona baza to
f 1 , f 2 , f 3 , to w pierwszej kolumnie wpiszemy wektor (u1 , u2 , u3 ), gdzie ui
spełniają związek u = u1 f 1 + u2 f 2 + u3 f 3 . Nietrudno zauważyć, że i w tym
przypadku oba wzory dadzą tę samą wartość. Pierwszy wzór ma ciekawe
zastosowanie, o którym za chwilę.
Pojęcie wyznacznika Grama możemy rozszerzyć na dowolne m wektorów
przestrzeni euklidesowej V z iloczynem skalarnym oznaczonym tym razem
h·, ·i: Niech u1 , . . . , um – dowolne wektory przestrzeni V . Wyznacznikiem
Grama tych wektorów nazywamy wielkość:
hu , u i hu , u i . . .
1
1
1
2
hu2 , u1 i hu2 , u2 i . . .
gram(u1 , . . . , um ) = ..
..
..
.
.
.
hum , u1 i hum , u2 i . . .
hum , um i hu1 , um i
hu2 , um i
..
.
Oczywiście nie ma tu znaczenia, czy wektory te są liniowo niezależne, czy
też nie. Zauważmy jedynie, że jeśli są liniowo zależne, to wyznacznik Grama
jest równy 0. Przypuśćmy teraz, że są liniowo niezależne i niech p bedzie dowolnym punktem w V . Równoległościanem wymiaru m wyznaczonym przez
p, u1 , . . . , um nazywamy zbiór:
R = {p + t1 u1 + · · · + tm um : (t1 , . . . , tm ) ∈ [0, 1]m }.
Objętość (oznaczymy ją teraz volm dla podkreślenia wymiaru) tego równoległościanu określamy wzorem:
volm (R) =
q
gram(u1 , . . . um ).
Oczywiście tak określona objętość nie zależy od p. Jeśli przesunąć R o pewien wektor w, to znaczy R + w = {x + w : x ∈ R}, to otrzymany zbiór
jest równoległościanem wyznaczonym przez q = p+w, u1 , . . . , um . W takim
razie
volm (R + w) = volm (R).
Objetość równoległościanu jest więc niezmiennicza na jego przesunięcia.
Niech teraz T będzie odwracalnym przekształceniem liniowym przestrzeni V
na siebie; to znaczy, T jest automorfimem liniowym przestrzeni V , ale niekoniecznie automorfizmem euklidesowym (izometrią liniową). Wtedy T (R) jest
6
równoległościanem wymiaru m wyznaczonym
przez T (p), T (u1 ), . . . T (um ).
p
Oczywiście jego objętość jest równa gram(T (u1 ), . . . T (um ). Jednak wzór
ten niewiele wnosi. Chodziłoby o to, by dostać formułę, która łatwo pozwalałby wyliczyć volm (T (R)) w oparciu o znajomość T i volm (R). W pewnym szczególnym przypadku możemy zastosować pierwszy wzór na objętość.
Przypuśćmy na powrót, że V = Rn oraz m = n. Wtedy, jak nietrudno się
przekonać, voln (R) = | det A|, gdzie A = [u1 , . . . , un ]. (Po prostu, tak jak
w przypadku n = 3, mamy |AT A| = gram(u1 , . . . , un ). Niech teraz B oznacza macierz odwzorowania T względem (e, e), gdzie e – baza standardowa.
Mamy
voln (T (R)) = |T (u1 ), . . . , T (un )| = | det(BA)| = | det(B)| · | det(A)|
= | det(T )| voln (R).
Otrzymaliśmy interesujący wzór:
voln (T (R)) = | det(T )| voln (R).
(4)
Objętość można zdefiniować dla obszernej klasy podzbiorów przestrzeni
Rn . Elementy tej klasy nazywamy zbiorami mierzalnymi. Równość (4) zachodzi dla wszelkich zbiorów mierzalnych; to znaczy, równoległościan możemy
zamienić na dowolny zbiór mierzalny. Pośród zbiorów mierzalnych znajdują się wszystkie podzbiory domknięte przestrzeni Rn . Ponadto, dopełnienie
zbioru mierzalnego jest zbiorem mierzalnym, a także jeśli (Ai : i ∈ N) jest
S
T
ciągiem zbiorów mierzalnych, to i∈N Ai oraz i∈N Ai są także zbiorami
mierzalnymi.
7