Artykuł w formacie PDF

Strona |1
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
dr Anna Rybak
Instytut Informatyki
Uniwersytet w Białymstoku
Ciągi liczbowe z komputerem
Wprowadzenie
W artykule zostanie zaprezentowany sposób wykorzystania arkusza kalkulacyjnego do badania
własności ciągów liczbowych (arytmetycznego i geometrycznego), a także do rozwiązywania
problemów opisanych przy pomocy ciągów. Zagadnienia, które stanowią kanwę prezentowanych
problemów, pochodzą z różnych dziedzin nauki i z życia codziennego. Arkusz kalkulacyjny jest
dobrze znany każdemu użytkownikowi komputera, ale jego wykorzystanie w kształceniu
matematycznym jest znikome, więc artykuł podejmuje próbę zmiany tej sytuacji.
Ciąg arytmetyczny
Wprowadzenie teoretyczne:
Ciąg liczbowy (an) nazywamy arytmetycznym o różnicy r, jeżeli
an+1 = an+r dla każdego nN+.
Liczbę rzeczywista r jest stała.
Prawdziwe są zależności:
an = a1 + (n-1)r,
a + an
2a 1 + (n − 1)r
n=
n.
Sn = a1 + a2 + ... +an = 1
2
2
Sn nazywamy n-tą sumą częściową ciągu, zaś ciąg sum częściowych (Sn) szeregiem liczbowym.
Jak komputer może nam pomóc w badaniu ciągów arytmetycznych
- przykłady
Przykład 1.
Zbadaj, które z podanych ciągów są ciągami arytmetycznymi. Jaki jest pierwszy wyraz, a jaka
różnica?
a) a n =
2n
,
n+ 1
b) bn = n2 +1,
c) u n = 3 −
1
n.
3
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |2
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Udzielenie odpowiedzi na postawione pytanie wymaga sprawdzenia, czy różnica wyrazu n-tego i
poprzedniego jest stała niezależnie od n (n>1).
Z pewnością potrafisz zaprojektować odpowiednią tabelę, która to zrealizuje:
n
an=2n/(n+1) an+1-an
n
1
1,0000
2
1,3333
0,3333
3
1,5000
0,1667
4
1,6000
0,1000
5
1,6667
0,0667
6
1,7143
0,0476
7
1,7500
0,0357
8
1,7778
0,0278
9
1,8000
0,0222
10
1,8182
0,0182
11
1,8333
0,0152
12
1,8462
0,0128
13
1,8571
0,0110
14
1,8667
0,0095
bn=n*n+1
bn+1-bn
1
2,00
2
5,00
3
10,00
4
17,00
5
26,00
6
37,00
7
50,00
8
65,00
9
82,00
10
101,00
11
122,00
12
145,00
13
170,00
14
197,00
n
3,00
5,00
7,00
9,00
11,00
13,00
15,00
17,00
19,00
21,00
23,00
25,00
27,00
un=3-n/3
un+1-un
1
2,6667
2
2,3333
-0,3333
3
2,0000
-0,3333
4
1,6667
-0,3333
5
1,3333
-0,3333
6
1,0000
-0,3333
7
0,6667
-0,3333
8
0,3333
-0,3333
9
0,0000
-0,3333
10
-0,3333
-0,3333
11
-0,6667
-0,3333
12
-1,0000
-0,3333
13
-1,3333
-0,3333
14
-1,6667
-0,3333
Analiza powyższych tabel pozwala na sformułowanie wniosku-hipotezy:
Ciąg un jest ciągiem arytmetycznym, ciągi an i bn nie są ciągami arytmetycznymi.
Przykład 2.
Wykaż, że ciąg (un), którego ogólny wyraz jest określony wzorem:
un = a*n + b, a, bR
jest ciągiem arytmetycznym.
a
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
un=a*n+b un+1-un
4
1
6,00
4
2
8,00
2,00
4
3
10,00
2,00
4
4
12,00
2,00
4
5
14,00
2,00
4
6
16,00
2,00
4
7
18,00
2,00
4
8
20,00
2,00
4
9
22,00
2,00
4 10
24,00
2,00
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |3
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
a
b
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-3
n
un=a*n+b un+1-un
1
1
-2,00
1
2
-5,00
-3,00
1
3
-8,00
-3,00
1
4
-11,00
-3,00
1
5
-14,00
-3,00
1
6
-17,00
-3,00
1
7
-20,00
-3,00
1
8
-23,00
-3,00
1
9
-26,00
-3,00
1 10
-29,00
-3,00
Powyższe tabele i wykresy ilustrują badanie problemu dla konkretnych współczynników a i b.
Zmieniając w odpowiednich komórkach arkusza wartości tych współczynników możesz sprawdzić
prawdziwość postawionej w zadaniu hipotezy dla wielu różnych a i b. Pamiętaj, że dowód formalny
należy przeprowadzić niezależnie od obserwacji komputerowych.
Przykład 3.
Pomiędzy 1 marca a 31 marca wschód słońca na 40 stopniu szerokości geograficznej północnej
następuje każdego dnia około 1,6 min wcześniej niż dnia poprzedniego. O której godzinie słońce
wzejdzie 21 marca, jeżeli 1 marca wschodzi o godz. 633 ? Którego dnia słońce wzejdzie o 553 ?
data
godzina
01-mar 06:33:00
02-mar 06:31:24
03-mar 06:29:48
04-mar 06:28:12
05-mar 06:26:36
06-mar 06:25:00
07-mar 06:23:24
08-mar 06:21:48
09-mar 06:20:12
10-mar 06:18:36
11-mar 06:17:00
12-mar 06:15:24
13-mar 06:13:48
14-mar 06:12:12
15-mar 06:10:36
16-mar 06:09:00
17-mar 06:07:24
18-mar 06:05:48
19-mar 06:04:12
20-mar 06:02:36
21-mar 06:01:00
różnica
00:01:36
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |4
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
22-mar
23-mar
24-mar
25-mar
26-mar
27-mar
28-mar
29-mar
30-mar
31-mar
01-kwi
05:59:24
05:57:48
05:56:12
05:54:36
05:53:00
05:51:24
05:49:48
05:48:12
05:46:36
05:45:00
05:43:24
W powyższym arkuszu komórki pierwszej kolumny zostały sformatowane tak, aby można było
zapisać w nich daty oraz wykonywać działania na ich zawartościach zgodnie z właściwościami dat
( np. zmiana miesiąca w odpowiednim momencie ). W komórkach drugiej kolumny wpisane są
dane typu „czas” i dzięki odpowiedniemu formatowi możliwe jest wykonywanie działań
z uwzględnieniem właściwości czasu ( zmiana minuty po 60 sekundach, zmiana godziny po 60
minutach ).
Z treści zadania wynika, że godziny, o których wschodzi słońce tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy
1 min 36 sekund. Jako wartości początkowe zostały wprowadzone do arkusza: data 1.III
( w komórce A2 ), godz. 6:33 ( w komórce B2 ) oraz różnica ciągu ( w komórce C2 ). Obliczenia
zostały wykonane dzięki wprowadzeniu formuł:
= A2 + 1 w komórce A3,
= B2 - $C$2 w komórce B3
oraz skopiowaniu ich do komórek położonych w następnych wierszach.
Z tabeli odczytujemy, że 21 marca słońce wzejdzie o godzinie 6:01, zaś o godz. 5:53 słońce wzejdzie
dnia 26 marca.
Przykład 4.
W roku 1980 populacja ludzi w pewnym miasteczku wzrosła o 4200 osób. Każdego roku
w następnej dekadzie przyrost ludności w tym mieście zmniejszał się o 20 osób rocznie. O ile osób
wzrosła liczba ludności w tym mieście w latach 1980-1990?
rok
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
przyrost ludności
4200
4180
4160
4140
4120
4100
4080
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |5
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
1987
1988
1989
1990
4060
4040
4020
4000
razem
45100
W powyższym arkuszu w celu obliczenia łącznego przyrostu ludności w latach 1980-1990 użyta
została funkcja sumowania:
= suma (F2:F12) w komórce F14.
Przyrosty ludności w poszczególnych latach obliczane były przy pomocy formuły uwzględniającej
własności ciągu arytmetycznego.
Zadania do samodzielnej pracy:
Zadanie 1.
Sprawdź, czy podane ciągi są arytmetyczne. Jeśli tak, to określ ich monotoniczność:
a) an = 3n – 2,
b) bn = 3n2 – 2,
c) cn = 2n-2.
Jakimi metodami możesz zbadać powyższe ciągi?
Zadanie 2.
Wykaż, że jeśli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, to wszystkie punkty o współrzędnych (n; an)
należą do jednej prostej.
Zadanie 3.
Jan Nowak zakupił budynek, w którym rozwinął działalność gospodarczą. Każdego roku spłaca ratę
zaciągniętego na ten cel kredytu. Rata wynosi 20000 zł. Pierwszego roku działalność przyniosła zysk
w wysokości 70200 zł, każdego następnego roku zysk wzrasta o 5000 zł. Po ilu latach różnica
między zyskiem a wysokością raty do zapłacenia przekroczy 100000 zł ?
Zadanie 4.
Podczas prowadzenia obserwacji botanicznych zauważono, że średnica drzewa zwiększa się o taką
samą wielkość każdego roku. Jeżeli średnica była równa 61 mm pod koniec szóstego roku wzrostu
drzewa, a 76 mm pod koniec dziesiątego roku, jaka była średnica drzewa w końcu pierwszego roku?
Zadanie 5.
W wyniku przeprowadzonych pomiarów i odpowiednich symulacji komputerowych stwierdzono, że
bezpośrednio po zbudowaniu szerokość Wielkiej Piramidy w Gizie zmniejszała się o 1,57 m na
każdy metr wysokości. Na jakiej wysokości szerokość jest równa 103,62 m, jeżeli szerokość
mierzona na wysokości 1 m jest równa 229,22 m? Jak wysoka była piramida na początku swego
istnienia?
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |6
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Ciąg geometryczny
Wprowadzenie teoretyczne:
Ciąg liczbowy (an) nazywamy geometrycznym o ilorazie q różnym od zera, jeżeli
an+1 = an*q dla każdego nN+.
Liczbę rzeczywista q jest stała.
Prawdziwe są zależności:
an = a1 * qn-1,
1− qn
S n = a1
, jeżeli q<>1,
1− q
Sn = n*a1 , jeżeli q=1.
Wśród ciągów geometrycznych szczególną uwagę zwracamy na takie, dla których |q|<1. Są to ciągi
szybko malejące. Suma ich wszystkich wyrazów jest skończona. W tym przypadku szereg
geometryczny (Sn) jest zbieżny i jego sumą jest liczba
S=
a1
1− q .
Jak komputer może nam pomóc w badaniu ciągów geometrycznych
- przykłady
Przykład 1.
Zbadaj, które z określonych niżej ciągów są ciągami geometrycznymi:
a) an = 2n ,
b) bn = n2 ,
3
,
4n
n
d) d n =
.
n− 1
c) cn =
Badanie powyższych ciągów polega na sprawdzeniu, czy iloraz wyrazu n-tego i poprzedniego jest
stały niezależnie od n (n>1).
n
an=2^n an+1/an
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
n
2
2
2
2
bn=n2 bn+1/bn n
1
1
2
4
4,00
3
9
2,25
4
16
1,78
5
25
1,56
cn=3/4n
cn+1/cn
n
1 0,75000000
2 0,18750000
0,2500
3 0,04687500
0,2500
4 0,01171875
0,2500
5 0,00292969
0,2500
dn=n/(n-1) dn+1/dn
2
2,0000
3
1,5000
0,7500
4
1,3333
0,8889
5
1,2500
0,9375
6
1,2000
0,9600
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |7
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
6
7
8
9
10
64
128
256
512
1024
2 6
2 7
2 8
2 9
2 10
36
49
64
81
100
1,44
1,36
1,31
1,27
1,23
6
7
8
9
10
0,00073242
0,00018311
0,00004578
0,00001144
0,00000286
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
7
8
9
10
1,1667
1,1429
1,1250
1,1111
0,9722
0,9796
0,9844
0,9877
Analiza odpowiednich arkuszy pozwala na sformułowanie wniosku - hipotezy:
Ciągi o wyrazach ogólnych an i cn są ciągami geometrycznymi, zaś ciągi o wyrazach ogólnych bn
i dn nie są.
Przykład 2.
Okres połowicznego rozpadu azotu 13 (izotopu azotu) wynosi około 10 minut. Ile azotu 13 będzie
w laboratorium o godz. 1600, jeżeli o godz. 1510 próbka ma masę 4 mg?
okres
połowicznego
rozpadu
00:10
godzina
15:10
15:20
15:30
15:40
15:50
16:00
masa próbki
(w g)
4
2
1
0,5
0,25
0,125
Przykład 3.
Żółw przebywa drogę o długości 2 m w linii prostej w ciągu 1 min. W następnej minucie przebywa
odległość 1 m, w każdej następnej połowę tej odległości, co w poprzedniej. Jeśli żółw będzie
kontynuował swoją wędrówkę zawsze - jak daleko zajdzie?
liczba
minut
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
droga (w m)
suma dróg żółwia
2,000000000000
2,000000000000
1,000000000000
3,000000000000
0,500000000000
3,500000000000
0,250000000000
3,750000000000
0,125000000000
3,875000000000
0,062500000000
3,937500000000
0,031250000000
3,968750000000
0,015625000000
3,984375000000
0,007812500000
3,992187500000
0,003906250000
3,996093750000
0,001953125000
3,998046875000
0,000976562500
3,999023437500
0,000488281250
3,999511718750
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |8
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
0,000244140625
0,000122070313
0,000061035156
0,000030517578
0,000015258789
0,000007629395
0,000003814697
0,000001907349
0,000000953674
0,000000476837
0,000000238419
0,000000119209
0,000000059605
0,000000029802
0,000000014901
0,000000007451
0,000000003725
0,000000001863
0,000000000931
0,000000000466
0,000000000233
3,999755859375
3,999877929688
3,999938964844
3,999969482422
3,999984741211
3,999992370605
3,999996185303
3,999998092651
3,999999046326
3,999999523163
3,999999761581
3,999999880791
3,999999940395
3,999999970198
3,999999985099
3,999999992549
3,999999996275
3,999999998137
3,999999999069
3,999999999534
3,999999999767
Wniosek z analizy powyższego arkusza może być dla wielu osób zaskakujący: wędrując dowolną
liczbę minut żółw nigdy nie przekroczy dystansu 4 metrów.
Zadania do pracy samodzielnej:
Zadanie 1.
Zbadaj monotoniczność ciągu geometrycznego danego wzorem ogólnym:
d) an = 2n,
e) bn =3 (-1)n-1,
3
f) cn = n − 1 .
2
Zadanie 2.
Każdego następnego roku wartość pewnego samochodu stanowi 70% jego wartości w roku
poprzednim. Bezpośrednio po wyprodukowaniu samochód miał wartość 60000 zł. Jaka będzie jego
wartość po siedmiu latach?
Zadanie 3.
Ktoś wymyślił sensacyjną plotkę i zakomunikował ją w ciągu godziny 10 osobom. Następnie każda
z powiadomionych osób w ciągu godziny przekazała plotkę 10 innym osobom, które jeszcze jej nie
słyszały itd.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |9
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Po ilu godzinach plotkę znaliby wszyscy ludzie żyjący na Ziemi? Przyjmij, że na Ziemi żyje 7*10 9
ludzi.
Zadanie 4.
Na pewnym placu zabaw zbudowano system przeszkód do pokonywania przez dzieci (płotków,
drabinek itp.) w formie trójkątów równobocznych wpisanych jeden w drugi. Bok największego
trójkąta ma długość 32 m. Wewnątrz zbudowano następny trójkąt, jako wierzchołki przyjmując
środki boków większego trójkąta. Operację powtórzono pięć razy. Znajdź długość boku trójkąta
powstałego w wyniku czwartego wykonania operacji. Ile metrów płotków zużyto na tę „budowlę”?
Zadanie 5.
Handlarz sprzedał konia za 165 zł, ale nabywca uświadomił sobie, że nie potrzebuje takiego konia
i zwrócił go właścicielowi ze słowami:
- Ten koń nie jest wart tyle, ile za niego zapłaciłem.
Handlarz zaproponował więc inne warunki:
- Jeśli sądzisz, że cena konia jest zbyt wysoka, kup tylko hufnale, które koń ma w podkowach,
a konia dam Ci na dodatek – za darmo. W każdej podkowie jest 6 hufnali
(razem 24). Za pierwszy zapłacisz mi ¼ grosza, za drugi ½ grosza, za trzeci 1 grosz i tak dalej za
każdy następny 2 razy więcej niż za poprzedni.
Wieśniaka zwabiła tak niska cena. Przyjął warunek sprzedawcy w przekonaniu, że nie zapłaci więcej
niż 2 złote. Czy miał rację? Ile pieniędzy zaoszczędził lub ile stracił?
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego