Symulacja w Badaniach i Rozwoju

Transkrypt

Redaktor Naczelny
prof. dr hab. Leon BOBROWSKI
Vol. 2
No. 2/2011
Redaktor numeru:
prof. dr hab. inŜ. Tadeusz NOWICKI
Polskie Towarzystwo Symulacji Komputerowej
Warszawa 2011
Rada Naukowa
Prof. dr hab. inŜ. Roman Bogacz (PK, IPPT PAN) – Przewodniczący
Prof. dr hab. Algirdas Bargelis (Litwa)
Prof. dr hab. Leon Bobrowski (PB, IBiB PAN)
Prof. dr hab.inź.Yevgeniy Bodyanskiy (Ukraina)
Prof. dr hab. inŜ. Andrzej Chudzikiewicz (PW)
Prof. dr hab. Kurt Frischmuth (Niemcy)
Dr hab. inŜ. Kazimierz Furmanik (AGH)
Prof. dr hab. inŜ. Andrzej Grzyb (PK)
Prof. dr Ralph Huntsinger (USA)
Prof. dr hab. Vladimir Marchenko (Białoruś)
Prof. dr hab. inŜ. Volodymyr Mashtalir (Ukraina)
Dr hab. inŜ. Marek Pietrzakowski (PW)
Prof. dr Borut Zupančič (Słowenia)
Redaktorzy Tematyczni
Prof. dr hab. inŜ Tadeusz Nowicki (nauki o obronności)
Prof. dr hab. inŜ. Zygmunt StrzyŜakowski (automatyka i robotyka,
transport)
Prof. dr hab. inŜ. Andrzej Tylikowski (mechanika, budowa i eksploatacja
maszyn)
Sekretarz Redakcji
Dr Zenon SOSNOWSKI
Adres Redakcji
Polskie Towarzystwo Symulacji Komputerowej
c/o IBIB PAN
ul. Ks. Trojdena 4 (pok. 304)
02-109 Warszawa
Redakcja informuje, Ŝe wersją pierwotną (referencyjną) kwartalnika jest
wydanie papierowe (ISSN 2081-6154).
Nakład: 100 egz.
Druk
BEL Studio sp. z o.o.
01-355 Warszawa
ul. Powstańców Śl. 67 B
tel.fax (+48 22) 665 92 22
e-mail: [email protected]
www.bel.com.pl
Publikacja dofinansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa WyŜszego
Spis treści
Urszula Ferdek, Jan Łuczko
Analiza ćwiartkowego modelu zawieszenia pojazdu
z tłumikiem hydraulicznym
(The analysis of the quarter model of the vehicle suspension
with the hydraulic damper) .................................................
67
Kurt Frischmuth
Limit cycles in systems with delay
(Cykle graniczne w układach z opóźnieniem)
75
......................
Michał Kapałka
Symulacja zachowania tłumu w dynamicznym otoczeniu
(Simulation of crowd behavior in dynamic environment) ........
83
Wojciech Kozłowski, Andrzej Surowiecki
Model symulacyjny elementu ściany gabionowej
stabilizującej nasyp komunikacyjny
(Simulation model of gabion wall element stabilizing
communication embankment)
............................................
93
Tomasz Janusz Teleszewski, Piotr Rynkowski
Modelowanie przepływu ciepła w przegrodach z instalacjami
ciepłej wody uŜytkowej metodą brzegowych równań całkowych
(Computer simulation of heat transfer in walls with hot water
installations using Boundary Element Method)
................. 103
Kazimierz Worwa
Using an optimization methods to selection the best software
developer
(Wykorzystanie metod optymalizacji do wyznaczania
najlepszego producenta oprogramowania) .........................
113
65
66
Vol. 2, No. 2/2011
Urszula FERDEK, Jan ŁUCZKO
Politechnika Krakowska, Al. Jana Pawła II 37, 31-864 Kraków
E-mail: [email protected], [email protected]
Analiza ćwiartkowego modelu zawieszenia
pojazdu z tłumikiem hydraulicznym
1
Wstęp
W celu zapewnienia komfortu jazdy oraz odpowiedniego poziomu bezpieczeństwa
wykonywane są analizy tzw. ćwiartkowych lub połówkowych [1,3,5] modeli pojazdów.
Do oceny jakości działania zastosowanych w układach zawieszenia amortyzatorów
wprowadza się zwykle dwa kryteria, uwzględniające minimalizację drgań nadwozia
samochodu (pionowych, poprzecznych i wzdłużnych), wywołanych pokonywaniem
nierówności nawierzchni drogi oraz utratę przyczepności kół od podłoża. Pierwsze
kryterium odpowiada za komfort jazdy, natomiast drugie związane jest
z bezpieczeństwem, ponieważ okresowe odrywanie się kół pojazdu zmniejsza
skuteczność przenoszenia sił napędu, hamowania oraz pogarsza jego sterowność.
Parametry amortyzatora powinny być tak dobrane, aby stanowić kompromis pomiędzy
wspomnianymi wymaganiami. Obecnie stosowane amortyzatory mają najczęściej
niesymetryczne oraz nieliniowe charakterystyki.
W pracy [2] wprowadzono model dwururowego amortyzatora hydraulicznego. Analizując
równania różniczkowe opisujące zmiany ciśnień oleju w poszczególnych komorach
amortyzatora
wyznaczono
zależność
siły
tłumienia
od
przemieszczeń
i prędkości względnych. Wykazano, że charakterystyki tłumika zależą w sposób istotny od
parametrów konstrukcyjnych zaworów.
Charakterystyki te są niesymetryczne z uwagi na fakt, że przepływ oleju między
sąsiednimi komorami podczas kompresji i odbicia odbywa się poprzez różne kanały.
Wynika to z założenia, że podczas pokonywania wybrzuszenia zawieszenie ma się
„poddać” w celu zmniejszenia ruchu masy resorowanej. Podczas pokonywania wgłębienia
zawieszenie ma dbać o nieprzerwany kontakt koła z podłożem. Dlatego podczas ściskania
siła tłumienia jest mniejsza niż podczas rozciągania.
Charakterystyki są również nieliniowe ponieważ dla małych różnic ciśnień
w komorach, co ma miejsce dla małych prędkości, dodatkowe zawory przelewowe są
zamknięte i dominuje przepływ przez małe otwory w tłoczysku. Dopiero po
przekroczeniu pewnej wartości ciśnienia (prędkości granicznej) następuje otwarcie
zaworów przelewowych, co skutkuje zmniejszeniem oporów przepływu.
W niniejszej pracy zaproponowano uproszczony opis amortyzatora hydraulicznego,
wykorzystując w tym celu model Spencera [4,6]. Porównując otrzymane charakterystyki z
charakterystykami uzyskanymi dla amortyzatora hydraulicznego wyselekcjonowano
parametry odpowiedzialne za efekty nieliniowe oraz niesymetrię charakterystyki.
Następnie poddano analizie ćwiartkowy model pojazdu, badając wpływ tych parametrów
na wprowadzone wskaźniki jakości.
67
2
Model układu
Rys. 1. Ćwiartkowy model pojazdu
Fig. 1. Quarter vehicle suspension model
Model badanego układu przedstawiono na rys. 1. Współrzędne y1 i y2 opisują odpowiednio
ruch masy nieresorowanej m1, przypadającej na jedno koło (masa koła
i osi pojazdu, łożysk, hamulców oraz niektórych elementów układu przeniesienia napędu)
oraz masy resorowanej m2 (¼ pozostałej masy pojazdu). Współrzędna y0 jest zadanym
wymuszeniem kinematycznym w postaci: y0=asinωt. Właściwości tłumiące
i sprężyste opony określają odpowiednio parametry c0 i k0, natomiast parametr kr jest
współczynnikiem sztywności zawieszenia. Amortyzator hydrauliczny opisują parametry
modelu Spencera: k1, c1, k2, c2, α0, β0, γ0, A0 oraz parametr ε, decydujący
o niesymetrycznych własnościach charakterystyki tłumika. Przyjęto dalej, że wartość siły
tłumienia zależy od jej znaku następująco:
F = F0 (1 + ε sgn F0 )
(1)
co zapewnia pożądaną większą wartość siły w procesie odbicia (dla F0>0 lub dla
y& 2 − y& 1 > 0 ). Siłę F0 określa wzór:
F0 = c 2 ( y& 2 − y& 3 ) + k 2 ( y 2 − y1 )
(2)
przy czym współrzędna y3 jest wyznaczana z warunku równowagi sił, działających na
bezmasowy element modelu Spencera:
c1 ( y& 3 − y& 1 ) + k 1 ( y 3 − y1 ) + α 0 z 0 = c 2 ( y& 2 − y& 3 )
(3)
68
Analiza ćwiartkowego modelu zawieszenia pojazdu z tłumikiem hydraulicznym
Występująca we wzorze (3) zmienna z0, powodująca tworzenie się histerezy, jest
rozwiązaniem równania różniczkowego pierwszego rzędu:
z& 0 = A0 y& − γ 0 y& | z 0 | n − β 0 | y& || z 0 | n −1 z 0
(4)
gdzie y =y3–y1. Parametry A0, γ0, β0 oraz n wpływają na kształt pętli histerezy.
Ruch elementów o masach m1, m2 opisują następujące równania różniczkowe:
m1 &y&1 = −c 0 ( y& 1 − y& 0 ) − k 0 ( y1 − y 0 ) + k r ( y 2 − y1 ) + F − m1 g
m2 &y&2 = − k r ( y 2 − y1 ) − F − m2 g
(5)
Po wprowadzeniu zmiennych bezwymiarowych, zdefiniowanych następująco:
τ = ω0t
xj = yj / a
z = z 0 / z max
(6)
gdzie:
A0
kr
ω0 =
m2
β0 + γ 0
drgania układu opisuje układ równań różniczkowych o postaci:
z max = n
(7)
µx1′′ + ζ 0 x1′ − ζ 1 x3′ + (1 + κ 0 ) x1 − κ 2 x 2 + f = ζ 0 x ′0 + κ 0 x 0 − µλ
x ′2′ + x 2 − x1 − f = −λ
x3′ = [ζ 1 x1′ + ζ 2 x′2 − κ1 ( x3 − x1 ) − αz ] /(ζ 1 + ζ 2 )
(8)
z ′ = A{1 − [γ + β sgn( z ( x3′ − x1′))] | z | }( x3′ − x1′)
n
przy czym x′j i z′ są pochodnymi względem zmiennej τ. Bezwymiarowa siła tłumienia
jest wyznaczana ze związku:
f = [ζ 2 ( x ′2 − x3′ ) + κ 2 ( x ′2 − x1′ )]{1 + ε sgn[ζ 2 ( x ′2 − x3′ ) + κ 2 ( x ′2 − x1′ )]}
(9)
W równaniach (8,9) przyjęto następujące oznaczenia:
η = ω / ω0
α = α 0 z max / k r
κ j = k j / kr
3
µ = m1 / m2
A = A0 / z max
β = β 0 /( β 0 + γ 0 )
γ = γ 0 /( β 0 + γ 0 )
ζ j = c j / m2ω 0
λ = g /ω a
(10)
2
0
Charakterystyki siły tłumienia
W obliczeniach numerycznych skupiono się na zbadaniu wpływu parametrów
charakteryzujących amortyzator hydrauliczny (ε, ζ1, ζ2, κ1, κ2, α, β, γ i A), ustalając
wartości następujących bezwymiarowych parametrów: λ=25, µ=0.11, κ0=9, ζ0=0
w oparciu o dane: m1=28kg, m2=255kg, kr=20000N/m, k0=180000N/m, c0≈0Ns/m,
a=0.005m. Na podstawie danych literaturowych oszacowano wartości współczynników
κ1=0.02 i κ2=0.01 oraz parametrów β i γ (przyjęto β=γ=0.5). Po wstępnych symulacjach
stwierdzono, że największy wpływ na rezultaty analiz mają parametry: α, ε, ζ1 i ζ2 oraz
nieco mniejszy, tylko w zakresie małych wartości, parametr A. Ze zmniejszaniem wartości
współczynnika A zwiększa się szerokość pętli histerezy charakterystyki tłumika. Jednak
charakterystyki
amortyzatora,
opisanego
modelem
Spencera
69
i dokładniejszym modelem tłumika hydraulicznego (TH), opisanym w pracy [2] są
do siebie zbliżone (rys. 2) tylko dla dużych wartości A (przyjęto dalej A=400).
Na rys. 2 przedstawiono typowe charakterystyki amortyzatora, uzyskane przy założeniu
(jak w pracy [2]), że przemieszczenie xw=x2-x1 zmienia się w sposób harmoniczny
(poddano analizie wydzielony z układu amortyzator). W obliczeniach przyjęto stałą
wartość amplitudy wymuszenia, zmieniając tylko jego częstość. Założono też: α=1,
ε=1/2, ζ1=2/3, ζ2=2. Dla ε=1/2 maksymalna siła podczas odbicia jest około trzykrotnie
większa niż w trakcie sprężania, ponadto, dla przyjętych wartości parametrów ζ1, ζ2
zastępczy współczynnik tłumienia ζz=ζ1ζ2/(ζ1+ζ2)=0.5 określa średnie nachylenie
charakterystyki w zakresie wyższych prędkości, a odpowiada mu zalecana dla tłumików
hydrauliczych wartość 0.25 bezwymiarowego współczynnika tłumienia układu liniowego
(α=0, ε=0).
η = 0.5
η=1
η=2
η=4
model TH
4
odbicie
f
f
4
η = 0.5
η=1
η=2
η=4
model Spencera
2
2
0
0
sprężanie
-2
-1
0
x2-x1 1
-2
-4
0
x2' - x1'
b)
a)
Rys. 2. Wpływ częstości wymuszenia na charakterystyki tłumika: a) f(xw), b) f(vw)
Fig. 2. The impact of frequency on the characteristics of the damper: a) f(xw), b)
f(vw)
4
Dla prawidłowej pracy amortyzatora istotne znaczenie ma położenie punktu przegięcia
charakterystyki
oraz
jej
nachylenie
w
zakresie
niższych
prędkości.
W tłumiku hydraulicznym o kształcie charakterystyki decydują parametry zaworów,
w tym przede wszystkim powierzchnie przekrojów odpowiednich kanałów
przepływowych. W modelu zastępczym położenie punktu przegięcia zależy głównie od
parametru α (rys. 3a dla: η=2, ε=1/2, ζ1=2/3, ζ2=2), a nachylenie charakterystyki od
współczynników ζ1 i ζ2 (lub dla zadanej wartości ζz=0.5 od jednego z tych
współczynników, np. ζ1 – rys. 3b dla: η=2, ε=1/2, α=1).
70
3
α=0
α = 0.5
α = 1.0
α = 1.5
3
ζ 1=1
ζ 1=0.85
ζ 1=0.70
ζ 1=0.55
2
f
f
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
0
x2' - x1'
-2
2
0
2
x2' - x1'
a)
b)
Rys. 3. Zależność siły tłumienia od prędkości względnej: a) wpływ parametru α,
b) wpływ parametru ζ1
Fig. 3. Force-velocity relation diagram: a) the impact of parameter α, b) the impact
of parameter ζ1
4
Charakterystyki częstotliwościowe układu
W celu zbadania efektywności tłumienia drgań wprowadzono wskaźnik Θ, zdefiniowany
jako wartość skuteczna prędkości x′2 masy resorowanej, natomiast do oceny stanu
bezpieczeństwa wykorzystano wskaźnik EUSAMA ρ, definiowany jako stosunek
minimalnej siły nacisku koła na podłoże do nacisku statycznego, czyli będący miarą
przyczepności kół do podłoża.
2.0
1.5
0.8
1.0
0.6
0.5
0.0
α =4
α=2
α=1
α = 1/2
α=0
1.0
ρ
Θ
α =4
α=2
α=1
α = 1/2
α=0
0.4
0.2
0
3
6
9
12
η
15
0
3
6
9
a)
b)
Rys. 4. Wpływ amplitudy wymuszenia: a) wskaźnik Θ, b) wskaźnik EUSAMA
Fig. 4. The impact of forcing amplitude: a) index Θ, b) index EUSAMA
12
η
15
Na rys 4 przedstawiono charakterystyki częstotliwościowe układu wyznaczone dla: ε=0.5,
ζ1=0.55, ζ2=5.5 (czyli ζz=0.5) oraz różnych wartości parametru α. Z analizy wykresów
wskaźnika Θ wynika wartość optymalna parametru α, bliska wartości α=1. Wtedy
obserwuje się największe wytłumienie drgań w zakresie pierwszego rezonansu (poprawa
komfortu jazdy). Jednak dla takiej wartości α oraz wartości mniejszych w zakresie
drugiego rezonansu zmniejsza się znacznie wartość wskaźnika ρ, czyli pogarsza się
bezpieczeństwo jazdy.
71
1.5
4
ζ1=1
ζ1=0.85
ζ1=0.70
ζ1=0.55
3
Θ
δ
1.0
ζ1=1
ζ1=0.85
ζ1=0.70
ζ1=0.55
2
0.5
1
0.0
0
1
2
η
3
0
4
1
2
η
3
a)
b)
Rys. 5. Wpływ parametrów ζ1 i ζ2: a) wskaźnik Θ, b) wskaźnik δ
Fig. 5. The impact of parameters ζ1 i ζ2: a) index Θ, b) index δ
4
Współczynniki tłumienia ζ1 i ζ2 (dla zadanego ζz=0.5) mają wpływ na charakterystyki
częstotliwościowe głównie w zakresie pierwszego rezonansu. Z tego powodu na rys. 5
ograniczono przedział częstości wymuszenia. Oprócz wskaźnika Θ pokazano również
drugi
wskaźnik
informujący
o
efektywności
tłumienia
drgań,
a będący różnicą maksymalnego i minimalnego wychylenia masy resorowanej
( δ = x2max − x2min ). Do obliczeń przyjęto wartości parametrów: ε=0.5 i α=1. Ze
zmniejszaniem wartości ζ1 (z równoczesnym odpowiednim wzrostem ζ2) rośnie
nachylenie charakterystyki amortyzatora (rys. 3b), czyli zwięsza się rozpraszanie energii.
Amplitudy przemieszczeń i prędkości ulegają zmniejszeniu w pierwszym zakresie
rezonansowym, jednak dla zbyt małych ζ1 pogarsza się tłumienie drgań poza rezonansem
(rys.5).
W celu oceny wpływu parametru ε na wskaźniki jakości δ i ρ poddano analizie układ z
wymuszeniem symulującym wstrząsy (np. pokonywanie przez pojazd przeszkody).
Wymuszenie impulsowe opisano tzw. funkcją „rounded pulse”, zdefiniowaną następująco
[4]:
1
x0 (τ ) = he 2 (ντ ) 2 exp(−ντ )
4
(11)
Parametr h określa wysokość przeszkody, a parametr ν jest związany z prędkością
przejazdu przez tą przeszkodę.
1.6
ε =0
ε = 1/4
ε = 1/2
ε = 3/4
ε =0
ε = 1/4
ε = 1/2
ε = 3/4
1.0
0.9
TL
TL
ρ
δ/h
2.0
0.8
1.2
0.7
0.8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
ν
2.5
0.6
0.0
a)
b)
Rys. 6. Wpływ parametru ε: a) wskaźnik δ, b) wskaźnik ρ
Fig. 6. The impact of parameter ε: a) index δ, b) index ρ
72
0.5
1.0
1.5
2.0
ν
2.5
Na rys. 6 przedstawiono wykresy wskaźników δ i ρ, sporządzone dla wybranych
wartości parametru ε (przyjęto: α=1, h=10, ζ1=0.55, ζ2=5.5). Pokazano również
odpowiednie wykresy otrzymane dla symetrycznego liniowego tłumika wiskotycznego
(TL dla ε=0, α=0). Wraz ze zwiększaniem parametru ε, czyli niesymetrii
charakterystyki amortyzatora, następuje bardzo wyraźne zmniejszenie ekstremalnych
wychyleń (wskaźnika δ – rys. 6a). Uwaga ta jest słuszna głównie dla przypadku
pokonywania wzniesień (dla h>0). Zbytnie zwiększanie wartości ε jest niewskazane w
przypadku pokonywania zagłębienia (h<0), a także wpływa niekorzystnie na wskaźnik
ρ w zakresie większych prędkości jazdy (dla dużych wartości ν).
5
Wnioski
Z przeprowadzonych analiz numerycznych modelu ćwiartkowego samochodu
z amortyzatorem hydraulicznym opisanym modelem Spencera można wyciągnąć
następujące wnioski:
•
Największy jakościowy wpływ na charakterystyki częstotliwościowe
ćwiartkowego modelu samochodu mają parametry α, ε, ζ1 i ζ2. Analiza
wprowadzonych wskaźników jakości pozwala oszacować optymalne wartości
wymienionych parametrów, a więc również wyznaczyć pożądane
charakterystyki amortyzatora.
•
Otrzymane charakterystyki modelu Spencera z uwagi na ich dużą zbieżność
z charakterystykami modelu tłumika hydraulicznego mogą być podstawą doboru
parametrów geometrycznych i fizycznych elementów konstrukcyjnych zaworów
tłumika hydraulicznego.
•
Przedstawione rezultaty świadczą o niezadawalających wartościach wskaźnika ρ
odpowiedzialnego za bezpieczeństwo jazdy zwłaszcza w zakresie wyższych
częstości wymuszeń. Poprawa tego wskaźnika może być dokonana tylko
po zastosowaniu aktywnych lub semi-aktywnych układów wibroizolacji.
•
W przypadku zastosowania w tłumiku cieczy magnetoreologicznej zamiast oleju,
wprowadzony zastępczy model tłumika hydraulicznego znacznie ułatwia
projektowanie układu semi-aktywnego. Sterując napięciem można wpływać
na wartości parametrów α, ζ1 i ζ2 modelu Spencera.
Literatura
1.
2.
3.
4.
Chandra Shekhar N., Hatwal H., Mallik A.K., Performance of non-linear isolators
and absorbers to shock excitations, Journal of Sound and Vibration, 227(2),
293-307, 1999.
Ferdek U., Łuczko J., Modeling and analysis of a twin-tube hydraulic shock
absorber, Journal of Theoretical and Applied Mechanics (praca w druku).
Ferreira C., Ventura P., Morais R., Valente A., Neves C., Reis M., Sensing
methodologies to determine automotive damper condition under vehicle normal
operation, Sensour and Actuators A, 156, 237-244, 2009.
Łuczko J., Porównanie dynamicznych odpowiedzi semiaktywnych tłumików
opisanych modelami Bouc-Wena i Spencera, Czaspopismo Techniczne (praca
w druku).
73
5.
6.
Prabakar R.S., Sujatha C., Narayanan S., Optimal semi-active preview control
response of a half car vehicle model with magnetorheological damper, Journal
of Sound and Vibration, 326, 400-420, 2009.
Spencer Jr B.F., Dyke S.J., Sain M.K., Carlson J.D., Phenomenological Model
for Magnetorheological Dampers, ASCE Journal of Engineering Mechanics, 123,
3, 230-238, 1996.
Streszczenie
W pracy poddano analizie jakościowej ćwiartkowy model zawieszenia pojazdu.
Występujący w układzie zawieszenia tłumik hydrauliczny opisano zmodyfikowanym
modelem Spencera. Na podstawie przeprowadzonych analiz wyselekcjonowano
parametry mające decydujący wpływ na kształt charakterystyki tłumika.
Wyznaczono również charakterystyki częstotliwościowe układu w celu zbadania
wpływu istotnych parametrów modelu na wprowadzone wskaźniki jakości związane
z bezpieczeństwem jazdy oraz efektywnością tłumienia drgań.
The analysis of the quarter model of the vehicle
suspension with the hydraulic damper
Summary
The paper discusses the analysis of the quarter model of the vehicle suspension. The
hydraulic damper existing in the suspension system has been described using the
modified Spencer model. Based on the performed analyses, the parameters having the
major impact on the shape of the damper characteristics have been chosen.
Additionally, the frequency characteristics of the model have been investigated, for the
purpose of researching the impact of several essential model parameters on the
performance factors corresponding to the driving safety and the efficiency of the shock
absorber.
74
Vol. 2, No. 2/2011
Kurt FRISCHMUTH
University of Rostock, Institute for Mathematics
E-mail: [email protected]
Limit cycles
in systems with delay
1
A Simple Delay Model
We start from an ordinary model without delay which is commonly used to describe
relaxation processes. A scalar quantity u=u(t) is assumed to be in equilibrium at
u=u0=0. A positive deviation from the equilibrium position results in a negative rate
and vice versa. Formally, we write this as
u& (t ) = g (u (t ) ) ,
(1)
where g may be in the simplest case a linear function like g(u)=−αu. In general, we
assume g to be monotonously decreasing on the whole of its domain R, which means
α< 0.
In [4, 2] the function g(u)=−|u|u=−sign(u)u2 is of special interest. In economics,
deviations from the true value of a commodity act in a nonlinear way on the future
evolution. In fact, depending on the size of the deviation, more dealers decide that the
course is too high/low, and they place higher sell/buy orders. This is assumed to exert a
pressure on the value, which is proportional to the sum of all orders. Obviously, the trivial
solution u(t)=u0=0 of equation (1) is an asymptotically stable equilibrium state. Moreover,
it is the only equilibrium, and it is globally attractive. Now, however, a second effect is
added, which destabilizes the equilibrium. On the right-hand side a term is added, which
yields further growth, whenever growth is detected. The point is that the detection of
growth is based on the comparison of the present value with a recent value, the value of u
at a delayed time t – d,
u& (t ) = a(u (t ) − u (t − d )) + g (u (t )) ,
(2)
In the application to exchange rate models, dealers make decisions, whether to sell or to
buy, based on their own estimate of the true value in relation to the present course. But
further they assess the trend by comparing the present with a remembered course. Hence,
in (2) the trend is reflected by a term proportional to the difference from the latest
remembered course. In the simplest case one assumes d = const. Indeed, in trade one
expects a regular schedule of checking the state of matters. We scale the time axis to make
this value equal to 1.0 time units.
Notice that for a = d−1 , the first expression on the right-hand side is a first order
approximation of the time derivative on the left-hand side. For smaller a we expect hence
no qualitative change of the solution, for a =1 and larger, however, the second order
contribution
75
Kurt FRISCHMUTH
d2
au&&(t )
,
2
(3)
begins to play a decisive role. In fact, using Taylor formula of second order as an
1
approximation of the delayed value u (t − d ) = u (t − 1) ≈ u (t ) − u& (t ) + 2 u&&(t ) , the behavior is
now more like that of the equation
a
0 = − u&&(t ) + (a − 1)u& (t ) + g (u (t ))
2
For a = d =1 and in the case of a linear function g(u)= −u this will be
0 = u&&(t ) + 2u (t ) ,
(4)
(5)
which leads to harmonic oscillations, while for a > 1 the amplitude will grow
exponentially, starting from any small vicinity of u0 =0. Hence, in fact, for a ≥ 1 the zero
solution becomes unstable. For over-linear functions g, however, the growth is limited,
and solutions finally tend to a limit cycle. In more advanced models, the delay d ≥ 0 is
allowed to be variable in the form
d=d(u) ,
(6)
with the only assumption of scaling, continuity and monotonicity, i.e., farther deviations
from equilibrium result in shorter intervals, in which the course is checked,
d(0)=1 ,
(7)
0≤u1≤u2 ⇒ d(0)≥d(u1) ≥d(u2) ≥0 ,
0≥u1≥u2 ⇒ d(0)≥d(u1) ≥d(u2) ≥0
Now, the form of the evolution equation of the dynamical delay model is
u& (t ) = a (u (t ) − u (t − d (u (t )))) + g (u (t )) ,
(8)
(9)
(10)
where we deliberately did not divide the difference term by the delay. This way we reflect
the ‘psychological’ element of the traders’ activity. Whenever larger deviations from the
expected (zero) value of the course appear, dealers become (in their average) more and
more nervous and look in shorter and shorter intervals for changes. In an academic
version, this is reflected by the function
d (u ) = exp(−cu 2 ) ,
(11)
Of course, a nonsymmetric behavior for positive/negative deviations could be expected as
well. Analytical studies so far are restricted to a dependence of the delay on |u|, further the
functions g and d have to be such that t − d(u(t)) be always increasing. Sufficient
conditions have been given in [1]. There it is also shown that for a ≤ 1 the trivial solution
is stable. For a > 1 the equilibrium becomes unstable, a stable limit cycle appears. In this
paper, however, we will not study the analytical properties of models like (10). Instead,
we will calculate numerical solutions to initial value problems and study their behavior. In
particular, we will show the difference between the constant and variable delay cases for
some chosen delay functions. The numerical approach is not limited by the strong
conditions imposed in [1]. The appearance of attracting limit cycles is independent of d
76
Limit Cycles in Systems with Delay
being constant or not. The size and shape of cycles, however, turns out to differ
considerably for both cases.
2
Simulation
In models with delay the state of the system is represented by at least a certain segment of
the history of the considered quantity. The state space is hence not finite dimensional, even
if the temporal evolution of a single scalar value is studied. As a consequence, initial
condition and the state of the system are represented in computer simulations as a vector
of nodal values of the recent history of the studied quantity. In the present case, the delay
is bounded by its value for the trivial state, which after scaling is set to be equal to 1.
Given a model with constant delay, it is possible to use a constant sampling rate, which is
an integer fraction of the delay, and thus only nodal values of u are needed to evaluate the
rate of change u& (t ) . At each time step, the actual value of u is updated according to its
rate of change, while the history is updated by a simple index shift. Thus the history runs
through its domain like a wave in a convection problem. In the variable delay case,
however, interpolation between nodal points becomes necessary. For the present
application, we implemented a linear spline approximation for the evaluation of the rate.
The calculation of the next value of u, i.e. for the approximation of u(t +∆t), we
implemented several explicit methods, like Euler, Euler-Heun, classical Runge-Kutta and
Dormand-Prince methods. With stepsizes like ∆t =0.001, all mentioned procedures give
acceptable results. However, the higher order methods of Runge-Kutta type give a much
better resolution of the details in phases of sudden change, such as e.g. in Fig. 5. This is
decisive in the variable delay case. For many reasons, amongst others to avoid licence
problems and to allow GUI controlled animation, we chose java as the environment for
the implementation. A screenshot of an animation is shown in Fig. 1. For comparison and
verification, we solved identical initial-value problems using matlab’s ddesd routine for
differential systems with delay. Results were the same up to the assumed error margin. We
remark that, in general, a simulation tool has to serve several purposes.
Fig. 1. Screenshot of java simulation tool. On the horizontal axis the last time unit is
presented, the marker at the right end shows the present state, the other one
indicates the delay and the delayed value.
Rys. 1. Zrzut z ekranu z aplikacji javy. Na osi odciętych przedstawiono ostatni
jednostkowy przedział czasu, znak na prawym końcu wskazuje stan aktualny,
drugi zaś pokazuje opóźnienie i stan poprzedni.
77
Kurt FRISCHMUTH
One wants an interactive GUI control over animation, and at the same time a systematic
manipulation of model parameters in order to perform studies of parameter sensitivity.
Preferably, the first requirement should not be delayed by the second. In the simulation
tool, we used different threads in order to split the numerical load between several
processor cores. It is possible and desirable to assign the systematic parameter studies to
several servers, while performing the actual animation on the local host.
3
Results
In this section we show a selection of simulated exchange rates, based on the dynamical
delay model (10). We show a temporal trajectory, starting from a given history, in
Fig. 2. The nontrivial cyclic behavior seen in Fig. 2 can be observed for values of the
model parameter a starting from a =1. In Fig. 3 approximated values of the amplitudes
have been plotted against the value of a. Technically, a trajectory starting from a perturbed
state near equilibrium has been traced over 10 cycles, the maximum of u over the next
cycle has been assumed as amplitude of the limit cycle. We observe the onset of instability
at around a =0.99. Further, the frequency of the limit cycle is studied, again for varying a,
but for one fixed delay function d and the standard nonlinear function g.
Fig. 2. Course values as function of time. After a transient phase the solution becomes
periodic. The period is always longer than the maximum delay.
Rys. 2. Wartości kursu jako funkcja czasu. Po fazie przejściowej rozwiązanie staje
się okresowe. Okres zawsze jest dłuższy od maksymalnego opóźnienia.
78
Fig. 3: Amplitudes of limit cycle as function of a. The onset of instability is at a ≈ 1.
Rys. 3: Amplitudy cykli w zależności od a. Utrata stabilności następuje przy a ≈ 1.
Fig. 4. Study of the frequency in dependence on parameter a. The period decreases from
around 30 to 10, when a increases from 1 to 1.05
Rys. 4. Częstość cykli w zależności od a. Okres maleje od około 30 do 10, kiedy a
rośnie od 1 do 1.05.
It is evident, see Fig. 4, that the frequency is increasing, the larger a, the larger the
amplitude, and the shorter the period of the cycles. The results presented in Figs. 3 and 4
have been obtained using background threads, as mentioned in the previous section. Next,
we studied the sensitivity of the model to the choice of the delay function d.
The effect of shrinking delay in states far from equilibrium results in reduced cycles,
presented as phase portraits in Fig. 5. Note the non-convex shape and the sharp curvatures
of the cycles in the variable delay case. The delay itself reaches its maximum when u
vanishes, notice that there are phases of slower change near the equilibrium. Then, there is
a quick drop of the delay to approximately 1/3 and an equally quick recovery, cf. Fig. 6.
79
Kurt FRISCHMUTH
For analysis and numerical implementation, the rate of the delayed time t−d(u(t)) plays an
essential role. In fact, the analysis in [1] relays on this quantity to be strictly increasing.
Fig. 7 shows that this condition is not necessary. In fact, the delayed time may run
backwards on short intervals. For the implementation this means that the history of the
studied quantity must not be forgotten once it has been used. In fact, the same past state
value maybe used more than once for comparison with future values.
4
Conclusions
The considered delay model describing the dynamics of a single scalar quantity yields
self-generated cycles in a certain range of model parameters, while for small parameters
the trivial equilibrium solution is stable. Computer simulations are qualitatively in
accordance with analytical results if the latter are applicable. Further, two different
numerical methods were verified to give consistent results. A java simulation tool with
graphical user interface allows to perform fast parameter studies and to quickly assess the
effect of changes in model components.
Fig. 5. Limit cycles for constant and variable delay on the speed vs value plane.
Typically in the variable delay case, the transition through the equilibrium point
leads to sharp changes of direction. Maximum deviations and speeds are smaller
than for a constant delay of d = 1.
Rys. 5. Cykle graniczne w przypadku stałego i zmiennego opóźnienia w płaszczyźnie
aktualnej szybkości i wartości.
Typowe jest, ze przy zmiennym opóźnieniu przejście przez punkt równowagi
wiąże się ze znaczna zmianą kierunku. Maksymalne odchylenia kursu i
szybkości są mniejsze niż przy stałym opóźnieniu równym 1.
80
Fig. 6. The delay as a function of time.
When approaching the equilibrium point, the delay increases, so that the retarded
time hardly grows.
Rys. 6. Opóźnienie jako funkcja czasu. Przy zbliżeniu do punktu równowagi wartość
opóźnienia rośnie, tak że może dochodzić do stagnacji czasu opóźnionego.
Fig. 7. The rate of the retarded time as function of present time. At certain moments the
delayed time may run backwards – if the delay grows faster than the present time
runs forward.
Rys. 7. Szybkość czasu opóźnionego jako funkcja czasu aktualnego.
W pewnych chwilach czas opóźniony może biec wstecz. Zdarza się to,
gdy opóźnienie rośnie szybciej niż biegnie aktualny czas.
It turned out that the model behavior is robust with respect to the choice of the
nonlinearity g and the delay function d. In future work the model should be refined and
extended. The vector case, were more than one currency is traded, several delays and
nonsymmetric delay functions may occur, is still open for analysis. The simulation tool
developed for the currency exchange rate model may be extended to other applications
such as for instance the air flow control in Otto engines.
81
Kurt FRISCHMUTH
Bibliography
1. Eugen Stumpf, A global center-unstable manifold bordered by a periodic orbit,
Dissertation, Universität Hamburg, 2010
2. Hans-Otto Walther: Differentiable semiflows for differential equations with
statedependent delays. Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica 41 (2003),
57-66
3. John Mallet-Paret, George R. Sell: Systems of differential delay equations: Floquet
multipliers and discrete Lyapunov functions. J. Differ Equations, 125 (1996), no. 2,
385-440
4. Alexander Erdélyi, A delay differential equation model of oscillations of exchange
rates, Master’s thesis, University, Bratislava, 2003
Summary
Computer simulation of real systems requires often to take into account values
of crucial quantities not only at the present time, but also their recent history. Models
allowing for a dependence of the rate of change on delayed values of the modeled
quantity have been applied in economics to explain cycles in the exchange rates
of foreign currencies. For a certain type of model equations, the existence of stable limit
cycles has been shown analytically. Certain restrictive conditions on the constitutive
functions, describing the behavior of traders, had to be assumed. In this paper,
the analytical results are confirmed by computer simulation. Moreover, the existence
of limit cycles is computationally verified under much weaker assumptions.
Cykle graniczne w układach z opóźnieniem
Streszczenie
Symulacja komputerowa systemów rzeczywistych częstokroć wymaga uwzględnienia
wartości istotnych wielkości nie tylko w chwili aktualnej, a także w chwilach przeszłych.
Modele wykazujące zależność szybkości zmiany badanej wielkości od historii przebiegu
zostały wprowadzone w ekonomii, żeby wyjaśnić cykliczne zmiany kursów walut.
W przypadku pewnego typu równań modelowych istnienie stabilnych cykli granicznych
zostało udowodnione analitycznie. W tym celu na funkcje opisujące zachowanie
narzucone
pewne
ograniczające
warunki.
maklerów
musiały
zostać
W pracy weryfikowano wyniki analityczne drogą symulacji komputerowej. Ponadto
pokazano obliczeniowo istnienie cykli granicznych przy znacznie słabszych.
82
Vol. 2, No. 2/2011
Michał KAPAŁKA
Wojskowa Akademia Techniczna, 00-908 Warszawa, ul. Kaliskiego 2
Symulacja zachowania tłumu
w dynamicznym otoczeniu
1
Wprowadzenie
Człowiek już od początku swojego istnienia dążył do tego, aby żyć w grupie. Jednym z
powodów tego zjawiska była chęć poprawy swojego bezpieczeństwa. W dzisiejszych
czasach jest podobnie, jednak tendencja tworzenia coraz większych grup spowodowała, że
dzisiejsze „tłumy”, będące konsekwencją życia w skupiskach, stały się zagrożeniem dla
ludzi. Każdego roku dochodzi do nieprzewidzianych i niekontrolowanych zjawisk
przemieszczania się tłumu, w których odnosi obrażenia, a nawet traci życie duża liczba
osób. Już w latach 50–tych zauważono ten problem i zaczęto szukać nie tylko
technicznych, ale i naukowych metod jego rozwiązania. Modelowanie zachowania, a
nastepnie symulacja zjawisk zachodzących w trakcie przemieszczania się tłumu, stały się
narzędziem, które zaczęto wykorzystywać w wielu innych dziedzinach związanych z
bezpieczeństwem ludzi w tłumie. W niniejszej pracy zostanie przedstawiony autorski
model i symulator tłumu oraz jego zastosowanie jako narzędzia do badania
bezpieczeństwa ludzi na wybranym terenie aglomeracji. W przyjętym rozwiązaniu
założono, że głównym celem jest odwzorowanie rzeczywistego zachowania ludzi w
sytuacjach dynamicznie zmieniającego się zagęszczenia w otoczeniu. Do takich sytuacji
można zaliczyć większość zjawisk związanych z przemieszczaniem się ludzi w
aglomeracji: centra handlowe, stacje metra, budynki użyteczności publicznej i ich
otoczenie, imprezy masowe itp. Możliwość badania zachowania tłumu w takich
sytuacjach może dać wiele odpowiedzi związanych z bezpieczeństwem ludzi będących w
tłumie. Ze względu na złożoność i interdyscyplinarność zagadnienia jakim jest
zachowanie tłumu powstało wiele podejść przy tworzeniu modeli i symulatorów, wśród
których trudno wskazać rozwiązania sztandarowe. Główne różnice w tych podejściach
dotyczą sposobu: reprezentacji przestrzeni (ciągła - nieciągła), reprezentacji jednostki
(modele mikro i makroskopowe), odwzorowania zachowania jednostki (brak zachowań,
prawa fizyki, systemy regułowe, sztuczna inteligencja) i symulacji (programowanie
matematyczne, automaty komórkowe, systemy kolejkowe, systemy agentowe).
2
Model formalny
W przyjętym rozwiązaniu przestrzeń odwzorowana jest na dwóch poziomach. Na
poziomie decyzyjnym jest ona przedstawiona w postaci grafu w którym: każdy
wierzchołek reprezentuje logiczną „podprzestrzeń” (np.: biuro, korytarz, schody, ulica,
sklep, itp.), każda gałąź odwzorowuje możliwość przejścia pomiędzy wierzchołkami. Na
poziomie działania przestrzeń przedstawiona jest w postaci sieci połączonych między
sobą kwadratowych komórek, po których mogą się przemieszczać jednostki (w jednej
komórce może znajdować się maksymalnie jedna osoba).
83
Michał KAPAŁKA
Model przestrzeni
Na poziomie działania przestrzeń o wymiarach (liczba komórek)
zdefiniowana jest w postaci:
(1)
Gdzie:
– zbiór liczb naturalnych,
– identyfikator komórki:
– sieć (zbiór) komórek:
(współrzędne na płaszczyźnie),
(poziom),
(2)
– zbiór możliwych kierunków przemieszczania się jednostki,
(3)
– funkcja określająca otoczenie komórki
(4)
określa dodatkową zależność, którą jest możliwość bezpośredniego przejścia z
komórki
do komórki
,
– funkcja określająca zbiór zawierający komórkę w kierunku
w odległości
(l. komórek) z komórki
(5)
- zbiór wszystkich tras w sieci komórek,
(6)
(7)
– funkcja określająca zbiór tras między dwiema różnymi
komórkami,
(8)
– zbiór możliwych stanów komórek, gdzie 3 podstawowe stany to: 0 – wolna,
1– zajęta przez jednostkę, 2 – zajęta przez ruchomy obiekt,
– funkcja określająca stan komórki
84
Rys. 1 Przestrzenie interpersonalne (a,b,c), model komórkowy otoczenia (d)
Fig. 1 Interpersonal spaces (a,b,c), fine network model(d)
Przestrzeń na poziomie decyzyjnym przedstawiona jest w postaci:
(9)
gdzie:
- graf Berge’a bez pętli,
- zbiór wierzchołków, -zbiór łuków,
- funkcja określająca sąsiedztwo dla wierzchołka n,
(10)
-zbiór wszystkich dróg w grafie G,
(11)
- funkcja określająca zbiór dróg z wierzchołka x do innego
wierzchołka y,
(12)
Na podstawie zależności (1-14) autorski hybrydowy model otoczenia przedstawiono w
postaci:
(13)
gdzie:
- funkcja określająca zbiór komórek należących do wierzchołka,
spełniająca zależności:
(14)
(15)
(16)
Model tłumu
Definiując model tłumu autor przyjął następujące założenia: heterogeniczność
jednostek, w pewnych sytuacjach sposób zachowania wszystkich jednostek jest
85
Michał KAPAŁKA
podobny, zachowanie jednostki zależy od sytuacji (np.: zagęszczenie czy stres). Jako
rozwiązanie autorzy proponują system agentowy, w którym modelem jednostki tłumu
jest autonomiczny agent posiadający własne: cechy, stan i sposób zachowania. Model
tłumu (agentów) można przedstawić jako:
(17)
Gdzie:
– zbiór jednostek,
– zbiór możliwych cech agenta,
– zbiór możliwych
– zbiór możliwych celów agenta,
– zbiór możliwych reguł
stanów agenta,
zachowania agenta,
– wektor cech agenta,
– wektor określający stan agenta,
– lista celów do osiągnięcia przez agenta,
– zbiór reguł definiujący indywidualne
zachowanie agenta,
- zbiór reguł definiujący aktualne zachowanie agenta.
W prezentowanym modelu tłumu zagęszczenie i stres w jakim znajduje się jednostka
wpływa na jej sposób przemieszczania i zachowania. Jako podstawę przyjęto teorię
proksemiki, wprowadzoną w latach 50-tych przez Edwarda Halla, w której odległość w
jakiej znajdują się jednostki od siebie wpływa na relacje (oddziaływanie) między nimi.
W modelu przyjęto własną interpretację teorii proksemiki poprzez zdefiniowanie
modelu oddziaływań między jednostkami jako:
(18)
Gdzie:
- zbiór stref oddziaływań,
- zbiór poziomów zagęszczeń,
- zbiór poziomów
stresu (w wersji podstawowej zdefiniowano 3 poziomy stresu związane z sytuacjami:
normalnymi, pośpiechu, zagrożenia życia),
znajdującej się w komórce
- zbiór stref oddziaływań dla jednostki
zorientowanej w kierunku
,
(19)
-zbiór komórek należących do strefy oddziaływania i, dla jednostki znajdującej
się w komórce
zorientowanej w kierunku
,
- zbiór stref oddziaływań
uwzględnianych na poziomie zagęszczenia
przy poziomie stresu ,
- zbiór
reguł zachowania jednostki względem jednostek znajdujących się w strefie
oddziaływania i.
W wersji podstawowej zdefiniowane zostały 3 strefy:
(20)
Gdzie:
– strefa fizyczna (komórka w której jest jednostka),
strefa ruchu,
– strefa swobodnego ruchu.
86
–
Zachowanie jednostki
W prezentowanym rozwiązaniu zachowanie jednostek w tłumie odwzorowano przy
wykorzystaniu systemu regułowego (ekspertowego) i założeniach: każdy agent
wykorzystuje zbiór reguł w celu podejmowania decyzji co robić dalej i wykonywania
odpowiednich działań, zbiór reguł zmienia się w zależności od zagęszczenia i poziomu
stresu, każda z reguł powinna mieć określony priorytet, reguły dla „mniejszych” stref
oddziaływania mają wyższy priorytet. Model zachowań można przedstawić jako:
(21)
Gdzie:
– zbiór reguł zachowania dla wszystkich agentów,
decyzji agenta,
– zbiór możliwych działań agenta,
funkcja określająca aktualny zbiór reguł zachowania agenta,
– zbiór możliwych
–
–
funkcja określająca decyzję podejmowaną przez agenta,
–
funkcja określająca cele do realizacji przez agenta,
– funkcja
określająca działanie agenta. Podstawowe fazy składające się na zachowanie agenta
przedstawiono na diagramie:
Rys. 2 Diagram zachowania agenta
Fig. 2 Agent behavior diagram
Proces określania zachowania jednostki podzielono na dwie części. W pierwszej
jednostka (agent) analizuje stan otoczenia i określa cel jaki chce osiągnąć. W drugiej
określane jest rzeczywiste, „widoczne” działanie jednostki. Główne działania jednostek
to: przemieszczanie się, oczekiwanie, interakcja z obiektem, interakcja z jednostką
(zdobywanie informacji, formowanie grupy, itp.).
Przemieszczanie się tłumu
Do wyznaczania najlepszej trasy na poziomie decyzyjnym został wykorzystany
zmodyfikowany algorytm wyznaczania najkrótszej drogi w grafie. Jednostka, w
zależności od znajomości otoczenia i swoich cech z określonym
prawdopodobieństwem, wybiera sposób wyznaczenia najlepszej trasy. W procesie
decyzyjnym każda jednostka
wierzchołek
znajdująca się w wierzchołku
i mająca jako cel
wybiera trasę przemieszczania (kolejne wierzchołki) zgodnie z funkcją:
87
Michał KAPAŁKA
(22)
gdzie:
funkcja
określająca
„najlepszą”
trasę
przemieszczania się jednostki (dla uproszczenia przedstawiono tylko 3 możliwe
-najlepsza trasa dla przypadku
,
przypadki określające sposób wyboru trasy),
w którym jednostka na podstawie znajomości otoczenia i zagęszczenia wybiera sama
trasę,
- funkcja określająca koszt przejścia trasy (uwzględnienie
dla każdego wierzchołka kary za: zatłoczenie, dużą liczbę wierzchołków sąsiadujących,
znajomość przez jednostkę, zagrożenie i odległość),
– najlepsza trasa w
przypadku
, w którym jednostka porusza się za tłumem nie znając otoczenia,
najlepsza trasa w przypadku
, w którym jednostka porusza się po znanej, odgórnie
ustalonej trasie (np.: jedyna dostępna trasa).
W fazie działania, gdy jednostka określiła jakie wierzchołki należ y pokonać, aby dostać
się do celu, przemieszczanie odbywa się pomiędzy przyległymi, niezajętymi przez inne
jednostki komórkami. Sposób wyznaczania trajektorii ruchu (kolejnych komórek)
oparty jest w wersji podstawowej o zmodyfikowaną metodę pól potencjałów z normą
euklidesową. Algorytm wyznaczania potencjałów przedstawiono w tabeli:
Tab. 1 Metoda pól potencjałów
Tab. 1 Potential fields method
:
Dla każdego wierzchołka
Dla każdego wierzchołka
:
,
Dopóki
88
gdzie:
-
potencjał
komórki
w
kierunku
wierzchołka
,
,
(23)
- funkcja określająca odległość między komórkami
i ,
funkcja wygładzająca, określająca wpływ odległości od wierzchołka i liczby komórek
sąsiadujących na atrakcyjność komórki.
Oprócz przemieszczania się na kolejne niezajęte komórki o niższym potencjale, każda
jednostka poruszając się uwzględnia: aktualny stan (zagęszczenie i poziom stresu) i
odpowiadającą mu przestrzeń interpersonalną, którą chce zachować niezajętą. W
aktualnej wersji modelu uwzględniono również algorytm prognozowania zajętości
komórek, który pozwala jednostce „przewidzieć” i uniknąć możliwej kolizji z obiektem
ruchomym (mechanizm ten pozwala odwzorować tak zwane „zjawisko tunelowania” w
ruchu wielokierunkowym pieszych).
Rys. 3 Model otoczenia na poziomie decyzyjnym (A), metoda pól potencjałów (B),
metoda prognozowania położenia (C)
Fig. 3 Coarse network model (A), potential fields method (B), position prediction
method(C)
3
Eksperymenty
Eksperymenty symulacyjne zostały przeprowadzone przy wykorzystaniu autorskiego
oprogramowania, które zostało skonstruowane na bazie opisanego w poprzednim
rozdziale modelu. Jako obiekt zainteresowań wybrano scenariusze: ewakuacji ludzi z
budynku z windami oraz ewakuacji na stacji metra. W obu przypadkach wykorzystano
ten sam rozkład cech jednostek w badanym tłumie. Podstawowa charakterystyka tłumu
została przedstawiona w tabeli:
89
Michał KAPAŁKA
Tab. 2 Główne cechy tłumu
Tab. 2 Main crowd attributes
Cecha
Prędkość
maksymalna
Prędkość
preferowana
Czas reakcji
Średnia
2.0 m/s
Cecha
Rozmiar tłumu
Wartość
100 – 3000
1.1 m/s
Znajomość otoczenia
20%-90%
8.0 s
70%/20%/5%/+
Czas interakcji
0.5 s
Proporcja rozmiaru grup
1/2/3/+
Przestrzeń interpersonalna
1.0 - 1.5 m
W eksperymencie związanym z ewakuacją budynku, w którym są windy, przyjęto jako cel
zbadanie wpływu obecności i dostępności dodatkowych środków transportu na przebieg
ewakuacji. Głównym elementem, który został zbadany to wpływ liczby osób chcących
skorzystać z wind oraz awaryjnośc wind na przebieg ewakuacji.
W scenariuszu związanym z wystąpieniem zagrożenia na stacji metra przyjęto jako cel
zbadanie możliwości bezpiecznego opuszczenia obiektu na wypadek sytuacji
kryzysowej. W badanym scenariuszu w pierwszej fazie przeprowadzona jest symulacja
normalnego ruchu na stacji metra i w dowolnym momencie poprzez interakcje
uż ytkownika uruchomienie „alarmu” informującego o sytuacji kryzysowej przy jednym
z wyjść ze stacji. W efekcie pasażerowie metra muszą opuścić stację wykorzystując
tylko jedno wyjście. Symulacje zostały przeprowadzone dla różnych wybranych
intensywności ruchu na stacji metra i różnej liczby osób w wagonach. Ciekawym
eksperymentem jest symulacja opuszczania metra uwzględniająca sterowanie ruchem
poprzez zwalnianie (otwieranie) wagonów z pasażerami w określonych chwilach.
Rys. 4 Plan eksperymentu: zagrożenie na stacji metra
Fig. 4 Experiment plan: danger on metrostation
90
4
Wyniki
Na poniższych wykresach zamieszczone zostały wyniki eksperymentów dla wybranych
charakterystyk:
Rys. 5 Wykres 1: ewakuacja budynku
Fig. 5 Plot 1: building evacuation
5
Podsumowanie
W pracy przedstawiono model pozwalający na badanie zjawisk przemieszczania się
tłumu w dynamicznie zmieniającym się otoczeniu. Zaprezentowane autorskie
rozwiązanie w postaci hybrydowego modelu otoczenia pozwala na szybkie przejście
między poziomami decyzyjnymi i działania, a tym samym pełniejszą symulację zjawisk
jakie mogą zachodzić w prawdziwym tłumie. Uwzględnienie zagadnienia proksemiki
pozwala na dokładniejsze odwzorowanie zachowania tłumu o mniejszych
zagęszczeniach i rozmiarach a mechanizm zredukowania stref interpersonalnych do
minimum w duż ym zagęszczeniu nie wpływa negatywnie na symulację duż ych tłumów.
Przedstawione eksperymenty i wyniki pozwalają stwierdzić, że model i symulator mogą
być doskonałym narzędziem do badania przystosowania obiektów aglomeracji do
przemieszczania się duż ych grup ludzi oraz analizy zachowania tłumu w sytuacjach
kryzysowych.
Literatura
1.
2.
3.
4.
J.J. Fruin.: Pedestrain Planning and Design, Elevator World Inc, Alabama, 1987
G.K. Still, Crowd Dynamics, PhD. Thesis, University of Warwick, UK, 2000.
M. Schreckenberg, A Cellular Automaton Model for Crowd Movement and Egress
Simulation, PhD. Thesis, University Duisburg-Essen, 2003.
A. Najgebauer, R. Antkiewicz, J. Rulka, Z. Tarapata, M. Kapałka.: Zagrożenia dla
porządku i bezpieczeństwa publicznego. Modele zagrożeń aglomeracji miejskiej
wraz z systemem zarządzania kryzysowego na przykładzie miasta stołecznego
Warszawy, pod redakcją: Andrzeja Najgebauera Warszawa, 2009, str. 563-584
ISBN 978-83-61486-22-0
91
Michał KAPAŁKA
5.
6.
M. Kapałka, Modelowanie i symulacja przemieszczania się tłumów, master thesis,
WAT, Warsaw, 2006.
M. Kapałka.: The fine-coarse network model for simulating crowd behavior.
Biuletyn Instytutu Systemów Informatycznych, Nr 5, 31-36 (2010).
Streszczenie
W pracy został opisany autorski model i symulator tłumu pozwalający badać zachowanie
tłumu w dynamicznym otoczeniu. Praca została podzielona na dwie części. W pierwszej
części przedstawiono model matematyczny: otoczenia, jednostki i tłumu oraz podstawowe
algorytmy symulacyjne. W drugiej części przedstawione zostały wyniki eksperymentów
dla scenariuszy: ewakuacji budynku z windami oraz zagrożenia na stacji metra.
Simulation of crowd behavior in dynamic
environment
Summary
This work presents a novel approach to the crowd behavior modeling and simulation in
dynamic environment. In this paper we introduce in first part mathematical model of:
environment, pedestrian, crowd and main simulation alghoritms. In second part we
presents experiments conducted with created simulator: evacuation building with
elevators and danger in metro station.
92
Vol. 2, No. 2/2011
Wojciech KOZŁOWSKI
Politechnika Opolska, Katedra Dróg i Mostów
ul. Ozimska 75A, 45 – 368 Opole
Andrzej SUROWIECKI
Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, Instytut Budownictwa,
pl. Grunwaldzki 24, 50-363 Wrocław
Model symulacyjny
elementu ściany gabionowej
1
Wprowadzenie
Gabionowa ściana oporowa składa się z koszy siatkowych wypełnionych kruszywem
(najczęściej tłuczeń kamienny, otoczaki, kamień polny itp.) odpowiednio względem siebie
rozmieszczonych (niekiedy ze sobą zespolonych) i stanowić może w niektórych
przypadkach trwałą obudowę niestabilnej skarpy nasypu [1, 2, 3, 4, 8, 9, 10]. Kosze
siatkowe (gabiony) które są szczególną odmianą kaszyc, charakteryzują się m. in.
podatnością, przepuszczalnością, odpornością na mechaniczne zniszczenie, a więc
zaletami o niewątpliwym znaczeniu dla budownictwa komunikacyjnego. Zabezpieczenie
przed osuwiskami skarp nasypów komunikacyjnych i klifów morskich gabionami stało się
popularne w Polsce na początku lat 90. ubiegłego wieku, między innymi wskutek
wdrożenia innowacyjnej technologii opracowanej przez włoską firmę MACCAFERRI [2,
3, 5, 7].
Przedstawiono dwa modele symulacyjne funkcjonowania elementu gabionowego w
zakresie trójwymiarowego stanu odkształcenia: fizyczny, wykonany w skali laboratoryjnej
oraz numeryczny, bazujący na procedurach popularnego programu Robot MILLENIUM.
Rezultatem badań doświadczalnych, przeprowadzonych na modelu fizycznym jest
oszacowanie cech wytrzymałościowych gabionu w funkcji parametrów zmiennych,
dotyczących kruszywa wypełniającego kosz i siatkowej powłoki kosza. Podano
propozycję numerycznego modelowania stanu odkształcenia elementu gabionowego.
2
Fizyczne modele symulacyjne i stanowisko badawcze
Modele fizyczne o wymiarach w planie 0,52 m x 0,52 m i wysokości H = 0,42 m
sporządzono z koszy skonstruowanych z oryginalnej siatki (drut stalowy typu C 100G o
średnicy 2,0 mm) o sześciobocznych oczkach 50 x 80 mm [2, 5, 7, 9] i wypełniono
grysem bazaltowym o wymiarze ziaren 8/16 mm (rys. 1). Ściany kosza od wewnątrz
otoczono powłoką z folii PCV w celu zapobieżenia przemieszczaniu się ziaren kruszywa
na zewnątrz. Analiza obejmuje modele: wzorcowy, czyli kruszywo bez kosza siatkowego
(w); gabion-kruszywo w koszu z siatką pojedynczą (k); gabion-kruszywo w koszu z siatką
podwójną (2 k); wzorcowy-kruszywo z poziomą wkładką zbrojenia (tzw. przeponą)
93
Wojciech KOZŁOWSKI, Andrzej SUROWIECKI
w postaci siatki stalowej o oczkach 12 mm x 12 mm, zlokalizowaną na poziomie
0,5 H = 0,21 m (w,p); gabion-kruszywo w koszu z siatką pojedynczą i przeponą
zlokalizowaną na poziomie 0,5 H = 0,21 m (k,p) oraz gabion-kruszywo w koszu
z podwójnej siatki i przeponą zlokalizowaną na poziomie 0,5 H = 0,21 m (2 k, p).
Stanowiskiem badawczym był stalowy, prostopadłościenny pojemnik wymiarach
w widoku z góry 0,54 m x 0,54 m i wysokości H = 0,42 m (rys. 2) [5, 6, 7, 8, 9, 10].
Konstrukcja ścian odwzorowuje odpór stref ośrodka otaczającego model gabionu,
natomiast dno stanowi modelowane jednoparametrowe podłoże. Specjalne
oprzyrządowanie powierzchni ścian i dna umożliwia kontrolowane przemieszczenia
poziome i pionowe modelu oraz pomiary liczbowych wartości tych deformacji, które
transformowane są na jednostkowe naciski poziome i pionowe, przy zastosowaniu
odpowiedniej zależności analitycznej. W ścianach pojemnika wydzielono siedem
poziomów pomiarowych o wysokościach: z1 = 0,03 m; z2 = 0,09 m; z3 = 0,15 m; z4 = 0,21
m; z5 = 0,27 m; z6 = 0,33 m; z7 = 0,39 m [5, 6, 7].
Modele obciążano pionowo statycznym naciskiem w sposób centryczny za
pośrednictwem poziomo zlokalizowanej stalowej sztywnej płyty kwadratowej o wymiarze
boku 0,315 m. Stosowano obciążenie badawcze równomiernie rozłożone w zakresie do
0,20 MPa. Przy obciążeniu tej wysokości stwierdzono w próbkach wzorcowych początek
zjawiska nierównomiernego osiadania płyty obciążającej. Przedmiotem badań były
odkształcenia poziome i naciski pionowe modeli przekazywane na podłoże. Wartości
pionowych nacisków oszacowano na podstawie iloczynu wartości przemieszczeń
pionowych rejestrowanych przez czujniki w dnie pojemnika i znanej stałej sprężystości
czujników. Czujniki te zainstalowano w dwóch osiach głównych centralnych dna.
Badania miały charakter porównawczy – wyniki pomiarów porównywano z wynikami
otrzymanymi na próbkach wzorcowych, które stanowiła bryła ośrodka gruntowego nie
otoczonego powłoką siatkową.
Przyjęto oznaczenia:
∆xśr = 1/nk Σ∆xk - średnie poziome przemieszczenie modelu; nk = 7 – liczba poziomów
pomiarowych;
px śr = 1/nk Σ pxk - średni poziomy nacisk modeli na ścianę pojemnika;
q [MPa] - obciążenie jednostkowe statyczne modelu, realizowane w zakresie 0,0-0,20
MPa.
94
Rys. 1. Model fizyczny kosza gabionowego [5, 7]
Fig. 1. Physical model of gabion basket [5, 7]
Rys. 2. Widok z góry na wnętrze pojemnika badawczego, w którym umieszczono model
fizyczny kosza siatkowego z kruszywem (gabionu) [5, 7]
Fig. 2. Top view of the interior of the container research, which indicates a physical
model of aggregate mesh basket (gabion) [5, 7]
Modele były poddane dwóm fazom badań. Faza pierwsza realizowana była na modelu
wykonanym z kruszywa luźno nasypanego. W fazie drugiej kruszywo znajdowało się w
stanie wstępnego zagęszczenia, wygenerowanego procesem obciążającym zastosowanym
w fazie 1.
3
Rezultaty badań wykonanych na fizycznych modelach
symulacyjnych
Wyniki badań doświadczalnych sprowadzono do trzech poszukiwanych parametrów:
współczynnika poziomego parcia (poziomego nacisku), nośności modeli gabionu
i wytrzymałości na ścinanie.
Wartość współczynnika parcia bocznego (poziomego nacisku) w stanie granicznym
czynnym obliczono według wzoru [5, 7]:
Ka = pxśr (pz)-1 = pxśr (qmax)-1
(1)
gdzie: pz jest naprężeniem pionowym od obciążenia, które przyjęto jako qmax = 0,2 MPa.
95
Rozróżniono dwie wartości współczynnika parcia: Ka1 – w odniesieniu do fazy 1 badań,
Ka2 - w odniesieniu do fazy 2 badań. Mniejsze wartości ∆xśr , px,śr oraz Ka dla modeli przy
założonym niezmiennym obciążeniu wskazują na przyrost nośności. Najbardziej
korzystne efekty uzyskano w modelu gabionu, wzmocnionym poziomą przeponą (k,p).
Jako miernik przyrostu nośności modeli gabionu w stosunku do modelu wzorcowego
(bez przepony i bez kosza siatkowego) potraktowano możliwość zwiększenia obciążenia
pionowego q i dopuszczenie odpowiednio większych wartości naprężenia pionowego
pz = f(q), przy ustalonej wartości nacisku poziomego px. Wielkość wprowadzonego
w badaniach pionowego
obciążenia
zewnętrznego
gwarantuje
wystąpienie
równomiernych naprężeń na wysokości modelu i wobec powyższego założono pz = qmax.
Efekt zwiększenia nośności jest rozpatrywany w zakresie fazy 1 badań.
1) Dla modelu (w), obciążonego maksymalnym naciskiem qmax = 0,2 MPa otrzymano
z badań doświadczalnych średnie parcie boczne pxśr = 0,029 MPa. Wtedy doświadczalny
współczynnik parcia otrzymuje wartość:
K = pxśr (pz)-1 = 0,029 / 0,2 = 0,145.
Naprężenie poziome pxśr = 0,029 przyjęto jako bazę odniesienia, w celu skonstruowania
zależności, która wykaże zwiększenie zasięgu możliwości zastosowania obciążenia
zewnętrznego w modelach z przeponą i koszem w odniesieniu do modelu wzorcowego.
2) Dla modelu (w,p) otrzymano K = 0,075 oraz maksymalne naprężenie pionowe:
pz* = pxśr (K*)-1 = 0,029 / 0,075 = 0,386 MPa > pz = 0,2 MPa.
(2)
Efekt zwiększenia nośności ∆pz spowodowany przeponą zlokalizowaną w poziomie
z4 = 0,21 m wyrażono różnicą między maksymalnym obciążeniem modelu z przeponą
a maksymalnym obciążeniem modelu bez przepony:
∆pz = pz* - pz = 0,386 – 0,2 = 0,186 MPa, albo: δpz = pz* (pz)-1 = 0,386 (0,2)-1 = 1,93 > 1,0.
3) Dla modelu (k,p) otrzymano K = 0,06 oraz:
pz* = 0,029 (0,06)-1 = 0,483 MPa > pz = 0,2 MPa; ∆pz = 0,483 – 0,2 = 0,283 MPa
albo inaczej: δpz = pz* (pz)-1 = 0,483 (0,2)-1 = 2,41 > 1,0.
W przypadku szacowania wytrzymałości na ścinanie, model ośrodka gruntowego
niespoistego ze wzmocnieniem potraktowano jako ośrodek bez spójności, w którym uległ
zwiększeniu kąt tarcia wewnętrznego wskutek wzmocnienia (c = 0, ∆ϕ > 0). W procesie
badań otrzymano parcie czynne px o wartości zależnej od szeregu czynników
towarzyszących. Jeżeli w przypadku qmax wartości pz i K zostaną potraktowane jako
ekstremalne, wtedy po podstawieniu ich do klasycznego równania stanu granicznego
można określić efekt zwiększenia kąta ϕ w ośrodku gruntowym wzmocnionym. Warunek
stanu granicznego ma postać dla modelu gruntu nie wzmocnionego:
pz px / pz = tg2 (450 - 0,5 ϕ) = Kmin
oraz przez analogię dla gruntu ze wzmocnieniem:
px* / pz tg2 (450 - 0,5 ϕ) = Kmin* < Kmin
(3)
(4)
Istnieje też w tym przypadku zależność: ϕ* > ϕ oraz ∆ϕ = ϕ* - ϕ, gdzie ϕ jest kątem
tarcia wewnętrznego badanego ośrodka gruntowego, ∆ϕ - efekt zwiększenia kąta tarcia.
96
Wartości kąta tarcia ϕ i wytrzymałości na ścinanie τf , efekt przepony bezwzględny ∆τf i
względny ετ, efekt kosza siatkowego bezwzględny ∆τf, względny ετ oraz łączny efekt
kosza i przepony bezwzględny ∆τf i względny ετ, dla wybranych modeli (w), (w,p) oraz
(k,p) oszacowano przy użyciu wzorów (3) i (4). Wyniki obliczeń, czyli efekt wzrostu kąta
tarcia wewnętrznego w ośrodku wzmocnionym podano w tabeli 1.
Tabela 1. Parametry wytrzymałościowe modeli [5, 7]
Table 1 Strength parameters of models [5, 7]
Model
Kąt
tarcia
ϕ [0]
Wytrz. na
ścinanie
τf [MPa]
(w)
(w,p)
(k.p)
48,3
59,48
62,48
0,224
0,339
0,384
4
Efekt przepony
bezwzględny
∆τf [MPa]
0,115
-
względny
ετ [%]
51,33
-
Efekt kosza siatkowego
bezwzględny
∆τf [MPa]
0,045
względny
ετ [%]
13,27
Łączny efekt przepony
i kosza
bezwzględny
względny
∆τf [MPa]
ετ [%]
0,160
71,43
Numeryczne modelowanie elementów gabionowych i ich stanu
odkształcenia
Podjęto próbę zaprojektowania elementów gabionowych przed i po odkształceniu,
poprzez adaptację programu Robot MILLENIUM 15.0 [5, 6, 7]. Jak wiadomo, program
ten służy zasadniczo do projektowania, modelowania, oraz wymiarowania różnych typów
konstrukcji budowlanych i ich elementów składowych. Do projektowania koszy
gabionowych wykorzystano model siatki uprzednio sporządzony w „zakładce” RAMA
PŁASKA.
Kosze
wygenerowano
używając
„zakładki”
KRATOWNICA
PRZESTRZENNA. Efekt podanych procedur ilustrują poniżej przykłady projektowe.
- model oczek siatki gabionowej (rys. 3);
Rys. 3. Modele oczek siatki gabionowej [5, 6, 7]
Fig. 3. Gabion mesh models [5, 6, 7]
- siatka gabionowa z pękniętym drutem (projekt zrealizowany z „zakładce” RAMA
PŁASKA) – rys. 4;
97
Rys. 4. Model siatki gabionowej z pękniętym drutem [5, 6, 7]
Fig. 4. Gabion mesh model with a broken wire [5, 6, 7]
- dwuwymiarowy model kosza gabionowego (1,0 x 1,0 m); wymiary oczek siatki:
80 x 100 mm (rys. 5);
Rys. 5. Dwuwymiarowy model kosza gabionowego (1,0 x 1,0 m); wymiary siatki:
80 x 100 mm [5, 6, 7]
Fig. 5. Two-dimensional model of gabion basket (1.0 x 1.0 m); grid size: 80 x 100
mm [5, 6, 7]
- trójwymiarowy projekt kosza gabionowego (1,0 x 1,0 1,0 m) z siatki o wymiarze
oczek 80 x 100 mm, przy zastosowaniu w programie modelu siatki z pakietu RAMA
PŁASKA (rys. 6);
98
Rys. 6. Trójwymiarowy model kosza gabionowego (1,0 x 1,0 x 1,0 m) z siatki o wymiarze
oczek 80 x 100 mm [5, 6, 7]
Fig. 6. Tree-dimensional model of gabion basket (1.0 x 1.0 x 1.0 m); grid size: 80 x
100 mm [5, 6, 7]
Rysunek 7 ilustruje przykład modelowania trójwymiarowego stanu odkształcenia kosza
gabionowego wskutek obciążenia ciężarem własnym. Model kosza o wymiarach
1,0 x 1,0 x 1,0 m zaprojektowano w pakiecie KONSTRUKCJE OBJĘTOŚCIOWEBRYŁY, sposobem uproszczonym, stosując siatkę czworokątną o oczkach 100 x 100 mm
zamiast typowej dla gabionów siatki sześciokątnej. Wprowadzenie stosowanego
w praktyce sześciokątnego kształtu oczek wymaga użycia komputera o dużej mocy
obliczeniowej.
Rys. 7. Model kosza siatkowego (gabionu) po odkształceniu spowodowanym ciężarem
własnym [5, 6, 7]
Fig. 7. Mesh basket model (gabion) after deformation caused by its own weight
[5, 6, 7]
5
Podsumowanie
Wyniki badań doświadczalnych dotyczących odkształceń poziomych i pionowych
fizycznego wielkowymiarowego modelu gabionu wykazały pozytywne aspekty pracy
tego typu elementów tworzących ściany oporowe, poddanych działaniu pionowego
99
obciążenia o charakterze statycznym. Kosz siatkowy wypełniony materiałem kamiennym
(gabion) obciążony w warunkach badań laboratoryjnych podanych w referacie, wykazuje
mniejsze o około 30 % odkształcenia poziome w odniesieniu do wzorca, czyli próbki
ośrodka ziarnistego bez powłoki siatkowej.
Generalnie stwierdzono wpływ otoczenia bryły kruszywa koszem siatkowym
na ograniczenie przemieszczeń poziomych i pionowych, co jest równoznaczne
ze zwiększeniem nośności. Wpływ ten jest zależny od parametrów wytrzymałościowych
siatki kosza, wymiaru oczek siatki, jakości splotu oraz cech kruszywa (m.in. stopień
zagęszczenia, wymiar i kształt ziaren).
Z powyższych rozważań wynika kapitalne znaczenie dodatkowo zainstalowanej poziomej
przepony siatkowej (wkładki wzmacniającej), jako elementu w sposób zasadniczy
redukującego przemieszczenia i generującego poprawę cech wytrzymałościowych modeli.
Charakter pracy przepony różni się zasadniczo od funkcji kosza siatkowego: przepona
podejmuje w płaszczyźnie poziomej siły rozciągające od masy ośrodka ziarnistego na
zasadzie zjawiska tarcia wzdłuż prętów siatki oraz oporu poprzecznego przesuwu prętów
zlokalizowanych prostopadle do tych sił.
Na szczególną uwagę zasługują wysokie wartości cech mechanicznych modeli
traktowanych jako ośrodek bez spójności, w którym wskutek wzmocnienia wystąpił efekt
zwiększenia kąta tarcia wewnętrznego. W modelach z koszem siatkowym i poziomą
przeponą stwierdzono zwiększenie wartości wytrzymałości na ścinanie [%]
wyodrębniając: efekt przepony ετ = 51,33 %; efekt kosza siatkowego ετ = 13,27 % oraz
łączny efekt kosza siatkowego i przepony ετ = 71,43 %.
Podane przykłady wskazują, że system ROBOT MILLENIUM jest w pełni przydatny
jako narzędzie do numerycznego konstruowania:
•
modeli elementów budujących kosze gabionowe (oczka siatki; siatka o oczkach
czworokątnych i sześciokątnych);
•
dwu i trójwymiarowych modeli gabionów, stanowiących pojedynczą sekcję
i zespół sekcji;
•
modeli oporowych ścian pionowych lub nachylonych względem płaszczyzny
poziomej, złożonych z gabionów
(możliwe jest tworzenie dowolnych
kompozycji gabionów), co wykazały rezultaty innych, nie cytowanych
w niniejszym referacie badań wykonanych przez autorów.
Literatura
1.
2.
3.
4.
Clayton C.R.J., Milititsky J., Woods R.J., Earth Pressure and Earth Retaining
Structures. Blackie Academic & Professional. An Im Print of Chapman & Hall.
London-New York, 1996
Gabiony MACCAFERRI. Officine MACCAFERRI S.P.A. Polibeton Sp.z o.o.,
ul. Jagiellońska 79, Warszawa 2003
GGU Gabion. Calculation of Gabion Walls. Geotechnical Computation. Civilserve
DP for Civil Engineering, Braunschweig, Germany, August 2001
Jarominiak A.: Lekkie konstrukcje oporowe, WKiŁ, Warszawa 2003
100
5.
Kozłowski W.; Analiza zachowania się oporowych ścian gabionowych i ich
elementów pod wpływem obciążenia statycznego. Praca dokt., Raport serii PRE nr
3, 2007, Politechnika Wrocławska, Instytut Inżynierii Lądowej, Wrocław, 2007
6. Kozłowski W., Surowiecki A., Numerical simulation of deformations of gabionretaining wall segment. Proc. Int. Scientific Conf. “Riesenie krizovych situacii
v specifickom prostredi”. Zilinska Univerzita v Ziline, Zilina 23-24.6.2004,
s.573-579
7. Surowiecki A., Balawejder A., Kozłowski W., Badanie możliwości wzmacniania
nasypów kolejowych przy zastosowaniu zbrojenia gruntu, lekkich konstrukcji
oporowych i maty komórkowej. Raport serii SPR nr 6, Projekt bad. MNiI nr 5
T07E 06024, Politechnika Wrocławska, Wrocław 2006
8. Surowiecki A.: Interaction between reinforced soil components. Studia Geotechnica
et Mechanica. Vol. 20, Nr 1-2, 1998, s. 43-61
9. Surowiecki A.: Podstawy projektowania zabezpieczeń podtorza przy uż yciu
gabionów. Konf. Nauk.-Techn. Wrocław-Żmigród, Pol. Wrocł., SITK,
29-30.06.2000 r., s. 155-162
10. [10] Surowiecki A., O projektowaniu konstrukcji gabionowych w budownictwie
komunikacyjnym. Drogownictwo, SITK, Rok LVI, Nr 3, 2001, s. 81-86.
Streszczenie
Temat referatu dotyczy ścian oporowych skonstruowanych z koszy siatkowo-kamiennych
(tzw. gabionów), stosowanych w budownictwie komunikacyjnym w celu zabezpieczenia
skarp budowli ziemnych przed osuwiskami. Przedstawiono fizyczny symulacyjny model
pracy pojedynczego gabionu, wykonany w skali laboratoryjnej. Doświadczalnie
oszacowano cechy wytrzymałościowe gabionu w funkcji wybranych parametrów
zmiennych. Podano propozycję numerycznego modelowania stanu odkształcenia
elementu gabionowego.
Simulation model of gabion wall element
stabilizing communication embankment
Summary
The subject of the paper refers to gabion retaining walls, as the solution of earthen
structures protection of motor roads and railway roads against the slope failures. There
were presented the test of estimation of strength characteristics of gabions on the basis
of deformations researches of physical gabion models. In particular estimated: the factor
of horizontal pressure, the effect of load capacity increase on account of net-basket and the
horizontal reinforcing rod and shear strength.
101
Vol. 2, No. 2/2011
102
Vol. 2, No. 2/2011
Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Piotr RYNKOWSKI
Politechnika Białostocka, WBiIŚ, ul.Wiejska 45E, 15-351 Białystok
E-mail: [email protected], [email protected]
Modelowanie przepływu
ciepła w przegrodach
z instalacjami ciepłej wody użytkowej
metodą brzegowych równań całkowych
1
Wstęp
Sprawność transportu ciepłej wody użytkowej w instalacjach ogrzewczych zależy w dużej
mierze od prawidłowej izolacji termicznej przewodów, w tym również od racjonalnego
prowadzenia przewodów przechodzących przez przegrody budowlane. W opracowaniu
przedstawiono metodę wyznaczania pól temperatury i strumienia ciepła przewodów
instalacji ciepłej wody użytkowej i przewodów cyrkulacyjnych prowadzonych przez
ściany i stropy budynków. Zagadnienie wymiany ciepła na styku przewodów i struktur
budowlanych, ograniczone do dwuwymiarowego przewodnictwa cieplnego w warunkach
ustalonych rozwiązano metodą brzegowych równań całkowych.
Podstawowym walorem metody brzegowych równań całkowych nazywanej również
w nawiązaniu do metod siatkowych metodą elementów brzegowych (MEB), jest to,
że rozwiązania zagadnienia opisanego równaniem różniczkowym w pewnym obszarze
poszukuje się na brzegu tego obszaru, co w numerycznym rozwiązaniu wymaga
konstrukcji siatki punktów jedynie fizycznym brzegu obszaru, a nie w całym
rozpatrywanym obszarze, jak to ma miejsce w przypadku metod siatkowych: metody
różnic skończonych (MRS) i metody elementów skończonych (MES) [1]. Ta istotna
właściwość metody, w szczególności w jej najbardziej prostej aplikacji polegającej na
podziale brzegu na elementy o stałej wartości poszukiwanej funkcji w obrębie każdego
elementu, pozwala na konstruowanie prostych i wydajnych algorytmów obliczeniowych
do symulacji złożonych zagadnień przepływowych, cieplnych i innych w obszarach
o złożonej geometrii bez potrzeby generowania złożonych siatek do rozwiązywania tych
zagadnień [2].
2
Brzegowe równanie całkowe opisujące ustalone pole temperatury
w zagadnieniach dwuwymiarowych
Pole temperatury w ustalonym przepływie ciepła, w którym dominującym mechanizmem
jest przewodzenie ciepła jest opisane równaniem Laplace’a względem temperatury T [3]:
∇ 2T = 0
(1)
Gęstość strumienia ciepła w jest równa:
q = − λ ∇T
(2)
gdzie: λ jest współczynnikiem przewodzenia ciepła.
103
Zagadnienie brzegowe dla równania różniczkowego (3) formułuje się w postaci złożonego
warunku brzegowego Dirichleta i Neumanna zakładającego znane wartości temperatury
T% (q) na części brzegu LT (q ∈ LT) i znane wartości strumienia ciepła q% (q) na części
brzegu Lq (q ∈ Lq) (rys. 1).
Y n nq
x
LT
ny
q
rpq
dL q% (q)
(Λ )
T% (q)
L = LT ∪ Lq
p
Lq
X
Rys. 1. Szkic do analizy zagadnienia brzegowego w obszarze płaskim
Fig. 1. Sketch to consideration of boundary conditions
Rozwiązaniem równania Laplace’a (1) jest równanie całkowe [2]:
− χ (p)T (p) +
∫
=−
∫ T (q) E (p, q)dL
q (q) K (p, q)dLq +
( Lq )
∫
=
T
( LT )
q% (q) K (p, q) dLT −
( LT )
∫ T% (q) E (p, q)dL
q
,
(3)
( Lq )
p, q ∈ L
gdzie dla brzegu gładkiego χ (p) =1/2 oraz:
 1 
ln   ; rpq = ( xp − xq ) 2 + ( yp − yq ) 2 ,
 rpq 
2πλ
 
(
x
−
xq )nx + ( yp − yq )n y
1
p
E (p, q) =
.
2π
rpq2
K (p, q) =
1
(3a)
(3b)
Po wyznaczeniu T(p) oraz q(p) temperaturę w dowolnym punkcie (p ∈ Λ) rozpatrywanego
obszaru (Λ) wyznacza się ze związku całkowego:
T (p) =
∫ T (q) E (p, q) dL + ∫ q(q) K (p, q) dL
( L)
( L)
(4)
(q) ∈ ( L) , (p) ∈ (Λ)
Wobec zależności (2) strumienie ciepła w kierunku x i y w przyjętym układzie
współrzędnych w punktach (p) rozpatrywanego pola temperatury w obszarze (Λ)
ograniczonym brzegiem (L) otrzymuje się różniczkując wyrażenia podcałkowe w
wyrażeniu (4) odpowiednio względem x i y:
104
q x (p ) = − λ
∂T (p)
∂E (p, q)
∂K (p, q)
= − ∫ T (q)
dL − ∫ q(q)
dL
x
∂xp
∂
∂xp
p
( L)
( L)
∂T (p)
∂E (p, q)
∂K (p, q)
q y (p) = −λ
= − ∫ T (q )
dL − ∫ q (q)
dL
∂yp
∂
y
∂yp
p
( L)
( L)






(5)
gdzie:




2
2
∂E (p, q)
λ ( yq − yp ) − ( xq − xp ) nx − 2( xq − xp )( yq − yp )n y 
=

4
∂xp
2π
rpq


∂K (p, q )
1 yq − yp
=

2
2π
∂yp
rpq


2
2
λ ( xq − xp ) − ( yq − yp ) n y − 2( xq − xp )( yq − yp )nx 
∂E (p, q)
=

4
∂xp
2π
rpq

∂K (p, q)
1 xq − xp
=
2
2π
rpq
∂xp
(
(
(5a)
)
(5b)
)
Moduł gęstość strumienia ciepła jest równy [4]:
q (p) = (q x (p )) 2 + (q y (p))2
(6)
Adiabaty dane są równaniem linii przepływu ciepła [4]:
d Ξ = q x (p) dy − q y (p)dx
3
(7)
Walidacja wyznaczania funkcji prądu metodą elementów
brzegowych w zagadnieniach płaskich
Jako zagadnienie testowe przyjęto jednokierunkowe przenikanie ciepła w ścianie
jednowarstwowej o grubości 0,38 m, zbudowanej z bloczków keramzytobetonowych
o współczynniku przewodzenia ciepła 0,42 W/mK. Warunki brzegowe zagadnienia
testowego zostały przedstawione na rysunku 2.
105
q = 0 W / m2
Y
X
Tz = −16 Co
Tw = +20 Co
λ = 0.42 W / ( mK )
L = 0.38 m
Rys. 2. Warunki brzegowe w jednowarstwowej przegrodzie budowlanej
Fig. 2. Sketch to boundary in a monostratal wall
Pole temperatury w przekroju ściany wyznaczono ze wzoru analitycznego:
TT ( x ) = Tw +
(Tz − Tw ) x
L
(8)
gdzie: Tw, Tz są temperaturą na powierzchni ściany, L oznacza grubość ściany.
Gęstość strumienia ciepła została wyznaczona ze wzoru:
qT ( x ) = −λ
dT
dx
(9)
Obliczenia wykonano dla brzegu składającego się z 100 oraz 1000 elementów. Błąd
rozwiązania metody elementów brzegowych dla temperatury i strumienia ciepła
wyznaczono z zależności:
δ TMEB =
TT − TMEB
q −q
*100% , δ qMEB = T MEB *100% ,
TT
qT
(10)
gdzie: TMEB i qMEB oznacza temperaturę i strumień ciepła wyznaczona metodą
brzegowych równań całkowych, natomiast TT i qT oznacza wielości wyznaczone ze
wzoru (8) i (9).
Tabelaryczne zestawienie porównania rozwiązania numerycznego i teoretycznego w
przekroju Y=0,30 m znajduje się tabeli 1 dla temperatury oraz w tabeli 2 dla gęstości
strumienia ciepła.
106
Tab. 1. Pole temperatury - błąd rozwiązania BEM
Tab. 1. The temperature – error analysis applied in BEM
Współrzędne
węzłów
Rozwiązanie
teoretyczne
Rozwiązanie Błąd metody
num. MEB
MEB
Roz.
num. MEB
Błąd metody
MEB
100 el.
100 el.
1000 el.
1000 el.
TMEB
XM
YM
TT
TMEB
TMEB
TMEB
[m]
[m]
[oC]
[oC]
[%]
[oC]
5,0E-03
5,0E-02
1,0E-01
1,5E-01
2,0E-01
2,5E-01
3,0E-01
3,5E-01
[%]
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
1,9526E+01
1,5263E+01
1,0526E+01
5,7895E+00
1,0526E+00
-3,6842E+00
-8,4211E+00
-1,3158E+01
1,9605E+01
1,5323E+01
1,0565E+01
5,8066E+00
1,0486E+00
-3,7094E+00
-8,4674E+00
-1,3225E+01
4,0270E-01
3,8922E-01
3,6368E-01
2,9599E-01
3,8282E-01
6,8422E-01
5,5092E-01
5,1368E-01
1,9534E+01
1,5269E+01
1,0530E+01
5,7912E+00
1,0522E+00
-3,6867E+00
-8,4257E+00
-1,3165E+01
3,9900E-02
3,8616E-02
3,5986E-02
2,9096E-02
3,9796E-02
6,8471E-02
5,4953E-02
5,1178E-02
3,8E-01 3,0E-01
-1,5526E+01
-1,5605E+01
5,0477E-01
-1,5534E+01 5,0166E-02
W przypadku brzegu składającego się ze 100 elementów błąd metody brzegowych
równań całkowych oscyluje wokół wartości 0,5 % dla wybranych punktów, natomiast w
przypadku brzegu podzielonego na 1000 elementów błąd ten jest dziesięciokrotnie
mniejszy, co świadczy, że jest to metoda bardzo dokładna. Na rysunku 3 wykreślono pole
temperatury wyznaczone metodą elementów brzegowych dla powyższego przykładu.
Tab. 2. Gęstość strumienia ciepła - błąd rozwiązania BEM
Tab. 2. The thermal flux – error analysis applied in BEM
Współrzędne
węzłów
XM
[m]
YM
qT
2
Rozwiązanie Błąd metody
num. MEB
MEB
Roz.
num. MEB
Błąd metody
MEB
100 el.
100 el.
1000 el.
1000 el.
qMEB
qMEB
qMEB
qMEB
2
[%]
2
[W/m ]
[W/m ]
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,0E-01
3,9789E+01
3,9789E+01
3,9789E+01
3,9789E+01
3,9789E+01
3,9789E+01
3,9789E+01
3,9789E+01
3,9978E+01
3,9967E+01
3,9967E+01
3,9967E+01
3,9967E+01
3,9967E+01
3,9967E+01
3,9968E+01
4,7279E-01
4,4589E-01
4,4620E-01
4,4665E-01
4,4699E-01
4,4719E-01
4,4726E-01
4,4867E-01
3,9807E+01
3,9807E+01
3,9807E+01
3,9807E+01
3,9807E+01
3,9807E+01
3,9807E+01
3,9807E+01
4,4509E-02
4,4472E-02
4,4434E-02
4,4409E-02
4,4404E-02
4,4421E-02
4,4459E-02
4,4504E-02
3,8E-01 3,0E-01
3,9789E+01
3,9977E+01
4,7105E-01
3,9807E+01
4,4524E-02
5,0E-03
5,0E-02
1,0E-01
1,5E-01
2,0E-01
2,5E-01
3,0E-01
3,5E-01
[m]
Rozwiązanie
teoretyczne
[W/m ]
[%]
107
Rys. 3. Pole temperatury w jednowarstwowej
przegrodzie budowlanej
- rozwiązanie numeryczne MEB
Fig. 3. The temperature field in a monostratal
wall - BEM solution
4
Przykłady obliczeniowe
Poniżej przedstawiono przykład obliczeniowy symulacji przenikania ciepła w przegrodzie
budowlanej pionowej wykonanej z żelbetu o współczynniku przewodzenia ciepła
λIŻ =1,70 W/mK, zlokalizowanej w piwnicy, przez którą przechodzi przewód ciepłej wody
użytkowej. W warunku brzegowym przyjęto rzeczywiste temperatury zmierzone
miernikiem wyposażonym w czujnik oporowy. Pierwszy przypadek dotyczy przewodu
c.w.u., który jest zaizolowany w ścianie otuliny ze spienionego polietylenu
o współczynniku przewodzenia ciepła λIZ=0,038 W/mK. Temperatura na powierzchni
stalowej rury ocynkowanej o średnicy zewnętrznej 42,4 mm wynosi 52,80 oC, temperatura
na powierzchni izolacji przewodu o grubości 13 mm wynosi 29,8 oC, temperatura ściany
w odległości 1,5 m od powierzchni izolacji wynosi 8.0 oC. Fotografię przewodu c.w.u.
przedstawiono na rysunku 4a.
a)
b)
Rys. 4. Przenikania ciepła przez przegrodę budowlaną przez, którą przechodzi izolowana
termicznie instalacja c.w.u.: a) widok ogólny, b) termogram powierzchni ściany
Fig.4. Heat transfer from a hot water pipe without thermal insulation through
a wall: a) photography, b) thermogram.
Rysunek 4b przedstawia termogram wykonany kamerą termowizyjną.
108
Na rysunku 5a wykreślono izotermy wyznaczone metodą brzegowych równań całkowych
dla przypadku przewodu c.w.u. izolowanego termicznie od przegrody, natomiast na
rysunku 5b wykreślono rozkład gęstości strumienia.
a)
b)
Rys. 5. Przenikanie ciepła przez przegrodę budowlaną przez, którą przechodzi izolowana
termicznie instalacja c.w.u.: a) pole temperatury, b) gęstość strumienia ciepła
Fig. 5.Heat transfer from a hot water pipe with thermal insulation through a wall:
a) temperature field, b) heat flux density
Izotermy (rys. 5a) otrzymane z obliczeń są zbieżne z obrazem termogramu (rys. 4b).
W drugim przypadku wykonano obliczenia dla wariantu, w którym pominięto izolację
cieplną c.w.u. Rysunek 6a przedstawia pole temperatury wyznaczone metodą brzegowych
równań całkowych dla nieizolowanego termiczne przewodu, rysunek 6b przedstawia
rozkład gęstości strumienia ciepła, na rysunku 6c wykreślono adiabaty.
109
b)
a)
c)
Rys. 6. Przenikanie ciepła przez przegrodę
budowlanąą przez, którą przechodzi
nieizolowana termicznie instalacja c.w.u.:
a) pole temperatury b) strumień ciepła,
c) adiabaty
Fig. 6. Heat transfer from a hot water pipe
without thermal insulation through a wal:l
a) temperature field, b) heat flux density,
c) adiabatic curve
Porównanie rezultatów obliczeń MEB (rys.5a-b oraz 6a-b) wskazuje jak ważne jest
izolowanie przewodów c.w.u., które przechodzą przez przegrody budowlane. Brak izolacji
powoduje znaczące straty ciepła instalacji c.w.u. i tym samym przyczynia się do wzrostu
kosztów podgrzania c.w.u.
5
Podsumowanie
Przedstawiony w pracy algorytm oparty na metodzie brzegowych równań całkowych jest
wydajnym i dokładnym narzędziem służącym do wyznaczania pól temperatur, rozkładów
gęstości strumienia ciepła oraz rozkładu adiabat. Znajomość pół temperatur oraz
rozkładów gęstości strumienia ciepła może być przydatna przy pracach nad poprawą
sprawności transportu ciepłej wody użytkowej. Metoda również może być stosowana do
oceny izolacyjności termicznej najczęściej stosowanych otulin
Literatura
1. Reddy J.N., Gartling D.K.: The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid
Dynamics. CRC Press 2010
2. Brebbia C.A., Telles J.F.C., Wrobel L.C.: Boundary element Techniques. Theory
and Applications in Engineering. Springer-Verlag. NY 1984
3. Patankar S.V.: Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Taylor and Francis 1980
110
4. Teleszewski T.J., Sorko S.A.: Modelowanie przepływu ciepła w przegrodach z
instalacjami centralnego ogrzewania metodą brzegowych równań całkowych.
Budownictwo i Inżynieria Środowiska Vol.1, nr 3 2010
Streszczenie
W artykule omówiono modelowanie przenikania ciepła w przegrodach budowlanych,
przez które przechodzą przewody ciepłej wody użytkowej. Algorytm został oparty na
metodzie brzegowych równań całkowych. W publikacji przedstawiono praktyczny
przykład zastosowania metody, w którym obliczono pole temperatury oraz rozkład
gęstości strumienia ciepła dla przewodu c.w.u. izolowanego termicznie oraz dla przewodu
bez izolacji termicznej. W pracy wyznaczono błąd metody brzegowych równań
całkowych. Do analiz opracowano oprogramowanie w języku Fortran.
Computer simulation of heat transfer in walls
with hot water installations using
Boundary Element Method
Summary
The paper presents the numerical simulation of of heat transfer in walls with hot water
installations using Boundary Element Method in two dimensional problem. The efficiency
and the credibility of proposed algorithm were verified by numerical tests and were
compared with thermogram. This algorithm can be used to project increase efficiency a
hot water transport in system pipe. A numerical examples are presented. Computer
programs are written in Fortran programming languages.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego
Funduszu Społecznego (nr umowy WIEM/POKL/MD/II/2010/6).
111
Vol. 2, No. 2/2011
112
Vol. 2, No. 2/2011
Kazimierz WORWA
Wojskowa Akademia Techniczna, 00-908 Warszawa, ul. Kaliskiego 2
Using an optimization methods to selection
the best software developer
1
Introduction
As software becomes increasingly important in systems that perform complex and critical
functions, e.g. military defense, nuclear reactors, so too have the risks and impacts of
software-caused failures. There is now general agreement on the need to increase software
reliability and quality by eliminating errors created during software development. Industry
and academic institutions have responded to this need by improving developmental
methods in the technology known as software engineering and by employing systematic
checks to detect software errors during and in parallel with the developmental process.
A large number of analytical models have been proposed and studied over the last two
decades for assessing the quality of a software system. Each model must make some
assumptions about the development process and test environment. The environment can
change depending on the software application, the lifecycle development process as well
as the capabilities of the engineering design team [5]. Therefore, it is important for
software users and practitioners to be familiar with all the relevant models in order to
make informed decisions about the quality of any software product.
Let us define the terms such as software error, fault and failure [1]. An error is a mental
mistake made by the programmer or designer. A fault is the manifestation of that error in
the code. A software failure is defined as the occurrence of an incorrect output as a result
of an input value that is received with respect to the specification.
What precisely do we mean by the term failure? It is the departure of the external results
of system operation from user needs. So failure is something dynamic. A system has to be
operating for a failure to occur. The term failure relates to the behavior of the system.
Note that a failure is not the same thing as a bug or, more properly, fault. The very general
definition of failure is deliberate. It can include such things as deficiency in performance
attributes and excessive response time when desired, although there can be disadvantages
in defining failure too generally.
A fault in software is the defect in the program that, when executed under particular
conditions, causes a failure. There can be different sets of conditions that cause failures.
Hence a fault can be the source of more than one failure. A fault is a property of the
program rather than a property of its execution or behavior. It is what we are really
referring to in general when we use the term defect or bug.
Software reliability modelling has become one of the most important aspects in software
reliability engineering since first software reliability models appeared. Various
methodologies have been adopted to model software reliability behaviour. The most of
existing work on software reliability modelling is focused on continuous-time base, which
assumes that software reliability behaviour can be measured in terms of time. It may be a
113
Kazimierz WORWA
calendar time, a clock time or a CPU execution time [2, 4-8, 10]. Although this
assumption is appropriate for a wide scope of software systems, there are many systems,
which are essentially different from this assumption. For example, reliability behaviour of
a reservation software system should be measured in terms of how many reservations are
successful, rather than how long the software operates without any failure. Similarly,
reliability behaviour of a bank transaction processing software system should be assessed
in terms of how many transactions are successful, etc. Obviously, for these systems, the
time base of reliability measurement is essentially discrete rather than continuous. Models
that are based on a discrete-time approach are called input-domain or run-domain models
(see e.g. [4-8, 10]). They usually express reliability as the probability that an execution of
the software is successful.
In spite of permanent improvement of software project and implementation methods
which are used in a practice of a software development they still can not guarantee of
developing a complicated software system entirely free of errors. These errors appeared
during useful exploitation of software and they cause to arise some financial losses and
other difficulties. In order to minimize of scale such difficulties software users demand
from developers such reliable software as possible. Unfortunately, more reliable software
is more expensive so there is a practical problem to determine some compromise on both
software quality and cost requirements. In practice, determining such a compromise can
be easier if there are possibilities to estimate both software reliability level and his
development cost by means of appropriate measures.
The purpose of this chapter is to propose some formal way of determining software
developer by formulating and solving the bicriterial optimization problem will both
minimize the value of the number of software tasks which have incorrect realization
during some time period and minimize the value of the software development cost. The
method of determining the best software developer that is proposed will be illustrated by
the simple numerical example.
2
Mathematical model of the software exploitation process
We will consider some useful software that services arriving tasks. Each input task
involve a sequence of software operations, whereas an operation is a minimum execution
unit of software. The concrete sense of an operation is subject to application context. For
example, an operation can correspond to execution of a test case, of a program path, etc.
Some input data set is connected with every operation and operation consists in executing
of the software with that data set. An operation can be viewed as a transformation of an
input state to an output state. One recognizes the possibility of a software failure by noting
a discrepancy between the actual value of a variable occurring during an operation and the
value of that variable expected by users.
We can view the execution of a program as a single entity, lasting for months or even
years for real-time systems. However, it is easier to characterize the execution if you
divide it into a set of operations. Then the environment is specified by the operational
profile, where operational profile is a complete set of operations with their probabilities of
occurrence. Probability of occurrence refers to probability among all invocations of all
operations. In turn, there are many possible instances of operations, each called a run.
During execution, the factors that cause a particular operation and a particular run within
that operation to occur are very numerous and complex. Hence, we can view the
114
Using an optimization methods to selection the best software developer
operations required of the program as being selected randomly in accordance with the
probabilities just mentioned. The runs within those operations also occur randomly with
various probabilities.
A run is specified with respect to the operation of which it is a part by its input state or set
of values for its input variables. Input variables are variables that exist external to an
operation and influence its execution. The input state is not the same thing as the machine
state, which is the much larger set of all variable values accessible to the computer. The
machine state also includes variables that do not affect a run and are not set by it.
Recurrent runs have the same input state. We judge the reliability of a program by the
output states (sets of values of output variables created) of its runs. Note that a run
represents a transformation between an input state and an output state. Multiple input
states may map to the same output state, but a given input state can have only one output
state. The input state uniquely determines the particular instructions that will be executed
and the values of their operands. Thus, it establishes the path of control taken through the
program. It also uniquely establishes the values of all intermediate variables. Whether a
particular fault will cause a failure for a specific run type is predictable in theory.
However, the analysis required to determine this is impractical to pursue.
It is noteworthy that such a way of software working is typical for greater part of software
which are exploited in practice. As typical examples can be use reservations programs,
inquiry programs, storage economy programs, registration and record programs and many
others.
Both the human error process that introduces faults into software code and the run
selection process that determines which code is being executed at any time and under what
conditions, and hence which faults will be stimulated to produce failures, are dependent
on an enormous number of time-varying variables. Hence, researchers have generally
formulated software reliability models as random processes in time. The models are
distinguished from each other in general terms by the probability distribution of failure
times or number of failures experienced and by the nature of the variation of the random
process with time. A software reliability model specifies the general form of the
dependence of the failure process on the factors mentioned. You then particularize it by
estimating its parameters.
It is assumed that tasks arrive to the software in a random way and time intervals τk
k=1,2,…, between succeeding tasks are independent random values with the same
distribution function G(t), t≥0.
Let L(t) mean a number of tasks which arrive to the software at time [0, t]. For t≥0 value
L(t) is a random variable, L(t)∈{1,2,3,…}. The process {L(t), t≥0} is a some stochastic
process with continuous time parameter and countable infinite set of states.
A result of the growing maturity of software development is that it is no longer adequate
that software simply works; it must now meet other customer-defined criteria. Software
development is very competitive, and there are many competent software developers,
spread throughout the world.
Surveys of users of software-based systems generally indicate users rate on the average
the most important quality characteristics as: reliability, rapid delivery, and low cost (in
that order). In a particular situation, any of these major quality characteristics may
115
Kazimierz WORWA
predominate. The quality of the software system usually depends on how much time
development (especially testing) takes and what technologies are used. On the one hand,
the more time people spend on development and testing, the more errors can be removed,
which leads to more reliable software; however, the testing cost of the software will also
increase. On the other hand, if the testing time is too short, the cost of the software could
be reduced, but the customers may take a higher risk of buying unreliable software [7].
This will also increase the cost during the operational phase, since it is much more
expensive to fix an error during the operational phase than during the testing phase.
When choosing a software developer the user is interested in a software quality (measured
for example by a failure intensity), a development time and a development cost. For the
purpose of this chapter a software developer will be characterized by a probability of
correct realization by the software of single task, i.e. probability of correct execution of
the software with single input data set. Let q mean this probability. Respectively, let
p=1–q mean a probability of incorrect realization of single task, whereas realization of
single task is incorrect if some errors appear during execution of the software with data set
connected with that task. It is obvious that probabilities q and p=1–q characterize software
developer. In general, value of q depends on the development methods and technologies,
the lifecycle development process as well as the capabilities of the engineering design
team.
Let N(t) mean a number of tasks which have incorrect realization during time period [0, t],
i.e. during service of which some software errors appear. If we assume that none task
which arrives to the software will be lost (system with an infinitive queue) value N(t) can
be determined as follows
L( t )
N(t) =
∑ Xn ,
(1)
n =0
where values X n , n = 1,2, ..., L(t) are random variables with the same zero-one
distributions
P( X n = 1 ) = p , P( X n = 0 ) = q .
For a some natural number m random variable N(t) has following binomial distribution
 m  n m−n
  p q
for m ≥ n
,
P( N ( t ) = n L( t )=m ) =  n 
 0
for
m
<
n

(2)
where n=0,1,2,... .
Taking into account (1) and (2) we can determine probability distribution function
of random variable N(t) as a border distribution of two-dimentional random variable
(N(t), L(t))
∞
P(N(t) = n) =
∑ P(N(t) = n L(t)= m ) ⋅ P( L( t ) = m ) ,
n=0,1,2,...
(3)
m =0
Considering prior assumptions probability P(L(t)=m) can be determined as follows [3]
(4)
P(L(t) = m) = Gm (t) - Gm + 1 (t), m = 0,1,2,...
116
where Gm (t) , m ≥ 1 , means distribution function of random variable t m , that has the
form
m
tm = ∑τ k
(5)
k =1
It is assumed that G0 (t) = 1 and G1 (t) = G(t) .
Then, taking into account (2) and (4), we can determine probability distribution function
of random variable N(t) as follows
 m
P(N(t) = n) =   p n q m − n [ Gm (t) - Gm + 1 (t)] , n=0,1,2,...
(6)
n
A mean value of number of incorrect serviced tasks at time period [0, t] has a following
form
m
E [ N ( t )] = ∑ n ⋅ P( N ( t ) = n )
(7)
n =0
where probability P( N ( t ) = n ) is stated by (6 ).
For example, if G ( t ) = 1 - e -λt , i.e. when random variables τ k , k = 1,2,... , have the
same exponential distribution with λ parameter, we will obtain
∞
 m
( λt)m − λt
e , n=0, 1, 2, …
m!
m = n 
from where, after simple transformation, we have
P(N(t) = n) =
∑  n  p n q m − n
e −λpt
, n=0,1,2 .
(8)
n!
Expression to calculate a mean value of random variable N(t) has in this case the form
(9)
E [ N ( t )] = pλt .
P(N(t) = n) = (pλt)n
Using (6) we can determine probability of event which consists in no errors will appear
during useful exploitation of the software at time period [0, t] . This probability can be
obtained from (6) by taking n=0. Both mentioned probability and mean value of
number of incorrect tasks at time [0, t] in expression (7) can be used as reliability
measures of the software under investigation. It is worth to add that these measures unlike most reliability measures which can be found in subject literature, e.g. in [2, 6-7,
8] take into account not only reliability level of the software but circumstances of its
exploitation as well.
3
Formulation of a bicriterial optimization problem of choice of the
software developer
Mean value of number of incorrect serviced tasks during useful exploitation of the
software at a given time period, appointed by (7), can be used as one of criteria (quality
criterion) to determine a compromise which reconciles requirements of user of a software
regarding its both reliability level maximization and production cost minimization.
A practical problem of choice of the best software developer by a potential user of that
software will be considered. The user can choose one of some number possible developers
117
Kazimierz WORWA
of the software taking into account characterization of both software exploitation
circumstances and technology of software development.
Let I mean set of numbers all possible software developers
I = {1, 2, ...,i, ..., I}.
From software user’s viewpoint the i-th developer will be characterized by pair of
numbers (qi, ki), where qi means probability of a correct execution of the software with a
single input data set if the software is developed by the i-th developer, and ki means cost
of the software development by the i-th developer.
Because individual developers use different project and implementation methods, have
a different computer equipment, use different organization and management styles and
so on, characteristics qi, ki can be different for every developer.
The software exploitation circumstances, i.e. circumstances in which it will be used,
will be characterized by means of function G(t) which is distribution function of time
intervals between succeeding demands of use the software. We still assume that time
intervals are independent random variables with the same distribution.
A choice which is made by the user will be characterized by means following zero-one
vector
X = ( x1 , x 2 ,..., xi ,.., x I )
where
1 if the software is developed by the i - th developer
xi = 
,
0 if not
(10)
while
I
∑ xi = 1 .
(11)
i =1
Expression (11) ensures that software is developed by exactly one developer .
Let N t (X) mean software reliability coefficient for choice X, that is interpreted as a mean
value of incorrect serviced tasks arriving to the software at time period [0, t].
According to (7) coefficient N t (X) can be determined as follows
I
N t (X) = ∑ xi ⋅E[N(t)] ,
(12)
i =1
where value E[N(t)] is stated by (7) with substitutions pi, qi instead p and q respectively.
Let K(X) denote a development cost of the software for choice X. This cost can be
determined as follows
I
K ( X ) = ∑ xi ⋅ ki ,
i =1
where k i means cost of the software developed by the i-th developer.
118
(13)
On the base prior assumptions and expressions that were obtained we can formulate
following bicriterial optimization problem of choice of software developer
( X ,F ,R ) ,
(8)
where:
X is a feasible solution set which is defined as follows
X = {X = (x 1 , x2 ,..., xi ,..., xI ) : X complies with constraints (10),(11)} ;
F is a vector of quality coefficient which has form
F(X) = (N t (X), K(X)) ,
where values N t (X) , K(X) are determined by expressions (12) and (13)
respectively;
R is a so-called domination relation which is defined as follows
R = {( y1 , y2 ) ∈ Y × Y : y11 ≤ y21 , y12 ≤ y22 } , y1 = ( y11 , y12 ) , y2 = ( y21 , y22 ) ,
whereas Y is so-called objective function space
Y = F( X ) = {y = (N t (X), K(X)) : X ∈ X } .
The problem (14) is a bicriteria optimization problem with linear objective functions and
linear constraints. A solution of this problem can be obtained by using well known
methodology of solving multiple optimization problems [9]. According to that
methodology as a solution of the problem (14) we can determine:
•
•
a dominate solution set,
a nondominate solution set,
• a compromise solution set.
Taking into account that values of objective functions Nt(X) and K(X) are inverse (in sense
that if a value Nt(X) is decreased, the value K(X) is increased) it is reasonable to expect
that the dominate solution set will be empty. In a such situation practically recommended
approach is to determine a nondominate solution set. If this set is very numerous we can
narrow it down by determining a so-called compromise solution, i.e. such solution belongs
to the nondominate solution set that is a nearest (in sense Euclidean distance) to the socalled an ideal point [9].
The best software developer that to be chosen after solving the optimization problem (14)
will both minimize the value of the number of software tasks Nt(X) which have incorrect
realization during time period [0, t] and minimize the value of the software development
cost K(X).
4
Numerical example
In order to illustrate of considerations that were described some simple numerical example
will be presented.
Let set of numbers of potential software developers have form I={1,2,3,4,5} and qualitycost characterization of potential developers be as at the table 1.
119
Kazimierz WORWA
Tab. 1. Quality-cost characterization of developers
i
1
2
3
4
5
qi
0,50
0,80
0,85
0,90
0,95
ki⋅103
5
6
6,5
9,5
12
For the quality-cost parameters that characterize of potential developers from Tab. 1 we
will solve the bicriterial optimization problem (14).
If we assume that time intervals between task arrivals to the software have exponential
distribution G(t)=1–e– λt, t≥0, we will obtain
5
N t ( X ) = λt ∑ xi pi .
i =1
According to numerical values qi, ki, i∈I, , that were assumed the feasible solution set has
a form X={(1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1)}.
Tab. 2. Values of the objective function space
i
Nt(X)
K(X)
1
105,00
5000,00
2
42,00
6000,00
3
31,50
6500,00
4
21,00
9500,00
5
10,50
12000,00
A feasible solution set for this problem is a five-elements set of zero-one vectors. We
assume that λ=0,21 h-1 and t=1000 h. Objective function values for the feasible solution
set are presented at Tab. 2. It is easy to check that the dominate solution set of
K(X )
N t (X )
Fig. 1. An illustration of an objective function space (unnormalized Y and
normalized Y )
the problem (14) is empty (it is because of objective functions Nt(X) and K(X) are inverse
in sense their values). In that case practically recommended approach is to determine
a nondominate solution set. It can be easy proved that above set X is a nondominated
solution set, i.e. every vector from X is a nondominated solution of the bicriterial
optimization problem (14). According to methodology of solving of multiple objective
decision problems in such a case we can find a compromise solution with reference to
some measure of a distance between so-called ideal point and particular points of the
objective function space Y [9].
*
* *
Co-ordinates of the ideal point y = ( y1 , y2 ) ∈ Y are defined as follows:
120
y*1 = min N t ( X ) ,
X ∈X
y*2
= min K ( X ) .
X ∈X
In accordance with assumed values of quality-cost parameters we will have y*1 = 10 ,5
and y*2 = 5000 .
In order to narrow down nondominate solution set we will determine a compromise
solution of this problem, i.e. such solution belongs to the nondominate solution set that
is a nearest (in sense Euclidean distance) to the so-called an ideal point [9]. For this
reason both objective functions N t (X) and K(X) determined by (12) and (13)
respectively, will be normalized by means of the following formulae [9]:
Nt ( X ) =
N t ( X ) − N min
(X )
t
max
Nt
min
( X )− Nt ( X )
K( X ) =
,
K ( X ) − K min ( X )
,
K max ( X ) − K min ( X )
(15)
where
N min
( X ) = min N ( X ) ,
t
X∈
∈X
t
N max
( X ) = max N ( X )
t
X∈
∈X
t
K min ( X ) = min K ( X ) , , K max ( X ) = max K ( X )
X∈
∈X
X∈
∈X
(16)
(17)
where X is a feasible solution set.
Tab. 3. Values of the normalized objective function space
i
1
2
3
4
5
0,33
0,22
0,11
0,00
1,00
0,14
0,21
0,64
1,00
0,00
K(X )
As a result of the normalization both normalized objective functions N t (X ) and K(X )
have values belong to range [0, 1].
It is easy to notice that in the example that is considered the ideal point ( N t (X ) , K(X ) )
is of the form ( N t (X ), K(X )) = ( 0 , 0 ) .
The searched compromise solution X o ∈ X can be determined as follows
X o = F −1 ( y o ) ,
N t (X )
where point y o = ( y1o , y2o ) ∈ Y minimizes the above norm, i .e .
y* − y o = min y* − y .
y ∈Y
According to numerical values which were assumed we have y o = (0.22,0.21) and
respectively X o = (0,0,1,0,0) and it means that an optimal variant of the software
development is for i=3.
Table 2 presents the results of solving the optimization problem (14). The row (in bold)
that corresponds to the vector is the compromise solution of this problem, i.e. this is a
121
Kazimierz WORWA
such vector that is a nearest to the ideal point (0, 0), where a distance function
d[( N t ( X ), K ( X ) ), (0, 0)] is of the form
d[( N t ( X ), K( X )), (0, 0)] = [ N t ( X )] 2 + [ K( X )] 2 .
(18)
o
It is easy to notice that the vector X = ( 0 , 0 , 1, 0 , 0 ) complies following condition
d[( N t ( X o ), K( X o )), (0, 0)] = min d[( N t ( X ), K( X )), (0, 0)]
(19)
X∈
∈X
Tab. 4. Compromise solution of the optimization problem (14)
i
X1 X2 X3 X4 X5
N t ( X ) Nt ( X )
K( X )
K( X )
d [( N t ( X ), K ( X )),( 0 ,0 )]
1
1
0
0
0
0
105,0
1,00
5000,0
0,00
1,00
2
0
1
0
0
0
42,0
0,33
6000,0
0,14
0,36
3
0
0
1
0
0
31,5
0,22
6500,0
0,21
0,31
4
0
0
0
1
0
21,0
0,11
9500,0
0,64
0,65
5
0
0
0
0
1
10,5
0,00
12000,0
1,00
1,00
5
Concluding remarks
The chapter proposes some formal way of choosing a software developer by formulating
and solving the bicriterial optimization problem will both minimize the value of the
number of software tasks which have incorrect realization during some time period and
minimize the value of the software development cost.
An interpretation of terms ''task'' and ''service'' makes possibility to refer considerations
that were presented to almost every useful software, including so-called real time
software.
Practical usage of the method of determination of an optimal choice of a software
developer which was presented is possible if values qi, ki and distribution functions Gi(t),
i∈I are known. These values can be estimated by means of methods that are developed on
the base of software reliability theory (see e.g. [4, 6-8]).
Set of constraints which is used in bicriterial optimization problem (14) can be changed
according to current needs. In particular, that set can be completed by such constraints
which would guarantee that values of both software development cost and mean value of
tasks that are serviced incorrect would keep within the feasible values.
The method of choosing a software developer that has been proposed was illustrated by
the simple numerical example. For assumed values of quality-cost characteristics of
developers the best producer has been obtained as a compromise solution of the bicriteria
optimization problem (14).
References
1. IEEE Standard Glossary of Software Engineering Terminology. IEEE Standard
610.12, 1990.
2. Konopacki G., Worwa K.: Uogólnienie modeli niezawodności oprogramowania
Shoomana i Jelinskiego-Morandy. Biuletyn WAT, Nr 12, 1984.
122
3. Koźniewska I., Włodarczyk M.: Modele odnowy, niezawodności i masowej obsługi.
PWN, Warszawa, 1978.
4. Lyu M.R.: Handbook of Software Reliability Engineering. McGraw-Hill, New York,
1996.
5. Malaiya Y.K., Srimani P.K.: Software Reliability Models: Theoretical
Developments, Evaluation and Applications. IEEE Computer Society Press, Los
Angeles, 1990.
6. Musa J.: Software reliability engineering: more reliable software, faster and
cheaper. AuthorHouse, 2004.
7. Pham H.: System software reliability. Springer-Verlag London Limited, 2006.
8. Rykov V.V.: Mathematical and Statistical Models and Methods in Reliability:
Applications to Medicine, Finance, and Quality Control. Springer, 2010.
9. Stadnicki J.: Teoria i praktyka rozwiązywania zadań polioptymalizacji. WNT,
Warszawa, 2006.
10. Trechtenberg M.: A general theory of software reliability modeling. IEEE
Transactions on Software Engineering. Vo1.39, No. 1, 1990.
Summary
A practical problem of choosing a software developer is considered. This problem is
investigated from a user’s viewpoint, i.e. it is assumed that the software which is needed
should be not only reliable but as cheap as possible too. The purpose of the paper is to
propose some formal way of determining software developer by formulating and
solving the bicriterial optimization problem will both minimize the value of the number
of software tasks which have incorrect realization during some time period and
minimize the value of the software development cost. Some numerical example is
presented to illustrate of practical usefulness of the method which is proposed. The
exemplary bicriterial optimization problem is solved on the base of the general
methodology of solving multicriteria optimization problems.
Wykorzystanie metod optymalizacji
do wyznaczania
najlepszego producenta oprogramowania
Streszczenie
W artykule przedstawiono propozycję pewnego wskaźnika jakości programu,
w konstrukcji którego uwzględniono warunki jego uż ytkowej eksploatacji.
Dla zilustrowania przydatności skonstruowanego wskaźnika jakości programu w dalszej
części artykułu sformułowano dwukryterialne zadanie wyboru wariantu produkcji
programu, z kosztem produkcji i proponowanym wskaźnikiem jakości programu jako
kryteriami składowymi.
123

Symulacja w Badaniach i Rozwoju

Transkrypt

Podobne dokumenty

Projekt uchwaly na ZWZ 30 czerwca 2014 podzial

Kreujemy Świat TV

Główne obowiązki na stanowisku Java / JEE Software

PAWEŁ PISARCZYK…

baramundi Firmenprofil - baramundi software AG