Analiza Matematyczna 1 dla FT/O, lista 3 Zadanie 1. Naszkicuj

Analiza Matematyczna 1 dla FT/O, lista 3 Zadanie 1. Naszkicuj

Analiza Matematyczna 1 dla FT/O, lista 3
Zadanie 1. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sin x, b) y = − sin x, c) y = 2 sin x, d) y = sin(2x),
e) y = sin(x/2), f) y = sin(x + π), g) y = sin(x − π), h) y = sin(x + π2 ), i) y = sin(x − π2 ).
Wykres której z tych funkcji jest wykresem funkcji y = cos x? Jakie przekształcenia geometryczne
przeprowadzają wykres y = sin x na wykresy funkcji z podpunktów b)– i)?
Które z powyżej wymienionych funkcji są parzyste? Które są nieparzyste? Odczytaj to z ich wykresów.
Jaki jest okres funkcji y = sin(6x), a jaki funkcji y = sin( x6 )?
Mając wykresy y = sin x oraz y = x1 dla x ­ 1, naszkicuj wykres funkcji y = x sin x dla x ∈ [1, 6π].
Zadanie 2. Na jednym wykresie naszkicuj wykresy funkcji f (x) = 2x , g(x) = ex , h(x) = 3x ,
x ∈ (−4, 2). Z jakich własności potęgowania wynika, że wykres ex leży pomiędzy wykresami 2x oraz
3x dla wszystkich wartości x ∈ R? Jakie są granice funkcji ex w nieskończonościach?
Zadanie 3. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = bxc, b) y = x − bxc, c) y = sgn x, d) y = x sgn x,
e) y = sgn (x2 − 1).
Zadanie 4. Dane są funkcje f (x) = x2 oraz g(x) = sin x. Zapisz wzorami funkcje f ◦ g(x) = f (g(x)),
g ◦ f (x) = g(f (x)), f ◦ f (x) = f (f (x)), g ◦ g(x) = g(g(x)), f ◦ g ◦ f (x) = f (g(f (x))).
Zadanie 5. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji, oblicz granice:
x3 −1
,
x→1 x−1
6
x −1
F) lim 1−x
2,
x→1
a) lim
x4 −1
,
2
x→1 x −1
2
−5x+4
G) x→∞
lim xx(x−5)
,
b) lim
√
x−2−2
,
x−6
x→6
√
2
1+x
H) x→∞
lim √
,
3
1−x3
c) lim
√
1+x− 1−x
,
2x
x→0
x
lim 2x +1 ,
x→∞ 3 +2
√
d) lim
e) lim
I)
J) lim
π−
√
x→−∞
x→ 2
x2 + 1 + x ,
tg2 x+1
.
tg2 x+5
Wsk. do J): limx→ π − tg x = ∞.
2
Zadanie 6. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach, uzasadnij równości:
√
x
a) x→∞
lim 2+sin
= 0,
b) lim+ x cos x14 = 0, c) lim x3 arctg x1 = 0, d) lim bxc sin(xπ) = 0,
x2
x→0
x→2
x→0
jk
√
b3ex c+2
1
3
x+sin2 x
3 1
3
A) lim e
= 0, B) lim x sin x2 = 0, E) lim x x = 0,
F) x→∞
lim b2e
x c+1 = 2 .
x→−∞
x→0
x→0
Wsk. Dla wszystkich t ∈ R spełniona jest nierówność t − 1 < btc ¬ t.
Zadanie 7. Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach, uzasadnij równości:
2+sin 1
bx2 +1c
a) lim bxc = ∞, b) lim x2 x = ∞, c) lim− 3 − cos x1 ctg x = −∞.
x→∞
x→0
x→0
Zadanie 8. Zbadaj, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:
1
x2 −4
,
|x−2|
x→2
b) lim 2 x3 , c) lim
a) lim x sgn x,
x→0
x→0
bxc
,
x→0 x
D) lim sign (1 − x2 ), E) lim
x→−1
F) lim x arctg x1 .
x→0
Zadanie 9. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych, oblicz granice:
√
ln(1+ 3 x)
sin x2
x
sin2 3x
e3x −1
c) lim sin x ,
a) lim sin 3x ,
b) lim x2 ,
d) lim sin 2x , e) lim
,
x
x→0
f ) x→∞
lim
x
1+x
x
x→0
,
x)
E) lim ln(1+2
,
x
3
x→−∞
2 2x2
+2
J) lim xx2 +3
,
x→∞
A)
x→0
lim tg x ,
x→0 4x
x
F) lim
K) lim
cos 3x−cos 7x
.
x2
x→∞
x→0
x−2
x+2
,
x→0
3
B)
2)
lim sin(x
2 ,
5x
x→0
G)
x
lim 1−cos
,
x2
x→0
C) limπ
x→ 2
H)
x→0
cos 5x
,
cos 3x
x
x
lim 7 −5
,
x
x→0
D) lim+
x→0
2x −1
,
42x −1
tg
x→∞ tg
I) lim
1
x
2
x
,
+ α) = sin(α), cos( 5π
+ α) = cos( π2 + α) = − sin(α); do G): cos α = 1 − 2 sin2 α2 ;
Wsk. do C): cos( 3π
2
2
do K): cos α − cos β = 2 sin α+β
sin β−α
.
2
2