Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu

Transkrypt

Instrumenty pochodne 2014
Wycena equity derivatives notowanych na GPW
w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy
Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków
28 maja 2014
(Instrumenty pochodne 2014 )
Wycena equity derivatives
28 maja 2014
1 / 31
Plan wystąpienia
Wycena kontraktu terminowego dla różnych klas instrumentów bazowych
Kontrakt futures na akcje
I
I
I
model a rzeczywistość
dywidenda implikowana z modelu
ryzko bazy
Kontrakt futures na indeks WIG20
Opcje na indeks WIG20
I
I
I
I
wzory Blacka-Scholesa
wzory Blacka
put-call parity
zmieności implikowane z ceny spot i ceny futures
28 maja 2014
2 / 31
Instrumenty bazowe
Instrument bazowy: akcja, indeks
Instrument pochodny: kontrakt terminowy (forward, futures), opcja
Klasy finansowych instrumentów bazowych:
I. Instrument bazowy nie generuje przepływów pieniężnych w czasie życia instrumentu
pochodnego
II. Instrument bazowy generuje znane przepływy pieniężne w dyskretnych chwilach
czasu w czasie życia instrumentu pochodnego
III. Instrument bazowy generuje stopę dywidendy q w czasie życia instrumentu
pochodnego
Przypomnienie wyceny kontraktu forward
jeśli stopy procentowe są deterministyczne (przewidywalne)
to cena forward = cena futures
28 maja 2014
3 / 31
Założenia modelu
Założenia o funkcjonowaniu rynku finansowego:
• oprocentowanie kredytów i depozytów bankowych jest jednakowe i niezmienne w
czasie trwania instrumentu pochodnego,
• instrumenty bazowe są doskonale podzielne,
• nie ma kosztów transakcji,
• nie ma podatków,
• istnieje możliwość zajmowania (nieograniczonych) długich i krótkich pozycji,
• inwestorzy posiadają jednakowy dostęp do wszystkich instrumentów i informacji
dotyczących cen (symetryczność informacji)
28 maja 2014
4 / 31
Wycena kontraktu forward I.
I. Instrument bazowy nie generuje przepływów pieniężnych w czasie życia instrumentu
pochodnego
6
F (0, T )
0
T
czas
?
S (0)
model ciągły
F (0, T ) = S (0)erT
model dyskretny
F (0, T ) = S (0)(1 + rT )
gdzie:
S (0) - cena instrumentu bazowego
T - czas zapadalności kontraktu (liczony w latach)
r - stopa wolna od ryzyka w czasie życia kontraktu
wycena kontraktu = brak możliwości arbitrażu
28 maja 2014
5 / 31
Dywidenda
w chwili t∗ (t∗ < T ) spółka wypłaca dywidendę
gdy t < t∗ akcja jest notowana z prawem do dywidendy (cum-dividend)
w chwili t∗ akcjonariusz nabywa prawo do dywidendy
gdy t > t∗ akcja jest notowana bez prawa do dywidendy (ex-dividend)
Konwencja D+3
WZA
ex-dividend
date
cum-dividend
prawo
date
do dywidendy
wypłata
dywidendy
czas
W dniu ex-dividend date mamy korygowaną cenę akcji (wartość indeksu)
28 maja 2014
6 / 31
Wycena kontraktu forward II.
II. Instrument bazowy generuje znane przepływy pieniężne w dyskretnych chwilach czasu
w czasie życia instrumentu pochodnego
Przykład:
6
F (0, T )
2,0
0
2,3
6
6
t1
t2
T
czas
?
92,0
cena akcji S (0) = 92 PLN, spółka wypłaci dywidendy:
div1 = 2 PLN za 1 miesiąc od dzisiaj
oraz div2 = 2,30 PLN za 5 miesięcy od dzisiaj
7
, r = 6%
kontrakt forward: akcja spółki, T = 12
Zakładamy 2 możliwe scenariusze Fm (0, T ):
28 maja 2014
7 / 31
I scenariusz Fm (0, T ) = 93,40 PLN.
Twierdzimy, że rynkowa cena forward Fm (0, T ) jest za wysoka konstruujemy portfel:
B wystawiamy kontrakt z cena Fm (0, T ) = 93,40 PLN
B pożyczamy w banku 92 PLN
B nabywamy akcję za S (0) = 92 PLN
Po 1 miesiącu:
B dostajemy dywidendę div1 = 2 PLN
B spłacamy cześć zadłużenia w banku;
dług w banku po dopisaniu odsetek i spłacie 2 PLN dywidendy wynosi
92 · e0,06·1/12 − 2 = 90,46 PLN
Po upływie 5 miesięcy:
B dostajemy dywidendę div2 = 2,3 PLN
B spłacamy kolejną cześć zadłużenia w banku;
dług w banku po dopisaniu odsetek i spłacie 2,30 PLN i wynosi
90,46 · e0,06·4/12 − 2,30 = 89,99 PLN
B zamykamy kontrakt: dostarczamy akcję za Fm (0, 7/12) = 93,40 PLN
B spłacamy pozostaje zadłużenie w banku w wysokości 89,99 · e0,06·2/12 = 90,89 PLN
Excel
Zysk portfela: 93,40 - 90,89 = 2,51 PLN
28 maja 2014
8 / 31
cd. przykładu:
II scenariusz Fm (0, T ) = 87,20 PLN.
Twierdzimy, że rynkowa cena forward Fm (0, T ) jest za niska
Konstruujemy portfel:
B nabywamy kontrakt z cena Fm (0, T ) = 87,20 PLN
B pożyczamy akcję i sprzedaje na krótko za S (0) = 92 PLN
B lokujemy w banku kwotę 92 PLN
28 maja 2014
9 / 31
cd. przykładu:
Po miesiącu spółka wypłaca dywidendę div1 :
B wyciągamy z lokaty bankowej kwotę 2 PLN, która po wcześniejszym dopisaniu
odsetek wynosi
92 · e0,06·1/12 − 2 = 90,46 PLN,
B płacimy inwestorowi, od którego pożyczyliśmy akcję, dywidendę div1 = 2 PLN
Po upływie 5 miesięcy spółka wypłaca dywidendę div2 :
B wyciągamy z lokaty bankowej kwotę 2,30 PLN, która po wcześniejszym dopisaniu
odsetek wynosi
90,46 · e0,06·4/12 − 2,30 = 89,89 PLN
B płacimy inwestorowi, od którego pożyczyliśmy akcję, dywidendę div2 = 2,30 PLN
B wyciągamy z banku kwotę 89,99 · e0,06·2/12 = 90,99 PLN
B zamykamy kontrakt czyli kupujemy akcję za 87,20 PLN
B oddajemy akcję inwestorowi od którego pożyczyliśmy
Excel
Zysk portfela: 90,89 - 87,20 = 3,69 PLN
28 maja 2014
10 / 31
Ogólnie: liczymy koszt finansowania pozycji w I scenariuszu
mamy przepływy pieniężne
((S (0)er ·t1 − div1 )er ·(t2 −t1 ) − div2 )er ·(T −t2 )
po przekształceniu
S (0)er ·(t1 +t2 −t1 +T −t2 ) − div1 er ·(t2 −t1 +T −t2 ) − div2 er ·(T −t2 )
w ostateczności koszt finansowania (replikacja krótkiego forwardu)
S (0)er ·T − div1 er ·(T −t1 ) − div2 er ·(T −t2 )
Czyli:
F (0, T ) = (S (0) − div0 )er (T )T
gdzie: div0 = div1 e−r (t1 )t1 + · · · + divk e−r (tk )tk
0
6
F (0, T )
div1
div2
6
6
t1
t2
T
czas
?
S (0)
28 maja 2014
11 / 31
W modelu dyskretnym
F (0, T ) = (S (0) − div0 )(1 + r T )
gdzie
div0 =
div1
divk
+···+
(1 + r t1 )
(1 + r tk )
oczywiście tk < T .
W rzeczywistości mamy zwykle 1 dywidendę w czasie życia kontraku i wtedy
div0 =
div1
(1 + r t1 )
Zatem cena forward
F (0, T ) = (S (0) −
div1
)(1 + r T )
(1 + r t1 )
28 maja 2014
12 / 31
Model wyceny kontraktu implikuje wartość dzisiejszą dywidendy
div0 = S (0) −
1
F (0, T )
1+r T
i wysokość dywidendy
div1 = S (0) −
1
F (0, T ) (1 + r t1 )
1+r T
Przykład
Cena akcji KGHM SA = 117,00 PLN (zamknięcie 27 czerwca 2014)
proponowana dywidenda = 2,50 PLN
data ustalenia praw = 8 lipca 2014; ex-dividend date = 4 lipca 2014
cena FKGHU14 = 112,90
implikowa wysokość dywidendy
div1 = 5,07 PLN
28 maja 2014
13 / 31
Wycena kontraktu forward III.
III. Instrument bazowy generuje stopę dywidendy q w czasie życia instrumentu
pochodnego (indeks, waluta)
model ciągły
F (0, T ) = S (0)e(r −q)T
model dyskretny
F (0, T ) = S (0)
1+r T
1+qT
gdzie: q - stopa dywidendy
Model może implikować stopę dywidendy q
q=
S (0)
1
(1 + r T ) − 1
T F (0, T )
28 maja 2014
14 / 31
Wycena kontraktu futures
B
B
B
B
T termin zapadalności kontraktów forward oraz futures,
r stała stopa procentowa w czasie życia (trwania) kontraktu,
F (0, T ) cena forward w chwili 0 kontraktu forward zapadającego w chwili T ,
f (0, T ) cena futures w chwili 0 kontraktu futures zapadającego w chwili T ,
Fakt
Jeśli stopy procentowe są deterministyczne to F (0, T ) = f (0, T ).
B
f (t, T ) = S (t)er (T −t)
B
f (t, T ) = (S (t) − div0 )er (T −t)
B
f (t, T ) = S (t)e(r −q)(T −t)
Dla losowych stóp procentowych tw. nie zachodzi.
28 maja 2014
15 / 31
Ryzyko bazy
Baza (basis) kontraktu futures w chwili t zapadającego w chwili T
b(t, T ) = f (t, T ) − S (t)
gdzie:
S (t) - cena instrumentu bazowego w chwili t,
a f (t, T ) cena futures kontraktu w chwili t zapadającego w chwili T .
Alternatywna definicja
b(t, T ) = S (t) − f (t, T )
28 maja 2014
16 / 31
Ryzyko bazy
Obserwacje:
gdy t → T
to
b(t, T ) → 0
bo f (T , T ) = S (T ).
Gdy stopy procentowe: r , q stałe:
instrument bazowy, które nie generuje przepływów pieniężnych w czasie trwania
kontraktu
b(t, T ) = S (t)er (T −t) − S (t) = S (t)(er (T −t) − 1)
instrument bazowy, który generuje znaną dywidendę w dyskretnych chwilach czasu
b(t, T ) = (S (t) − div0 )er (T −t) − S (t) = S (t)(e−r (T −t) − 1) − div0 er (T −t)
instrument bazowy, który generuje stopę dywidendy q
b(t, T ) = S (t)e(r −q)(T −t) − S (t) = S (t)(e(r −q)(T −t) − 1)
28 maja 2014
17 / 31
Ryzyko ceny a ryzyko bazy
Zauważmy, że
B baza może się zmieniać (osłabiać lub wzmacniać)
B zmiany bazy są losowe
Z definicji bazy mamy
b(t, T1 ) = f (t, T1 ) − S (t) baza w chwili t kontraktu zapadającego w chwili T1
b(t, T2 ) = f (t, T2 ) − S (t) baza w chwili t kontraktu zapadającego w chwili T2 .
Załóżmy, że mamy długą pozycję w kontrakcie krótszym i krótką pozycję w kontrakcie
dłuższym, wtedy nasza ekspozycja
f (t, T1 ) − f (t, T2 ) = b(t, T1 ) − S (t) − b(t, T2 ) + S (t) = b(t, T1 ) − b(t, T2 )
ryzyko bazy
28 maja 2014
18 / 31
Akcje KGHM: baza rynkowa (krzywa zielona) i baza teoretyczna (krzywa fioletowa) dla
serii czerwcowej ....
28 maja 2014
19 / 31
.... i wrzesniowej: baza rynkowa (krzywa czerwona) i baza teoretyczna (krzywa zielona)
28 maja 2014
20 / 31
Kontrakt na WIG20
Wartość indeksu WIG20
ceny futures dla serii:
cena
FW20M14
2462
FW20U1420 2421
FW20Z1420 2440
FW20H1520 2452
= 2474 pktów
baza
-14
-53
-34
-22
stopa dywidendy
11,45%
11,5%
7,60%
5,40%
baza teoretyczna
-14
-67
-67
-54
stopa dywidendy z pliku DX ZAR ze strony KDPW
czy korzystać przy wycenie kontraktu futures z danych z pliku?
28 maja 2014
21 / 31
Parytet kupna - sprzedaży
C (t) − P(t) = S (t) − K e−r (T −t)
Kontrakt futures a parytet put-call
Przypominamy: cena futures dla różnych klas instrumentów bazowych
f (t, T ) = S (t)er (T −t)
f (t, T ) = (S (t) − divt )er (T −t)
f (t, T ) = S (t)e(r −q)(T −t)
Parytet put-call dla kontraktów futures
C (t) − P(t) = f (t, T )e−r (T −t) − K e−r (T −t)
Przykład
3
Kontrakt futures na WIG20: f (0, 12
) = 2540 punktów.
Opcja kupna i sprzedaży na WIG20: C (0) = 180 punktów, P(0) = 130 punktów.
Opcje i kontrakt zapadają za 3 miesiące; dla opcji K = 2500 punktów.
Stopa wolna od ryzyka r = 4,0%. Twierdzimy, że istnieje możliwość arbitrażu.
28 maja 2014
22 / 31
Parytet kupna–sprzedaży
Przykład (cd.)
Konstruujemy następującą strategię arbitrażową:
nabywamy kontrakt futures
wystawiamy opcję kupna: 180 punktów
nabywamy opcję sprzedaży: -130 punktów
lokujemy 500 PLN (50 punktów) po stopie r
W dniu wygaśnięcia opcji i kontraktów:
jeśli S (T ) ¬ K = 2500
B
B
B
B
długa pozycja w kontrakcie futures wypłaca: 10 · (S (T ) − 2540)
opcja kupna wygasa bez wartości
realizujemy opcję sprzedaży: 10 · (2500 − S (T ))
3
wypłacamy z lokaty bankowej: 500e0,04· 12 = 505,0 PLN
Wartość pozycji
10 · (S (T ) − 2540) + 10 · (2500 − S (T )) + 505 = 105 PLN
jeśli S (T ) > K = 2500
Excel
28 maja 2014
23 / 31
Wzór Blacka–Scholesa
Wzór Blacka–Scholesa na cenę opcji kupna
C (t) = S (t)N(d1 ) − Ke −r (T −t) N(d2 )
gdzie
d1 =
ln(S (t)/K ) + (r + σ 2 /2)(T − t)
√
σ T −t
√
ln(S (t)/K ) + (r − σ 2 /2)(T − t)
√
= d1 − σ T − t
σ T −t
N jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego:
d2 =
Z
d
N(d ) =
−∞
x2
1
√ e − 2 dx
2π
gdzie:
S (t) - cena akcji w chwili t,
K - cena realizacji (wykonania) opcji,
T - data zapadalności opcji,
r - stopa wolna od ryzyka,
σ - zmienność cen instrumentu bazowego.
Cena opcji sprzedaży
P(t) = Ke −r (T −t) N(−d2 ) − S (t)N(−d1 )
28 maja 2014
24 / 31
Opcje na indeks
Cena europejskiej opcji kupna i sprzedaży na instrument bazowy generujący stopę
dywidendy q
C (t)
=
S (t)e−q(T −t) N(d1 ) − K e−r (T −t) N(d2 )
P(t)
=
−S (t)e−q(T −t) N(−d1 ) + K e−r (T −t) N(−d2 )
gdzie
d1
=
d2
=
ln
S (t)e−q(T −t)
K
ln
S (t)e−q(T −t)
K
+ (r + 12 σ 2 )(T − t)
ln
√
=
σ T −t
S (t)
K
+ (r − q + 12 σ 2 )(T − t)
√
σ T −t
√
− (r + 12 σ 2 )(T − t)
√
= d1 − σ T − t
σ T −t
28 maja 2014
25 / 31
Wzory Blacka
Cena futures
f (t, T ) = S (t)e(r −q)(T −t)
wtedy
C (t)
P(t)
=
f (t, T )e−r (T −t) N(d1 ) − K e−r (T −t) N(d2 )
=
e−r (T −t) (f (t, T )N(d1 ) − KN(d2 ))
=
e
−r (T −t)
(1)
(−f (t, T )N(−d1 ) + KN(−d2 ))
(2)
gdzie
d1
=
d2
=
ln
f (t,T )e−r (T −t)
K
+ (r + 12 σ 2 )(T − t)
ln
√
=
σ T −t
√
d1 − σ T − t
f (t,T )
K
+ 1 σ 2 (T − t)
√ 2
σ T −t
a σ jest zmiennością cen futures f (t, T ).
28 maja 2014
26 / 31
Zmienności implikowane dla opcji kupna
dla opcji
call (seria czerwcowa) dla cen spot (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa czerwona: ceny ask)
28 maja 2014
27 / 31
Zmienności implikowane dla opcji kupna
dla opcji call (seria czerwcowa) dla cen futures (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa
czerwona: ceny ask)
28 maja 2014
28 / 31
Zmienności implikowane dla opcji sprzedaży
dla opcji put (seria czerwcowa) dla cen spot (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa żółta:
ceny ask)
28 maja 2014
29 / 31
Zmienności implikowane dla opcji sprzedaży
dla opcji put (seria czerwcowa) dla cen futures (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa żółta:
ceny ask)
28 maja 2014
30 / 31
Podsumowanie i wnioski
istnieją dobre modele wyceny
nie przystają do rzeczywistości
I
I
ryzyko zmiany proponowanej dywidendy
ryzyko zmiany terminu ustalenia praw do dywidendy
trudno zarządzać ryzykiem cenowym
rynek dyskontuje wszystkie informacje (analiza techniczna??)
28 maja 2014
31 / 31

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rzeczoznawcy

Rynek kapitałowy. Uczestnicy. Wybrane instrumenty rynku

Treść ogłoszenia

Spis treści

Spis treści

SZKOLENIE: Koszty w przedsiębiorstwie