t - WSEHSK

Transkrypt

t - WSEHSK

Ekonometria – materiały („folie”) do wykładu
D.Miszczyńska, M.Miszczyński
1
MODEL EKONOMETRYCZNY
„Model jest to schematyczne uproszczenie, pomijające nieistotne aspekty w celu
wyjaśnienia wewnętrznego działania, formy lub konstrukcji bardziej
skomplikowanego mechanizmu.” (Lawrence R. Klein)
ZALETY MODELU- możliwość względnie taniego eksperymentowania, możliwość
analizy, realizacji prognozy, symulacji.
Model ekonometryczny- formalny matematyczny zapis istniejących
prawidłowości ekonomicznych. Celem takiego modelu może być opis zależności,
przewidywanie przyszłego kształtowania się zależności, symulacja.
KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH
 Ze względu na wyróżnione cechy:
występowanie lub brak w modelu zmiennej losowej;
modele deterministyczne lub stochastyczne.
 ze względu na formę związku między zmiennymi występującymi w modelu;
modele liniowe i nieliniowe
 ze względu na ilość rozpatrywanych zależności
modele jednorównaniowe i wielorównaniowe
 ze względu na czynnik czasu;
modele statyczne [związki zachodzą w tej samej jednostce czasowej] i
modele dynamiczne [uwzględniają czynnik czasu w formie opóźnień lub
zmiennej czasowej]
 ze względu na charakter analizowanych związków;
modele przyczynowo-skutkowe i modele symptomatyczne.
2
KLASYFIKACJA ZMIENNYCH I PARAMETRÓW
WYSTĘPUJĄCYCH W EKONOMETRYCZNYCH MODELACH.
Zmienne endogeniczne i egzogeniczne w modelu ekonometrycznym.
Zmienne egzogeniczne (zmienne objaśniające w modelu, wśród nich zmienne
sterujące będące przedmiotem polityki gospodarczej).
Zmienne objaśniane i objaśniające (dot. danego równania )
Zmienne z góry ustalone (zm. egzogeniczne, zmienne endogeniczne z
opóźnieniami i z wyprzedzeniami, zmienna czasowa-wyrażająca systematyczne
zmiany w czasie zmiennej endogenicznej).
Zmienne zerojedynkowe (dla określenia czynników niemierzalnych).
Składnik losowy ( zmienna wyrażająca łączny efekt tych czynników, które nie
zostały wyspecyfikowane w modelu, a także z błędów wynikających z przyjęcia
niewłaściwej postaci funkcyjnej modelu, błędów pomiaru wartości zmiennych.
Parametry struktury stochastycznej modelu (parametry rozkładu składnika
losowego)
Parametry strukturalne modelu (parametry występujące przy kolejnych
zmiennych, określające kształtowanie zmiennej objaśnianej).
3
ETAPY ANALIZY EKONOMETRYCZNEJ
SPECYFIKACJA ZMIENNYCH I DOBÓR POSTACI MODELU
USTALENIE PRZEDMIOTU BADANIA, LISTA ZMIENNYCH
OBJAŚNIAJĄCYCH I OBJAŚNIANYCH, POSTAĆ FUNKCYJNA MODELU.
W OPARCIU O TEORIĘ EKONOMII, ZEBRANE DANE STATYSTYCZNE, KORELACJE.
ZEBRANIE DANYCH STATYSTYCZNYCH
ZEBRANIE DANYCH, UPORZĄDKOWANIE (SZEREGI CZASOWE, PRZEKROJOWE,
PRZEKROJOWO-CZASOWE) I ANALIZA PRZYDATNOŚCI DANYCH. OKREŚLENIE
MIERNIKA, PORÓWNYWALNOŚĆ DANYCH.
ESTYMACJA PARAMETRÓW
WYZNACZENIE OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH ORAZ
PARAMETRÓW STRUKTURY STOCHASTYCZNEJ MODELU.
NARZĘDZIE - METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (MNK).
WERYFIKACJA MODELU
ANALIZA OTRZYMANYCH OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH
I STRUKTURY STOCHASTYCZNEJ MODELU.
WERYFIKACJA MERYTORYCZNA I STATYSTYCZNA.
PRAKTYCZNE WYKORZYSTANIE MODELU
ANALIZA PRAWIDŁOWOŚCI ( HISTORYCZNA ).
PROGNOZOWANIE
ESTYMACJA PARAMETRÓW
MODELU EKONOMETRYCZNEGO
(ESTYMACJA PUNKTOWA)
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
(MNK)
Model
yt  1 X t1   2 X t 2   k X tk   t
yt - empiryczna wartość zmiennej objaśnianej w okresie t
X tj - empiryczna wartość zmiennej objaśniającej j w okresie t
 j - nieznany parametr stojący przy zmiennej X j
 t - zakłócenie w okresie t (składnik losowy)
Zapis macierzowy modelu
1 
 x11 x12  x1k 
 
x

21 x 22  x 2k
 2
1 
 y1 
 
y 
2
2




α

ε

X
y


   
 
  
 
 


 
 k 
 n 
 x n1 . x n 2  x nk 
 yn 
y  Xα  ε
4
Model po oszacowaniu parametrów
strukturalnych
yt  a1 X t1  a2 X t 2  ak X tk  et
lub
yˆt  a1 X t1  a2 X t 2  ak X tk
yt - empiryczna wartość zmiennej objaśnianej w okresie t
ŷt - teoretyczna wartość zmiennej objaśnianej w okresie t
X tj - empiryczna wartość zmiennej objaśniającej j w okresie t
a j - oszacowany parametr stojący przy zmiennej X j
et -realizacja zakłócenia w okresie t (reszta w okresie t)
Zapis macierzowy oszacowanego modelu
 x11 x12
 y1 
 yˆ1 
x
y 
 yˆ 
x22
21
2
2



X
y
yˆ 
 

  
 

 
ˆ 
 xn1. xn 2
 yn 
 yn 
 a1 
a 
a   2
  
 
a k 
 e1 
 x1k 
e 

 x2 k 
e   2

  

 
 xnk 
e n 
y  Xa  e
gdzie
lub
e  y  yˆ
yˆ  Xa
5
6
Wzór MNK
(Wyprowadzenie wzoru)
Minimalizujemy sumę kwadratów reszt modelu:
n

t 1
2
et 
 eT e 
 y  Xa  y  Xa  
T
T
T
T
T
T
 y y  2a X y  a X Xa  min
Znajdujemy wartość najmniejszą powyższej funkcji
(pochodna po a przyrównana do 0)
 2X y  2X Xa  0
T
T
T

 X X
T
X Xa  X y
T
:2

1
lewostronnie
Wzór MNK ma postać:


1
a X X X y
T
T
WARUNKI STOSOWALNOŚCI MNK
7
1. Zmienna objaśniana y jest zmienną losową,
2. Zmienne objaśniające X nie są zmiennymi losowymi,
3. n>k , tzn. liczba obserwacji n powinna być większa
od liczby szacowanych parametrów (zmiennych
objaśniających) k
4. zmienne objaśniające nie mogą być współliniowe, tzn
wektory obserwacji zmiennych objaśniających (kolumny
macierzy X) powinny być liniowo niezależne.
5. składnik losowy musi spełniać następujące założenia:
 t : N(0, 2 ),
 E(t )=0,
 D2 (t )=2 oraz
 Cov (ij) =0, ij
W zapisie macierzowym 4 powyższe założenia
sprowadzają się do następującej postaci macierzy wariancji i
kowariancji składnika losowego
 2 0

2
0

E ( T )   2   
 ... ...

0
 0
... 0 

... 0 
... ... 
2
...  
Przy w/w założeniach MNK daje estymatory:
 zgodne,
 nieobciążone i
 najefektywniejsze.
8
Estymacja przedziałowa parametrów
strukturalnych modelu
Zakładając, że t:N(0,) dla każdego t otrzymujemy, że estymatory
(aj) parametrów (j) mają również rozkłady normalne:
a j : N  j , Da j 
W praktyce zastępujemy nieznane odchylenie standardowe D(aj)
odchyleniem S(aj) postaci:
 
S a j  Se2  c jj
gdzie:
c jj - j-ty element głównej przekątnej macierzy (X X)
T
S e2
-1
- wariancja resztowa wyliczana jako:
1
S 
( y T y  a T XT y )
nk
2
e
Można oszacować nieznane wartości parametrów używając
techniki estymacji przedziałowej (przedziały ufności).
Przedział ufności z przyjętym z góry prawdopodobieństwem
u=1- (poziom ufności) pokrywa nieznaną wartość parametru j.
Pa j  t ,r S a j     a j  t ,r S a j  1  
t,r
- wartość krytyczna zmiennej o rozkładzie t-Studenta
dla r=n-k stopniach swobody przy ustalonym z góry poziomie
istotności ().
9
10
Miara dopasowania oszacowanego modelu
do danych empirycznych
(współczynnik determinacji R2)
Mówi nam w jakim procencie zmienność y
jest objaśniana przez model.
 W modelu musi występować wyraz wolny.
 Interpretacja jest poprawna pod warunkiem, że
badane związki są liniowe.
 R2 przyjmuje wartości z przedziału (0, 1)
n
R2  1 
2
e
t
t 1
n
2


y

y
 t

t 1
T
e e
R  1 T
y y  ny 2
2
T T
2
a
X
y

n
y
R2  T
y y  ny 2
ŚREDNI BŁĄD SZACUNKU
(SEE-Standard Error of Estimation)
Wariancja resztowa
1 T
S 
e e
nk
1
2
T
T T
Se 
(y y  a X y )
nk
2
e
Średni błąd szacunku
Se  S
2
e
Przewidywane przez oszacowane równanie (model)
wartości zmiennej objaśnianej y (y teoretyczne)
średnio różnią się od empirycznych wartości tej
zmiennej (y empiryczne) o wartość błędu Se.
11
Testowanie istotności ocen parametrów
12
(tj. testowanie trafności doboru zmiennej objaśniającej)
HIPOTEZY
H0: j = 0
(zmienna Xj nie ma wpływu
na zmienną objaśnianą y)
H1: j  0
(zmienna Xj ma wpływ
na zmienną objaśnianą y)
SPRAWDZIAN
t a j  
aj
S a j 
S(aj) jest średnim błędem szacunku nieznanego parametru j.
 
S aj 
2
Se  c jj
cjj jest j-tym elementem głównej przekątnej macierzy (XTX)-1.
Statystyka t(aj) ma rozkład Studenta o n-k stopniach swobody.
Wyliczoną wartość sprawdzianu t(aj) porównujemy z odczytaną z tablic
Studenta wartością krytyczną t,r. Jeżeli:
  t(aj)   t,r. nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0
  t(aj)  > t,r. odrzucamy H0 na korzyść H1.
13
14
Testowanie założeń
dla składnika losowego modelu
Macierz wariancji składnika losowego powinna mieć w przypadku
MNK następującą postać:
 2 0

2
0

E ( T )   2   
 ... ...

0
 0
... 0 

... 0 
... ... 
2
...  
W przypadku braku spełnienia założeń odnośnie do składnika
losowego nie wolno używać metody MNK.
1. O przypadku heteroskedstyczności mówimy gdy na głównej
przekątnej tej macierzy są różne elementy.
2. O przypadku autokorelacji powiemy gdy poza główną
przekątną tej macierzy będą elementy niezerowe.
3. Dodatkowo powinniśmy sprawdzić czy składniki losowe mają
rozkłady normalne.
Testowanie przypadku
heteroskedastyczności
Problem ten najczęściej występuje przy estymacji modelu na
podstawie danych przekrojowych lub przekrojowo-czasowych.
Załóżmy że dane pochodzą z dwóch różnych populacji.
Wówczas na głównej przekątnej macierzy wariancji i kowariancji
2
2
mogą wystąpić dwie różne wartości wariancji:  1 oraz  2 .
Statystyczną istotność różnic testujemy wykorzystując test F
Snedecora.
H 0 :  12   22
H1 :  12   22
Sprawdzianem hipotezy (H0) jest statystyka F Snedecora postaci:
F
Se21
Se22
2
2
przy czym Se1  Se2
o r1  n1  1 oraz r2  n2  1 stopniach swobody
Se21 , Se22 - oznaczają wariancje resztowe dla prób odpowiednio
z populacji pierwszej i z populacji drugiej
Jeżeli F  F , r1 , r2 przy określonym poziomie istotności , to należy
użyć uogólnionej MNK (UMNK) zamiast klasycznej MNK.
15
16
Testowanie przypadku autokorelacji
składnika losowego
Przyczyny autokorelacji:
1. Dłuższe działanie czynników przypadkowych (powodujących
zaburzenia w normalnym przebiegu zjawiska) niż w czasie przyjętym
za jednostkę.
2. Błędy w budowie modelu.
3. Pominięcie jednej lub kilku istotnych zmiennych objaśniających.
4. Użycie zmiennej z nieprawidłowo określonym opóźnieniem.
5. Przyjęcie niewłaściwej postaci analitycznej modelu.
Test Durbina-Watsona (test DW)
Na początek obliczamy współczynnik autokorelacji reszt
oszacowanego MNK:
r dla modelu
n
r
e e
t t 1
t 2
n
n
e e
t 1
et
2
t
t 2
2
t 1
- reszta empiryczna dla okresu t w modelu oszacowanym MNK
Następnie weryfikujemy poniższe hipotezy ( jest nieznanym
współczynnikiem autokorelacji składnika losowego):
H0:   0
(nie istnieje autokorelacja)
H1 :   0
(istnieje autokorelacja dodatnia; jeżeli r jest dodatni)
lub
H1 :   0
(istnieje autokorelacja ujemna; jeżeli r jest ujemny)
17
Sprawdzianem hipotezy H0 przy hipotezie alternatywnej H1: >0 jest
statystyka d.
Sprawdzianem hipotezy H0 przy hipotezie alternatywnej H1: <0 jest
statystyka 4d.
Statystyka
d
ma rozkład Durbina-Watsona.
n
d
2


e

e
 t t 1
t 2
n
e
t 1
2
t
Jeżeli ddL odrzucamy H0 na rzecz H1. Istnieje autokorelacja.
Jeżeli ddU przyjmujemy H0. Brak autokorelacji.
Jeżeli dL<d<dU test nie daje odpowiedzi. Nie możemy podjąć decyzji o
przyjęciu lub odrzuceniu H0. Należy podjąć decyzję o powiększeniu próby.
Testowanie normalności zakłóceń
(składnika losowego)
TEST JARQUE-BERA (TEST JB)
TEST JB jest oparty o trzeci oraz czwarty moment rozkładu.
Trzeci moment mówi o asymetrii. Dla rozkładów symetrycznych jest on
równy zero (rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym).
Czwarty moment mówi o smukłości rozkładu (tzw. kurtoza); (dla rozkładu
normalnego kurtoza=3).
Test JB oparto na porównaniu jak miary asymetrii i kurtozy odbiegają od
wielkości charakterystycznych dla rozkładu normalnego.
H0: składniki losowe podlegają rozkładowi normalnemu
H1: składniki losowe nie podlegają rozkładowi normalnemu
Sprawdzianem testu jest statystyka Jarque-Bera postaci:
1
1
2
JB  n  1  2  3 
24
6

gdzie:
 1 n et3 
1    3 
 n t 1 S 
2
1 n et4
2   4
n t 1 S
1 n 2
S
et

n t 1
Statystyka JB ma rozkład  zawsze o r=2 stopniach swobody
(przykładowo dla poziomu istotności =0,05 wartość krytyczna wynosi
2
 02,05;2  5,991 ).
18
19
Wnioskowanie na podstawie statystyki JB
Jeżeli JB   ; 2 , to wówczas nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H0
mówiącej o tym, że składniki losowe podlegają rozkładowi normalnemu.
2
Jeżeli natomiast JB   ; 2 , to odrzucamy H0 i przyjmujemy hipotezę H1
mówiącą o tym, że składniki losowe podlegają rozkładowi innemu niż
normalny.
2
20
Prognozowanie na podstawie modelu
ekonometrycznego
TP – numer okresu na który dokonujemy prognozy
yTP
ŷTP
- nieznana przyszła wartość zmiennej objaśnianej dla okresu TP
x TP
- wektor obserwacji dla zmiennych objaśniających w okresie TP
- przyszła wartość zmiennej objaśnianej dla okresu TP wyliczona na
podstawie modelu ekonometrycznego
(dodatkowy wiersz w macierzy X)
xTP  xTP,1
xTP, 2  xTP, k 
PROGNOZA PUNKTOWA
Wartość prognozy
następująco:
ŷTP
dla zmiennej objaśnianej na okres TP wyliczmy
yˆTP  xTP a
ŚREDNI BŁĄD PREDYKCJI (STP)
2
TP
S


 S xTP X X x  1
2
e
1
T
STP  S
2
TP
T
TP
21
PROGNOZA PRZEDZIAŁOWA
Przedział ufności dla nieznanej wartości zmiennej objaśnianej
w okresie TP.
yTP
PyˆTP  t ,r STP  yTP  yˆTP  t ,r STP   1  
gdzie:
1  u
- poziom ufności
r  n  1 - liczba stopni swobody
t , r
- wartość krytyczna rozkładu Studenta o r stopniach swobody przy
poziomie istotności 
22
Komentarz do miar wyznaczanych
przez arkusz kalkulacyjny EXCEL
(analiza danych, regresja)
Wielokrotność R - współczynnik korelacji wielorakiej
R kwadrat – współczynnik determinacji (R2)
n
R2 
WSK

OSK
_
^
 (Yt  Y) 2
t 1
_


 Yt  Y 


t 1 
n
2
1
RSK
OSK gdzie:
WSK - wyjaśniona suma kwadratów (ta część zmienności zmiennej objaśnianej,
która została wyjaśniona przez model)
RSK – resztowa suma kwadratów (ta część zmienności zmiennej objaśnianej,
której model nie wyjaśnia)
OSK – ogólna suma kwadratów OSK=WSK+RSK
n

RSK   Yt  Ŷ
2
t 1
Dopasowany R kw – skorygowany R kwadrat2 (współczynnik determinacji
skorygowany stopniami swobody). Pozwala porównać dopasowanie równań
różniących się ilością zmiennych objaśniających.
R2  1
var( )
eT e n  k 
 1
_ 
var( y )
 T
2
Y Y  n( y )  n  1


Błąd standardowy – pierwiastek z wariancji resztowej ( Se 
Obserwacje – liczba obserwacji (n)
Se2
)
23
ANALIZA WARIANCJI
df – degrees of freedom – liczba stopni swobody
liczba zmiennych objaśniających (k)
liczba obserwacji pomniejszona o liczbę szacowanych parametrów (n k1)
lub (n k) dla modelu bez wyrazu wolnego
razem (k+ n k1= n1) lub (k+ n k= n) dla modelu bez wyrazu wolnego
SS – sum of squares (kolejno: WSK, RSK, OSK)
MS – mean of squares (kolejno:
WSK/k, k – liczba zmiennych objaśniających,
RSK/(n-k-1), (k+1)liczba szacowanych parametrów.

WSK k
n  k  1R 2
F

RSK n  k  1
k 1  R2

Statystyka F

Statystyka F ma rozkład Fishera. Jest ona związana z hipotezą odnośnie
istotności szacunków parametrów.
H0: 1=2=...=k=0
Wszystkie zmienne objaśniające są nieistotne;
nie mają wpływu na zmienną objaśnianą
H1: co najmniej jeden z parametrów jest różny od zera
Co najmniej jedna zmienna objaśniająca ma wpływ
na zmienną objaśnianą
Uwaga! Stosowanie testów t oraz F jest poprawne przy założeniu,
że składnik losowy ma rozkład normalny

t - WSEHSK

Transkrypt

Podobne dokumenty

lista tytułów w pdf

szymańscy - eko - Chrzypsko Wielkie

pojęcia wstępne

Nazwa kierunku Informatyka i ekonometria Tryb studiów

3M ä Sun Control film Silver 15 for plastic

strona 38