MAP1146 – ANALIZA MATEMATYCZNA 2.4 A Listy zadań Lista 1

MAP1146 – ANALIZA MATEMATYCZNA 2.4 A
Listy zadań
Lista 1
1.1. Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć podane całki oznaczone i podać ich
interpretację geometryczną:
Z2
Z1
Z1
c) ex dx.
b) x2 dx;
a) (x − 1) dx;
1
0
0
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1) 2
, 1 + 22 + . . . + n2 =
;
Wskazówka. Ad. b). Zastosować wzory 1 + 2 + . . . + n =
2
6
n
1−q
oraz wykorzystać równość
Ad. c). Zastosować wzór na sumę ciągu geometrycznego a + aq + . . . + aq n−1 = a
1−q
h
e −1
lim
= 1;
h→0
h
1.2. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki:
Z1
Z9
Z2 √
1
x−1
dx
3
√
x+ 4
dx;
b)
dx;
c)
;
a)
x
x+1
x2 + 9
1
1
2
d)
Z
− 12
dx
;
x2 − 1
e)
0
0
Ze
Zπ
ln x dx;
f)
sin2 x cos x dx.
0
1
e
* 1.3. Korzystając z definicji całki oznaczonej uzasadnić równości:
a) lim
n→∞
π
4n
√
π
2π
nπ
tg
= ln 2;
+ tg
+ . . . + tg
4n
4n
4n
1 3 + 2 3 + . . . + n3
1
= ;
4
n→∞
n
4
1 (1 + n) · (2 + n) · . . . · (n + n)
= ln 4 − 1.
ln
c) lim
n→∞ n
nn
b) lim
1.4. Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
1
2
a)
Zln 3
ex dx
, t = ex ;
1 + e2x
b)
d)
1
4
sin xe
cos x
dx, t = cos x;
dx
√
, x = t2 ;
x(4 − x)
0
a)
π
2 2x
x e
dx;
b)
0
d)
Z2
1
f)
Z1 √
3
1
Z3 p
e)
9 − x2 dx, x = 3 sin t;
1.5. Metodą całkowania przez części obliczyć całki oznaczone:
Z1
c)
Z3
0
0
Z1
Zπ
Z4
x sin 2x dx;
c)
1
2
ln x dx;
e)
0
x(1 + cos x) dx;
Ze
ln x
dx.
x2
0
0
Z
Zπ
arc sin x dx;
f)
√
e
1
1
3
x dx
√
, 1 + x = t2 ;
x+1
1
x − x3 dx
, x= .
x4
t
Lista 2
2.1. Narysować funkcje podcałkowe i obliczyć całki oznaczone:
a)
Z2
−2
||x| − 1| dx;
b)
Z1
−1
x
|e − 1| dx;
c)
Z2
2
sgn x − x
−2
dx;
d)
Z3
1
x ⌊x⌋ dx.
2.2. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych przedziałach i podać ich interpretacje geometryczną:
h √ i
1
x
a) f (x) = 2
d) f (x) =
, [0, 2].
, [0, 2];
b) f (x) = sin3 x, [0, π];
c) f (x) = arc tg x, 0, 3 ;
x +4
1 + x2
2.3. Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uzasadnić równości:
Zπ
Zπ
Z1 5
x sin x dx
x sin x dx
x − 3x3 + x
=
2
;
dx
=
0;
b)
a)
x4 + 2x2 + 1
2 + cos x2
2 + cos x2
−π
−1
1
e
c)
Z
− 1e
1 + sin x
dx = 0;
ln
1 − sin x
d)
Z5
0
0
(x − ⌊x⌋) dx = 5
Z1
0
(x − ⌊x⌋) dx.
2.4. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
a) y = 2x − x2 , x + y = 0;
d) 4y = x2 , y =
8
;
x2 + 4
1 2
x , y = 3x;
2
b) y = x3 , y = 2x, (x ­ 0);
c) y = x2 , y =
e) yx2 = 1, y = x, y = 8x;
f) yx4 = 1, y = 1, y = 16.
2.5. Obliczyć długości krzywych:
√
a) y = 2 x3 , gdzie 0 ¬ x ¬ 11;
p
1
c) y = 1 − x2 , gdzie 0 ¬ x ¬ ;
2
b) y = ch x, gdzie 0 ¬ x ¬ 1;
d) y = ln cos x, gdzie 0 ¬ x ¬
π
.
4
2.6. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi:
a) T : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2x − x2 , Ox;
√
2
c) T : 0 ¬ x ¬ 5, 0 ¬ y ¬ √
, Oy;
x2 + 4
π
, 0 ¬ y ¬ tg x, Ox;
4
√
d) T : 0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬ x, Oy.
b) T : 0 ¬ x ¬
2.7. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych osi:
√
π
a) f (x) = 4 + x, −4 ¬ x ¬ 2, Ox;
b) f (x) = cos x, 0 ¬ x ¬ , Ox;
2
√
c) f (x) = ln x, 1 ¬ x ¬ 3, Oy;
d) f (x) = |x − 1| + 1, 0 ¬ x ¬ 2, Oy.
2.8. a) Punkt materialny rozpoczął ruch prostoliniowy z prędkością początkową v0 = 10 m/s i przyspieszeniem
a0 = 2 m/s2 . Po czasie t1 = 10 s punkt zaczął poruszać się z opóźnieniem a1 = −1 m/s2 . Znaleźć jego położenie
po czasie t2 = 20 s.
b) Dwie cząstki A i B położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościami odpowiednio
vA (t) = 10t + t3 , vB (t) = 6t, gdzie t ­ 0. Po jakim czasie nastąpi ich zderzenie?
Lista 3
3.1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
a)
Z∞
d)
Z∞
dx
;
(x + 2)2
b)
1
0
Z∞
1
x(2 − x)e−x dx;
e)
Z0
√
3
dx
;
3x + 5
dx
;
x2 + 4
c)
f)
−∞
Z∞
π
Z∞
−∞
2
x sin x dx;
dx
.
x2 −4x + 13
3.2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞
Z∞
Z∞
dx
dx
x(x + 1) dx
√
√
a)
;
b)
;
c)
;
x ( x + 1)
x−3
x4 + x + 1
4
d)
10
Z∞
−∞
x2 + 1 dx
;
x4 + x2 + 1
e)
1
Z∞
Z∞ √
2 + cos x dx
√
f)
.
x−1
(x + sin x) dx
;
x3
2
π
3.3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞ √
Z∞ 2
Z−1
( x + 1) dx
x dx
(x + 1) dx
√
√
;
a)
;
b)
;
c)
5
x (x + 1)
x −3
1 − x3
1
d)
Z∞
−∞
5
1
sin
dx;
x
2
e)
1
Z∞
1
x2 dx
;
x3 −sin x
f)
Z−1
−∞
e2x + 1 dx
.
ex − 1
1
oraz osią Ox.
+4
b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D = (x, y) ∈ R 2 : x ­ 0, 0 ¬ y ¬ e−x .
1
c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y = √ dla x ­ 1 wokół osi Ox ma
x x
skończoną wartość.
3.4. a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =
x2
Lista 4
4.1. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
∞ n
∞
∞
∞
X
X
X
X
5
n−1
1
1
√
a)
;
b)
;
c)
;
d)
√ .
6
n!
(2n − 1)(2n + 1)
n+1+ n
n=0
n=2
n=1
n=1
Uwaga. W przykładzie b) przyjąć, że Sn =
n
X
ak , gdzie n ­ 2.
k=2
4.2. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
X
1
;
2+n
n
n=1
b)
∞
X
n
;
2+4
n
n=1
c)
∞
X
ln n
;
n2
n=2
d)
∞
X
1
√
.
n n+1
n=1
4.3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:
∞
X
n2 + n + 1
a)
;
2n3 − 1
n=1
∞
X
n+1
√
;
b)
n3 + 1
n=1
∞
X
2n − 1
c)
;
3n − 1
n=1
4.4. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
3
n+1
π
a)
;
b)
;
c)
sin n ;
2
2
n +2
n +1
2
n=1
n=1
n=1
d)
∞
X
2n + sin n!
;
3n
n=0
e)
∞
X
3 − 2 cos n2
√
;
n
n=1
f)
∞
X
3n + 1
.
n3n + 2n
n=1
4.5. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
100n
n!
π
a)
c)
;
;
b)
n2 sin n ;
n!
2
nn
n=1
n=1
n=1
∞
2
X
(n!)
d)
;
(2n)!
n=1
∞
X
nn
e)
;
3n n!
n=1
∞
X
2n + 1
f)
.
n5 + 1
n=1
3
π
n
3
d)
π .
n=1 sin n
2
∞ sin
X
Lista 5
5.1. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
X
(n + 1)2n
n;
(2n2 + 1)
n=1
b)
∞
X
2n + 3n
;
3n + 4n
n=1
c)
∞
X
2
3 n nn
;
(n + 1)n2
n=1
d)
∞
X
arc cosn
n=1
1
.
n2
5.2. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości:
7n
= ∞;
n→∞ n5
a) lim
nn
= 0;
n→∞ (n!)2
b) lim
c) lim
n→∞
n!
= 0;
nn
d*) lim
n→∞
(3n)!(4n)!
= 0.
(5n)!(2n)!
5.3. Zbadać zbieżność szeregów naprzemiennych:
∞
∞
X
X
n2
n−1
;
;
b)
(−1)n
a)
(−1)n 2
n +5
(2n + 3)n
n=1
n=1
n ∞
∞
X
X
ln n
1
c)
(−1)n+1
.
;
d)
(−1)n+1 e − 1 +
n ln ln n
n
n=3
n=1
5.4. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:
n
∞
∞
∞ X
X
X
(−1)n+1
(−1)n n
−2n
a)
;
;
b)
;
c)
2n + 1
n2 + 1
3n + 5
n=1
n=2
n=1
d)
∞
X
⌊ n2 ⌋
∞
X
(−1)
f*)
.
n+1
n=0
∞
X
(−2)n
e)
;
3n + 1
n=0
√
n
3−1 ;
(−1)
n
n=2
Lista 6
6.1. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
∞
X
xn
a)
;
n2n
n=1
d)
∞
X
xn
;
n
2 + 3n
n=0
b)
∞
X
n=1
e)
∞
X
n
n(x − 2) ;
n
(x + 1)n ;
2+1
n
n=1
∞
X
(x + 3)n
c)
;
n3
n=1
f*)
∞
X
n!xn
.
nn
n=1
6.2. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
2
x
a)
;
b) cos ;
c) xe−2x ;
1 − 3x
2
x
d)
;
e) sh x;
f*) sin4 x.
9 + x2
6.3. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:
x
a) f (50) (0), gdzie f (x) = x sin x;
b) f (2006) (0), gdzie f (x) = x ;
e
x3
;
d) f (10) (0), gdzie f (x) = sin2 3x.
c) f (21) (0), gdzie f (x) =
1 + x2
Lista 7
7.1. Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
a) yy ′ + 4t = 0;
b) dy = 2ty 2 dt;
c) t y 2 − 1 dt + y t2 − 1 dy = 0;
p
√
d) 2 ty ′ = 1 − y 2 ;
e) y ′ = 1 + t + y + ty;
f) y ′ + 4y = y e−t + 4 .
7.2. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych:
π
p
p
= e;
b) t 1 − y 2 dt + y 1 − t2 dy = 0, y(0) = 1;
a) y ′ sin t = y ln y, y
2
c) t(y + 1)y ′ = y,
y(e) = 1;
d) y cos tdt − 1 + y 2 dy = 0,
y(0) = 1;
y(0) = −2; f) ey (y ′ − 1) = 1,
y(0) = 0.
e) y ′ = y 2 1 + t2 ,
4
7.3. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne:
2
a) y ′ + y = sin t;
b) y ′ + 2ty = e−t ;
c) ty ′ − 2y = t3 cos t;
d) ty ′ − 2y = 4t4 ;
e) ty + et − ty ′ = 0;
f) (2t + 1)y ′ = 4t + 2y.
7.4. Wyznaczyć rozwiązania podanych zagadnień początkowych dla równań liniowych niejednorodnych:
a) y ′ − y = 1, y(3) = 3;
b) y ′ = (y + 1) sin t, y (t0 ) = y0 ;
π d) y ′ sin t cos t = y + sin3 t, y
= 0.
4
c) ty ′ + y = t + 1, y(1) = 0;
* 7.5.
Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punkt (1,1), dla której pole trójkąta OST (rysunek) utworzonego
przez oś Ot, styczną i wektor wodzący punktu styczności jest stałe i równa się 1.
y
b
S
y=y(t)
O
T
t
Lista 8
8.1. Sprawdzić, że podane funkcje tworzą na zadanych przedziałach układy fundamentalne wskazanych równań
różniczkowych. Znaleźć rozwiązania tych równań z zadanymi warunkami początkowymi:
a) y1 (t) = e−t , y2 (t) = e2t , (−∞, ∞), y ′′ −y ′ −2y = 0, y(0) = −1, y ′ (0) = −5;
b) y1 (t) = ln t, y2 (t) = t, (0, e), t2 (1−ln t)y ′′ +ty ′ −y = 0, y(1) = 2, y ′ (1) = 1;
c) y1 (t) = t, y2 (t) = et , (−∞, 1), (t−1)y ′′ −ty ′ +y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 1;
d) y1 (t) = t, y2 (t) = t2 , (0, ∞), t2 y ′′ −2ty ′ +2y = 0, y(1) = 3, y ′ (1) = 1.
8.2. Wyznaczyć równania różniczkowe liniowe jednorodne postaci y ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = 0, których układy
fundamentalne składają się z podanych funkcji:
a) y1 (t) = sh t, y2 = ch t, gdzie t ∈ R;
b) y1 (t) = t, y2 (t) = t2 , gdzie t ∈ (0, ∞).
8.3. Napisać równania charakterystyczne równań różniczkowych:
a) y ′′ − 2y ′ + y = 0;
d) 2y ′′ − 3y ′ + 4y = 0;
b) y ′′ − 3y = 0;
e) y ′′ = 2y;
c) 4y ′′ + y ′ = 0;
f) y ′′ = 4y ′6 − 2y.
8.4. Wyznaczyć równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach postaci y ′′ + py ′ + qy = 0,
jeżeli pierwiastkami ich wielomianów charakterystycznych są:
a) λ1 = 2, λ2 = 3;
b) λ1 = −1, λ2 = 0;
c) λ1 = λ2 = −2;
√
d) λ1 = i;
e) λ1 = 1 + 3i;
f) λ1 = 2 − i.
8.5. Rozwiązać równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach:
a) 6y ′′ − 5y ′ + y = 0;
b) y ′′ − y ′ − 2y = 0;
c) 4y ′′ − 4y + y = 0;
y
= 0;
4
g) y ′′ + 6y ′ + 18y = 0;
d) y ′′ + y ′ +
e) y ′′ − 4y ′ + 5y = 0;
f) y ′′ − 2y ′ + 5y = 0;
h) 7y ′′ + 4y ′ − 3y = 0;
i) y ′′ − 6y ′ + 9y = 0.
8.6. Wyznaczyć rozwiązanie zagadnienia początkowego:
π
= 1, y ′
π a) y ′′ + y ′ − 6y = 0, y (0) = 1, y ′ (0) = 0;
b) y ′′ + 9y = 0, y
c) y ′′ − 2y ′ + y = 0, y (1) = 2, y ′ (1) = 3;
d) y ′′ − 7y ′ + 12y = 0, y (0) = 3, y ′ (0) = −2.
5
3
3
= 1;
Lista 9
9.1. Wyznaczyć rozwiązania ogólne podanych równań liniowych niejednorodnych, jeżeli znane są układy fundamentalne odpowiadający im równań jednorodnych:
a) y ′′ − 7y ′ + 10y = e3t , y1 (t) = e2t , y2 (t) = e5t ;
b) 3t + 2t2 y ′′ − 6 (1 + t) y ′ + 6y = 6, y1 (t) = t3 , y2 (t) = t + 1;
c) (t − 1) y ′′ − ty ′ + y = (t − 1)2 et , y1 (t) = t, y2 (t) = et ;
d) (t + 1) y ′′ − (2 + t)y ′ = et , y1 (t) = 1, y2 (t) = tet .
9.2. Korzystając z metody uzmienniania stałych rozwiązać równania różniczkowe:
1
;
cos 2t
a) y ′′ + 4y ′ + 4y = e−2t ;
b) y ′′ + 4y =
d) y ′′ − 2y ′ tg t = 1;
e) y ′′ + 3y ′ + 2y =
c) y ′′ − y =
1
;
1 + et
4t2 + 1
√ ;
t t
f) y ′′ + 3y ′ + 2y = cos et .
9.3. Korzystając z metody współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) rozwiązać równania różniczkowe liniowe niejednorodne:
a) y ′′ + 2y ′ + y = −2;
b) y ′′ − 4y ′ + 4y = t2 ;
c) y ′′ + 4y ′ + 4y = 8e−2t ;
d) y ′′ + 3y ′ = 3te−3t ;
e) y ′′ + 5y ′ + 6y = 10(1 − t)e−2t ;
f) y ′′ + 4y ′ − 4y = 8 sin 2t;
g) y ′′ + 9y = 3 sin 3t + 2 cos 3t;
h) y ′′ + α2 y = cos αt, gdzie α 6= 0.
9.4. Rozwiązać zagadnienia początkowe:
a) y ′′ + y = 2(1 − t), y(0) = 2, y ′ (0) = −2;
b) y ′′ − 6y ′ + 9y = 9t2 − 12t + 2, y(0) = 1, y ′ (0) = 3;
c) y ′′ + 6y ′ + 9y = 10 sin t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0;
d) y ′′ + y ′ = e−t , y (0) = 1, y ′ (0) = −1.
Lista 10
10.1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:
sin x2 + y 2
3x
a) f (x, y) =
;
;
b) f (x, y) =
2x − 5y
x2 + y 2
p
√
√
x2 + y 2 − 4
;
e) f (x, y, z) = x + y − 1 + z − 2;
d) f (x, y) = ln
2
2
9−x −y
x2 y
;
c) f (x, y) = p
x2 + y 2 − 25
f) f (x, y, z) = arc sin x2 + y 2 + z 2 − 2 .
10.2. Wykresy (rys. a)–c)) połączyć z odpowiadającymi im poziomicami (rys. A)–C)) wykonanymi dla h =
2, 32 , 1, 21 , 0:
z
z
z
c)
a)
b)
√
√
z= 12 (x2 +y 2 )
z= 4−(x2 +y 2 )
z= x2 +y 2
y
x
y
x
y
x
6
y
A)
y
B)
2
y
C)
x
2
x
10.3. Naszkicować wykresy funkcji:
p
p
a) f (x, y) = 1 − x2 + y 2 ;
b) f (x, y) = 3 + 2x − x2 − y 2 ;
c) f (x, y) = x2 − 2x + y 2 + 2y + 3;
e) f (x, y) = x2 − 1;
d) f (x, y) = sin y;
x
2
f) f (x, y) = 1 − |x|.
10.4. Uzasadnić, że nie istnieją granice funkcji:
a)
x2 y 2
;
4
(x,y)→(0,0) x + y 4
lim
b)
x2 y
;
4
(x,y)→(0,0) x + y 2
lim
10.5. Obliczyć granice funkcji:
1 − cos x2 + y 2
;
a)
lim
2
(x,y)→(0,0)
(x2 + y 2 )
b)
c)
sin2 x
;
(x,y)→(π,0) y 2
lim
d)
x+y−2
.
(x,y)→(1,1) x2 + y 2 − 2
lim
xy 2
;
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
c)
tg x3 − y 3
e)
lim
;
(x,y)→(0,0)
x−y
x2 y 2 − 4x2 − y 2 + 4
;
d)
lim
xy − 2x − y + 2
(x,y)→(1,2)
f)
x4 − y 4
;
(x,y)→(0,0) x2 − y 2
lim
lim
(x,y)→(0,0)
1
x2 + y 2 sin
.
xy
Lista 11
11.1. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji we wskazanych punktach:
x+y
, (1, 1);
a) f (x, y) = x2 − xy + 1, (0, 1); b) f (x, y) =
x

3
3
 px + y
dla (x, y) 6= (0, 0)
, (0, 0);
c) f (x, y) =
x2 + y 2

0 dla (x, y) = (0, 0)
r
xy 2
z
d) f (x, y, z) =
, (0, 1, 1);
e) f (x, y, z) = y
, (1, 1, 1).
z
x
11.2. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:
1 − xy
x2 + y 2
;
b) f (x, y) = arc tg
;
xy
x+y
xz
x
d) f (x, y, z) = x2 +
;
+ yz 3 ;
e) f (x, y, z) = 2
y
x + y2 + z 2
11.3. Sprawdzić czy podana funkcja spełnia wskazane równanie:
a) f (x, y) =
c) f (x, y) = e
sin yx
;
f) f (x, y, z) = sin(x cos(y sin z)).
√
∂f
∂f
∂f
f
∂f
y
+y
= 2; b) f (x, y) = x sin , x
+y
= .
∂x
∂y
x
∂x
∂y
2
11.4. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane są równe:
a) f (x, y) = ln x2 + xy + y 2 ,
a) f (x, y) = sin x2 + y 2 ;
d) f (x, y) = y ln xy;
x
c) f (x, y) = x +
1
;
e) f (x, y, z) = p
2
x + y2 + z 2
f) f (x, y, z) = ln x2 + y 4 + z 6 + 1 .
11.5. Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe funkcji:
∂3f
∂4f
x+y
a)
,
f
(x,
y)
=
sin
xy;
b)
, f (x, y) =
;
∂x∂y 2
∂y 2 ∂x∂y
x−y
c)
∂3 f
x2 y 3
, f (x, y, z) =
;
∂x∂y∂z
z
y
;
x
b) f (x, y) = xexy ;
d)
∂5f
,
∂x∂y 2 ∂z 2
f (x, y, z) = exy+z .
7
11.6. Sprawdzić, że funkcje:
y
a) z = arc tg ;
x
spełniają warunek
b)z = x +
x2
r
y
c)z = x + ln 1 +
;
x
x
;
y
∂2z
∂2z
∂2z
+ 2xy
+ y 2 2 = 0,
2
∂x
∂x∂y
∂y
d)z = x +
√
xy
gdzie x, y > 0.
11.7. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:
p
b) z = ex+2y , (x0 , y0 , z0 ) = (2, −1, z0);
a) z = x2 y + 1, (x0 , y0 , z0 ) = (1, 3, z0 );
!
√
3
arc sin x
1
c) z =
d) z = xy , (x0 , y0 , z0 ) = (2, 4, z0 ).
, (x0 , y0 , z0 ) = − ,
, z0 ;
arc cos y
2 2
11.8. a) Na wykresie funkcji z = arc tg
płaszczyzny x + y − z = 5.
x
wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do
y
b) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = arc ctg
prostej x =
t
t
, y = , z = t, gdzie t ∈ R.
2
2
1 − xy
, która jest prostopadła do
x+y
Lista 12
12.1. Znaleźć ekstrema funkcji:
a) f (x, y) = 3(x − 1)2 + 4(y + 2)2 ;
b) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy;
c) f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 51x − 24y;
d) f (x, y) = e−(x
e) f (x, y) = xy 2 (12 − x − y), gdzie x, y > 0;
f) f (x, y) =
2
+y 2 +2x)
;
8 x
+ + y; gdzie x, y > 0.
x y
12.2. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
a) f (x, y) = 2x3 + 4x2 + y 2 − 2xy, D = (x, y) ∈ R2 : x2 ¬ y ¬ 4 ;
b) f (x, y) = x2 + y 2 − 6x + 4y, D = (x, y) ∈ R2 : x + y ¬ 4, 2x + y ¬ 6, x ­ 0, y ­ 0 ;
c) f (x, y) = x2 + y 2 , D = (x, y ∈ R2 : |x| + |y| ¬ 2 ;
d) f (x, y) = xy 2 + 4xy − 4x, D = (x, y) ∈ R2 : −3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0 ;
e) f (x, y) = x4 + y 4 , D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 9 ;
x2 − 1 y 2 − 1
2
f*) f (x, y) =
2 , D =R .
(x2 + y 2 + 2)
12.3. a) W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt M = (x0 , y0 ), dla
którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:
x + y − 1 = 0,
k:
z+1
= 0,
l:
x − y + 3 = 0,
z−2
= 0.
d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m3 . Do budowy ścian magazynu używane są płyty
w cenie 30 zł/m2 , do budowy podłogi w cenie 40 zł/m2 , a sufitu w cenie 20 zł/m2 . Znaleźć długość a, szerokość
b i wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
f) Firma produkuje 32 i 40 calowe telewizory plazmowe w cenach zbytu odpowiednio 400 e i 600 e za sztukę.
Koszty wyprodukowania x sztuk telewizorów 32 calowych i y 40 calowych wynoszą
1
K(x, y) = x2 + 2xy + y 2 e.
2
Ile sztuk telewizorów 32 i 40 calowych powinna wyprodukować firma aby osiągnąć jak największy zysk?
8
Lista 13
13.1. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:
a)
ZZ
dxdy
, gdzie R = [0, 2] × [0, 1];
(x + y + 1)3
ZZ
e2x−y dxdy, gdzie R = [0, 1] × [−1, 0].
b)
R
c)
ZZ
x sin xy dxdy , gdzie R = [0, 1] × [π, 2π];
R
R
13.2. Całkę podwójną
ZZ
f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi
D
o równaniach:
a) x2 + y = 2, y 3 = x2 ;
b) x2 + y 2 = 4, y = 2x − x2 , x = 0 (x, y ­ 0);
c) x2 − 4x + y 2 + 6y − 51 = 0;
d) x2 − y 2 = 1, x2 + y 2 = 3 (x < 0).
13.3. Obliczyć całki iterowane:
a)
Z4
dx
1
Zx2
y
dy;
x2
b)
Z4
1
x
dx
Z2x
2√
y − x dy;
x
c)
Z2
dx
−2
x
Narysować obszary całkowania.
√
Z4−x2
3
x +y
3
0
dy;
d)
Z3
0
Zy p
dy
y 2 + 16 dx.
0
13.4. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:
a)
Z1
−1
Z|x|
dx f (x, y) dy;
0
√
d)
Z2
b)
Z1
dx
e)
Zπ
−1
y2
dy
√
− 2
Z2
y 2 −1
f (x, y) dx;
−
π
2
√
Z0
f (x, y) dy;
c)
dx
√
0
1−x2
dx
Z4
sin
Z x
f (x, y) dy;
f)
cos x
Ze
dx
1
√
2
Z x
f (x, y) dy;
4x−x2
Z1
f (x, y) dy.
ln x
13.5. Obliczyć podane całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:
ZZ
ZZ
√
1
2
2
a)
xy dxdy, D : y = x, y = 2 − x ;
b)
x2 y dxdy, D : y = −2, y = , y = − −x;
x
D
c)
D
ZZ
(xy + x) dxdy, D : x = 0, y = −1, y = 3 − x2 (x ­ 0);
ZZ
(2x − 3y + 2) dxdy, D : y = 0, y = π, x = −1, x = sin y;
d)
D
e)
D
f)
D
g)
ZZ
ZZ
xy + 4x2 dxdy, D : y = x + 3, y = x2 + 3x + 3;
x
y
√
x, x = 0, y = 1;
ZZ
e dxdy, D : y =
ZZ
x2 exy dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0.
D
e
x2
√
dxdy, D : y = 0, y = 2x, x = ln 3;
h)
D
D
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
9