Algorytmy przeliczeń między elementami orbity a wektorami

Dodatek A
Efemeryda keplerowska
Efemeryd¡ nazywamy w astronomii przewidywane teoretycznie warto±ci poªo»enia lub poªo»enia i pr¦dko±ci pewnego ciaªa niebieskiego.
Je±li u»yjemy do
efemeryd¦ keplerowsk¡ tego ciaªa. Efemeryd¦ keplerowsk¡ na dowolny moment
takiego przewidywania wzorów zagadnienia dwóch ciaª, to otrzymujemy
czasu
t
obliczamy na podstawie podanych elementów orbity wraz z ich epok¡
pocz¡tkow¡ t0 lub tp oraz przyjmuj¡c znan¡ warto±¢ parametru grawitacyjnego
µ = k 2 (m1 + m2 ).
W przypadku typowym, gdy z elementów wynika, »e orbita nie jest zdegenerowana, post¦pujemy wedªug podanego ni»ej algorytmu.
1. Okre±lamy typ orbity (elipsa, parabola czy hiperbola) na podstawie podanych warto±ci mimo±rodu
parametru
e
i póªosi
a
lub odlegªo±ci perycentrum
q
(albo
p).
2. Je±li orbita jest eliptyczna lub hiperboliczna, a nie znamy póªosi
a,
to
wyliczamy j¡ wzorem
a=
p
q
=
.
|1 − e2 |
|1 − e|
Dla orbity parabolicznej wyliczamy
p = 2q
lub
q = p/2,
zale»nie od tego,
który element zostaª podany.
3. Wyznaczamy ruch ±redni
√
n=
n
z odpowiedniej postaci III prawa Keplera:
µ
, dla
a3
√
µ
n=
,
p3
elipsy lub hiperboli,
dla paraboli.
4. Obliczamy warto±¢ anomalii ±redniej
M
dla epoki
t,
korzystaj¡c z wzoru
M = n (t − tp ) = n (t − t0 ) + M0 .
Dla orbity eliptycznej normalizujemy
1
M
do zakresu
0 6 M < 2π .
5. Obliczamy warto±¢ anomalii mimo±rodowej
•
równanie Keplera dla elipsy
•
równanie Keplera dla hiperboli
•
lub równanie Barkera dla paraboli
E
lub zmiennej
D rozwi¡zuj¡c
M = E − e sin E ,
M = e sinh E − E ,
M=
1
6
D3 +
1
2
D.
Metoda iteracji prostych dla elipsy:
Ej+1 = M + e sin Ej .
Metoda Newtona dla hiperboli:
Ej+1 = Ej +
M + Ej − e sinh Ej
.
e cosh Ej − 1
Wzór ±cisªy dla paraboli:
D=
1 − σ2
σ
gdzie σ =
(√
1 + 9M 2 − 3M
) 13
.
f = 2 arctg Φ, gdzie
 √
1+e
E

dla elipsy,

 √ 1−e tg 2 ,
E
e+1
Φ=
dla hiperboli,

e−1 tgh 2 ,


D,
dla paraboli.
6. Wyliczamy anomali¦ prawdziw¡
7. Wyznaczamy odlegªo±¢
r=
oraz warto±ci wspóªrz¦dnych
ξ ,η
p
,
1 + e cos f
oraz pr¦dko±ci
ξ˙,η̇
w perycentrycznym
ukªadzie orbitalnym
ξ
η
= r cos f,
= r sin f,
√
˙ξ = − µ sin f,
p
√
µ
(cos f + e) .
η̇ =
p
T
8. Transformujemy wektory poªo»enia rξηζ = (ξ, η, 0)
i pr¦dko±ci vξηζ =
T
˙ η̇, 0) do przyj¦tego ukªadu wspóªrz¦dnych wykorzystuj¡c argument
(ξ,
perycentrum
ω,
nachylenie
I
oraz dªugo±¢ w¦zªa wst¦puj¡cego
rxyz = N rξηζ ,
2
vxyz = N vξηζ ,
Ω:
gdzie
N = R3 (−Ω)R1 (−I)R3 (−ω).
W postaci jawnej
N11
N12
= cos ω cos Ω − cos I sin ω sin Ω,
= − sin ω cos Ω − cos I cos ω sin Ω,
N21
N22
= cos ω sin Ω + cos I sin ω cos Ω,
= − sin ω sin Ω + cos I cos ω cos Ω,
N31
N32
=
=
sin I sin ω,
sin I cos ω.
Trzecia kolumna macierzy
W ten sposób otrzymujemy
wolnego momentu czasu
r
i
N
v
jest nieistotna.
w przyj¦tym ukªadzie wspóªrz¦dnych dla do-
t.
3
Dodatek B
Elementy orbity z wektorów
poªo»enia i pr¦dko±ci
Jak z podanego wektora poªo»enia
r
i wektora pr¦dko±ci
wyliczy¢ elementy keplerowskie orbity ?
v
w danej epoce
t
Zakªadamy przy tym, »e znane s¡
masy obu ciaª, a wi¦c parametr grawitacyjny
µ
przyjmujemy jako wiadomy.
Dla uproszczenia zapisu, wszystkie wektory uto»samiamy z ich wspóªrz¦dnymi
w ukªadzie
Oxyz ,
wi¦c
r
oznacza
1. Ze wspóªrz¦dnych wektorów
wit¡
rxyz
itd.
riv
wyliczamy odlegªo±¢
r
i pr¦dko±¢ caªko-
v
r=
√
√
√
√
r · r = x2 + y 2 + z 2 , v = v · v = ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 .
2. Wyliczamy warto±ci staªych ruchu
h=
pól
h, G i e
z denicji caªek siªy »ywej
) µ
1 ( 2
ẋ + ẏ 2 + ż 2 − ,
2
r

 

G1
y ż − z ẏ
G = r × v =  G2  =  z ẋ − x ż  .
x ẏ − y ẋ
G3
i Laplace'a






e1
ẏ G3 − ż G2
x
v×G r 
1
1
e2  =  ż G1 − ẋ G3  −  y  .
e=
− =
µ
r
µ
r
e3
ẋ G2 − ẏ G1
z
3. Je±li
h ̸= 0,
wyliczmy póªo± wielk¡ lub rzeczywist¡
a=
4
µ
.
2 |h|
a
Je±li za±
h = 0,
to wyliczamy
semilatus
paraboli
p = (G21 + G22 + G23 )/µ.
4. Mimo±ród orbity znajdujemy jako dªugo±¢ wektora Laplace'a
e=
5. Je±li
G ̸= 0,
√
√
e · e = e21 + e22 + e23 .
I
to nachylenie orbity
wyliczamy ze wspóªrz¦dnych wektora
G
po czym
G3
c = cos I =
,
s = sin I =
G
stosujemy funkcj¦ arccos lub arcsin.
√
G21 + G22
,
G
Mo»na tak»e zastosowa¢
wzór dla tangensa poªowy k¡ta i wylicza¢
√
G21 + G22
G − G3
.
= 2 arctg √ 2
G + G3
G1 + G22
I = 2 arctg
Konkretn¡ posta¢ wzoru wybieramy tak, aby uzyska¢ optymaln¡ dokªadno±¢ wyniku.
I ̸= 0
6. Je±li otrzymali±my warto±¢
oraz
I ̸= π ,
to mo»emy wyznaczy¢
dªugo±¢ w¦zªa wst¦puj¡cego. Poniewa»
sin Ω =
G1
,
Gs
cos Ω = −
G2
,
Gs
z wzoru na tangens poªowy k¡ta mo»emy otrzyma¢
Ω = 2 arctg
G1
G s + G2
= 2 arctg
.
G1
G s − G2
7. Argument perycentrum mo»na wyznaczy¢ je»eli
e
s ̸= 0 i e ̸= 0.
Z denicji
mamy wtedy
e3 = e s sin ω,
Cosinus argumentu perycentrum znajdziemy posªuguj¡c si¦ dodatkowym
wektorem
G × e.
Jego rzut na o±
Oz
daje
G1 e2 − G2 e1 = G e s cos ω.
A zatem
sin ω =
e3
,
es
cos ω =
G1 e2 − G2 e1
.
Ges
Korzystaj¡c z wzoru dla tangensa poªowy k¡ta otrzymujemy (podstawiaj¡c za
sin ω i cos ω
prawe strony podanych wy»ej równa«)
ω = 2 arctg
sin ω
1 − cos ω
= 2 arctg
.
sin ω
1 + cos ω
5
8. Je±li
t.
e ̸= 0,
mo»emy przyst¡pi¢ do poszukiwania anomalii ±redniej epoki
W tym celu zaczynamy od znalezienia anomalii prawdziwej
cos f =
e·r
er
a nast¦pnie
D=
G · (e × r)
,
Ger
sin f =
1 − cos f
sin f
=
,
sin f
1 + cos f
wybieraj¡c wariant o lepszej dokªadno±ci numerycznej. Dla orbit hiperbolicznych lub eliptycznych
f = 2 arctg D.
9. W zale»no±ci od typu orbity wyliczamy anomali¦ ±redni¡
t
M
danej epoki
nast¦puj¡co:
• Ruch eliptyczny:
Znajdujemy anomali¦ mimo±rodow¡
(√
E = 2 arctg
)
1−e
D ,
1+e
po czym korzystamy z równania Keplera
M = E − e sin E .
• Ruch hiperboliczny: Anomali¦ mimo±rodow¡ otrzymujemy z wzoru
(√
)
√
e−1
1 + e + D e2 − 1
√
E = 2 Ar tgh
.
D = ln
e+1
1 + e − D e2 − 1
Nast¦pnie korzystamy z równania Keplera
• Ruch paraboliczny:
M = e sinh E − E .
Równanie Barkera dostarcza nam bezpo±red-
(
nio
M=
)
D2
D
+1
.
3
2
10. Je»eli chcemy znale¹¢ moment przej±cia przez perycentrum tak, aby szó-
tp równa
√ 0, to wyliczamy
3
µ/a dla elipsy i hiperboli lub n = µ/p3 dla paraboli
stym elementem byªa anomalia ±rednia epoki
ruch ±redni
n=
√
i stosujemy wzór
tp = t −
M
.
n
Je»eli za± chcemy wyliczy¢ anomali¦ ±redni¡
M0
dla epoki
t0 ̸= t,
to
M0 = M + n (t0 − t).
W ten sposób skompletowali±my sze±¢ elementów kelperowskich orbity. W przypadkach szczególnych, gdy
e = 0 lub s = 0, algorytm mo»na ªatwo zmodykowa¢
aby posªu»yª do wyliczenia elementów nieosobliwych.
6